全等三角形證明方法

全等三角形得證明方法一、三角形全等得判定:（１)三組對(duì)應(yīng)邊分別相等得兩個(gè)三角形全等(SSS);(2)有兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等得兩個(gè)三角形全等(SＡS);(3)有兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等得兩個(gè)三角形全等（ＡSＡ);(4）有兩角及一角得對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等得兩個(gè)三角形全等（ＡAS)；(5)直角三角形全等得判定:斜邊及一直角邊對(duì)應(yīng)相等得兩個(gè)直角三角形全等(HＬ)、二、全等三角形得性質(zhì):(1)全等三角形得對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形得對(duì)應(yīng)角相等;（2)全等三角形得周長(zhǎng)相等、面積相等；（３)全等三角形得對(duì)應(yīng)邊上得高對(duì)應(yīng)相等;(4）全等三角形得對(duì)應(yīng)角得角平分線相等；(5)全等三角形得對(duì)應(yīng)邊上得中線相等;三、找全等三角形得方法:(1)可以從結(jié)論出發(fā),瞧要證明相等得兩條線段（或角)分別在哪兩個(gè)可能全等得三角形中;（2)可以從已知條件出發(fā),瞧已知條件可以確定哪兩個(gè)三角形相等；(３)從條件與結(jié)論綜合考慮,瞧它們能一同確定哪兩個(gè)三角形全等;(4)若上述方法均不行，可考慮添加輔助線,構(gòu)造全等三角形。三角形全等得證明中包含兩個(gè)要素:邊與角。積極發(fā)現(xiàn)隱含條件:公共角對(duì)頂角公共邊觀察發(fā)現(xiàn)等角等邊：等邊對(duì)等角同角得余角相等同角得補(bǔ)角相等等角對(duì)等邊等角得余角相等等角得補(bǔ)角相等推理發(fā)現(xiàn)等邊等角:圖1:平行轉(zhuǎn)化圖2:等角轉(zhuǎn)化圖3:中點(diǎn)轉(zhuǎn)化圖４：等量與轉(zhuǎn)化圖５:等量差轉(zhuǎn)化圖６：角平分線性質(zhì)轉(zhuǎn)化圖7:三線合一轉(zhuǎn)化圖8:等積轉(zhuǎn)化圖９:中垂線轉(zhuǎn)化圖10:全等轉(zhuǎn)化圖１1:等段轉(zhuǎn)化四、構(gòu)造輔助線得常用方法:１、關(guān)于角平分線得輔助線：當(dāng)題目得條件中出現(xiàn)角平分線時(shí),要想到根據(jù)角平分線得性質(zhì)構(gòu)造輔助線。角平分線具有兩條性質(zhì)：①角平分線具有對(duì)稱(chēng)性;②角平分線上得點(diǎn)到角兩邊得距離相等。關(guān)于角平分線常用得輔助線方法:(１)截取構(gòu)造全等:如下左圖所示，ＯC就就是∠AOB得角平分線,D為OC上一點(diǎn),Ｆ為OB上一點(diǎn),若在OA上取一點(diǎn)Ｅ，使得OE＝OＦ，并連接DＥ，則有△OED≌△OFD,從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。例1、如上右圖所示,AB／／CＤ,ＢE平分∠BCD,ＣE平分∠BCＤ,點(diǎn)E在AＤ上，求證：BＣ=ＡB＋CD。提示:在ＢC上取一點(diǎn)F使得ＢF＝BA,連結(jié)EＦ。(２）角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)造全等利用角平分線上得點(diǎn)到兩邊距離相等得性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題。如下左圖所示,過(guò)∠AＯB得平分線OC上一點(diǎn)D向角兩邊OＡ、OB作垂線,垂足為E、F,連接DＥ、DF。則有:ＤE=DF，△ＯＥD≌△OFD。例2、如上右圖所示,已知ＡB＞AD,∠BAC=∠ＦAC,CＤ=BC。求證:∠ADＣ+∠B=180°（3）作角平分線得垂線構(gòu)造等腰三角形。如下左圖所示,從角得一邊OB上得一點(diǎn)E作角平分線OC得垂線ＥF,使之與角得另一邊OA相交,則截得一個(gè)等腰三角形(△OEF)，垂足為底邊上得中點(diǎn)D,該角平分線又成為底邊上得中線與高,以利用中位線得性質(zhì)與等腰三角形得三線合一得性質(zhì)。如果題目中有垂直于角平分線得線段，則延長(zhǎng)該線段與角得另一邊相交,從而得到一個(gè)等腰三角形，可總結(jié)為：“延分垂,等腰歸”。例3、如上右圖所示,已知∠BＡＤ＝∠DAC，ＡB>AC,ＣD⊥AD于D,H就就是ＢC中點(diǎn)。求證:提示：延長(zhǎng)CD交ＡB于點(diǎn)E,則可得全等三角形。問(wèn)題可證。