黃昆《固體物理學(xué)》考研考點(diǎn)講義

教材分析及考試說明 1第一章晶體結(jié)構(gòu) 7第二章固體的結(jié)合 23第三章晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 36第四章能帶理論 53第五章晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動(dòng) 77第六章金屬電子論 94第七章半導(dǎo)體電子論 105復(fù)習(xí)及重點(diǎn)解析 11411教材分析及考試說明本課程使用的教材高等教育出版社黃昆原著韓汝琦改編《固體物理學(xué)》上?？茖W(xué)技術(shù)出版社陸棟編著《固體物理學(xué)》第二版22本課程參考教材—方俊鑫陸棟，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社2．《固體物理學(xué)》—顧秉林王喜昆，清華大學(xué)出版社—陳金富，高等教育出版社4．《固體物理基礎(chǔ)》—閻守勝，北京大學(xué)出版社5．《固體物理學(xué)》—陳長樂，西北工業(yè)大學(xué)出版社本課程總體要求固體物理入學(xué)考試是為招收物理、電子、材料類碩士生而實(shí)施的選拔性考試，其指導(dǎo)思想一般為有利于選拔具有扎實(shí)的固體基礎(chǔ)理論知識(shí)的高素質(zhì)人才。要求考生能夠系統(tǒng)地掌握固體的基本結(jié)構(gòu)和固體宏觀性質(zhì)的微觀本質(zhì)；學(xué)習(xí)和掌握處理微觀粒子運(yùn)動(dòng)的理論方法；學(xué)習(xí)和掌握運(yùn)用能帶理論分析晶體中電子性質(zhì)的處理方法以及具備運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力。固體物理學(xué)第二章—→晶體的結(jié)合類型及特點(diǎn)第三章—→晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)，晶格熱容第四章—→能帶理論第五章—→晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動(dòng)，費(fèi)米統(tǒng)計(jì)，功函數(shù)與接觸電勢第七章—→半導(dǎo)體電子論第一章晶體結(jié)構(gòu)一晶格結(jié)構(gòu)的周期性和對稱性：二典型的晶體結(jié)構(gòu)：區(qū)，求倒格矢四布喇格方程與勞厄條件，結(jié)構(gòu)因子與原子形狀因子。33第二章固體的結(jié)合晶體的結(jié)合類型及基本特點(diǎn)一離子性結(jié)合隆能與馬德隆常數(shù)、離子半徑二共價(jià)結(jié)合三金屬性性結(jié)合四范德瓦耳斯結(jié)結(jié)合有相互作用能表達(dá)形式求第三章晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)一一維單原子鏈二一維雙原子鏈三固體熱容的量子力學(xué)處理方法固體熱容的愛因斯坦模型與德拜模型及其應(yīng)用，成功之處與局限性四晶格振動(dòng)的模式密度2．簡單的幾個(gè)例子一維單原子鏈德拜模型第四章能帶理論一布洛赫定理能帶和帶隙二一維周期場中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似能帶和帶隙三一維周期場中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似布里淵區(qū)及其構(gòu)造方法格K空間二維示意圖晶格布里淵區(qū)里淵區(qū)四緊束縛近似及其能帶表示公式五能態(tài)密度和費(fèi)米面44第五章晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動(dòng)準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)布洛赫電子在外場下的速度，加速度，恒定電場作用下電子的運(yùn)動(dòng)在恒定磁場作用下電子的運(yùn)動(dòng)第六章金屬電子論一費(fèi)米統(tǒng)計(jì)和電子熱容量費(fèi)米分布函數(shù)，電子熱容和晶格熱容二功函數(shù)和接觸電勢功函數(shù)概念接觸電勢定義第七章半導(dǎo)體電子論半導(dǎo)體的基本能帶結(jié)構(gòu)半導(dǎo)體中的雜質(zhì)空穴異質(zhì)結(jié)霍爾效應(yīng)名詞解釋電導(dǎo)和霍爾效應(yīng)第一章第二章第三章第四章第五章第六章第七章晶體結(jié)構(gòu)—2講固體的結(jié)合—2講晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)—3講能帶理論—4講晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動(dòng)—3講金屬電子論—2講半導(dǎo)體電子論—1講55名詞解釋。填空。如：金剛石晶體的結(jié)合類型是典型的()它有()支格波。