人教版高一數(shù)學(xué)新教材同步配套教學(xué)講義5.7三角函數(shù)的應(yīng)用(原卷版+解析)

5．7三角函數(shù)的應(yīng)用【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一、函數(shù)中，，，的物理意義1、簡諧運(yùn)動的振幅就是．2、簡諧運(yùn)動的周期．3、簡諧運(yùn)動的頻率．4、稱為相位．5、時的相位稱為初相．知識點(diǎn)二、三角函數(shù)模型的應(yīng)用三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化規(guī)律、預(yù)測其未來等方面都發(fā)揮著十分重要的作用．實(shí)際問題通常涉及復(fù)雜的數(shù)據(jù)，因此往往需要使用信息技術(shù)．知識點(diǎn)三、三角函數(shù)模型應(yīng)用的步驟（1）建模問題步驟：審讀題意→建立三角函數(shù)式→根據(jù)題意求出某點(diǎn)的三角函數(shù)值→解決實(shí)際問題．（2）建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵，先根據(jù)題意設(shè)出代表函數(shù)，再利用數(shù)據(jù)求出待定系數(shù)，然后寫出具體的三角函數(shù)式．知識點(diǎn)四、三角函數(shù)應(yīng)用題的三種模式（1）給定呈周期變化規(guī)律的三角函數(shù)模型，根據(jù)所給模型，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，解決一些實(shí)際問題．（2）給定呈周期變化的圖象，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)模型，再解決其他問題．（3）整理一個實(shí)際問題的調(diào)查數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，通過擬合函數(shù)圖象，求出可以近似表示變化規(guī)律的函數(shù)模型，進(jìn)一步用函數(shù)模型來解決問題．知識點(diǎn)五、三角函數(shù)模型應(yīng)用注意點(diǎn)（1）一般地，所求出的函數(shù)模型只能近似地刻畫實(shí)際情況，因此應(yīng)特別注意自變量的取值范圍．（2）應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題時，應(yīng)注意從背景中提取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，并利用相關(guān)知識來理解．【題型歸納目錄】題型一：三角函數(shù)模型在物理學(xué)中的應(yīng)用題型二：三角函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用題型三：數(shù)據(jù)擬合問題題型四：三角函數(shù)在圓周中的應(yīng)用題型五：幾何中的三角函數(shù)模型【典型例題】題型一：三角函數(shù)模型在物理學(xué)中的應(yīng)用例1．（2022·全國·高一課時練習(xí)）智能主動降噪耳機(jī)工作的原理是通過耳機(jī)兩端的噪聲采集器采集周圍的噪聲，然后通過主動降噪芯片生成與噪聲相位相反、振幅相同的聲波來抵消噪聲（如圖）．已知噪聲的聲波曲線（其中，，）的振幅為1，周期為，初相位為，則通過主動降噪芯片生成的聲波曲線的解析式為（

）A． B． C． D．例2．（2022·全國·高一單元測試）如圖，彈簧掛著一個小球作上下運(yùn)動，小球在t秒時相對于平衡位置的高度h（厘米）由如下關(guān)系式確定：，，.已知當(dāng)時，小球處于平衡位置，并開始向下移動，則小球在秒時h的值為（

）A．-2 B．2 C． D．例3．（2022·全國·高一課時練習(xí)）若電流I（單位：A）與時間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．則函數(shù)的最小正周期為______，當(dāng)時的電流為______A．變式1．（2022·山東山東·高一期中）將塑料瓶底部扎一個小孔做成漏斗，再掛在架子上，就做成了一個簡易單擺．在漏斗下方紙板，板的中間畫一條直線作為坐標(biāo)系的橫軸，把漏斗灌上細(xì)沙并拉離平衡位置，放手使它擺動，同時勻速拉動紙板，這樣就可在紙板上得到一條曲線，它就是簡諧運(yùn)動的圖像．它表示了漏斗對平衡位置的位移s（縱坐標(biāo)）隨時間t（橫坐標(biāo)）變化的情況．如圖所示，已知一根長為lcm的線一端固定，另一端懸一個漏斗，漏斗擺動時離開平衡位置的位移s（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系是，其中，，則估計(jì)線的長度應(yīng)當(dāng)是（精確到0.1cm）（

）A．15.4cm B．16.4cm C．17.4cm D．18.4cm變式2．（2022·全國·高一課時練習(xí)）如圖，某個彈簧振子（簡稱振子）在完成一次全振動的過程中，時間t（單位：s）與位移y（單位：mm）之間對應(yīng)的函數(shù)圖象如圖所示，其變化規(guī)律可以用求刻畫.(1)求此彈簧振子運(yùn)動的周期；(2)求時彈簧振子所處的位置距離初始位置（）的距離是多少？變式3．（2022·陜西·榆林市第十中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，一根長l（單位：cm）的線，一端固定，另一端懸掛一個小鋼球，當(dāng)小鋼球做單擺運(yùn)動時，離開平衡位置的位移S（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為，其中.(1)當(dāng)時，小鋼球離開平衡位置的位移S是多少cm？(2)要使小鋼球擺動的周期是1s，則線的長度l應(yīng)該為多少cm（精確到0.1cm）？【方法技巧與總結(jié)】處理物理學(xué)問題的策略（1）常涉及的物理學(xué)問題有單擺、光波、電流、機(jī)械波等，其共同的特點(diǎn)是具有周期性．（2）明確物理概念的意義，此類問題往往涉及諸如頻率、振幅等概念，因此要熟知其意義并與對應(yīng)的三角函數(shù)知識結(jié)合解題．題型二：三角函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用例4．（2022·江西省萬載中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖所示，一條河寬AC為1km，兩岸各有一座城市A和B，A與B的直線距離是4km，今需鋪設(shè)一條電纜連接城市A和B，已知地下電纜的修建費(fèi)是2萬元/km，水下電纜的修建費(fèi)是4萬元/km，假設(shè)兩岸是平行直線（沒有彎曲），設(shè)∠CAD=θ，鋪設(shè)電纜總施工費(fèi)用為y元.(1)求y關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式.(2)應(yīng)該鋪設(shè)地下電纜BD多長時方可使總施工費(fèi)用y達(dá)到最小.例5．（2022·廣東佛山·高一期末）2021年7月20日，佛山正式印發(fā)了《城市“暢通工程”兩年行動方案》（以下簡稱《方案》），聚焦人民群眾反映強(qiáng)烈的城市交通擁堵問題，通過微改造、微調(diào)整，為市民出行創(chuàng)造更加暢通有序的交通環(huán)境．現(xiàn)某醫(yī)院附近有條長500米，寬6米的道路（如圖1所示的矩形ABCD），改造前，路的一側(cè)劃有100個長5米，寬2.5米的停車位（如矩形AEFG），按《方案》，在不改變停車位形狀大小、不改變汽車通道寬度的條件下，可通過壓縮道路旁邊綠化帶及改變停車位方向來增加停車位，記綠化帶被壓縮的寬度（米），停車位相對道路傾斜的角度，其中．(1)求d關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；(2)若，求該路段改造后的停車位比改造前增加的個數(shù)．例6．（2022·遼寧丹東·高一期末）如圖，某地一天從時的溫度變化曲線近似滿足，其中，，.(1)求，，，；(2)求這一天時的最大溫差近似值.參考數(shù)據(jù)：，.【方法技巧與總結(jié)】解三角函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟題型三：數(shù)據(jù)擬合問題例7．（2022·全國·高一）海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮時返回海洋．下面是某港口在某季節(jié)每天的時刻與水深值（單位：）記錄表：時刻水深值經(jīng)過長期觀測，這個港口的水深與時間的關(guān)系，可以近似用函數(shù)來描述．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出時，函數(shù)的表達(dá)式；(2)一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為，安全條例規(guī)定至少要有的安全間隙（船底與海底的距離），問該船在一天內(nèi)（）何時能進(jìn)入港口？例8．（2022·江西景德鎮(zhèn)·高一期中）“八月十八潮，壯觀天下無．”——蘇軾《觀浙江濤》，該詩展現(xiàn)了湖水漲落的壯闊畫面，某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行潮水漲落與時間的關(guān)系的數(shù)學(xué)建模活動，通過實(shí)地考察某港口水深y（米）與時間（單位：小時）的關(guān)系，經(jīng)過多次測量篩選，最后得到下表數(shù)據(jù)：t（小時）03691215182124y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.1該小組成員通過查閱資料、咨詢老師等工作，以及現(xiàn)有知識儲備，再依據(jù)上述數(shù)據(jù)描成曲線，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成函數(shù)圖象．(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出近似函數(shù)的表達(dá)式；(2)一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底與水面的距離）為8米，請你運(yùn)用上面興趣小組所得數(shù)據(jù)，結(jié)合所學(xué)知識，給該船舶公司提供安全進(jìn)此港時間段的建議．例9．（2022·全國·高一專題練習(xí)）某“帆板”集訓(xùn)隊(duì)在一海濱區(qū)域進(jìn)行集訓(xùn)，該海濱區(qū)域的海浪高度（米）隨著時間（，單位：小時）而周期性變化．每天各時刻的浪高數(shù)據(jù)的平均值如下表：（時）（米）(1)試在圖中描出所給點(diǎn)；(2)觀察圖，從，，中選擇一個合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的解析式；(3)如果確定在一天內(nèi)的時至?xí)r之間，當(dāng)浪高不低于米時才進(jìn)行訓(xùn)練，試安排恰當(dāng)?shù)挠?xùn)練時間．變式4．（2022·全國·高一課時練習(xí)）平潭國際“花式風(fēng)箏沖浪”集訓(xùn)隊(duì)，在平潭龍鳳頭海濱浴場進(jìn)行集訓(xùn)，海濱區(qū)域的某個觀測點(diǎn)觀測到該處水深y（米）是隨著一天的時間t（0≤t≤24，單位小時）呈周期性變化，某天各時刻t的水深數(shù)據(jù)的近似值如表：t（時）03691215182124y（米）1.52.41.50.61.42.41.60.61.5(1)根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖（坐標(biāo)系在答題卷中）．觀察散點(diǎn)圖，從①，②，③．中選擇一個合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的函數(shù)解析式；(2)為保證隊(duì)員安全，規(guī)定在一天中的5～18時且水深不低于1.05米的時候進(jìn)行訓(xùn)練，根據(jù)（1）中的選擇的函數(shù)解析式，試問：這一天可以安排什么時間段組織訓(xùn)練，才能確保集訓(xùn)隊(duì)員的安全．變式5．（2022·廣西·桂林十八中高一開學(xué)考試）某港口的水深（單位：是時間的函數(shù)，下面是該港口的水深數(shù)據(jù)：0369121518212410139.97101310.1710一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于時就是安全的．(1)若有以下幾個函數(shù)模型：，，，你認(rèn)為哪個模型可以更好地刻畫與之間的對應(yīng)關(guān)系？請你求出該擬合模型的函數(shù)解析式；(2)如果船的吃水深度（船底與水面的距離）為，那么該船在什么時間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時間最多不能超過多長時間？變式6．（2022·全國·高一課時練習(xí)）某港口的水深(單位：)是時間(，單位：)的函數(shù)，下面是該港口的水深數(shù)據(jù)：0369121518212410139.9710139.9710一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于時就是安全的．(1)若有以下幾個函數(shù)模型：，你認(rèn)為哪個模型可以更好地刻畫y與t之間的對應(yīng)關(guān)系？請說明理由，并求出該擬合模型的函數(shù)解析式；(2)如果船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，那么該船在什么時間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時間最多不能超過多長時間？【方法技巧與總結(jié)】數(shù)據(jù)擬合的通法（1）處理的關(guān)鍵：數(shù)據(jù)擬合是一項(xiàng)重要的數(shù)據(jù)處理能力，解決該類問題的關(guān)鍵在于如何把實(shí)際問題三角函數(shù)模型化，而散點(diǎn)圖在這里起了關(guān)鍵作用．（2）一般方法：數(shù)據(jù)對→作散點(diǎn)圖→確定擬合函數(shù)→解決實(shí)際問題．題型四：三角函數(shù)在圓周中的應(yīng)用例10．（2022·廣東廣州·高一期末）一半徑為2m的水輪，水輪圓心O距離水面1m；已知水輪按逆時針做勻速轉(zhuǎn)動，每3秒轉(zhuǎn)一圈，且當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時（圖中點(diǎn)）開始計(jì)算時間．如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，將點(diǎn)P距離水面的高度h（單位：m）表示為時間t（單位：s）的函數(shù)，記，則（

