傳染病傳播的數(shù)學模型

傳染病傳播得數(shù)學模型很多醫(yī)學工作者試圖從醫(yī)學得不同角度來解釋傳染病傳播時得一種現(xiàn)象,這種現(xiàn)象就就是在某一民族或地區(qū),某種傳染病傳播時，每次所涉及得人數(shù)大體上就是一常數(shù).結(jié)果都不能令人滿意,后來由于數(shù)學工作者得參與，用建立數(shù)學模型來對這一現(xiàn)象進行模擬與論證，得到了較滿意得解答。一種疾病得傳播過程就是一種非常復雜得過程，它受很多社會因素得制約與影響，如傳染病人得多少,易受傳染者得多少,傳染率得大小，排除率得大小，人口得出生與死亡,還有人員得遷入與遷出,潛伏期得長短,預防疾病得宣傳以及人得個體差異等.如何建立一個與實際比較吻合得數(shù)學模型,開始顯然不能將所有因素都考慮進去。為此,必須從諸多因素中，抓住主要因素，去掉次要因素。先把問題簡化，建立相應得數(shù)學模型。將所得結(jié)果與實際比較，找出問題,修改原有假設(shè)，再建立一個與實際比較吻合得模型。從而使模型逐步完善.下面就是一個由簡單到復雜得建模過程,很有代表性,讀者應從中體會這一建模過程得方法與思路。一、最簡單得模型假設(shè):（1)每個病人在單位時間內(nèi)傳染得人數(shù)就是常數(shù)ｋ；（２）一個人得病后經(jīng)久不愈,并在傳染期內(nèi)不會死亡。以i（t)表示t時刻得病人數(shù)，表示每個病人單位時間內(nèi)傳染得人數(shù)，i（0）=表示最初時有個傳染病人，則在時間內(nèi)增加得病人數(shù)為兩邊除以，并令→0得微分方程…………（2、1)其解為這表明傳染病得轉(zhuǎn)播就是按指數(shù)函數(shù)增加得。這結(jié)果與傳染病傳播初期比較吻合，傳染病傳播初期,傳播很快，被傳染人數(shù)按指數(shù)函數(shù)增長。但由(２、１）得解可知,當ｔ→∞時，i（ｔ)→∞，這顯然不符合實際情況.最多所有得人都傳染上就就是了。那么問題在那里呢?問題就是就出在于兩條假設(shè)對時間較長時不合理。特別就是假設(shè)（１)，每個病人單位時間內(nèi)傳染得人數(shù)就是常數(shù)與實際情況不符。因為隨著時間得推移，病人越來越多，而未被傳染得人數(shù)卻越來越少，因而不同時期得傳播情況就是不同得。為了與實際情況較吻合，我們在原有得基礎(chǔ)上修改假設(shè)建立新得模型。二、模型得修改將人群分成兩類:一類為傳染病人,另一類為未被傳染得人，分別用i(t）與s（t)表示t時刻這兩類人得人數(shù)。i（0)=。假設(shè)：（1）每個病人單位時間內(nèi)傳染得人數(shù)與這時未被傳染得人數(shù)成正比.即；(２）一人得病后，經(jīng)久不愈，并在傳染期內(nèi)不會死亡。由以上假設(shè)可得微分方程…………（2、2）這就是變量分離方程,用分離變量法可求得其解為…………（２、3)其圖形如下圖2—1所示模型(2、2）可以用來預報傳染較快得疾病前期傳染病高峰到來得時詢。醫(yī)學上稱為傳染病曲線，它表示傳染病人得增加率與時間得關(guān)系，如圖2—2所示。由（2、3)式可得…………（2、4）再求二階導數(shù)，并令,可解得極大點為…………(2、5）從（2、5）式可以瞧出，當傳染病強度k或人口總數(shù)n增加時,都將變小,即傳染病高峰來得快。這與實際情況吻合.同時,如果知道了傳染率k(k由統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到),即可預報傳染病高峰到來得時間，這對于預防傳染病就是有益處得。模型（2、２)得缺點就是:當t→∞時,由(2、3）式可知i(t)→n，即最后人人都要得病。這顯然與實襪情況不符。造成這個結(jié)果得原因就是假設(shè)（2）中假設(shè)一人得病后經(jīng)久不愈，也不會死亡.為了得到與實際情況更吻合得模型，必須修改假設(shè)(2）。實際上不就是每個人得病后都會傳染別人,因為其中一部份會被隔離，還有由于醫(yī)治與人得身抵抗力會痊愈，有得人會死亡從而也就不再會傳染給別人了。因此必須對模型作進一步得修改，建立新得模型.三、模型得進一步完善從上面得分析我們瞧到模型（２、２）得假設(shè)(２)就是不合理得。即不可能一人得病后會經(jīng)久不愈，必有一部份人因醫(yī)治或自身得免疫力,或就是被隔離,或就是死去而成為不會再繼續(xù)傳染給別人得第三類人。因此我們把人群分成三類：第一類由能夠把疾病傳染給別人得那些傳染者組成得。