兩種不同的金屬接觸時(shí)，費(fèi)米能極高的帶()電，對導(dǎo)體有貢獻(xiàn)的是()的電子。2．離子型晶體和共價(jià)晶體時(shí)刻以嚴(yán)格區(qū)分的。3．費(fèi)米能級隨溫度升高而降低。簡答題。如：1．什么是聲子？寫出兩個(gè)聲子相互作用產(chǎn)生第三個(gè)聲子滿足的關(guān)系式(正常過程和反常過程)，并說明你對反常過程的理解。、半導(dǎo)體和絕緣體的能帶結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。3．在固體能帶論中經(jīng)過三步近似，將多種的多粒子問題轉(zhuǎn)化成周期場中的單電子問題。說明是哪三步近似，并說明這三步近似的理由。計(jì)算題。假設(shè)某一維單原子鏈的晶格常數(shù)為a，每個(gè)原子質(zhì)量為m，只考慮最近鄰原子之間的相互作用，1)寫出簡諧近似下該原子鏈的晶格振動(dòng)色散關(guān)系；2)假設(shè)該原子鏈的晶格常數(shù)a為1A，在長波極限下聲速為2×103m·s－1，請估算該原子鏈波格的截止頻率值。發(fā)揮題。簡述一個(gè)影響固體物理學(xué)發(fā)展的重要實(shí)驗(yàn)[包括實(shí)驗(yàn)內(nèi)容、結(jié)果，解決了什么問題、有何意義，誰做的實(shí)驗(yàn)]料中實(shí)現(xiàn)受激光發(fā)射。詳細(xì)描述上述任一術(shù)語，并指出該術(shù)語涉及的材料、器件或物理原理在科學(xué)和工業(yè)技術(shù)上的應(yīng)用?？荚嚨闹攸c(diǎn)內(nèi)容：晶體結(jié)構(gòu)：正格子和倒格子之間的相互關(guān)系；布里淵區(qū)的特點(diǎn)及邊界方程；原胞和晶胞的區(qū)別；晶面指數(shù)和晶向指數(shù)；面間距的計(jì)算固體的結(jié)合：固體的幾種結(jié)合方式及其特點(diǎn)。由相互作用能表達(dá)形式求平衡間距，結(jié)合能W，體66彈性模量。晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)：一維單原子鏈、一維雙原子連色散關(guān)系的推導(dǎo)，晶格熱容的愛因斯坦模型和德拜模型，晶格振動(dòng)模式密度。能帶理論：一維、三維周期場中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似，能帶，布里淵區(qū)與帶隙。能態(tài)密和費(fèi)米面。緊束縛近似能帶表達(dá)式及相關(guān)計(jì)算。晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動(dòng)：布洛赫電子在外場下的速度，加速度，準(zhǔn)動(dòng)量，有效質(zhì)量；導(dǎo)體半導(dǎo)體的能帶論解釋。體中的雜質(zhì)，霍爾效應(yīng)。單的定義式(倒格矢，振動(dòng)模式，能態(tài)密度，有效質(zhì)量等)和其它結(jié)論性的公式(色散關(guān)系，緊束縛近似能帶表達(dá)式，費(fèi)米能等)全部需要記憶。計(jì)算題一般為80分(總分150分)這一部分占了大約80％以上的考題。作為一門專業(yè)課，固體物理學(xué)的考試內(nèi)容與所報(bào)學(xué)校的學(xué)科發(fā)展有密切的關(guān)系，因此最好把所報(bào)學(xué)校歷年來的考試真題進(jìn)行分析，依據(jù)考試大綱的內(nèi)容，找出重點(diǎn)內(nèi)容。以能帶理論為核心，對固體物理學(xué)所涉及的各知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行融會(huì)貫通。晶體結(jié)構(gòu)—→—→晶體結(jié)構(gòu)—→—→晶體中電子在電場晶體的熱學(xué)性質(zhì)基礎(chǔ)固體的結(jié)合核心能帶理論應(yīng)用金屬與半導(dǎo)體電子論1．熟悉固體物理學(xué)的基本理論知識(shí)，多看看教材和歷年試題，適當(dāng)?shù)貐⒓虞o導(dǎo)班。教材上的教學(xué)內(nèi)容并不是全部都作為考試內(nèi)容的，但其中的一些重要的內(nèi)容會(huì)在各校的考研題上幾年都以不同的形式出現(xiàn)，對這一部分內(nèi)容要將其挖掘出來，2．將上述的復(fù)習(xí)內(nèi)容以自己的方式整理出來，形成精練的筆記。試題也可能出現(xiàn)一些超范圍的內(nèi)容，因此要閱讀與報(bào)考專業(yè)相關(guān)的一些專業(yè)書。的習(xí)題集，結(jié)合歷年來的考試題，有針對性地進(jìn)行練習(xí)。77第一章晶體結(jié)構(gòu)本章考情分析：本章主要是簡答題，證明題。主要闡明晶格中原子排列的幾何規(guī)則性。重點(diǎn)內(nèi)容有：倒格子對稱性和布拉菲格子的分類晶體的X射線衍射非晶態(tài)材料的結(jié)構(gòu)不同晶體原子規(guī)則排列的具體形式如果是不同的，則它們具有不同的晶體結(jié)構(gòu)；若晶體的原子排列形式相同，只是原子間的距離不同，則它們具有相同的晶體結(jié)構(gòu)。