）A．0 B．1 C．3 D．4例11．（2022·浙江溫州·高二期中）一半徑為2米的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面1米，已知水輪每60秒逆時針勻速轉(zhuǎn)動一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時（圖中點(diǎn)）開始計(jì)時，則點(diǎn)P距離水面的高度h（米）與t（秒）的一個函數(shù)解析式為（）A． B．C． D．例12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖是一大觀覽車的示意圖，已知觀覽車輪半徑為80米，觀覽車中心到地面的距離為82米，觀覽車每30分鐘沿逆時針方向轉(zhuǎn)動1圈.若是從距地面42米時開始計(jì)算時間時的初始位置，以觀覽車的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的水平直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy.設(shè)從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)P時所經(jīng)過的時間為t（單位：分鐘），且此時點(diǎn)P距離地面的高度為h（單位：米），則h是關(guān)于t的函數(shù).當(dāng)時關(guān)于的圖象，下列說法正確的是（

）A．對稱中心為B．對稱中心為C．對稱軸為D．對稱軸為變式7．（2022·上海市建平中學(xué)高一期中）一個半徑為2米的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面1米．已知水輪按逆時針作勻速轉(zhuǎn)動，每6秒轉(zhuǎn)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時（圖中點(diǎn)）開始計(jì)算時間．(1)以過點(diǎn)O且平行于水輪所在平面與水面的交線L的直線為x軸，以過點(diǎn)O且與水面垂直的直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，試將點(diǎn)P距離水面的高度h（單位：米）表示為時間t（單位：秒）的函數(shù)；(2)在水輪轉(zhuǎn)動的任意一圈內(nèi)，有多長時間點(diǎn)P距離水面的高度不低于2米？變式8．（2022·江蘇·高一課時練習(xí)）一半徑為的水輪如圖所示，水輪圓心距離水面；已知水輪按逆時針做勻速轉(zhuǎn)動，每轉(zhuǎn)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時（圖中點(diǎn)）開始計(jì)算時間.（1）以水輪所在平面與水面的交線為軸，以過點(diǎn)且與水面垂直的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，將點(diǎn)距離水面的高度表示為時間的函數(shù)；（2）點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要多長時間？變式9．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖，一個摩天輪的半徑為10m，輪子的最低處距離地面2m．如果此摩天輪按逆時針勻速轉(zhuǎn)動，每30min轉(zhuǎn)一圈，且當(dāng)摩天輪上某人經(jīng)過點(diǎn)P（點(diǎn)P與摩天輪中心O的高度相同）時開始計(jì)時．(1)求此人相對于地面的高度h（m）關(guān)于時間t（min）的函數(shù)關(guān)系式；(2)在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有多長時間此人相對于地面的高度不小于17m？變式10．（2022·全國·高一課時練習(xí)）某游樂場的摩天輪示意圖如圖．已知該摩天輪的半徑為30米，輪上最低點(diǎn)與地面的距離為2米，沿逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周所需時間為分鐘．在圓周上均勻分布12個座艙，標(biāo)號分別為1~12（可視為點(diǎn)），在旋轉(zhuǎn)過程中，座艙與地面的距離h與時間t的函數(shù)關(guān)系基本符合正弦函數(shù)模型，現(xiàn)從圖示位置，即1號座艙位于圓周最右端時開始計(jì)時，旋轉(zhuǎn)時間為t分鐘．(1)求1號座艙與地面的距離h與時間t的函數(shù)關(guān)系的解析式；(2)在前24分鐘內(nèi)，求1號座艙與地面的距離為17米時t的值；(3)記1號座艙與5號座艙高度之差的絕對值為H米，求當(dāng)H取得最大值時t的值．變式11．（2022·湖南·長郡中學(xué)高一期末）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色，如圖，該摩天輪輪盤直徑為米，設(shè)置有個座艙，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，當(dāng)?shù)竭_(dá)最高點(diǎn)時距離地面米，勻速轉(zhuǎn)動一周大約需要分鐘，當(dāng)游客甲坐上摩天輪的座艙開始計(jì)時.(1)經(jīng)過分鐘后游客甲距離地面的高度為米，已知關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式滿足（其中），求摩天輪轉(zhuǎn)動一周的解析式；(2)游客甲坐上摩天輪后多長時間，距離地面的高度第一次恰好達(dá)到50米？(3)若游客乙在游客甲之后進(jìn)入座艙，且中間間隔5個座艙，在摩天輪轉(zhuǎn)動一周的過程中，記兩人距離地面的高度差為米，求的最大值.題型五：幾何中的三角函數(shù)模型例13．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知扇形的半徑為，中心角為，四邊形是扇形的內(nèi)接矩形，為上一動點(diǎn)，問：點(diǎn)在怎樣的位置時，矩形的面積最大？并求出這個最大值．例14．（2022·江西萍鄉(xiāng)·高一期末）如圖，四邊形是一塊邊長為的正方形鐵皮，其中扇形的半徑為，已經(jīng)被腐蝕不能使用，其余部分完好可利用，P是弧上一點(diǎn)，，工人師傅想在未被腐蝕部分截下一個有兩邊分別在與上的矩形鐵皮.(1)寫出矩形鐵皮的面積與角度的函數(shù)關(guān)系式；(2)求矩形鐵皮面積的最大值和此時的值.例15．（2022·全國·高一單元測試）我市某旅游區(qū)有一個人工湖，如圖所示，它的邊界是由圓O的半個圓?。≒為此圓弧的中點(diǎn)）和直徑MN構(gòu)成．已知圓O的半徑為1千米．為增加旅游收入，現(xiàn)在該人工湖上規(guī)劃建造兩個觀景區(qū)：其中荷花池觀景區(qū)的形狀為矩形ABCD；噴泉觀景區(qū)的形狀為．要求端點(diǎn)A，B均在直徑MN上，端點(diǎn)C，D均在圓弧上．設(shè)OC與直徑MN所成的角為．(1)試用分別表示矩形ABCD和的面積；(2)若在矩形ABCD兩側(cè)線段AD，BC的位置架起兩座觀景橋，已知建造觀景橋的費(fèi)用每千米8萬元（包含橋的寬度費(fèi)用），建造噴泉觀景區(qū)費(fèi)用每平方千米16萬元，建造荷花池的總費(fèi)用為5萬元．問：的角度為多少時，建造該觀景區(qū)總費(fèi)用最低，并求出其最低費(fèi)用值．（結(jié)果保留整數(shù)）變式12．（2022·貴州·凱里一中高一開學(xué)考試）已知扇形（如圖所示），圓心角，半徑，在弧上取一點(diǎn)P，作扇形的內(nèi)接矩形，記，矩形的面積為y.(1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并化簡；(2)求矩形面積的最大值，并求此時x的取值.變式13．（2022·遼寧·大連市第一中學(xué)高一期中）扇形的圓心角為，所在圓半徑OA為2，它按如圖（Ⅰ）（Ⅱ）兩種方式有內(nèi)接矩形CDEF．圖（Ⅰ）矩形CDEF的頂點(diǎn)C、D在扇形的半徑OB上，頂點(diǎn)E在圓弧AB上，頂點(diǎn)F在半徑OA上，設(shè)；圖（Ⅱ）點(diǎn)M是圓弧的中點(diǎn)，矩形CDEF的頂點(diǎn)D、E在圓弧AB上，且關(guān)于直線OM對稱，頂點(diǎn)C、F分別在半徑OB、OA上，設(shè)；設(shè)圖（Ⅰ）下矩形CDEF面積的最大值為，圖（Ⅱ）下矩形CDEF面積的最大值為，求出與，并比較與的大?。兪?4．（2022·江西·南昌縣蓮塘第一中學(xué)高一期中）某中學(xué)校園內(nèi)有塊扇形空地，經(jīng)測量其半徑為m，圓心角為.學(xué)校準(zhǔn)備在此扇形空地上修建一所矩形室內(nèi)籃球場ABCD，初步設(shè)計(jì)方案如圖1所示.(1)求出初步設(shè)計(jì)方案中矩形ABCD面積的最大值.(2)你有沒有更好的設(shè)計(jì)方案來獲得更大的籃球場面積？若有在圖2畫出來，并證明你的結(jié)論.變式15．（2022·安徽·高一期中）某房地產(chǎn)開發(fā)公司為吸引更多消費(fèi)者購房，決定在一塊閑置的扇形空地中修建一個花園，如圖所示．已知扇形的圓心角，半徑為200米．現(xiàn)需要修建的花園為平行四邊形，其中、分別在半徑、上，在上．(1)求扇形的弧長和面積；(2)設(shè)，平行四邊形的面積為S．求S關(guān)于角的函數(shù)解析式，并指出函數(shù)的定義域．變式16．（2022·云南·昆明一中高一期末）如圖，已知直線，A是之間的一定點(diǎn)，并且點(diǎn)A到，的距離分別為和2.B，C分別是直線上的動點(diǎn)，且，設(shè)，.(1)寫出關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)求函數(shù)的最小值及相對應(yīng)的x的值.變式17．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）如圖，矩形的四個頂點(diǎn)分別在矩形的四條邊上，且矩形ABCD的周長為l．如果AB與的夾角為，那么當(dāng)為何值時，矩形的周長最大？【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·全國·高一課時練習(xí)）某種商品一年內(nèi)每件出廠價在7千元的基礎(chǔ)上，按月呈的模型波動（的單位：千元，，，，為月份，且）．已知3月出廠價最高，為9千元，7月出廠價最低，為5千元，則的解析式為（

