人教版高一數(shù)學(xué)新教材同步配套教學(xué)講義專題02恒成立、能成立問題(原卷版+解析)

專題02恒成立、能成立問題【方法技巧與總結(jié)】1、利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.2、不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，，，.（1）若，，有成立，則；（2）若，，有成立，則；（3）若，，有成立，則；（4）若，，有成立，則的值域是的值域的子集.【題型歸納目錄】題型一：分離參數(shù)題型二：判別式法題型三：數(shù)形結(jié)合題型四：多變量的恒成立問題題型五：主元法題型六：直接法【典型例題】題型一：分離參數(shù)例1．（2022·湖南·邵陽市第二中學(xué)高一期中）已知.(1)求函數(shù)f（x）的表達式；(2)判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；(3)若對恒成立，求k的取值范圍．例2．（2022·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高一期中）已知，函數(shù)定義域為.(1)求的值（用含a的式子表示）；(2)函數(shù)在單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(3)在（2）的條件下，若對內(nèi)的任意實數(shù)x，不等式恒成立，求a的取值范圍.例3．（2022·寧夏·隆德縣中學(xué)高三期中（文））已知函數(shù)，函數(shù).(1)若函數(shù)有唯一零點，求；(2)若，不等式在上恒成立，求的取值范圍；變式1．（2022·浙江·高一期中）已知函數(shù)，.(1)判斷并證明函數(shù)的奇偶性；(2)若關(guān)于x的不等式對于恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.題型二：判別式法例4．（2022·山東·濰坊一中高三期中）若關(guān)于的不等式的解集不為空集，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．例5．（2022·陜西·西安市西光中學(xué)高二階段練習(xí)）關(guān)于x的不等的解集為R，則a∈（

）A． B．(0，+∞) C．(0，1) D．例6．（2022·山東省實驗中學(xué)高一期中）已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)．(1)求a，b的值；(2)判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；(3)若對任意的，不等式恒成立，求k的取值范圍．變式2．（2022·江蘇常州·高一期中）記函數(shù)（）．(1)判斷并證明的奇偶性；(2)證明：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；(3)當(dāng)時，關(guān)于x的方程有解，求b的取值范圍．變式3．（2022·北京市第五十中學(xué)高一階段練習(xí)）對于任意實數(shù)，不等式恒成立，則的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或變式4．（2022·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知不等式對任意實數(shù)都成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．C．或 D．題型三：數(shù)形結(jié)合例7．已知定義在上的函數(shù)滿足，且在上是增函數(shù)，不等式對于，恒成立，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．例8．當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為A． B． C．， D．例9．當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為A．， B．， C．， D．，變式5．存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是．題型四：多變量的恒成立問題例10．（2022·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若不等式的解集為，求不等式的解集；(2)若對于任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)已知，當(dāng)時，若對任意，總存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍．例11．（2022·浙江·杭十四中高一期末）已知函數(shù)，，(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增與單調(diào)遞減區(qū)間（直接寫出結(jié)果）；(2)當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，試求實數(shù)的取值范圍；(3)若不等式對任意，（）恒成立，求實數(shù)的取值范圍.例12．（2022·遼寧·大連二十四中高三階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，且，．(1)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)，若對任意的，存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．變式6．（2022·湖北武漢·高一期中）已知函數(shù).(1)若存在實數(shù)，使得成立，試求的最小值；(2)若對任意的，都有恒成立，試求的取值范圍.變式7．（2022·湖南·株洲二中高一階段練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)滿足且，．(1)求的解析式；(2)若不等式恒成立，求實數(shù)a取值范圍；(3)設(shè)，若對任意的，存在，使得，求實數(shù)m取值范圍．變式8．