備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)9.1直線方程與圓的方程(精講)(原卷版+解析)

9.1直線方程與圓的方程（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率【例1-1】直線的傾斜角為（）A． B． C． D．【例1-2】已知，且三點(diǎn)共線，則（）A． B． C． D．【例1-3】直線與的夾角為．【一隅三反】1.（2022·全國(guó)·高二）若傾斜角為的直線過(guò)，兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．2．（2022·吉林）已知直線l：的傾斜角為，則（

）A． B．1 C． D．－13．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)直線的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．4.（2022·江蘇）已知直線的傾斜角的范圍是，則此直線的斜率k的取值范圍是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)二直線的位置關(guān)系【例2-1】若，則“”是“直線和直線平行”的（）A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件【例2-2】已知直線，，且，點(diǎn)到直線的距離（）A． B． C． D．【一隅三反】1．“”是“直線：與直線：互相垂直”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2022廣東）已知直線：.直線：，則下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．直線過(guò)定點(diǎn) D．直線過(guò)定點(diǎn)3．若方程組無(wú)解，則實(shí)數(shù)．考點(diǎn)三直線與圓的位置關(guān)系【例3-1】（2022浙江）當(dāng)圓截直線所得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，m的值為（）A． B． C．-1 D．1【例3-2】已知圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為（）A． B． C． D．【一隅三反】1（2022江蘇）．過(guò)點(diǎn)的直線l與圓有公共點(diǎn)，則直線l傾斜角的取值范圍是（）A． B． C． D．2．（2022江西）若直線l∶截圓所得的弦長(zhǎng)為2，則k的值為.3．（2022江蘇）若直線與圓相切，則實(shí)數(shù)．4．（2022湖南）若圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．考點(diǎn)四圓與圓的位置關(guān)系【例4-1】（2022徐匯期末）已知圓和圓內(nèi)切，則m的值為．【例4-2】（2022·河?xùn)|模擬）圓與圓的公共弦長(zhǎng)為．【例4-3】（2022南京期末）已知圓，圓，則同時(shí)與圓和圓相切的直線有（）A．4條 B．2條 C．1條 D．0條【一隅三反】1．（2022漢中期中）已知，，那么它們的位置關(guān)系是（）A．外離 B．相切 C．相交 D．內(nèi)含2．（2022·邯鄲模擬）已知圓：和圓：，則“”是“圓與圓內(nèi)切”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2022·河西模擬）設(shè)與相交于兩點(diǎn)，則．4．（2022·石家莊模擬）（多選）已知圓與圓，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若圓與x軸相切，則B．若，則圓與圓相離C．若圓與圓有公共弦，則公共弦所在的直線方程為D．直線與圓始終有兩個(gè)交點(diǎn)考點(diǎn)五切線與切線長(zhǎng)【例5-1】（2022·朝陽(yáng)模擬）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為（）A． B．C． D．或【例5-2】（2022·湖北模擬）若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則從點(diǎn)向圓作切線，切線長(zhǎng)最小值為（）A．2 B．3 C．4 D．6【例5-3】（2022·廣東模擬）（多選）已知圓和圓，過(guò)圓上任意一點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)兩切點(diǎn)分別為，則（）A．線段的長(zhǎng)度大于B．線段的長(zhǎng)度小于C．當(dāng)直線與圓相切時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離為D．當(dāng)直線平分圓的周長(zhǎng)時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離為【一隅三反】1．（2022·興化模擬）從圓外一點(diǎn)向圓引切線，則此切線的長(zhǎng)為．2．（2022·廣西模擬）過(guò)圓上一點(diǎn)A作圓的切線，切點(diǎn)為B，則的最小值為（）A．2 B． C． D．3.（2022·陜西模擬）已知圓，P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為A，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，的外接圓的方程為（）A． B．C． D．考點(diǎn)六對(duì)稱問(wèn)題【例6-1】（2022廣東）如果關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為，則直線l的方程是()A． B． C． D．【例6-2】（2022云南）與直線2x+y－1=0關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱的直線方程是（）A．2x+y－3=0 B．2x+y+3=0 C．x+2y+3=0 D．x+2y－3=0【例6-3】（2022海南）求直線x＋2y－1＝0關(guān)于直線x＋2y＋1＝0對(duì)稱的直線方程（）A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0 C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0【一隅三反】1．（2022河北）已知直線，直線與關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的斜率為（）A． B． C． D．2．直線l：x－y＋1＝0關(guān)于x軸對(duì)稱的直線方程為()A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0 C．x＋y＋1＝0 D．x－y－1＝03.已知直線，直線，則關(guān)于對(duì)稱的直線方程為（）A． B． C． D．9.1直線方程與圓的方程（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率【例1-1】直線的傾斜角為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知得，故直線斜率由于傾斜的范圍是，則傾斜角為.故答案為：B.【例1-2】已知，且三點(diǎn)共線，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，解得，所以。故答案為：A.【例1-3】直線與的夾角為．【答案】【解析】直線的斜率，即傾斜角滿足，直線的斜率，即傾斜角滿足，所以，所以，又兩直線夾角的范圍為，所以兩直線夾角為，故答案為：.【一隅三反】1.（2022·全國(guó)·高二）若傾斜角為的直線過(guò)，兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的斜率為，所以，解得；故選：C2．（2022·吉林）已知直線l：的傾斜角為，則（