晶體結(jié)構(gòu)：晶體最主要的特征是具有周期性重復(fù)的規(guī)則結(jié)構(gòu)，可以看成是一個(gè)或一組原子(或離子實(shí))以某種方式在空間周期性重復(fù)平移的結(jié)果。因此，晶體結(jié)構(gòu)包括兩方面：晶體結(jié)構(gòu)＝點(diǎn)陣＋基元一些晶格的實(shí)例88原子球的正方排列簡單立方晶格的典型單元體心立方晶格的堆積方式體心立方晶格的典型單元六角密積晶格的典型單元密堆積六角密排面心立方晶格的典型單元配位數(shù)—在布拉菲格子中，離某一格點(diǎn)最近的格點(diǎn)，稱為該格點(diǎn)的最近鄰(nearestneighbour)。中粒子排列的緊密程度。66密堆積和最大配位數(shù)－－如果晶體是由同一種粒子組成，并且把這些粒子都看成小圓球，則這些全同的小圓球最緊密的堆積稱為密堆積；密堆積所對應(yīng)的配位數(shù)，就是晶體結(jié)構(gòu)中最大的配位數(shù)。結(jié)構(gòu)。由面心立方的單元的中心到頂點(diǎn)引8條對角線，在其中互不相鄰的4條對角線的中點(diǎn)，各加一原子就得到金剛石結(jié)構(gòu)金剛石晶格結(jié)構(gòu)的典型單元氯化鈉型結(jié)構(gòu)：1／2NaCl晶格結(jié)構(gòu)的典型單元氯化銫型結(jié)構(gòu)1／2閃鋅礦結(jié)構(gòu)：與金剛石結(jié)構(gòu)相似，由兩種原子構(gòu)成閃鋅礦晶格結(jié)構(gòu)的典型單元晶格的周期性復(fù)習(xí)思路：原胞也叫固體物理學(xué)原胞，是指一個(gè)晶格最小的周期性單元，只反映晶格的周期性。在三維情況下它是一個(gè)平行六面體。對于布拉菲格子，原胞中只含一個(gè)陣點(diǎn)(格點(diǎn)、結(jié)點(diǎn))(latticesite)。原胞的特點(diǎn)：結(jié)點(diǎn)只在平行六面體的頂點(diǎn)上，內(nèi)部和面上皆不含任何結(jié)點(diǎn)。注意：原胞的選取不是唯一的，原則上只要是晶格的最小周期性單元都可以。原胞示意圖r原胞的體積：Ω＝a1·(a2×a3)常見晶格的原胞、晶胞和基矢基矢→→→→→→原胞體積＝a3簡立方原胞(晶胞)基矢面心立方原胞(晶胞)基矢體心立方原胞(晶胞)→→→→→→→→其端點(diǎn)稱為格點(diǎn)(latticesite)。按此定義，所有格點(diǎn)的周圍環(huán)境相同，在幾何上是完全等價(jià)的。經(jīng)常以此來判斷某一點(diǎn)陣是否為布拉菲格子。威格納－賽茲原胞：這是一種特殊類型的晶胞，其作法是把某格點(diǎn)同它相同與它相鄰的所有格點(diǎn)連成直線，然后作這些連線的中垂面，這些面所圍成的最小體積，就是威格納－賽茲原胞(Wigner－晶列和晶向指數(shù)一組能表示晶列方向的數(shù)稱為晶向指數(shù)。晶向指數(shù)可根據(jù)晶列上格點(diǎn)的周期性，用如下的方法來表標(biāo)志：取晶列直線上一格點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，該晶列上另一格點(diǎn)相對該點(diǎn)的位矢為：在數(shù)的上方。不同的基矢坐標(biāo)，其晶向指數(shù)的表示不同。等價(jià)的方向用＜l1l2l3＞表示。如圖所示為立方晶格的一些晶向：BA[100]DA[010]－AG[111]－EA1]AF[101]－類似地，用＜110＞表示與[110]等價(jià)的12個(gè)面對角線晶向；用＜111＞表示與[111]等價(jià)的體對角線晶向?！嬷笖?shù)：能夠標(biāo)志晶面取向的一組數(shù)，稱為晶面指數(shù)要描寫一個(gè)平面的方位，就是要找出一個(gè)坐標(biāo)系中表示該平面的法線方向，或給出該平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上截距。顯然，根據(jù)基矢取坐標(biāo)系時(shí)，晶面指數(shù)也有兩種標(biāo)志方法。 (1)固體物理學(xué)原胞 (2)結(jié)晶學(xué)原胞晶面指數(shù)的求法：由上式可得：h1、h2、h3的數(shù)值可以由晶面族(h1h2h3)中任一晶面在基矢坐標(biāo)軸上的截距求出。設(shè)晶面族 (h1h2h3)中離開原點(diǎn)的距離等于μd的晶面在三個(gè)基矢坐標(biāo)軸上的截距分別為ra1，sa2和ta3，則有由上式可得： 比較(1)與(2)式，可得h1∶h2∶h3＝∶∶密勒指數(shù)(Millerindices)用結(jié)晶學(xué)原胞基矢構(gòu)成坐標(biāo)系，得到的晶面指數(shù)，稱之為密勒指數(shù)，用(hkl)表示。注意： (1)面指數(shù)可正可負(fù)，當(dāng)晶面在基矢坐標(biāo)軸正方向相截時(shí)，截距系數(shù)為正，在負(fù)方向相截時(shí)，截距系數(shù)為負(fù)。 (2)同一晶體中面間距相同的晶面族，由于在垂直于晶面的方向上，其宏觀性質(zhì)相同，所以稱為同族晶面族，并以大括號表示之。