）A． B．C． D．2．（2022·全國·高一課時練習(xí)）若電流ⅠA．隨著時間t（s）變化的函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．， B．，C．， D．，3．（2022·全國·高一單元測試）筒車是一種以水流作動力，取水灌田的工具，是中國古代人民偉大的發(fā)明之一.如圖，已知某個半徑為6m的筒車按逆時針方向每分鐘勻速旋轉(zhuǎn)2圈，筒車軸心O距水面3m，設(shè)筒車上某個盛水筒P，以P剛浮出水面時開始計(jì)算時間，則盛水筒P出水后第一次到達(dá)最高點(diǎn)的時間（單位：s）為（

）A．7 B．8 C．9 D．104．（2022·遼寧·大連八中高一階段練習(xí)）單擺從某點(diǎn)開始來回擺動，離開平衡位置O的距離S（厘米）和時間t（秒）的函數(shù)關(guān)系為，那么單擺來回擺動的振幅（厘米）和一次所需的時間（秒）為（

）A．3，4 B．，4 C．3，2 D．，25．（2022·江西·上饒中學(xué)高一階段練習(xí)）鑄于明嘉靖十二年的泰山岱廟鐵塔，造型質(zhì)樸雄偉，原有十三級，抗日戰(zhàn)爭中被日軍飛機(jī)炸毀，現(xiàn)僅存三級，它的底座是近似圓形的，如圖1．我國古代工匠已經(jīng)知道，將長方體磚塊以某個固定的角度相接就可砌出近似圓形的建筑，現(xiàn)存鐵塔的底座是用10塊一樣的長方體磚塊砌成的近似圓形的墻面，每塊長方體磚塊底面較長的邊長為1個單位，如圖2，則此近似圓形墻面內(nèi)部所能容納最大圓的半徑是（

）A． B． C． D．6．（2022·全國·高一課時練習(xí)）表中給出的是某港口在某季節(jié)每天幾個時刻的水深關(guān)系．時刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深（m）5.07.05.03.05.07.05.03.05.0若該港口的水深y(m)和時刻t（0≤t≤24）的關(guān)系可用函數(shù)來近似描述，則該港口在11：00的水深為（

）A．4m B．5m C．6m D．7m7．（2022·北京·高一期末）石景山游樂園“夢想之星”摩天輪采用國內(nèi)首創(chuàng)的橫梁中軸結(jié)構(gòu)，風(fēng)格現(xiàn)代簡約.“夢想之星”摩天輪直徑米，總高約米，勻速旋轉(zhuǎn)一周時間為分鐘，配有個球形全透視度全景座艙.如果不考慮座艙高度等其它因素，該摩天輪的示意圖如圖所示，游客從離地面最近的位置進(jìn)入座艙，旋轉(zhuǎn)一周后出艙.甲乙兩名同學(xué)通過即時交流工具發(fā)現(xiàn)，他們兩人進(jìn)入各自座艙的時間相差分鐘.這兩名同學(xué)在摩天輪上游玩的過程中，他們所在的高度之和的最大值約為（

）A．米 B．米 C．米 D．米8．（2022·北京·高一期中）如圖，摩天輪的半徑為40米.摩天輪的中心O點(diǎn)距離地面的高度為45米，摩天輪勻速逆時針旋轉(zhuǎn).每30分鐘轉(zhuǎn)一圈.若摩天輪上點(diǎn)P的起始位置在最低點(diǎn)處.下面有關(guān)結(jié)論正確的是（

）A．經(jīng)過10分鐘，點(diǎn)P距離地面的高度為45米B．第25分鐘和第70分鐘點(diǎn)P距離地面的高度相同C．從第10分鐘至第20分鐘，點(diǎn)P距離地面的高度一直在上升D．摩天輪旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)P距離地面的高度不低于65米的時間為10分鐘二、多選題9．（2022·廣東清遠(yuǎn)·高一期中）如圖為一半徑為3m的水輪，水輪圓心O距水面2m，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)5圈，水輪上的點(diǎn)P到水面距離y（m）與時間x（s）滿足關(guān)系式，則有（

）A． B． C． D．10．（2022·全國·高一）如圖，一圓形摩天輪的直徑為100米，圓心O到水平地面的距離為60米，最上端的點(diǎn)記為Q，現(xiàn)在摩天輪開始逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，30分鐘轉(zhuǎn)一圈，以摩天輪的中心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)Q距離水平地面的高度與時間的函數(shù)為B．點(diǎn)Q距離水平地面的高度與時間的函數(shù)的對稱中心坐標(biāo)為C．經(jīng)過10分鐘點(diǎn)Q距離地面35米D．摩天輪從開始轉(zhuǎn)動一圈，點(diǎn)Q距離水平地面的高度不超過85米的時間為20分鐘11．（2022·全國·高一單元測試）漢代數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖（又稱趙爽弦圖，它由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，如圖），證明了被稱為幾何學(xué)的基石——勾股定理的正確性，現(xiàn)將弦圖中的四條股延長相同的長度得到如圖所示的一個“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，現(xiàn)以弦圖的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，線段OA在如圖所示的x軸上（其中有兩“股”線延長交x，y軸分別為A，B），此“數(shù)學(xué)風(fēng)車”繞點(diǎn)O逆時針勻速旋轉(zhuǎn)一周的時間為2秒，，分別用，表示t秒后A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，那么以下選項(xiàng)正確的有（