）A． B．1 C． D．－1【答案】A【解析】因?yàn)橹本€l的傾斜角為，所以斜率.所以，解得：.故選：A3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)直線的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)橹本€的斜率為，且，，因?yàn)椋?故選：A.4.（2022·江蘇）已知直線的傾斜角的范圍是，則此直線的斜率k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當(dāng)直線的傾斜角時(shí)，直線的斜率，因，則當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以直線的斜率k的取值范圍是.故選：D考點(diǎn)二直線的位置關(guān)系【例2-1】若，則“”是“直線和直線平行”的（）A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件【答案】C【解析】由直線ax+y-1=0和直線x+by-1=0平行，可得ab=1.反之不成立，例如a=b=1時(shí)，兩條直線都為x+y-1=0，所以兩條直線重合.ab=1是“直線ax+y-1=0和直線x+by-1=0平行”的必要不充分條件.故選C.【例2-2】已知直線，，且，點(diǎn)到直線的距離（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得，解得，故故答案為：D【一隅三反】1．“”是“直線：與直線：互相垂直”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】依題意，，解得或，所以“”是“直線：與直線：互相垂直”的充分不必要條件.故答案為：A2．（2022廣東）已知直線：.直線：，則下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．直線過(guò)定點(diǎn) D．直線過(guò)定點(diǎn)【答案】BCD【解析】A.若，則或，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)兩直線平行，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.若，則，所以該選項(xiàng)正確；C.直線當(dāng)時(shí)，無(wú)論取何值，恒成立，所以此時(shí)直線過(guò)定點(diǎn)，所以該選項(xiàng)正確；D.直線當(dāng)時(shí)，無(wú)論取何值，恒成立，所以直線過(guò)定點(diǎn)，所以該選項(xiàng)正確.故答案為：BCD3．若方程組無(wú)解，則實(shí)數(shù)．【答案】±2【解析】因?yàn)榉匠探M無(wú)解，所以兩直線平行，可得.考點(diǎn)三直線與圓的位置關(guān)系【例3-1】（2022浙江）當(dāng)圓截直線所得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，m的值為（）A． B． C．-1 D．1【答案】C【解析】直線過(guò)定點(diǎn)，圓的圓心為，半徑，當(dāng)時(shí)，圓截直線所得的弦長(zhǎng)最短，由于，所以，即.故答案為：C【例3-2】已知圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖：圓心為，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，可得則圓心在單位圓上，原點(diǎn)到直線的距離為延長(zhǎng)BO交于點(diǎn)C，以C為圓心，OC為半徑作圓C，BC延長(zhǎng)線交圓C于點(diǎn)D，當(dāng)圓心在C處時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大為此時(shí)，圓上點(diǎn)D到直線的距離最大為故答案為：B【一隅三反】1（2022江蘇）．過(guò)點(diǎn)的直線l與圓有公共點(diǎn)，則直線l傾斜角的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)直線的傾斜角為，圓心到直線l的距離為，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，易得，此時(shí)，符合題意，；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，即，此時(shí)，解得或，即或；綜上可得.故答案為：C.2．（2022江西）若直線l∶截圓所得的弦長(zhǎng)為2，則k的值為.【答案】【解析】由題意得，圓心到直線的距離為，則，即，解得.故答案為：3．（2022江蘇）若直線與圓相切，則實(shí)數(shù)．【答案】25【解析】直線與圓相切，圓心到直線的距離平方可得，解得故答案為：254．（2022湖南）若圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】到點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)在圓上，所以問(wèn)題等價(jià)于圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)也在圓上，即兩圓相交，故，所以或.故選：A.考點(diǎn)四圓與圓的位置關(guān)系【例4-1】（2022徐匯期末）已知圓和圓內(nèi)切，則m的值為．【答案】【解析】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，所以兩圓的圓心距，又因?yàn)閮蓤A內(nèi)切，有，解得.故答案為：.【例4-2】（2022·河?xùn)|模擬）圓與圓的公共弦長(zhǎng)為．【答案】【解析】?jī)蓤A方程相減得，即，原點(diǎn)到此直線距離為，圓半徑為，所以所求公共弦長(zhǎng)為．故答案為：．【例4-3】（2022南京期末）已知圓，圓，則同時(shí)與圓和圓相切的直線有（）A．4條 B．2條 C．1條 D．0條【答案】B【解析】由，得圓，半徑為，由，得，半徑為所以，，，所以，所以圓與圓相交，所以圓與圓有兩條公共的切線。故答案為：B.【一隅三反】1．（2022漢中期中）已知，，那么它們的位置關(guān)系是（）A．外離 B．相切 C．相交 D．內(nèi)含【答案】C【解析】方程可化為，得，，方程可化為，得，，，，故兩圓相交。故答案為：C.