如立方晶系晶體的晶面族{111}包括 (111)(111)(111)(111) (111)(111)(111)(111)格子的定義2π2π2πb1＝Ω(a2×a3)b2＝Ω(a3×a1)b3＝Ω(a1×a2)其中Ω＝a1·(a2×a3)是原胞體積。e1．正格子基矢與倒格子基矢之間滿足ai·bj＝{πj胞體積為Ω*＝b1·(b2×b3)＝即倒格子的原胞體積Ω＊與相應(yīng)正格子(directlattice)的原胞體積Ω成反比。以晶面族晶面指數(shù)為系數(shù)構(gòu)成的倒格矢恰為晶面族的公共法線方向，即2π表1－1七大晶系和十四種布拉菲格子七個(gè)晶系單胞基矢的特征布拉菲格子所屬點(diǎn)群三斜晶系a≠b≠cα≠β≠γ簡單三斜單斜晶系a≠b≠cα＝γ＝90°，β＞90°簡單單斜底心單斜正交晶系a≠b≠cα＝β＝γ＝90°單\底心\體心\面心正交三角晶系α＝β＝γ＜120°，≠90°三角四方晶系α＝β＝γ＝90°簡單四方體心四方六角晶系a＝b≠cα＝β＝90°γ＝120°六角立方晶系α＝β＝γ＝90°面心立方 (1)簡單三斜(2)簡單單斜 (3)底心單斜(4)簡單正交 (5)底心正交(6)體心正交 (7)面心正交(8)六角 (9)三角(10)簡單四角 (11)體心四角(12)簡單立方 (13)體心立方(14)面心立方其對稱性由低級到高級，依次為：復(fù)習(xí)思路：著重介紹晶體X射線衍射的實(shí)驗(yàn)方法以及原子散射因子、幾何結(jié)構(gòu)因子等概念。晶體衍射(crystaldiffraction)—在一定的條件下，射入晶體的波(電磁波或表現(xiàn)為波動(dòng)的電子、中子)與晶體中的原子發(fā)生相互作用，會(huì)得到一定的衍射圖樣，稱為晶體衍射。利用晶體衍射，人們可以研究晶體的微觀結(jié)構(gòu)。X射線光子能量與波長λ的關(guān)系為ε＝hc／λ線對材料的穿透深度為幾個(gè)μm左右，從而可提供材料體的結(jié)構(gòu)的信息。1)勞厄條件和布拉格條件 )勞厄條件(Lauecondition)S0和S是入射線和衍射線的單位矢量。經(jīng)過格點(diǎn)O和P的X光，衍射前后的光程差為X射線衍射設(shè)X光為單色光，衍射加強(qiáng)的條件為Rl·(S－So)＝μλ(1)式中λ為波長，μ為整數(shù)。2πSSo2π則衍射極大的條件變成Rl·(k－ko)＝2πμ可見矢量k－ko相當(dāng)于倒格矢。 (1)式和(1’)就是有關(guān)X射線衍射的勞厄條件。 (2)布拉格條件勞厄條件的幾何表示如圖所示，由圖可得4π4π再由倒格矢與晶面族之間的關(guān)系即有dsinn(2)d為面間距，n為衍射級數(shù)。(2)式即為布拉格條件?？梢妱诙驐l件和布拉格條件是等價(jià)的。2)原子散射因子和幾何結(jié)構(gòu)因子 (1)原子散射因子：原子對X光的散射，是原子內(nèi)每一個(gè)電子對X光的散射。原子內(nèi)不同部位的電子云對X光的散射波存在一定的位相差。原子總的散射波強(qiáng)度與各散射波的相位差有關(guān)。定義：原子內(nèi)所有電子在某一方向引起的散射波的振幅的幾何和，與某一電子在該方向上引起的散射波的振幅之比成為該原子的散射因子。如圖所示，r是原子中P點(diǎn)的位矢，則P點(diǎn)散射波與原子中心散射波的位相差是2π2πφ＝λ(S－S0)·r＝λ2π2π式中，S0和S分別是X射線在入射方向和散射方向的單位矢量。X射線在原子中的散射假設(shè)原子中心處一個(gè)電子在S方向引起的散射波在觀察點(diǎn)的振幅為A，則P點(diǎn)一個(gè)電子在該方向上引起的散射波在觀察點(diǎn)的振幅為向上引起的散射波在觀察點(diǎn)的振幅為Aeiλs·rd原子中所有電子引起的散射波在觀察點(diǎn)的總振幅為＝Ar)dτ根據(jù)定義，該原子的散射因子為f(s)＝＝r)dτ由上式可得出兩點(diǎn)：1．散射因子是散射方向的函數(shù)。2．不同原子具有不同的散射因子。 (2)幾何結(jié)構(gòu)因子：對復(fù)式格子，總的衍射強(qiáng)度取決于原胞中原子的相對位置和原子散射因子。因此，幾何結(jié)構(gòu)因子定義為：原胞內(nèi)所有原子的散射波在所考慮的方向上的振幅與一個(gè)電子的散射波的振幅之比。據(jù)此，在所考慮的方向上，幾何結(jié)構(gòu)因子可表示為式中fj表示原胞中第j個(gè)原子的散射因子，Rj為第j個(gè)原子的位矢．低能電子衍射： 波長與晶格常數(shù)可比時(shí)，如波長λ≈0．1nm相應(yīng)的能量ε≈150eV，因此適合于晶體結(jié)構(gòu)研究的是能量在20~250eV范圍的低能電子束。和X射線不同的是，由于電子帶電，和固體中的原子有很強(qiáng)的相互作用，穿透深度很短，約幾個(gè)原子層間距的量級。因此，低能電子衍射主要用于晶體表面結(jié)構(gòu)的研究。中子衍射：中子德布羅意波長與其能量的關(guān)系為λ(中子德布羅意波長與其能量的關(guān)系為λ(nm)≈ λ≈0．1nm相應(yīng)的能量為ε≈0．08eV，與室溫下的kBT值(≈0．025eV)同數(shù)量級，通常稱為熱中子。中子與固體中的原子核通過強(qiáng)的短程核力相互作用。