）A．函數(shù)與的圖象經(jīng)過平移后可以重合B．函數(shù)的最大值為2C．函數(shù)圖象的一個對稱中心為D．函數(shù)在上單調(diào)遞減12．（2022·安徽·高一階段練習(xí)）阻尼器是一種以提供運(yùn)動的阻力，從而達(dá)到減振效果的專業(yè)工程裝置．如圖，我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”．由物理學(xué)知識可知，某阻尼器模型的運(yùn)動過程可近似為單擺運(yùn)動，其離開平衡位置的位移（cm）和時間t（）的函數(shù)關(guān)系式為，其中，若該阻尼器模型在擺動過程中連續(xù)三次位移為的時間分別為，，，且，，則下列是的單調(diào)區(qū)間的是（

）A． B．C． D．三、填空題13．（2022·全國·高一課時練習(xí)）小明給學(xué)校設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)文化長廊，計(jì)劃將長廊的頂部遮雨棚設(shè)計(jì)成如圖所示的橫截面為正弦型曲線的形狀（雨棚的厚度忽略不計(jì)）．已知入口處高度AB和出口處高度CD均為H，為使參觀者行走方便，要求雨棚的最低點(diǎn)到地面的距離不小于雨棚的最高點(diǎn)到地面距離的，則雨棚橫截面正弦型曲線振幅的最大值為______．14．（2022·全國·高一專題練習(xí)）某游樂場中半徑為米的摩天輪逆時針（固定從一側(cè)觀察）勻速旋轉(zhuǎn)，每分鐘轉(zhuǎn)一圈，其最低點(diǎn)離底面米，如果以你從最低點(diǎn)登上摩天輪的時刻開始計(jì)時，那么你與底面的距離高度（米）隨時間（秒）變化的關(guān)系式為_____.15．（2022·福建福州·高一期末）某城市一年中12個月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)（x=1，2，3，…，12）來表示，已知6月份的月平均氣溫為28℃；12月份的月平均氣溫為18℃，則10月份的平均氣溫為___________℃.16．（2022·全國·高一）為了研究鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)秒針針尖的位置為，若初始位置為，當(dāng)秒針針尖從（注：此時）正常開始走時，點(diǎn)的縱坐標(biāo)與時間的函數(shù)關(guān)系式為__________.四、解答題17．（2022·遼寧·高一期中）某港口在一天之內(nèi)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)，其中h為水深（單位：米），t為時間（單位：小時），該函數(shù)部分圖象如圖所示．若一艘貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙（船底與水底的距離），則該船一天之內(nèi)能在該港口停留多久？18．（2022·陜西·榆林市第十中學(xué)高一階段練習(xí)）某港口的海水深度y（單位：）是時間t（，單位：）的函數(shù)，記為.已知某日海水深度的數(shù)據(jù)如下表：0369121518212410139.97101310.1710經(jīng)長期觀察，的圖像可以近似地看成函數(shù)的圖像.一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于時就是安全的.(1)試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出的函數(shù)解析式；(2)已知某船的吃水深度（船底與水面的距離）為，若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時間最多不能超過多長時間？19．（2022·全國·高一專題練習(xí)）下表是某地一年中10天測量得白晝時間統(tǒng)計(jì)表（時間近似0.1小時，一年按365天計(jì)）．日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日6月21日8月13日9月20日10月25日12月21日日期位置序號15980117126172225268298355白晝時間（小時）5.610.212.416.417.319.416.412.48.55.4(1)以日期在365一天中得位置序號為橫坐標(biāo)，白晝時間為縱坐標(biāo)，在給定的坐標(biāo)中，試選用一個形如的函數(shù)來近似描述一年中，白晝時間與日期位置序號之間的函數(shù)關(guān)系；(2)用（1）中的函數(shù)模型估計(jì)該地一年中大約有多少天白晝時間大于15.9小時．20．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)（文））若單擺中小球相對靜止位置的位移隨時間的變化而周期性變化，如圖所示，請回答下列問題：(1)單擺運(yùn)動的周期是多少？(2)從點(diǎn)算起，到曲線上的哪一點(diǎn)表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動？如從點(diǎn)算起呢？(3)當(dāng)時，單擺小球相對于靜止位置的位移是多少？21．（2022·上海理工大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）如圖，摩天輪上一點(diǎn)距離地面的高度關(guān)于時間的函數(shù)表達(dá)式為，，已知摩天輪的半徑為50m，其中心點(diǎn)距地面60m，摩天輪以每30分鐘轉(zhuǎn)一圈的方式做勻速轉(zhuǎn)動，而點(diǎn)的起始位置在摩天輪的最低點(diǎn)處.(1)根據(jù)條件具體寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；(2)在摩天輪轉(zhuǎn)動一圈內(nèi)，點(diǎn)有多長時間距離地面超過85m？5．7三角函數(shù)的應(yīng)用【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一、函數(shù)中，，，的物理意義1、簡諧運(yùn)動的振幅就是．2、簡諧運(yùn)動的周期．3、簡諧運(yùn)動的頻率．4、稱為相位．5、時的相位稱為初相．知識點(diǎn)二、三角函數(shù)模型的應(yīng)用三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化規(guī)律、預(yù)測其未來等方面都發(fā)揮著十分重要的作用．實(shí)際問題通常涉及復(fù)雜的數(shù)據(jù)，因此往往需要使用信息技術(shù)．知識點(diǎn)三、三角函數(shù)模型應(yīng)用的步驟（1）建模問題步驟：審讀題意→建立三角函數(shù)式→根據(jù)題意求出某點(diǎn)的三角函數(shù)值→解決實(shí)際問題．（2）建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵，先根據(jù)題意設(shè)出代表函數(shù)，再利用數(shù)據(jù)求出待定系數(shù)，然后寫出具體的三角函數(shù)式．知識點(diǎn)四、三角函數(shù)應(yīng)用題的三種模式（1）給定呈周期變化規(guī)律的三角函數(shù)模型，根據(jù)所給模型，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，解決一些實(shí)際問題．（2）給定呈周期變化的圖象，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)模型，再解決其他問題．（3）整理一個實(shí)際問題的調(diào)查數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，通過擬合函數(shù)圖象，求出可以近似表示變化規(guī)律的函數(shù)模型，進(jìn)一步用函數(shù)模型來解決問題．知識點(diǎn)五、三角函數(shù)模型應(yīng)用注意點(diǎn)（1）一般地，所求出的函數(shù)模型只能近似地刻畫實(shí)際情況，因此應(yīng)特別注意自變量的取值范圍．（2）應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題時，應(yīng)注意從背景中提取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，并利用相關(guān)知識來理解．【題型歸納目錄】題型一：三角函數(shù)模型在物理學(xué)中的應(yīng)用題型二：三角函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用題型三：數(shù)據(jù)擬合問題題型四：三角函數(shù)在圓周中的應(yīng)用題型五：幾何中的三角函數(shù)模型【典型例題】題型一：三角函數(shù)模型在物理學(xué)中的應(yīng)用例1．（2022·全國·高一課時練習(xí)）智能主動降噪耳機(jī)工作的原理是通過耳機(jī)兩端的噪聲采集器采集周圍的噪聲，然后通過主動降噪芯片生成與噪聲相位相反、振幅相同的聲波來抵消噪聲（如圖）．已知噪聲的聲波曲線（其中，，）的振幅為1，周期為，初相位為，則通過主動降噪芯片生成的聲波曲線的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)樵胍舻穆暡ㄇ€（其中，，）的振幅為1，則，周期為，則，初相位為，，所以噪聲的聲波曲線的解析式為，所以通過主動降噪芯片生成的聲波曲線的解析式為．故選：A.例2．（2022·全國·高一單元測試）如圖，彈簧掛著一個小球作上下運(yùn)動，小球在t秒時相對于平衡位置的高度h（厘米）由如下關(guān)系式確定：，，.已知當(dāng)時，小球處于平衡位置，并開始向下移動，則小球在秒時h的值為（

）A．-2 B．2 C． D．【答案】D【解析】因?yàn)楫?dāng)時，小球處于平衡位置，并開始向下移動，故，即，又，故，故，故當(dāng)時，故選：D例3．（2022·全國·高一課時練習(xí)）若電流I（單位：A）與時間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．則函數(shù)的最小正周期為______，當(dāng)時的電流為______A．【答案】