（2022·山西·晉城市第一中學(xué)校高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并利用定義證明；(2)若對任意的時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.變式9．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高一階段練習(xí)）已知定義域為R的函數(shù)滿足.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若對任意的，都有恒成立，求實數(shù)x的取值范圍；(3)若使得，求實數(shù)a的取值范圍.變式10．（2022·江西·貴溪市實驗中學(xué)高三階段練習(xí)（文））設(shè)函數(shù)的定義域是，且對任意的正實數(shù)、都有恒成立，已知，且時.(1)求與的值；(2)求證：對任意的正數(shù)、，；(3)解不等式.題型五：主元法例13．（2022·廣東實驗中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)對任意實數(shù)恒有，當(dāng)時，，且(1)判斷的奇偶性；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(3)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.例14．（2022·廣東·深圳中學(xué)高三階段練習(xí)）已知當(dāng)時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．例15．（2022·黑龍江·雙鴨山一中高一階段練習(xí)）若命題“”為假命題，則實數(shù)x的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式11．（2022·江西·于都縣新長征中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，，不等式恒成立，則的取值范圍為A．，， B．，，C．，， D．變式12．（2022·浙江·平湖市當(dāng)湖高級中學(xué)高一階段練習(xí)）（1）關(guān)于的不等式的有解，求的取值范圍.（2）若不等式對滿足的所有都成立，求的范圍.題型六：直接法例16．（2022·河北·廊坊市第十五中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中實數(shù).(1)當(dāng)時，的最小值為2，求實數(shù)a的值.(2)記，設(shè)，若恒有解，求實數(shù)a的取值范圍.例17．（2022·江西省臨川第二中學(xué)高一期中）已知函數(shù)（為實常數(shù)）.（1）當(dāng)時，試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明；（2）設(shè)，若不等式在有解，求實數(shù)的取值范圍.【過關(guān)測試】一、單選題1．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式在區(qū)間(1，5)內(nèi)有解，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．(?，5) B．(5，+) C．(?4，+) D．(?，4)2．（2022·浙江·甌海中學(xué)高一階段練習(xí)）若不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高一專題練習(xí)）若正實數(shù)、滿足，且不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或4．（2022·全國·高一專題練習(xí)）當(dāng)時，若關(guān)于的不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是（

）．A． B． C． D．5．（2022·江蘇·南京市第十三中學(xué)高一階段練習(xí)）已知分別為定義域為R的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且（為自然對數(shù)的底數(shù)），若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．6．（2022·四川省射洪縣射洪中學(xué)外國語實驗學(xué)校高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，g（x）＝ax2＋2x＋a－1，若對任意的實數(shù)x1∈[0，＋∞)，總存在實數(shù)x2∈[0，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．7．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)滿足，若在區(qū)間上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題8．（2022·黑龍江·哈師大青岡實驗中學(xué)高一期中）若，不等式恒成立，則實數(shù)m可以取的值有（

）A．0 B． C．1 D．29．（2022·江蘇·海安高級中學(xué)高一期中）函數(shù)滿足對定義域內(nèi)任意兩個實數(shù)、，都有成立，則該函數(shù)稱為函數(shù)，下列函數(shù)為函數(shù)的是（

）A． B． C． D．10．（2022·江蘇·淮海中學(xué)高一期中）若，，則下列等式恒成立的有（