對不同原子序數(shù)的原子，其散射強(qiáng)度大體相近，因此，中子衍射對輕原子(從H到C)的分辨率遠(yuǎn)高于X射線，可彌補(bǔ)X射線在這方面的不足。另外，中子的獨(dú)特之處在與它有磁矩，和固體中的原子磁矩有強(qiáng)的相互作用，在搞清磁性材料的磁結(jié)構(gòu)，即原子磁矩的相互取向、排列等，以及磁相變等方面，中子衍射是很重要的工具。熱中子的能量特別適合于對固體中晶格振動(dòng)的研究。要點(diǎn)精講晶格的周期性：220結(jié)構(gòu)幾種常見晶格結(jié)構(gòu)原子球排布，致密度，最近鄰原子數(shù)和次近鄰原子數(shù)。結(jié)構(gòu)實(shí)際晶體：把全同的基元放在空間點(diǎn)陣的晶格上即構(gòu)成實(shí)際晶體。理學(xué)基矢。它們分別表示3個(gè)不共面方向上的最短周期，它們的選取具有任意性。布拉維格子：每個(gè)格點(diǎn)周圍情況完全相同的格子稱為布拉維格子，基元代表點(diǎn)(格點(diǎn))形成的格子都是布拉維格子。復(fù)式格子：由兩個(gè)以上布拉維格套合而成的格子稱為復(fù)式格子，若以原子為組成單位，多原子基元組成的晶體為復(fù)式格子結(jié)構(gòu)。典型例題結(jié)構(gòu)，設(shè)x表示剛球所占體積與總體積之比，證明X簡單立方體心立方面心立方六方密排金剛石考試點(diǎn)視頻2．寫出簡單立方、體心立方和面心立方晶格結(jié)構(gòu)的金屬中，最近鄰和此近鄰的原子數(shù)。若立方邊長為a，寫出最近鄰和此近鄰的原子間距米勒指數(shù)用晶面指數(shù)(lmn)來描述，它是晶面系中任一晶面在以原胞基矢為a1，a2，a3單位長度的坐標(biāo)上截距的互質(zhì)的倒數(shù)比。若選取晶胞基矢a，b，c作為坐標(biāo)軸，晶面指數(shù)稱為米勒指數(shù)，用(hkl)表示。晶面指數(shù)與晶面法線方向n余弦之間的關(guān)系為對正交晶系，晶面系中兩相鄰晶面的面間距為1晶面上的格點(diǎn)密度σ與面間距d滿足三倒格子aibiaibj＝2πδij，由定義可得2212πbj＝Ωd(aj×ak)式中，Ω＝a1·(a2×a3)為正格子原胞體積。正倒格子的關(guān)系如下： rdrb1·(b2×b3)為倒格子原胞體積。 (3)正格子空間的周期函數(shù)V(r＋R)＝V(r)可展開為G典型例題證明：面心立方的倒格子是體心立方；體心立方的倒格子是面心立方。考試點(diǎn)視頻立的對稱操作，稱為基本對稱操作。晶體的宏觀對稱性：晶體的宏觀對稱性共有32種。它們由8種基本對稱操作組合而成的，每種組合稱為一個(gè)點(diǎn)群。晶體的對稱性描述：考慮到晶體微結(jié)構(gòu)的平移對稱性(周期性)，晶體的對稱性類型可由230種空間群描述。14種布拉維晶胞：按照格點(diǎn)在晶系中的分布情況，以上7種晶系又可分為14種布拉維晶胞。五晶體的X射線衍射1)勞厄方程若分別以k0和K分別表示入射光和散射光的波矢量，G表示倒格失，則滿足或時(shí)，出現(xiàn)晶體對該光的衍射加強(qiáng)—?jiǎng)诙虬摺Ｓ蓜诙蚍匠炭赏茖?dǎo)出布拉格定理2dhklsinθ＝nλ2)原子散射因子222if(s)＝∑eiG·ri＝r)dτi描述原子對X射線的散射能力，ρ(r)為電子云密度。3)幾何結(jié)構(gòu)因子j＝1描述原胞中原子分布和原子種類對散射強(qiáng)度的影響。F(G)＝0時(shí)，出現(xiàn)消光現(xiàn)象，既滿足勞厄方。名校經(jīng)典試題表達(dá))。請問體心立方格子的倒格子是什么？二、(20分)在一個(gè)具有立方結(jié)構(gòu)的晶體上做X射線衍射實(shí)驗(yàn)，1)請寫出X射線波長與布喇格角之間需要滿足的關(guān)系式；2)假設(shè)布拉喇格角很小且X射線波長不變，請問當(dāng)晶體的晶格常數(shù)變化率為1％時(shí)，布喇格角的變化率為多少？垂直。2．利用鋼球密堆模型，求證球可能占據(jù)的最大體積與總體積之比為(1)簡立方；(2)體心立方^π；(3)面心立方^π；(4)金剛石^；(5)六角密積^河南師范大學(xué)2012二(35分)1．證明立方晶系的晶列[hkl]與晶面族(hkl)正交。2．設(shè)晶格常數(shù)為a，求立方晶系密勒指數(shù)為(hkl)的晶面族的面間距。晶體衍射的幾何結(jié)構(gòu)因子公式Fhkl＝j(luò)ei2πn(huj＋kvj＋lwj)，其中(ujvjwj)為晶胞中原子的坐標(biāo)。試j問金剛石結(jié)構(gòu)晶胞中有幾個(gè)原子？寫出晶胞中原子的坐標(biāo)，計(jì)算其幾何機(jī)構(gòu)因子。并結(jié)合計(jì)算結(jié)果說明你對晶體結(jié)構(gòu)的理解。223第二章固體的結(jié)合3．元素和化合物晶體結(jié)合的規(guī)律一晶體結(jié)合能能的一般性質(zhì)4．由U(r)可求出晶體的某些物理常數(shù)復(fù)習(xí)思路：首先給出晶體結(jié)合能的定義；介紹互作用勢的一般性質(zhì)以及結(jié)合能的一般形式；最后由互作用勢求出晶體的一些物理常數(shù)。▲分散的原子(離子或分子)構(gòu)成晶體的原因：1)原子之間存在著結(jié)合力。