【解析】由圖象，可知該函數(shù)的最小正周期是，設(shè)，由函數(shù)的最小正周期是，可知，故時的電流是0A．故答案為：；0.變式1．（2022·山東山東·高一期中）將塑料瓶底部扎一個小孔做成漏斗，再掛在架子上，就做成了一個簡易單擺．在漏斗下方紙板，板的中間畫一條直線作為坐標(biāo)系的橫軸，把漏斗灌上細(xì)沙并拉離平衡位置，放手使它擺動，同時勻速拉動紙板，這樣就可在紙板上得到一條曲線，它就是簡諧運(yùn)動的圖像．它表示了漏斗對平衡位置的位移s（縱坐標(biāo)）隨時間t（橫坐標(biāo)）變化的情況．如圖所示，已知一根長為lcm的線一端固定，另一端懸一個漏斗，漏斗擺動時離開平衡位置的位移s（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系是，其中，，則估計(jì)線的長度應(yīng)當(dāng)是（精確到0.1cm）（

）A．15.4cm B．16.4cm C．17.4cm D．18.4cm【答案】C【解析】由，得.由函數(shù)的圖象可知函數(shù)的周期為，所以，即.故選：C.變式2．（2022·全國·高一課時練習(xí)）如圖，某個彈簧振子（簡稱振子）在完成一次全振動的過程中，時間t（單位：s）與位移y（單位：mm）之間對應(yīng)的函數(shù)圖象如圖所示，其變化規(guī)律可以用求刻畫.(1)求此彈簧振子運(yùn)動的周期；(2)求時彈簧振子所處的位置距離初始位置（）的距離是多少？【解析】（1）由圖可知，函數(shù)，故函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，故，,即彈簧振子運(yùn)動的周期為4.8s.（2）由圖知，，故，，因?yàn)椋?，所以，所以，故，而，所以時，該彈簧振子離時刻的距離是.變式3．（2022·陜西·榆林市第十中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，一根長l（單位：cm）的線，一端固定，另一端懸掛一個小鋼球，當(dāng)小鋼球做單擺運(yùn)動時，離開平衡位置的位移S（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為，其中.(1)當(dāng)時，小鋼球離開平衡位置的位移S是多少cm？(2)要使小鋼球擺動的周期是1s，則線的長度l應(yīng)該為多少cm（精確到0.1cm）？【解析】(1)在函數(shù)中，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，小鋼球離開平衡位置的位移S是1.5cm.(2)依題意，，而周期，又，則，即，解得()，所以線的長度l應(yīng)該為.【方法技巧與總結(jié)】處理物理學(xué)問題的策略（1）常涉及的物理學(xué)問題有單擺、光波、電流、機(jī)械波等，其共同的特點(diǎn)是具有周期性．（2）明確物理概念的意義，此類問題往往涉及諸如頻率、振幅等概念，因此要熟知其意義并與對應(yīng)的三角函數(shù)知識結(jié)合解題．題型二：三角函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用例4．（2022·江西省萬載中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖所示，一條河寬AC為1km，兩岸各有一座城市A和B，A與B的直線距離是4km，今需鋪設(shè)一條電纜連接城市A和B，已知地下電纜的修建費(fèi)是2萬元/km，水下電纜的修建費(fèi)是4萬元/km，假設(shè)兩岸是平行直線（沒有彎曲），設(shè)∠CAD=θ，鋪設(shè)電纜總施工費(fèi)用為y元.(1)求y關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式.(2)應(yīng)該鋪設(shè)地下電纜BD多長時方可使總施工費(fèi)用y達(dá)到最小.【解析】（1）由題可知，，其中（2）由（1）可得因?yàn)椋?，設(shè)，則，即，因?yàn)?，所以，解得，，此時，，滿足，故當(dāng)時，總施工費(fèi)用y達(dá)到最小，所以例5．（2022·廣東佛山·高一期末）2021年7月20日，佛山正式印發(fā)了《城市“暢通工程”兩年行動方案》（以下簡稱《方案》），聚焦人民群眾反映強(qiáng)烈的城市交通擁堵問題，通過微改造、微調(diào)整，為市民出行創(chuàng)造更加暢通有序的交通環(huán)境．現(xiàn)某醫(yī)院附近有條長500米，寬6米的道路（如圖1所示的矩形ABCD），改造前，路的一側(cè)劃有100個長5米，寬2.5米的停車位（如矩形AEFG），按《方案》，在不改變停車位形狀大小、不改變汽車通道寬度的條件下，可通過壓縮道路旁邊綠化帶及改變停車位方向來增加停車位，記綠化帶被壓縮的寬度（米），停車位相對道路傾斜的角度，其中．(1)求d關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；(2)若，求該路段改造后的停車位比改造前增加的個數(shù)．【解析】（1）由圖知：，，又，所以；（2）由，得，解得，因?yàn)?，所以舍去，如圖所示：作，交于，則，，所以，則，所以第一個車位最右邊離EM為，第二個車位最右邊離EM為，第n個車位最右邊離EM為，則，解得，因?yàn)閚為整數(shù)，所以，改造前車位有個，所以改造后增加個.例6．（2022·遼寧丹東·高一期末）如圖，某地一天從時的溫度變化曲線近似滿足，其中，，.(1)求，，，；(2)求這一天時的最大溫差近似值.參考數(shù)據(jù)：，.【解析】(1)由圖象可知：，，最小正周期，，，；，，，解得：，又，.(2)由圖象可知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，即這一天時的最大溫差近似值為.【方法技巧與總結(jié)】解三角函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟題型三：數(shù)據(jù)擬合問題例7．（2022·全國·高一）海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮時返回海洋．下面是某港口在某季節(jié)每天的時刻與水深值（單位：）記錄表：時刻水深值經(jīng)過長期觀測，這個港口的水深與時間的關(guān)系，可以近似用函數(shù)來描述．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出時，函數(shù)的表達(dá)式；(2)一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為，安全條例規(guī)定至少要有的安全間隙（船底與海底的距離），問該船在一天內(nèi)（）何時能進(jìn)入港口？【解析】(1)，，，；由表格數(shù)據(jù)知：最小正周期，即，；，，解得：，又，，.(2)由題意知：若該船能進(jìn)入港口，則需，即，；，，則當(dāng)或或，即或或時，，該船可在、和進(jìn)入港口.例8．（2022·江西景德鎮(zhèn)·高一期中）“八月十八潮，壯觀天下無．”——蘇軾《觀浙江濤》，該詩展現(xiàn)了湖水漲落的壯闊畫面，某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行潮水漲落與時間的關(guān)系的數(shù)學(xué)建?；顒樱ㄟ^實(shí)地考察某港口水深y（米）與時間（單位：小時）的關(guān)系，經(jīng)過多次測量篩選，最后得到下表數(shù)據(jù)：t（小時）03691215182124y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.1該小組成員通過查閱資料、咨詢老師等工作，以及現(xiàn)有知識儲備，再依據(jù)上述數(shù)據(jù)描成曲線，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成函數(shù)圖象．(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出近似函數(shù)的表達(dá)式；(2)一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底與水面的距離）為8米，請你運(yùn)用上面興趣小組所得數(shù)據(jù)，結(jié)合所學(xué)知識，給該船舶公司提供安全進(jìn)此港時間段的建議．【解析】（1）畫出散點(diǎn)圖，連線如下圖所示：設(shè)，根據(jù)最大值13，最小值7，可列方程為：，再由，得，；（2）．∵，∴，∴，或解得，或，所以請?jiān)?：00至5：00和13：00至17：00進(jìn)港是安全的．例9．（2022·全國·高一專題練習(xí)）某“帆板”集訓(xùn)隊(duì)在一海濱區(qū)域進(jìn)行集訓(xùn)，該海濱區(qū)域的海浪高度（米）隨著時間（，單位：小時）而周期性變化．每天各時刻的浪高數(shù)據(jù)的平均值如下表：（時）（米）(1)試在圖中描出所給點(diǎn)；(2)觀察圖，從，，中選擇一個合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的解析式；(3)如果確定在一天內(nèi)的時至?xí)r之間，當(dāng)浪高不低于米時才進(jìn)行訓(xùn)練，試安排恰當(dāng)?shù)挠?xùn)練時間．【解析】(1)散點(diǎn)圖如下，(2)由散點(diǎn)圖可知：應(yīng)選擇，則，，，即，將代入可得：，解得：，該模型的解析式為：.(3)令，則，，，或或，解得：或或，應(yīng)在白天點(diǎn)到點(diǎn)之間訓(xùn)練.變式4．（2022·全國·高一課時練習(xí)）平潭國際“花式風(fēng)箏沖浪”集訓(xùn)隊(duì)，在平潭龍鳳頭海濱浴場進(jìn)行集訓(xùn)，海濱區(qū)域的某個觀測點(diǎn)觀測到該處水深y（米）是隨著一天的時間t（0≤t≤24，單位小時）呈周期性變化，某天各時刻t的水深數(shù)據(jù)的近似值如表：t（時）03691215182124y（米）1.52.41.50.61.42.41.60.61.5(1)根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖（坐標(biāo)系在答題卷中）．觀察散點(diǎn)圖，從①，②，③．中選擇一個合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的函數(shù)解析式；(2)為保證隊(duì)員安全，規(guī)定在一天中的5～18時且水深不低于1.05米的時候進(jìn)行訓(xùn)練，根據(jù)（1）中的選擇的函數(shù)解析式，試問：這一天可以安排什么時間段組織訓(xùn)練，才能確保集訓(xùn)隊(duì)員的安全．【解析】（1）根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，如圖所示：結(jié)合散點(diǎn)圖可知，圖形進(jìn)行了上下平移和左右平移，故選②做為函數(shù)模型，∴，∵，∴又∵函數(shù)y＝0.9cos（φ）+1.5的圖象過點(diǎn)，∴，∴，∴，又∵，∴φ，∴（2）由（1）知：令y≥1.05，即，∴∴，∴，又∵5≤t≤18，∵5≤t≤7或11≤t≤18，∴這一天可以安排早上5點(diǎn)至7點(diǎn)以及11點(diǎn)至18點(diǎn)的時間段組織訓(xùn)練，才能確保集訓(xùn)隊(duì)員的安全．變式5．（2022·廣西·桂林十八中高一開學(xué)考試）某港口的水深（單位：是時間的函數(shù)，下面是該港口的水深數(shù)據(jù)：0369121518212410139.97101310.1710一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于時就是安全的．(1)若有以下幾個函數(shù)模型：，，，你認(rèn)為哪個模型可以更好地刻畫與之間的對應(yīng)關(guān)系？請你求出該擬合模型的函數(shù)解析式；(2)如果船的吃水深度（船底與水面的距離）為，那么該船在什么時間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時間最多不能超過多長時間？【解析】(1)函數(shù)可以更好地刻畫與之間的對應(yīng)關(guān)系，根據(jù)數(shù)據(jù)可得：，，，又，，.(2)由題意，要滿足題意，需，即，，，解得，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；,或,，所以，該船在至或至能安全進(jìn)港，若欲于當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時間最多不能超過16個小時．變式6．（2022·全國·高一課時練習(xí)）某港口的水深(單位：)是時間(，單位：)的函數(shù)，下面是該港口的水深數(shù)據(jù)：0369121518212410139.9710139.9710一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于時就是安全的．(1)若有以下幾個函數(shù)模型：，你認(rèn)為哪個模型可以更好地刻畫y與t之間的對應(yīng)關(guān)系？請說明理由，并求出該擬合模型的函數(shù)解析式；(2)如果船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，那么該船在什么時間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時間最多不能超過多長時間？【解析】（1）函數(shù)模型更好地刻畫y與t之間的對應(yīng)關(guān)系.根據(jù)上述數(shù)據(jù)描出的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)的圖像.從擬合曲線可知，函數(shù)在一個周期內(nèi)由最大變到最小需9-3=6(h)，此為半個周期，函數(shù)的最小正周期為12，因此.又當(dāng)時，；當(dāng)時，，所求函數(shù)的表達(dá)式為（2）由于船的吃水深度為7m，船底與海底的距離不少于4.5m，故在船舶航行時，水深應(yīng)大于或等于7+4.5=11.5(m).令,可得取，則；取，則；取時，（不符合題意，舍去).當(dāng)與時，船能夠安全進(jìn)港，船舶要在一天之內(nèi)在港口停留時間最長，就應(yīng)從凌晨1時進(jìn)港，而下午的17時離港，在港內(nèi)停留的時間最長為16h.【方法技巧與總結(jié)】數(shù)據(jù)擬合的通法（1）處理的關(guān)鍵：數(shù)據(jù)擬合是一項(xiàng)重要的數(shù)據(jù)處理能力，解決該類問題的關(guān)鍵在于如何把實(shí)際問題三角函數(shù)模型化，而散點(diǎn)圖在這里起了關(guān)鍵作用．（2）一般方法：數(shù)據(jù)對→作散點(diǎn)圖→確定擬合函數(shù)→解決實(shí)際問題．題型四：三角函數(shù)在圓周中的應(yīng)用例10．（2022·廣東廣州·高一期末）一半徑為2m的水輪，水輪圓心O距離水面1m；已知水輪按逆時針做勻速轉(zhuǎn)動，每3秒轉(zhuǎn)一圈，且當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時（圖中點(diǎn)）開始計(jì)算時間．如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，將點(diǎn)P距離水面的高度h（單位：m）表示為時間t（單位：s）的函數(shù)，記，則（