）A． B．C． D．三、填空題11．（2022·浙江·高一期中）設(shè)函數(shù)，，若對于，或成立，則實數(shù)m的取值范圍為___________.12．（2022·江蘇·常州田家炳高中高一期中）已知函數(shù)，對，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是__________.13．（2022·江蘇省新海高級中學(xué)高一期中）若不等式對于任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是____________14．（2022·浙江·杭州高級中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，若存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是________.四、解答題15．（2022·重慶市育才中學(xué)高一期中）已知定義域為，對任意，都有.當(dāng)時，，且.(1)求的值；(2)判斷函數(shù)單調(diào)性，并證明；(3)若，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.16．（2022·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高一期中）已知函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求實數(shù)k的值；(2)若對任意的x2∈，存在x1∈，使成立，求實數(shù)t的取值范圍．17．（2022·浙江·寧波中學(xué)高一期中）已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)的定義域；(2)若不等式在上恒成立，求實數(shù)m取值范圍．18．（2022·浙江·慈溪市滸山中學(xué)高一期中）已知函數(shù).若為奇函數(shù).(1)求實數(shù)m的值；(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并給予證明；(3)若成立，求實數(shù)t的取值范圍.19．（2022·江蘇省新海高級中學(xué)高一期中）已知函數(shù)為定義域上的奇函數(shù).(1)求實數(shù)a的值；(2)已知函數(shù)的定義域為，且滿足，利用定義證明函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增:(3)當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20．（2022·福建·三明一中高一期中）已知函數(shù)(1)求不等式的解集；(2)若對于任意恒成立，求的取值范圍.專題02恒成立、能成立問題【方法技巧與總結(jié)】1、利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.2、不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，，，.（1）若，，有成立，則；（2）若，，有成立，則；（3）若，，有成立，則；（4）若，，有成立，則的值域是的值域的子集.【題型歸納目錄】題型一：分離參數(shù)題型二：判別式法題型三：數(shù)形結(jié)合題型四：多變量的恒成立問題題型五：主元法題型六：直接法【典型例題】題型一：分離參數(shù)例1．（2022·湖南·邵陽市第二中學(xué)高一期中）已知.(1)求函數(shù)f（x）的表達式；(2)判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；(3)若對恒成立，求k的取值范圍．【解析】（1）設(shè)，，可得.，即（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，，∵，∴，，∴∴，∴為R上的增函數(shù)．（3）由對恒成立，即對恒成立，可得，則，，.設(shè)，，由（2）知，故原不等式可化為在恒成立，，當(dāng)時，，∴，∴的取值范圍是．例2．（2022·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高一期中）已知，函數(shù)定義域為.(1)求的值（用含a的式子表示）；(2)函數(shù)在單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(3)在（2）的條件下，若對內(nèi)的任意實數(shù)x，不等式恒成立，求a的取值范圍.【解析】（1）由函數(shù)可得：；（2）任取，則因為函數(shù)在單調(diào)遞增，所以.因為，所以，，所以，即在上恒成立.因為，所以，所以，所以.即實數(shù)a的取值范圍為.（3）由（1）可知，，所以不等式可化為：不等式.因為在單調(diào)遞增，所以恒成立，即在上恒成立.記.令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以.所以，即實數(shù)a的取值范圍為.例3．（2022·寧夏·隆德縣中學(xué)高三期中（文））已知函數(shù)，函數(shù).(1)若函數(shù)有唯一零點，求；(2)若，不等式在上恒成立，求的取值范圍；【解析】（1）當(dāng)時,，函數(shù)有唯一零點，當(dāng)時，由，解得，函數(shù)有唯一零點1，綜上：或2；（2）依題意得，即在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立．令，則問題可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，因為在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，所以，所以的取值范圍為.變式1．（2022·浙江·高一期中）已知函數(shù)，.(1)判斷并證明函數(shù)的奇偶性；(2)若關(guān)于x的不等式對于恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.【解析】（1）為奇函數(shù).證明如下：由，得，令，則的定義域為，故定義域關(guān)于原點對稱，，故為奇函數(shù)，即為奇函數(shù).（2）由得，，由于,所以，由于，所以，故，記，由于在上單調(diào)遞增，故，所以，故的最大值為，所以題型二：判別式法例4．（2022·山東·濰坊一中高三期中）若關(guān)于的不等式的解集不為空集，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，分兩種情況討論：①當(dāng)時，即，若時，原不等式為，解可得：，則不等式的解集為，不是空集；若時，原不等式為，無解，不符合題意；②當(dāng)時，即，若的解集是空集，則有，解得，則當(dāng)不等式的解集不為空集時，有或且，綜合可得：實數(shù)的取值范圍為；故選：C．例5．（2022·陜西·西安市西光中學(xué)高二階段練習(xí)）關(guān)于x的不等的解集為R，則a∈（