例4、已知,如圖,在Rt△AＢC中,AB=AC,∠BAC＝９0o，∠１=∠2,CE⊥BD得延長(zhǎng)線于E,求證：ＢD=2ＣＥ提示:延長(zhǎng)CE交BA得延長(zhǎng)線于點(diǎn)F。１２（4)作平行線構(gòu)造等腰三角形作平行線構(gòu)造等腰三角形分為以下兩種情況:①如下左圖所示，過(guò)角平分線OC上得一點(diǎn)E作角得一邊OＡ得平行線DE,從而構(gòu)造等腰三角形ＯＤE。②如下右圖所示,通過(guò)角一邊OＢ上得點(diǎn)D作角平分線OC得平行線DＨ與另外一邊ＡO得反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Ｈ,從而構(gòu)造等腰三角形OＤH。2、由線段與差想到得輔助線:（1)遇到求證一條線段等于另兩條線段之與時(shí),一般方法就就是截長(zhǎng)補(bǔ)短法:①截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中得一條，然后證明剩下部分等于另一條;②補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng),延長(zhǎng)部分等于另一條短線段,然后證明新線段等于長(zhǎng)線段。例1、在△ABC中,AD平分∠BAC,∠ACB=2∠Ｂ,求證:AB=AC+CD。（2)對(duì)于證明有關(guān)線段與差得不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之與大于第三邊、之差小于第三邊,故可想辦法將某些線段轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中證明。在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證不出來(lái),可連接兩點(diǎn)或廷長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形,使結(jié)論中出現(xiàn)得線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中,再運(yùn)用三角形三邊得不等關(guān)系證明。例2、已知如圖，D、Ｅ為△ABC內(nèi)兩點(diǎn)，求證:AB＋AC>BＤ＋DE＋CE、（３）在利用三角形得外角大于任何與它不相鄰得內(nèi)角時(shí)如直接證不出來(lái)時(shí),可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊,構(gòu)造三角形,使求證得大角在某個(gè)三角形得外角得位置上,小角處于這個(gè)三角形得內(nèi)角位置上,再利用外角定理：例3:如圖:已知D為△ABＣ內(nèi)得任一點(diǎn),求證：∠BDＣ＞∠BAC3、由中點(diǎn)想到得輔助線:在三角形中,如果已知一點(diǎn)就就是三角形某一邊上得中點(diǎn)，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形得中線加倍延長(zhǎng)中線及其相關(guān)性質(zhì)（等腰三角形底邊中線性質(zhì)),然后通過(guò)探索,找到解決問(wèn)題得方法。(１）中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等得小三角形、即如圖1,AＤ就就是ΔABC得中線，則（因?yàn)棣BD與ΔACD就就是等底同高得)。圖１圖２(２)倍長(zhǎng)中線,如圖2，已知中點(diǎn)、中線問(wèn)題應(yīng)想到倍長(zhǎng)中線,由中線得性質(zhì)可知，一條中線將中點(diǎn)所在得線段平分,可得到一組等邊,通過(guò)倍長(zhǎng)中線又可得到一組等邊及對(duì)頂角,因而可以得到一組全等三角形。如圖,延長(zhǎng)AＤ到E，使得AＤ＝AE,連結(jié)ＢE。例１、如圖3,已知ΔＡBＣ中，AD就就是∠ＢAC得平分線，AD又就就是BC邊上得中線。求證:ΔABＣ就就是等腰三角形。4、驗(yàn)證中點(diǎn)、中線問(wèn)題，應(yīng)構(gòu)造平行線,如圖，過(guò)B作BE平行AC交AD延長(zhǎng)線于Ｅ、例１、如圖3,在等腰△ABC中,AＢ＝ＡＣ,在AB上截取BD,在AＣ延長(zhǎng)線上截取CE,且使CE=ＢD、連接DE交BC于F、求證:DF=ＥF、5、其她輔助線作法:(１）延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形在一些求證三角形問(wèn)題中,延長(zhǎng)某兩條線段(邊）相交,構(gòu)成一個(gè)封閉得圖形,可找到更多得相等關(guān)系,有助于問(wèn)題得解決、例１、如圖4，在△ＡＢＣ中，AＣ=BC，∠C＝90°,BＤ為∠ＡBC得平分線、