）A．0 B．1 C．3 D．4【答案】C【解析】根據(jù)題意，設(shè)h＝f（t）＝Asin（ωt+φ）+k，（φ＜0），則A＝2，k＝1，因?yàn)門＝3，所以ω，所以h＝2sin（t+φ）+1，又因?yàn)閠＝0時，h＝0，所以0＝2sinφ+1，所以sinφ，又因?yàn)棣眨?，所以φ，所以h＝f（t）＝2sin（t）+1；所以f（t）sint﹣cost+1，f（t+1）＝2sin（t）+1＝2cost+1，f（t+2）＝2sin（t）+1sint﹣cost+1，所以f（t）+f（t+1）+f（t+2）＝3．故選：C．例11．（2022·浙江溫州·高二期中）一半徑為2米的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面1米，已知水輪每60秒逆時針勻速轉(zhuǎn)動一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時（圖中點(diǎn)）開始計(jì)時，則點(diǎn)P距離水面的高度h（米）與t（秒）的一個函數(shù)解析式為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)P距離水面的高度h（米）與t（秒）的一個函數(shù)解析式為由，可得，由，可得由t=0時h=0，可得，則，又，則則點(diǎn)P距離水面的高度h（米）與t（秒）的一個函數(shù)解析式為故選：A例12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖是一大觀覽車的示意圖，已知觀覽車輪半徑為80米，觀覽車中心到地面的距離為82米，觀覽車每30分鐘沿逆時針方向轉(zhuǎn)動1圈.若是從距地面42米時開始計(jì)算時間時的初始位置，以觀覽車的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的水平直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy.設(shè)從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)P時所經(jīng)過的時間為t（單位：分鐘），且此時點(diǎn)P距離地面的高度為h（單位：米），則h是關(guān)于t的函數(shù).當(dāng)時關(guān)于的圖象，下列說法正確的是（

）A．對稱中心為B．對稱中心為C．對稱軸為D．對稱軸為【答案】B【解析】由題意得，而是以為始邊，為終邊的角，由OP在內(nèi)轉(zhuǎn)過的角為，可知以為始邊，為終邊的角為，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，所以P距地面的高度為，令，得，所以對稱中心為，令，得，所以對稱軸為，故選：B變式7．（2022·上海市建平中學(xué)高一期中）一個半徑為2米的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面1米．已知水輪按逆時針作勻速轉(zhuǎn)動，每6秒轉(zhuǎn)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時（圖中點(diǎn)）開始計(jì)算時間．(1)以過點(diǎn)O且平行于水輪所在平面與水面的交線L的直線為x軸，以過點(diǎn)O且與水面垂直的直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，試將點(diǎn)P距離水面的高度h（單位：米）表示為時間t（單位：秒）的函數(shù)；(2)在水輪轉(zhuǎn)動的任意一圈內(nèi)，有多長時間點(diǎn)P距離水面的高度不低于2米？【解析】(1)設(shè)，根據(jù)函數(shù)的物理意義可知：，由題意可知當(dāng)時，，則，所以，則，又因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以，所以；(2)根據(jù)題意可知，，即，當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動一圈時，，，可得：，所以此時，解得，又因?yàn)椋?，即水輪轉(zhuǎn)動任意一圈內(nèi)，有秒的時間點(diǎn)距水面的高度不低于2米．變式8．（2022·江蘇·高一課時練習(xí)）一半徑為的水輪如圖所示，水輪圓心距離水面；已知水輪按逆時針做勻速轉(zhuǎn)動，每轉(zhuǎn)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時（圖中點(diǎn)）開始計(jì)算時間.（1）以水輪所在平面與水面的交線為軸，以過點(diǎn)且與水面垂直的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，將點(diǎn)距離水面的高度表示為時間的函數(shù)；（2）點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要多長時間？【解析】（1）設(shè)，，則，，∴，∴∴，∵，，∴，∴.∵，∴，∴（2）令，得，∴，∴∴點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要的時間.變式9．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖，一個摩天輪的半徑為10m，輪子的最低處距離地面2m．如果此摩天輪按逆時針勻速轉(zhuǎn)動，每30min轉(zhuǎn)一圈，且當(dāng)摩天輪上某人經(jīng)過點(diǎn)P（點(diǎn)P與摩天輪中心O的高度相同）時開始計(jì)時．(1)求此人相對于地面的高度h（m）關(guān)于時間t（min）的函數(shù)關(guān)系式；(2)在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有多長時間此人相對于地面的高度不小于17m？【解析】(1)當(dāng)時，此人相對于地面的高度．在時間t時此人轉(zhuǎn)過的角為，此時此人相對于地面的高度．(2)由，得．又，則，即．故在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，此人相對于地面的高度不小于17m的時間為（min）．變式10．（2022·全國·高一課時練習(xí)）某游樂場的摩天輪示意圖如圖．已知該摩天輪的半徑為30米，輪上最低點(diǎn)與地面的距離為2米，沿逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周所需時間為分鐘．在圓周上均勻分布12個座艙，標(biāo)號分別為1~12（可視為點(diǎn)），在旋轉(zhuǎn)過程中，座艙與地面的距離h與時間t的函數(shù)關(guān)系基本符合正弦函數(shù)模型，現(xiàn)從圖示位置，即1號座艙位于圓周最右端時開始計(jì)時，旋轉(zhuǎn)時間為t分鐘．(1)求1號座艙與地面的距離h與時間t的函數(shù)關(guān)系的解析式；(2)在前24分鐘內(nèi)，求1號座艙與地面的距離為17米時t的值；(3)記1號座艙與5號座艙高度之差的絕對值為H米，求當(dāng)H取得最大值時t的值．【解析】（1）設(shè)1號座艙與地面的距離h與時間t的函數(shù)關(guān)系的解析式為則，∴，依題意，∴，當(dāng)時，∴，∴．（2）令，即，∴，∵，∴，∴或，解得或，∴或時，1號座艙與地面的距離為17米．（3）依題意，∴令，解得，所以當(dāng)時，H取得最大值