2)晶體的總能量E0比構(gòu)成晶體的N個(gè)原子處于自由狀態(tài)的總能量要低。▲晶體的結(jié)合能(crystalbindingenergy)：分散的原子(離子或分子)在結(jié)合成穩(wěn)定晶體的過程如以EN表示組成晶體的N個(gè)原子在自由時(shí)的總能量，E0為晶體的總能量，則結(jié)合能Eb可以表示為如果以組成晶體的N個(gè)原子處于自由狀態(tài)的能量作為能量的零點(diǎn)，則－Eb就是晶體的內(nèi)能(in-▲內(nèi)能與體積關(guān)系：由于原子間的力與距離有關(guān)，所以當(dāng)晶體的體積變化時(shí)，晶體的內(nèi)能也要發(fā)生變化，即晶體的內(nèi)能是體積的函數(shù)，用U(V)表示。所以U(V0)＝－Eb，V0是晶體平衡時(shí)的體積?！艋プ饔玫姆诸?24晶體中原子(粒子)之間的相互作用可分為兩大類型吸引作用(attractfunction)—在遠(yuǎn)距離是主要的排斥作用(repulsivefunction)—在近距離是主要的在某一適當(dāng)?shù)木嚯x，兩種作用相互抵消，使晶格處于穩(wěn)定狀態(tài)?！艋プ饔玫脑蛭饔檬怯捎陔姾芍g的庫侖引力；排斥作用的來源有兩個(gè)方面：一方面是同性電荷之間的庫侖力斥力，另一方面是泡利原理所引起的排斥力。兩個(gè)原子的互作用勢能u(r)的曲線如圖(1)所示?！粲蓜菽躸(r)可以計(jì)算原子之間的互作用力由圖(2)可以看出：當(dāng)兩原子之間的距離無窮遠(yuǎn)時(shí)，能量為零，作用力為零；當(dāng)兩原子逐漸靠近時(shí)，能量為負(fù)且絕對值逐漸增大，原子間產(chǎn)生吸引力；當(dāng)原子間距很小時(shí)，作用力成為排斥力。并且力的大小及能量u都隨著r的進(jìn)一步減小而急劇上升。中間某個(gè)距離r＝rm，吸引力最大；225r＝r0時(shí)，u(r)達(dá)到最低點(diǎn)而相互作用力為零(吸引與排斥力平衡)，r0為二原子處于平衡位置時(shí)的間距。即有由此可以確定原子間的平衡距離。即能量曲線的拐點(diǎn)對應(yīng)著作用力曲線的最低點(diǎn)。上式中第一項(xiàng)表示吸引能，第二項(xiàng)表示排斥能。不同類型的結(jié)合這些參數(shù)不盡相同。當(dāng)粒子結(jié)合成穩(wěn)定的晶體時(shí)，勢能U(r)應(yīng)處于極小值。因而由U(r)的極小值的條件rrr可求出晶格常數(shù)r0，即晶體中粒子之間的最小距離。求出晶體平衡時(shí)的體積V0。ulus當(dāng)對晶體施加一定壓強(qiáng)時(shí)，晶體體積將有所改變。這種性質(zhì)可用壓縮系數(shù)(compressioncoeffi-κ的定義為κ＝－1其中V為晶體體積，P為壓強(qiáng)。壓縮系數(shù)就定義為在一定溫度下體積隨壓強(qiáng)的變化與晶體體積比值，“－”負(fù)號表示隨壓強(qiáng)的增大體積是減小的。設(shè)在壓強(qiáng)P作用下，晶體的體積增加△V，則晶體對外做功PΔV＝－ΔU，△U是總能量的增加。226Urur形式描述其中的參量m，n與二原子勢能的表示式中的相同。實(shí)際上，常根據(jù)這些物理量的實(shí)測值去反推U(r)式中的參量值，以確定勢能函數(shù)。注意：上面的討論是T＝0K的情況。當(dāng)T≠0時(shí)，還須考慮晶體中原子的熱運(yùn)動(dòng)。考點(diǎn)二固體結(jié)合的基本類型 復(fù)習(xí)思路：掌握晶體結(jié)合的基本類型、各種晶體的特性以及它們的結(jié)合力。 靠離子性結(jié)合的晶體稱為離子晶體(Ioniccrystal)或極性晶體。2．離子性結(jié)合(ionicbinding)當(dāng)電離能(ionizationenergy)較小的金屬原子與電子親合能(Electronaffinity)較大的非金屬原子相互接近時(shí)，前者容易放出最外層的電子而成正離子，后者容易接受前者放出的電子而變成負(fù)離子，出現(xiàn)正、負(fù)離子間的庫侖作用，從而結(jié)合在一起。另一方面，由于異性離子相互接近，其滿殼層的電子云交迭而出現(xiàn)斥力(泡利原理所致)，當(dāng)兩種作用相抵時(shí)，達(dá)到平衡。1)離子性結(jié)合的特點(diǎn)是以離子為結(jié)合單元，靠正負(fù)離子之間的庫侖引力作用結(jié)合成晶體。最典等等。2)離子晶體中正、負(fù)離子是相間排列的，這樣可以使異號離子之間的吸引作用強(qiáng)于同號離子之間的排斥作用，庫侖作用的總效果是吸引的，晶體勢能可達(dá)到最低值而使晶體穩(wěn)定。3)由于正、負(fù)離子的相對大小的差異，其結(jié)構(gòu)形式和配位數(shù)也有所差異。如氯化鈉晶體為套構(gòu)的1)離子晶體主要依靠較強(qiáng)的庫侖引力而結(jié)合，故結(jié)構(gòu)很穩(wěn)定，結(jié)合能很大，約為800千焦耳／摩爾2)由于離子的滿殼層結(jié)構(gòu)，使得這種晶體的電子導(dǎo)電性差，但在高溫下可發(fā)生離子導(dǎo)電，電導(dǎo)率隨溫度升高而加大。