）A． B．(0，+∞) C．(0，1) D．【答案】D【解析】當(dāng)時，對恒成立，符合題意；當(dāng)時，構(gòu)造，要使對恒成立，由二次函數(shù)的圖像可知：且，解得：，綜上：．故選：D．例6．（2022·山東省實驗中學(xué)高一期中）已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)．(1)求a，b的值；(2)判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；(3)若對任意的，不等式恒成立，求k的取值范圍．【解析】（1）因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，，解得.故，.則，符合題意（2）由(1)中知，，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，在上單調(diào)遞減，證明：設(shè)，，，則，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，，即，故，即，所以在上單調(diào)遞減.（3）因為是上的奇函數(shù)，所以，因為在上單調(diào)遞減，所以，即，從而對任意的，恒成立，當(dāng)時，不等式恒成立，滿足題意；當(dāng)時，欲使對任意的，恒成立，只需，解得.綜上所述，k的取值范圍為.變式2．（2022·江蘇常州·高一期中）記函數(shù)（）．(1)判斷并證明的奇偶性；(2)證明：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；(3)當(dāng)時，關(guān)于x的方程有解，求b的取值范圍．【解析】（1）為奇函數(shù)，證明如下：的定義域為，且對，都有，故為奇函數(shù)；（2）證明：任取且，則，由知：，，，即有，即，故在上單調(diào)遞增；（3）當(dāng)時，由得：，即，令（），則關(guān)于t的方程（）有解，則，解得或.變式3．（2022·北京市第五十中學(xué)高一階段練習(xí)）對于任意實數(shù)，不等式恒成立，則的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【解析】當(dāng)，即時，恒成立，滿足題意.當(dāng)時，則有，解得：綜上，實數(shù)的取值范圍是故選：B變式4．（2022·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知不等式對任意實數(shù)都成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．C．或 D．【答案】D【解析】當(dāng)時，不等式為，即，不符合題意；當(dāng)時，不等式對任意實數(shù)都成立，由一元二次函數(shù)性質(zhì)可知，且判別式，解得．故選:D．題型三：數(shù)形結(jié)合例7．已知定義在上的函數(shù)滿足，且在上是增函數(shù)，不等式對于，恒成立，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．【解析】解：由題可知，的圖象關(guān)于軸對稱，且函數(shù)在上遞減，由函數(shù)的圖象特征可得在，上恒成立，得在，上恒成立，所以．故選：．例8．當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為A． B． C．， D．【解析】解：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，若不等式恒成立，則且即，，故選：．例9．當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為A．， B．， C．， D．，【解析】解：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，若不等式恒成立，則且即，，故選：．變式5．存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是．【解析】解：由題意，存在，使得，設(shè)，且，，如圖①，當(dāng)時，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，此時只需，解得，故；如圖②，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為（a），顯然恒成立，如圖③，當(dāng)時，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，此時，解得，故；綜上，實數(shù)的取值范圍是．故答案為：．題型四：多變量的恒成立問題例10．（2022·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若不等式的解集為，求不等式的解集；(2)若對于任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)已知，當(dāng)時，若對任意，總存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由題意，為方程的兩個不等實數(shù)根，，所以不等式為，解得或，所以不等式解集為.（2）對恒成立，令，即對恒成立，因為函數(shù)開口向上，故只需滿足，解得，所以的取值范圍為（3）當(dāng)時，，開口向上，對稱軸為當(dāng)時，，，，時，，由題意，對任意，總存在，使成立，即函數(shù)的值域是函數(shù)的值域的子集，即，，解得，所以的取值范圍為.例11．（2022·浙江·杭十四中高一期末）已知函數(shù)，，(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增與單調(diào)遞減區(qū)間（直接寫出結(jié)果）；(2)當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，試求實數(shù)的取值范圍；(3)若不等式對任意，（）恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，；（2）因為，，且函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，又因為在，上的最大值為，所以，即，整理可得，所以，所以，即；（3）由不等式對任意，，恒成立，即，可令，等價為在，上單調(diào)遞增，而，分以下三種情況討論：①當(dāng)即時，可得，解得，矛盾，無解；②，即時，函數(shù)的圖象的走向為減、增、減、增，但是中間增區(qū)間的長度不足1，要想在，遞增，只能，即，矛盾，無解；③即時，此時在，上單調(diào)遞增，要想在，遞增，只能，即，所以．