變式11．（2022·湖南·長郡中學(xué)高一期末）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色，如圖，該摩天輪輪盤直徑為米，設(shè)置有個座艙，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，當(dāng)?shù)竭_(dá)最高點(diǎn)時距離地面米，勻速轉(zhuǎn)動一周大約需要分鐘，當(dāng)游客甲坐上摩天輪的座艙開始計(jì)時.(1)經(jīng)過分鐘后游客甲距離地面的高度為米，已知關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式滿足（其中），求摩天輪轉(zhuǎn)動一周的解析式；(2)游客甲坐上摩天輪后多長時間，距離地面的高度第一次恰好達(dá)到50米？(3)若游客乙在游客甲之后進(jìn)入座艙，且中間間隔5個座艙，在摩天輪轉(zhuǎn)動一周的過程中，記兩人距離地面的高度差為米，求的最大值.【解析】(1)由題意，（其中）摩天輪的最高點(diǎn)距離地面為米，最低點(diǎn)距離地面為米，所以，得，又函數(shù)周期為分鐘，所以，又，所以，又，所以，所以.(2)，所以，整理，因?yàn)?，所以，所?解得（分鐘）.(3)經(jīng)過分鐘后甲距離地面的高度為，乙與甲間隔的時間為分鐘，所以乙距離地面的高度為，所以兩人離地面的高度差當(dāng)或時，即或分鐘時，取最大值為米.題型五：幾何中的三角函數(shù)模型例13．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知扇形的半徑為，中心角為，四邊形是扇形的內(nèi)接矩形，為上一動點(diǎn)，問：點(diǎn)在怎樣的位置時，矩形的面積最大？并求出這個最大值．【解析】如圖，在中，設(shè)，則在中，，所以．所以設(shè)矩形的面積為，則由于，所以當(dāng)，即時，．因此，當(dāng)時，矩形的面積最大，最大面積為．例14．（2022·江西萍鄉(xiāng)·高一期末）如圖，四邊形是一塊邊長為的正方形鐵皮，其中扇形的半徑為，已經(jīng)被腐蝕不能使用，其余部分完好可利用，P是弧上一點(diǎn)，，工人師傅想在未被腐蝕部分截下一個有兩邊分別在與上的矩形鐵皮.(1)寫出矩形鐵皮的面積與角度的函數(shù)關(guān)系式；(2)求矩形鐵皮面積的最大值和此時的值.【解析】（1）記矩形鐵皮的面積為S，延長RP交AB于點(diǎn)E，如圖，四邊形BQPE、BCRE均為矩形，依題意，，，因此，，，所以.（2）由（1）知，令，因，則，，即，因此，顯然此函數(shù)對稱軸為，則當(dāng)，即時，，所以矩形鐵皮面積的最大值是，此時.例15．（2022·全國·高一單元測試）我市某旅游區(qū)有一個人工湖，如圖所示，它的邊界是由圓O的半個圓?。≒為此圓弧的中點(diǎn)）和直徑MN構(gòu)成．已知圓O的半徑為1千米．為增加旅游收入，現(xiàn)在該人工湖上規(guī)劃建造兩個觀景區(qū)：其中荷花池觀景區(qū)的形狀為矩形ABCD；噴泉觀景區(qū)的形狀為．要求端點(diǎn)A，B均在直徑MN上，端點(diǎn)C，D均在圓弧上．設(shè)OC與直徑MN所成的角為．(1)試用分別表示矩形ABCD和的面積；(2)若在矩形ABCD兩側(cè)線段AD，BC的位置架起兩座觀景橋，已知建造觀景橋的費(fèi)用每千米8萬元（包含橋的寬度費(fèi)用），建造噴泉觀景區(qū)費(fèi)用每平方千米16萬元，建造荷花池的總費(fèi)用為5萬元．問：的角度為多少時，建造該觀景區(qū)總費(fèi)用最低，并求出其最低費(fèi)用值．（結(jié)果保留整數(shù)）【解析】（1）由題意，，易得：．所以矩形ABCD的面積為，的面積為．（2）設(shè)建造觀景區(qū)所需總費(fèi)用為，由題意，，，即，，令，，設(shè)，則，由，從而．當(dāng)，即時，有．所以最小值為（萬元）．故當(dāng)時，建造該觀該景區(qū)總費(fèi)用最低，且最低費(fèi)用約為20萬元．變式12．（2022·貴州·凱里一中高一開學(xué)考試）已知扇形（如圖所示），圓心角，半徑，在弧上取一點(diǎn)P，作扇形的內(nèi)接矩形，記，矩形的面積為y.(1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并化簡；(2)求矩形面積的最大值，并求此時x的取值.【解析】（1）在直角中，，，在直角中，，又，所以，所以，即，.（2）因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時，.變式13．（2022·遼寧·大連市第一中學(xué)高一期中）扇形的圓心角為，所在圓半徑OA為2，它按如圖（Ⅰ）（Ⅱ）兩種方式有內(nèi)接矩形CDEF．圖（Ⅰ）矩形CDEF的頂點(diǎn)C、D在扇形的半徑OB上，頂點(diǎn)E在圓弧AB上，頂點(diǎn)F在半徑OA上，設(shè)；圖（Ⅱ）點(diǎn)M是圓弧的中點(diǎn)，矩形CDEF的頂點(diǎn)D、E在圓弧AB上，且關(guān)于直線OM對稱，頂點(diǎn)C、F分別在半徑OB、OA上，設(shè)；設(shè)圖（Ⅰ）下矩形CDEF面積的最大值為，圖（Ⅱ）下矩形CDEF面積的最大值為，求出與，并比較與的大小．【解析】圖（Ⅰ），在直角中，設(shè)，則，又由，所以．當(dāng)，即時，矩形CDEF的面積最大，最大值為，即．圖（Ⅱ），令ED與OM的交點(diǎn)為N，F(xiàn)C與OM的交點(diǎn)為P，設(shè)，，則，，又由，所以，當(dāng)時，即時，矩形CDEF的面積最大，最大值為，即．因?yàn)椋裕兪?4．（2022·江西·南昌縣蓮塘第一中學(xué)高一期中）某中學(xué)校園內(nèi)有塊扇形空地，經(jīng)測量其半徑為m，圓心角為.學(xué)校準(zhǔn)備在此扇形空地上修建一所矩形室內(nèi)籃球場ABCD，初步設(shè)計(jì)方案如圖1所示.(1)求出初步設(shè)計(jì)方案中矩形ABCD面積的最大值.(2)你有沒有更好的設(shè)計(jì)方案來獲得更大的籃球場面積？若有在圖2畫出來，并證明你的結(jié)論.【解析】（1）如圖所示，取弧的中點(diǎn)，連接OE，設(shè)交于，交于，顯然矩形關(guān)于對稱，而分別為，的中點(diǎn).設(shè)在中，，，所以，即，而，故矩形的面積因?yàn)?，所以，所?故當(dāng)，即時，取得最大值，此時，所以矩形面積的最大值為（2）如圖所示，在半徑上截取線段為矩形的一邊，作得矩形.設(shè)，可得，則所以，因?yàn)?，可得，所以?dāng)時，即時，有最大值為.即教室面積的最大值為.現(xiàn)將兩種方案的最大值進(jìn)行比較大?。阂?yàn)?，所以方?更合算變式15．（2022·安徽·高一期中）某房地產(chǎn)開發(fā)公司為吸引更多消費(fèi)者購房，決定在一塊閑置的扇形空地中修建一個花園，如圖所示．已知扇形的圓心角，半徑為200米．現(xiàn)需要修建的花園為平行四邊形，其中、分別在半徑、上，在上．(1)求扇形的弧長和面積；(2)設(shè)，平行四邊形的面積為S．求S關(guān)于角的函數(shù)解析式，并指出函數(shù)的定義域．【解析】(1)扇形的弧長為(米)．扇形的面積為(平方米)．(2)過作于，過作于．∵，∴，，∴．故=，即，定義域?yàn)椋兪?6．（2022·云南·昆明一中高一期末）如圖，已知直線，A是之間的一定點(diǎn)，并且點(diǎn)A到，的距離分別為和2.B，C分別是直線上的動點(diǎn)，且，設(shè)，.(1)寫出關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)求函數(shù)的最小值及相對應(yīng)的x的值.【解析】(1)依題意，，而，，，則，由知，點(diǎn)B，C在直線DE同側(cè)，均為銳角，則有，在中，，在中，，則，所以，.(2)由(1)得：因，即，當(dāng)，即時，取最大值1，所以.變式17．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）如圖，矩形的四個頂點(diǎn)分別在矩形的四條邊上，且矩形ABCD的周長為l．如果AB與的夾角為，那么當(dāng)為何值時，矩形的周長最大？【解析】依題意，在中，，而，在中，，，又，，則有，因此，，，于是得矩形的周長，因是AB與的夾角，則當(dāng)時，取得最大值1，，所以當(dāng)時，矩形的周長最大.【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·全國·高一課時練習(xí)）某種商品一年內(nèi)每件出廠價在7千元的基礎(chǔ)上，按月呈的模型波動（的單位：千元，，，，為月份，且）．已知3月出廠價最高，為9千元，7月出廠價最低，為5千元，則的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意得：，解得：，又最小正周期為，所以，所以，將代入，解得：，則，，因?yàn)?，所以?dāng)時，符合題意，綜上：.故選：D2．（2022·全國·高一課時練習(xí)）若電流ⅠA．隨著時間t（s）變化的函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】由題可知，，，，所以代入最值點(diǎn)坐標(biāo)，得，所以，得，因?yàn)樗裕蔬x：A．3．（2022·全國·高一單元測試）筒車是一種以水流作動力，取水灌田的工具，是中國古代人民偉大的發(fā)明之一.如圖，已知某個半徑為6m的筒車按逆時針方向每分鐘勻速旋轉(zhuǎn)2圈，筒車軸心O距水面3m，設(shè)筒車上某個盛水筒P，以P剛浮出水面時開始計(jì)算時間，則盛水筒P出水后第一次到達(dá)最高點(diǎn)的時間（單位：s）為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】過O做OQ垂直水面，為最高點(diǎn)，如圖所示由題意得，所以，則，所以，所以盛水筒P出水后第一次到達(dá)最高點(diǎn)要旋轉(zhuǎn)，即為個周期，又筒車每分鐘勻速旋轉(zhuǎn)2圈，可得周期為30秒，所以盛水筒P出水后第一次到達(dá)最高點(diǎn)用時秒，故選：D4．（2022·遼寧·大連八中高一階段練習(xí)）單擺從某點(diǎn)開始來回擺動，離開平衡位置O的距離S（厘米）和時間t（秒）的函數(shù)關(guān)系為，那么單擺來回擺動的振幅（厘米）和一次所需的時間（秒）為（