3)離子晶體的構(gòu)成粒子是帶電的離子，這種特點(diǎn)使該種晶體易于產(chǎn)生宏觀極化，與電磁波作用強(qiáng)烈。大多數(shù)離子晶體對可見光是透明的，在遠(yuǎn)紅外區(qū)有一特征吸收峰。以NaCl晶體為例。鈉離子和氯離子都是滿殼層結(jié)構(gòu)，具有球?qū)ΨQ性，考慮庫侖作用時(shí)，可看作點(diǎn)電荷。令r表示相鄰離子的距離，則一個(gè)離子的平均庫侖能為 (1) 如果以所考慮的正離子為原點(diǎn)，可以表示其它各離子所占格點(diǎn)的距離。一對離子或一個(gè)原胞的能量為(1)式的兩倍(一個(gè)原胞中包含兩個(gè)離子，一個(gè)鈉離子、一個(gè)氯離子) (2)其中求和號中是一無量綱的純數(shù)值，完全決定于晶體的結(jié)構(gòu)；它是一個(gè)負(fù)值，寫為－α，α稱為馬常見離子晶格的馬德龍常數(shù)如下：當(dāng)近鄰離子的電子云有明顯的重疊時(shí)，兩離子之間會(huì)有排斥作用，稱為重疊排斥能。指數(shù)表示更為精確地描述排斥力的特點(diǎn)，而冪函數(shù)的形式則更為簡單。NaCl晶格中，只考慮近鄰間的排斥作用，每對離子的平均排斥能為6b／rn(4)每個(gè)離子有6個(gè)相距為r的離子對包含N個(gè)原胞的晶體，綜合考慮到庫侖吸引能和重疊排斥能，系統(tǒng)的內(nèi)能可以表示為UNN＋](5)4πε0，AqBb4πε0，VNr(7)227228①確定晶格常數(shù)由極值條件可以確定②體彈性模量由離子晶體的內(nèi)能的表達(dá)式及極值條件，得離子晶體的平衡條件為 B1n－1其中r0為平衡時(shí)的近鄰距離由上面的平衡條件，體彈性模量可化簡為4πε0×18r04利用平衡條件和系統(tǒng)的內(nèi)能公式，結(jié)合能可以寫成 4πε0r0n4πε0r0 4πε0r0n4πε0r0n所以，根據(jù)已確定的n可以計(jì)算結(jié)合能。 (二)共價(jià)結(jié)合共價(jià)結(jié)合的晶體稱為共價(jià)晶體(Covalentcrystal)或同極晶體，有時(shí)也稱為原子晶體。共價(jià)晶體的對電子束縛能力相同或相近的兩個(gè)原子，彼此靠近時(shí)，各自貢獻(xiàn)一個(gè)電子，為兩個(gè)原子共有，從而能把兩個(gè)原子結(jié)合在一起的一對為兩個(gè)原子共有的自旋相反配對的電子結(jié)構(gòu)，稱為共價(jià)鍵(Co-成鍵態(tài)：電子云密集在兩個(gè)原子核之間，同時(shí)受到兩個(gè)原子核的庫侖吸引作用，使成鍵態(tài)能量低于原子能級。成鍵態(tài)上可以填充正、反自旋的兩個(gè)電子，這兩個(gè)電子形成所謂的共價(jià)鍵(covalent反鍵態(tài)：能量高于原子能級。229氫分子的能量與氫原子間距的關(guān)系上圖中，E1隨rⅠⅡ的減小單調(diào)地增加，是排斥勢。這說明，電子自旋平行的兩個(gè)氫原子是相互排斥的，不能結(jié)合成氫分子。排斥．這正是兩原子構(gòu)成穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的條件．E2是電子自旋反平行的兩個(gè)氫原子的相互作用能．共價(jià)結(jié)合有兩個(gè)基本特征：飽和性和方向性。指一個(gè)原子只能形成一定數(shù)目的共價(jià)鍵。按照泡利不相容原理，當(dāng)原子中的電子一旦配對后，便不能再與第三個(gè)電子配對。因此當(dāng)一個(gè)原子與其它原子結(jié)合時(shí)，能夠結(jié)合成共價(jià)鍵的數(shù)目有一個(gè)最大值，這個(gè)最大值取決于它所含的未配對的電子數(shù)。這個(gè)特性稱為共價(jià)鍵的飽和性。共價(jià)鍵的數(shù)目符合所謂的8－N定則，N指價(jià)電子數(shù)。(用軌道雜化可以說明)ns和3個(gè)np軌道組成，考慮到電子的兩種自旋，共包含8個(gè)量子態(tài)，價(jià)電子殼層為半滿或超過半滿時(shí)，未配對的電子數(shù)實(shí)際上確定于未填充的量子指原子只在特定的方向上形成共價(jià)鍵。當(dāng)兩原子未配對的自旋相反的電子結(jié)合成共價(jià)鍵后，電子云就會(huì)發(fā)生交疊，而且共價(jià)鍵結(jié)合得越緊密，相應(yīng)的電子云交疊的也越厲害。因此，兩原子在以共價(jià)鍵結(jié)合時(shí)，必定選取盡可能使其電子云密度為最大的方位，也就是電子的波函數(shù)為最大的方向。這就是共價(jià)鍵具有方向性的物理本質(zhì)。碳原子的雜化軌道3304個(gè)電子分別占據(jù)一個(gè)新軌道，在四面體頂角方向形成四個(gè)共價(jià)鍵，這就是所謂的軌道雜化，也稱 (三)金屬性結(jié)合金屬性結(jié)合的基本特點(diǎn)是電子的“共有化”，原子在結(jié)合成晶體時(shí)，原來分屬各自原子的價(jià)電子不再束縛于其本身，而為所有“原子實(shí)”所共有。于是，共有化電子形成的電子云和浸在這個(gè)負(fù)電子云中的帶正電的原子實(shí)之間出現(xiàn)庫侖作用，原子越緊密，勢能越低，從而把原子聚合在一起。