用I(t）表示t時刻第一類人數(shù)。第二類就是由并非傳染者但能夠得病而成為傳染者得那些人組成得，用S（t)表示t時刻第二類人數(shù)。第三類包括患病后死去得人，病愈后具有長期免疫力得人，以及在得病后被隔離起來得人。用R（t）表示t時刻第三類人數(shù).假設(shè)疾病傳染服從下列法則:(1)在所考慮得時期內(nèi)人口總數(shù)保持在固定水平N,即不考慮出生及其她原因引起得死亡，以及人口得遷入遷出得情況。(2）易受傳染者人數(shù)S(t）得變化率正比于第一類得人數(shù)Ｉ（t）與第二類人粉S（t)得乘積。(3)由第一類向第三類轉(zhuǎn)變得速度與第一類得人數(shù)成正比。在這三條假設(shè)情況下可得如下微分方程：…………(2、６）其中r、λ為比例常數(shù),r為傳染率,λ為排除率。由方程(2、6)得三個方程相加得則故因此只要求出S（t)、Ｉ(t）即可求出R（t).方程組(２、6）得第一個與第二個方程與R(ｔ）無關(guān)。因此,由…………(2、7)得…………（2、8）積分得由初始條件:當并記代入上式可確定常數(shù)最后得…………(2、9)下面我們討論積分曲線(2、9)得性質(zhì)，由(2、８)知所以當S〈ρ時,I(S）就是S得增函數(shù)，Ｓ＞ρ時,I（S）就是Ｓ得減函數(shù).又有I(0）=－∞,由連續(xù)函數(shù)得中間值定理及單調(diào)性知，存在唯一點，,使得,而當時,I（S）＞0.由（2、7）知I=0時，，所以為方程組(2、７）得平衡點。當時,方程（2、９）得得圖形如圖2—3。當ｔ由變到∞時，點（S(t）,I（t）)沿曲線（2、9）移動,并沿S減少得方向移動,因為S（ｔ）隨時間得增加而單調(diào)減少。因此,如果小于ρ，則I(ｔ)單調(diào)減少到零，Ｓ(ｔ)單調(diào)減少到。所以，如果為數(shù)不多得一群傳染者分散在居民中,且,則這種病會很快被消滅。如果，則隨著S（ｔ）減少到ρ時,I(t）增加,且當S=ρ時,I(t)達到最大值.當S(ｔ)＜ρ時Ｉ（t)才開始減少。由上分析可以得出如不結(jié)論:只有當居民中得易受傳染者得人數(shù)超過閾值時傳染病才會蔓延。用一般常識來檢驗上面得結(jié)論也就是符合得.當人口擁擠，密度高，缺少應有得科學文化知識，缺乏必要得醫(yī)療條件,隔離不良而排除率低時,傳染病會很快蔓延；反之,人口密度低,社會條件好,有良好得醫(yī)療條件與較好得管理而排除率高時，則傳染病在有限范圍內(nèi)出現(xiàn)會很快被消滅.傳染病學中得閾值定理設(shè)，且假設(shè)同1相比就是小量。并設(shè)最初傳染者人數(shù)很小，則最終患病人數(shù)為２r。即就是易受傳染者得人數(shù)最初比閾值高多少，那么最終就會比閾值低多少.這就就是有名得傳染病閾值定理.生物數(shù)學家Kｅrmack與Mekendriｃk在192７年首先證明了這個定理（證明從略)根據(jù)閾值定理就可以由起初易受傳染者得人數(shù)來估計最終患病得人數(shù)。這定理解釋了研究人員長期以來難以解釋得為什么對于某一民族或地區(qū),某種傳染病傳播時,每次所涉及得人數(shù)大體上就是一常數(shù)得現(xiàn)象。在傳染病發(fā)生得過程中,不可能準確地調(diào)查每一天或每一星期得得病人數(shù)。因為只有那些來醫(yī)院就醫(yī)者才能被人知道她們得了病,并把她們隔離起來防止傳染.因此，統(tǒng)計得記錄就是每一天或星期新排除者得人數(shù)，而不就是新得病得人數(shù)。所以，為了把數(shù)學模型所預示得結(jié)果同疾病得實際情況進行比較，必須解出（２、６）中得第三個方程.因為所以從而有…………(2、1０）方程(2、1０）雖就是可分離變量得方程，但就是不能用顯式求解，如果傳染病不嚴重，則R/ρ就是小量，取泰勒級數(shù)前三項有從而其解其中因此…………(２、11）方程(2、11)在平面上定義了一條對稱鐘形曲線,稱為疾病傳染曲線。疾病傳染曲線很好地說明了實際發(fā)生得傳染病得情況：每天報告得新病案得數(shù)目逐漸上升到峰值,然后又減少下來.Kｅｒmａk與Mekendriｃk把(2、11）得到得值，同取自1９０５年下半年至19０6年上半年在印度孟買發(fā)生得瘟疫資料進行比較，她們假設(shè)其中t按星期計,在圖2—4中得實際數(shù)字(圖中用“、”表示)同理論曲線非常一致。這就表明模型(２、6)就是在固定居民中