綜上可得滿足條件的的取值范圍是．例12．（2022·遼寧·大連二十四中高三階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，且，．(1)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)，若對任意的，存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由題意知，，即，所以，故，∴，因為函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞增，又為增函數(shù)，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以不等式恒成立等價于，即恒成立，設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，故實數(shù)a的取值范圍是；（2）因為對任意的，存在，使得，所以在上的最小值不小于在上的最小值，因為在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，∴，即存在，使成立，令，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴，所以實數(shù)m的取值范圍是.變式6．（2022·湖北武漢·高一期中）已知函數(shù).(1)若存在實數(shù)，使得成立，試求的最小值；(2)若對任意的，都有恒成立，試求的取值范圍.【解析】（1）由題意，由得，，即，，令，則，由于函數(shù)在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，，即的最小值為1.（2）二次函數(shù)的開口向上，對稱軸為，若對任意的，都有恒成立，則當(dāng)時，，①當(dāng)，即時，，故，解得，又，故無解；②當(dāng)，即時，，，要使得，只需且，故，，故；③當(dāng)，即時，，則，即，解得，與矛盾，無解.綜上，實數(shù)的取值范圍是.變式7．（2022·湖南·株洲二中高一階段練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)滿足且，．(1)求的解析式；(2)若不等式恒成立，求實數(shù)a取值范圍；(3)設(shè)，若對任意的，存在，使得，求實數(shù)m取值范圍．【解析】（1）由題意知，，即，所以，故.（2）由（1）知，，所以在R上單調(diào)遞增，所以不等式恒成立等價于，即恒成立.設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，故實數(shù)a的取值范圍是.（3）因為對任意的，存在，使得，所以在上的最小值不小于在上的最小值，因為在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，又的對稱軸為，，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，，解得，所以；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，解得，所以；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，，解得，所以，綜上可知，實數(shù)m的取值范圍是.變式8．（2022·山西·晉城市第一中學(xué)校高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并利用定義證明；(2)若對任意的時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，理由如下：取，且，，因為，，故，，，所以，所以在上單調(diào)遞減；取，且，，因為，，故，，，所以，所以在上單調(diào)遞增；（2）若對任意的時，恒成立，時，無意義，舍去，當(dāng)時，，此時無解，舍去，所以，只需求出的最大值，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，故，又因為，，故，故，所以，因為，故解得：或?qū)崝?shù)的取值范圍是.變式9．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高一階段練習(xí)）已知定義域為R的函數(shù)滿足.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若對任意的，都有恒成立，求實數(shù)x的取值范圍；(3)若使得，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】（1），令，則，故，所以；（2）可看作關(guān)于的一次函數(shù)，要想對任意的，都有恒成立，只需要，解①得：，解②得：，則與求交集得，實數(shù)x的取值范圍是；（3）若使得，只需在上成立，的對稱軸為，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以，，由，解得：，與取交集得：；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以，，由，解得：，與取交集得：；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，，由，解得：或，或與取交集得：，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，，，解得：或，或與取交集得：，綜上：或?qū)崝?shù)a的取值范圍是變式10．（2022·江西·貴溪市實驗中學(xué)高三階段練習(xí)（文））設(shè)函數(shù)的定義域是，且對任意的正實數(shù)、都有恒成立，已知，且時.(1)求與的值；(2)求證：對任意的正數(shù)、，；(3)解不等式.