）A．3，4 B．，4 C．3，2 D．，2【答案】A【解析】因?yàn)榫嚯xS（厘米）和時間t（秒）的函數(shù)關(guān)系為，所以單擺來回擺動的振幅為3和一次所需的時間為，故選：A5．（2022·江西·上饒中學(xué)高一階段練習(xí)）鑄于明嘉靖十二年的泰山岱廟鐵塔，造型質(zhì)樸雄偉，原有十三級，抗日戰(zhàn)爭中被日軍飛機(jī)炸毀，現(xiàn)僅存三級，它的底座是近似圓形的，如圖1．我國古代工匠已經(jīng)知道，將長方體磚塊以某個固定的角度相接就可砌出近似圓形的建筑，現(xiàn)存鐵塔的底座是用10塊一樣的長方體磚塊砌成的近似圓形的墻面，每塊長方體磚塊底面較長的邊長為1個單位，如圖2，則此近似圓形墻面內(nèi)部所能容納最大圓的半徑是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，設(shè)為內(nèi)切圓的圓心，為內(nèi)切圓的半徑．正十邊形的每個外角為，內(nèi)角為，所以，所以，，，得，解得．故選：B．6．（2022·全國·高一課時練習(xí)）表中給出的是某港口在某季節(jié)每天幾個時刻的水深關(guān)系．時刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深（m）5.07.05.03.05.07.05.03.05.0若該港口的水深y(m)和時刻t（0≤t≤24）的關(guān)系可用函數(shù)來近似描述，則該港口在11：00的水深為（

）A．4m B．5m C．6m D．7m【答案】A【解析】由表格知函數(shù)的最大值是7，最小值是3，則滿足，得A＝2，h＝5，相鄰兩個最大值之間的距離T＝15－3＝12，即12，則ω，此時，當(dāng)t＝11時，.故選：A．7．（2022·北京·高一期末）石景山游樂園“夢想之星”摩天輪采用國內(nèi)首創(chuàng)的橫梁中軸結(jié)構(gòu)，風(fēng)格現(xiàn)代簡約.“夢想之星”摩天輪直徑米，總高約米，勻速旋轉(zhuǎn)一周時間為分鐘，配有個球形全透視度全景座艙.如果不考慮座艙高度等其它因素，該摩天輪的示意圖如圖所示，游客從離地面最近的位置進(jìn)入座艙，旋轉(zhuǎn)一周后出艙.甲乙兩名同學(xué)通過即時交流工具發(fā)現(xiàn)，他們兩人進(jìn)入各自座艙的時間相差分鐘.這兩名同學(xué)在摩天輪上游玩的過程中，他們所在的高度之和的最大值約為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【解析】因?yàn)榻撬俣葹?，所以游客從離地面最近的位置進(jìn)入座艙，游玩中到地面的距離為，由題意可得甲乙在摩天輪上游玩的過程中他們所在的高度之和，因?yàn)?，所以，所以，，所以，所以，即他們所在的高度之和的最大值約為，故選：C8．（2022·北京·高一期中）如圖，摩天輪的半徑為40米.摩天輪的中心O點(diǎn)距離地面的高度為45米，摩天輪勻速逆時針旋轉(zhuǎn).每30分鐘轉(zhuǎn)一圈.若摩天輪上點(diǎn)P的起始位置在最低點(diǎn)處.下面有關(guān)結(jié)論正確的是（

）A．經(jīng)過10分鐘，點(diǎn)P距離地面的高度為45米B．第25分鐘和第70分鐘點(diǎn)P距離地面的高度相同C．從第10分鐘至第20分鐘，點(diǎn)P距離地面的高度一直在上升D．摩天輪旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)P距離地面的高度不低于65米的時間為10分鐘【答案】D【解析】由題設(shè)，摩天輪每分鐘的角速度為，若轉(zhuǎn)動分鐘，P距離地面的高度為，則，所以，經(jīng)過10分鐘米，A錯誤；第25分鐘米；第70分鐘米，B錯誤；由，則，即P距離地面的高度先增大后減小，C錯誤；由題設(shè)，，即，在一周內(nèi)P距離地面的高度不低于65米有，可得，故時間長度為10分鐘，D正確.故選：D二、多選題9．（2022·廣東清遠(yuǎn)·高一期中）如圖為一半徑為3m的水輪，水輪圓心O距水面2m，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)5圈，水輪上的點(diǎn)P到水面距離y（m）與時間x（s）滿足關(guān)系式，則有（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】由題意可知，可得，該函數(shù)的周期為，∴.故選：BCD.10．（2022·全國·高一）如圖，一圓形摩天輪的直徑為100米，圓心O到水平地面的距離為60米，最上端的點(diǎn)記為Q，現(xiàn)在摩天輪開始逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，30分鐘轉(zhuǎn)一圈，以摩天輪的中心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)Q距離水平地面的高度與時間的函數(shù)為B．點(diǎn)Q距離水平地面的高度與時間的函數(shù)的對稱中心坐標(biāo)為C．經(jīng)過10分鐘點(diǎn)Q距離地面35米D．摩天輪從開始轉(zhuǎn)動一圈，點(diǎn)Q距離水平地面的高度不超過85米的時間為20分鐘【答案】CD【解析】由題意知，OQ在分鐘轉(zhuǎn)過的角為，所以以O(shè)Q為終邊的角為，所以點(diǎn)Q距離水平地面的高度與時間的關(guān)系為，故A錯誤；由，得，所以不是對稱中心，故B錯誤；經(jīng)過10分鐘，，故C正確；由，得，得，解得，共20分鐘，故D正確.故選：CD11．（2022·全國·高一單元測試）漢代數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖（又稱趙爽弦圖，它由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，如圖），證明了被稱為幾何學(xué)的基石——勾股定理的正確性，現(xiàn)將弦圖中的四條股延長相同的長度得到如圖所示的一個“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，現(xiàn)以弦圖的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，線段OA在如圖所示的x軸上（其中有兩“股”線延長交x，y軸分別為A，B），此“數(shù)學(xué)風(fēng)車”繞點(diǎn)O逆時針勻速旋轉(zhuǎn)一周的時間為2秒，，分別用，表示t秒后A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，那么以下選項(xiàng)正確的有（

）A．函數(shù)與的圖象經(jīng)過平移后可以重合B．函數(shù)的最