2．（2022·邯鄲模擬）已知圓：和圓：，則“”是“圓與圓內(nèi)切”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若圓與圓內(nèi)切，則圓心距，即，得或，所以是圓與圓內(nèi)切的充分不必要條件.故答案為：A3．（2022·河西模擬）設(shè)與相交于兩點(diǎn)，則．【答案】【解析】將和兩式相減：得過(guò)兩點(diǎn)的直線方程：，則圓心到的距離為，所以，故答案為：4．（2022·石家莊模擬）（多選）已知圓與圓，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若圓與x軸相切，則B．若，則圓與圓相離C．若圓與圓有公共弦，則公共弦所在的直線方程為D．直線與圓始終有兩個(gè)交點(diǎn)【答案】BD【解析】因?yàn)閳A，所以若圓與x軸相切，則有，A不符合題意；當(dāng)時(shí)，，兩圓相離，B符合題意；由兩圓有公共弦，兩圓的方程相減可得公共弦所在直線方程，C不符合題意；直線過(guò)定點(diǎn)，而，故點(diǎn)在圓內(nèi)部，所以直線與圓始終有兩個(gè)交點(diǎn)，D符合題意.故答案為：BD

考點(diǎn)五切線與切線長(zhǎng)【例5-1】（2022·朝陽(yáng)模擬）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為（）A． B．C． D．或【答案】C【解析】由圓心為，半徑為，斜率存在時(shí)，設(shè)切線為，則，可得，所以，即，斜率不存在時(shí)，顯然不與圓相切；綜上，切線方程為.故答案為：C【例5-2】（2022·湖北模擬）若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則從點(diǎn)向圓作切線，切線長(zhǎng)最小值為（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【解析】由圓，可得，∴圓心，又圓關(guān)于直線對(duì)稱，∴，即，由點(diǎn)向圓所作的切線長(zhǎng)為：，即切線長(zhǎng)最小值為4.故答案為：C.【例5-3】（2022·廣東模擬）（多選）已知圓和圓，過(guò)圓上任意一點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)兩切點(diǎn)分別為，則（）A．線段的長(zhǎng)度大于B．線段的長(zhǎng)度小于C．當(dāng)直線與圓相切時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離為D．當(dāng)直線平分圓的周長(zhǎng)時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離為【答案】A,D【解析】如圖示：，根據(jù)直角三角形的等面積方法可得，，由于，故，由于，A符合題意，B不符合題意；當(dāng)直線與圓相切時(shí)，由題意可知AP斜率存在，故設(shè)AP方程為，則有，即，即或，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為d，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，C不符合題意；當(dāng)直線平分圓的周長(zhǎng)時(shí)，即直線過(guò)點(diǎn)，AP斜率存在，設(shè)直線方程為，即，則，即，故原點(diǎn)到直線的距離為，則，D符合題意；故答案為：：AD【一隅三反】1．（2022·興化模擬）從圓外一點(diǎn)向圓引切線，則此切線的長(zhǎng)為．【答案】2【解析】將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，則圓心，半徑1，如圖，設(shè)，，切線長(zhǎng)．故答案為：2

2．（2022·廣西模擬）過(guò)圓上一點(diǎn)A作圓的切線，切點(diǎn)為B，則的最小值為（）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)圓與圓的圓心分別為O，C，則，當(dāng)最小時(shí)，最小，由于點(diǎn)A在圓O上，則的最小值為，所以的最小值為.故答案為：B.3.（2022·陜西模擬）已知圓，P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為A，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，的外接圓的方程為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題可知，，半徑，圓心，所以，要使的面積最小，即最小，的最小值為點(diǎn)到直線的距離，即當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，最小，直線的斜率為，此時(shí)直線的方程為，由，解得，所以，因?yàn)槭侵苯侨切危孕边叺闹悬c(diǎn)坐標(biāo)為，而，所以的外接圓圓心為，半徑為，所以的外接圓的方程為.故答案為：C.考點(diǎn)六對(duì)稱問(wèn)題【例6-1】（2022廣東）如果關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為，則直線l的方程是()A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)橐阎c(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為，故直線l為線段的中垂線，求得的中點(diǎn)坐標(biāo)為，的斜率為，故直線l的斜率為-3，故直線l的方程為，即。故答案為：A.【例6-2】（2022云南）與直線2x+y－1=0關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱的直線方程是（）A．2x+y－3=0 B．2x+y+3=0 C．x+2y+3=0 D．x+2y－3=0【答案】A【解析】在所求直線上取點(diǎn)（x，y），關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），則，∴a=2-x，b=-y，