【解析】（1）對任意的正實數(shù)、都有恒成立，所以，，則，，可得，，可得.（2）證明：對任意的正實數(shù)、都有恒成立，令，則，可得，對任意的正數(shù)、，則，所以，，故.（3）由，可得，由（2）可知，函數(shù)在上為增函數(shù).所以，，解得或.故原不等式的解集為.題型五：主元法例13．（2022·廣東實驗中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)對任意實數(shù)恒有，當(dāng)時，，且(1)判斷的奇偶性；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(3)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）令，則，可得，令，則，可得，又定義域為R，故為奇函數(shù).（2）令，則，且，因為時，，所以，故，即在定義域上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上的最大值為.（3）由（2），在上，恒成立，即恒成立，所以恒成立，顯然時不成立，則，可得；，可得；綜上，或.例14．（2022·廣東·深圳中學(xué)高三階段練習(xí)）已知當(dāng)時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】恒成立，即，對任意得恒成立，令，，當(dāng)時，，不符題意，故，當(dāng)時，函數(shù)在上遞增，則，解得或（舍去），當(dāng)時，函數(shù)在上遞減，則，解得或（舍去），綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：D.例15．（2022·黑龍江·雙鴨山一中高一階段練習(xí)）若命題“”為假命題，則實數(shù)x的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】命題“”為假命題，其否定為真命題，即“”為真命題．令，則，即，解得，所以實數(shù)x的取值范圍為.故選：C變式11．（2022·江西·于都縣新長征中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，，不等式恒成立，則的取值范圍為A．，， B．，，C．，， D．【答案】C【解析】令，則不等式恒成立轉(zhuǎn)化為在上恒成立．有，即，整理得：，解得：或．的取值范圍為．故選：C．變式12．（2022·浙江·平湖市當(dāng)湖高級中學(xué)高一階段練習(xí)）（1）關(guān)于的不等式的有解，求的取值范圍.（2）若不等式對滿足的所有都成立，求的范圍.【解析】(1)不等式的化為：，而，于是得，即時，取最大值2，關(guān)于的不等式的有解，即存在實數(shù)x使不等式成立，則，所以的取值范圍是；(2)不等式等價于，令，于是有恒成立，而是一次型函數(shù)，因此得：，即有，解得或，解得，綜合得，所以的范圍是.題型六：直接法例16．（2022·河北·廊坊市第十五中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中實數(shù).(1)當(dāng)時，的最小值為2，求實數(shù)a的值.(2)記，設(shè)，若恒有解，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）由題意得：，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當(dāng)時，的最小值為2，∴當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，此時無解，綜上；（2）在上恒有解，只需要；當(dāng)，即時，不成立，當(dāng)，即時，，①當(dāng)，即，，解得，因此；②當(dāng)，，，解得，因此，綜上.例17．（2022·江西省臨川第二中學(xué)高一期中）已知函數(shù)（為實常數(shù)）.（1）當(dāng)時，試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明；（2）設(shè)，若不等式在有解，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）為上的增函數(shù)證明如下：任取，且則所以；所以為上的增函數(shù)（2）由，得令，則有解，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)即時，當(dāng)即時，綜上，當(dāng)時，.當(dāng)時，【過關(guān)測試】一、單選題1．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式在區(qū)間(1，5)內(nèi)有解，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．(?，5) B．(5，+) C．(?4，+) D．(?，4)【答案】A【解析】設(shè)，開口向上，對稱軸為直線，所以要使不等式在區(qū)間(1，5)內(nèi)有解，只要即可，即，得，所以實數(shù)a的取值范圍為，故選：A2．（2022·浙江·甌海中學(xué)高一階段練習(xí)）若不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，所以，設(shè)，，函數(shù)在時，函數(shù)單調(diào)遞減，在時，函數(shù)單調(diào)遞增，因為，，所以函數(shù)在時，最大值為，要想不等式在區(qū)間上有解，只需，故選：C3．（2022·全國·高一專題練習(xí)）若正實數(shù)、滿足，且不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或【答案】B【解析】因正實數(shù)、滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，又因不等式有解，于是得，即，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是或.故選：B4．（2022·全國·高一專題練習(xí)）當(dāng)時，若關(guān)于的不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】不等式有解即不等式有解，令，當(dāng)時，，因為當(dāng)時不等式有解，所以，實數(shù)的取值范圍是，故選：A.5．（2022·江蘇·南京市第十三中學(xué)高一階段練習(xí)）已知分別為定義域為R的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且（為自然對數(shù)的底數(shù)），若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意，，又分別為定義域為R的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則，由解得，，，關(guān)于的不等式在上恒成立，等價于，令，，令，令，，所以，則，則.故實數(shù)的取值范圍是.故選：C6．（2022·四川省射洪縣射洪中學(xué)外國語實驗學(xué)校高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，g（x）＝ax2＋2x＋a－1，若對任意的實數(shù)x1∈[0，＋∞)，總存在實數(shù)x2∈[0，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為對任意的實數(shù)x1∈[0，＋∞)，總存在實數(shù)x2∈[0，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以函數(shù)f（x）的值域是函數(shù)g（x）的值域的子集．當(dāng)0≤x<1時，f（x）＝x2－x＋1，此時f（x）∈；當(dāng)x≥1時，f（x）＝log2(x＋1)單調(diào)遞增，f（x）∈[1，＋∞)，所以函數(shù)f（x）的值域為．對于函數(shù)g（x）＝ax2＋2x＋a－1，當(dāng)a＝0時，函數(shù)g（x）＝2x－1在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，此時g（x）的值域為[－1，＋∞)，滿足?[－1，＋∞)；當(dāng)a≠0時，要使函數(shù)f（x）的值域是函數(shù)g（x）的值域的子集，則二次函數(shù)的圖像開口必須向上，即a>0，此時函數(shù)g（x）的對稱軸為，故函數(shù)g（x）在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，此時g（x）的值域為[a－1，＋∞)，由得，，即．綜上可得：實數(shù)a的取值范圍為．故選：D．7．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)滿足，若在區(qū)間上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為且，又單調(diào)遞減，在定義域上單調(diào)遞增，所以在定義域上單調(diào)遞減，因為在區(qū)間上恒成立，所以恒成立，所以，解得，即；故選：C二、多選題8．（2022·黑龍江·哈師大青岡實驗中學(xué)高一期中）若，不等式恒成立，則實數(shù)m可以取的值有（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】ABC【解析】當(dāng)時，，成立；當(dāng)時，，解得，綜上所述，.故選：ABC.9．（2022·江蘇·海安高級中學(xué)高一期中）函數(shù)滿足對定義域內(nèi)任意兩個實數(shù)、，都有成立，則該函數(shù)稱為函數(shù)，下列函數(shù)為函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】對于A選項，函數(shù)的定義域為，對任意的、，，函數(shù)為函數(shù)，A滿足條件；對于B選項，函數(shù)的定義域為，任取、，，函數(shù)為函數(shù)，B滿足條件；對于C選項，函數(shù)的定義域為，對任意的、，，所以，，則函數(shù)為函數(shù)，C滿足條件；對于D選項，取，，則，，此時，故函數(shù)不是函數(shù)，D不滿足條件.故選：ABC.10．（2022·江蘇·淮海中學(xué)高一期中）若，，則下列等式恒成立的有（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】令，則，故A錯誤；因為，故B正確；令，則，故C錯誤；因為，故D正確.故選：BD.三、填空題11．（2022·浙江·高一期中）設(shè)函數(shù)，，若對于，或成立，則實數(shù)m的取值范圍為___________.【答案】【解析】當(dāng)m=0時，，，所以對，或不恒成立，當(dāng)時，對，，則，要使對，或成立，則對恒成立，因為的對稱軸，所以，解得，此時，當(dāng)時，對，，則，要使對，或成立，則，對恒成立，因為的圖象此時開口向下，，對不恒成立，所以實數(shù)m的取值范圍為，故答案為：12．（2022·江蘇·常州田家炳高中高一期中）已知函數(shù)，對，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，因為對，使得成立，所以，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.13．（2022·江蘇省新海高級中學(xué)高一期中）若不等式對于任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是____________【答案】【解析】因為不等式對于任意恒成立，即不等式對于任意恒成立，因為，所以，所以不等式對于任意恒成立，令，，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以或，解得或，即；故答案為：14．（2022·浙江·杭州高級中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，若存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】因為，作出函數(shù)的圖象如下所示：直線過定點．當(dāng)時，顯然滿足題意；當(dāng)時，不符合；當(dāng)時，聯(lián)立，得，則且，解得．綜上可得，實數(shù)的取值范圍是，故答案為：四、解答題15．（2022·重慶市育才中學(xué)高一期中）已知定