這樣的結(jié)合稱為金屬性結(jié)合。容易失去外層價(jià)電子的Ⅰ、Ⅱ族元素及過渡族元素形成的晶體都是典型的金屬晶體。metalbond)。在金屬性結(jié)合時(shí)，一方面有負(fù)電子云和帶正電的原子實(shí)之間的庫侖作用，使其排列緊密；另一方面，由于距離的不斷減小，還會(huì)出現(xiàn)排斥作用，其來源有二：一是共有化電子云密度增加的同時(shí)，動(dòng)能也將增加(動(dòng)能正比于電子云密度的三分之二次方)，二是當(dāng)原子實(shí)相互靠近到它們的電子云發(fā)生顯著交疊時(shí)，也將產(chǎn)生強(qiáng)烈的排斥作用。 (1)金屬性結(jié)合是一種較強(qiáng)的結(jié)合，結(jié)合能約為105~106焦耳／摩爾，并且由于配位數(shù)較高，所以特點(diǎn)。 (2)由于金屬中價(jià)電子的共有化，所以金屬的導(dǎo)電、導(dǎo)熱性能好；金屬具有光澤也和價(jià)電子的共有化有關(guān)。 (3)金屬結(jié)合是一種體積效應(yīng)，對原子排列沒有特殊要求，故在外力作用下容易造成原子排列的不規(guī)則性及重新排列，從而表現(xiàn)出很大的范性及延展性，容易進(jìn)行機(jī)械加工。 (四)范德瓦爾斯結(jié)合(分子性結(jié)合)對原來就具有穩(wěn)定電子結(jié)構(gòu)的分子，例如，具有滿殼層結(jié)構(gòu)的惰性氣體分子，或價(jià)電子已用于形成共價(jià)鍵的飽和分子，它們在結(jié)合時(shí)，基本上保持原來的電子結(jié)構(gòu)。它們的結(jié)合，是由于分子間的范分子力來源于分子的電偶極矩(electricdipolemoment)。對于電子云是球?qū)ΨQ分布的惰性氣體原子，原子的平均電偶極矩為零，但在某一瞬時(shí)，由于核周圍電子運(yùn)動(dòng)的漲落，可以有瞬時(shí)電偶極矩。設(shè)原子1的瞬時(shí)電偶極矩為p1，在距離r處產(chǎn)生的電場E正比于p1／r3。在這個(gè)電場作用下，另一原子 (原子2)被極化，感生電偶極矩為其中α是原子的極化率。兩個(gè)偶極矩之間的作用能為＝這就是范德瓦耳斯力的來源，是原子中電荷漲落產(chǎn)生的瞬時(shí)電偶極矩所導(dǎo)致的吸引相互作用?？糠兜峦叨瓜嗷プ饔媒Y(jié)合的兩個(gè)原子的相互作用能，可以寫成其中B／r12表示重疊排斥作用，這種形式可以滿意地解釋有關(guān)惰性氣體的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。A、B是經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，都是正數(shù)。原子間的相互作用勢，通常采用的形式是66LennardJonespotential4εσ6＝A，4εσ12＝B而引入的。雷納德－－瓊斯勢惰性氣體晶體的結(jié)合能就是晶體內(nèi)所有原子對之間雷納德－瓊斯勢之和。如果晶體內(nèi)含有N個(gè)因子是考慮到互作用為兩原子共有，r表示最近鄰原子之間的距離，A12與A6是與晶格結(jié)構(gòu)有關(guān)的晶格求和常數(shù)。結(jié)構(gòu)簡立方體心立方面心立方A8AAA由晶格的勢能函數(shù)可以確定晶格常數(shù)、結(jié)合能以及體變模量。331332由于分子力而使原來具有穩(wěn)定電子結(jié)構(gòu)的分子而結(jié)合成的晶體，稱為分子晶體(molecularcrys-等晶體。要點(diǎn)一晶體結(jié)合能及其計(jì)算晶體結(jié)合能如以EN表示組成晶體的N個(gè)原子在自由時(shí)的總能量，E0為晶體的總能量，則結(jié)合能Eb可以表示為晶體的內(nèi)能如果以組成晶體的N個(gè)原子處于自由狀態(tài)的能量作為能量的零點(diǎn)，則－Eb就是晶體的內(nèi)能結(jié)合能的一般形式◆兩個(gè)原子之間的互作用勢：兩個(gè)原子之間的互作用勢能?？捎脙绾瘮?shù)來表示：上式中第一項(xiàng)表示吸引能，第二項(xiàng)表示排斥能。不同類型的結(jié)合這些參數(shù)不盡相同。由U(r)可求出晶體的某些物理常數(shù)當(dāng)粒子結(jié)合成穩(wěn)定的晶體時(shí)，勢能U(r)應(yīng)處于極小值。因而由U(r)的極小值的條件rrr可求出晶格常數(shù)r0，即晶體中粒子之間的最小距離。求出晶體平衡時(shí)的體積V0。當(dāng)對晶體施加一定壓強(qiáng)時(shí)，晶體體積將有所改變。這種性質(zhì)可用壓縮系數(shù)(compressioncoeffi-κ的定義為κ＝－1其中V為晶體體積，P為壓強(qiáng)。壓縮系數(shù)就定義為在一定溫度下體積隨壓強(qiáng)的變化與晶體體積比值，“－”負(fù)號表示隨壓強(qiáng)的增大體積是減小的。333設(shè)在壓強(qiáng)P作用下，晶體的體積增加△V，則晶體對外做功PΔV＝－ΔU，△U是總能量的增加。P＝－m考試點(diǎn)視頻要點(diǎn)二固體結(jié)合的基本形式和特點(diǎn)離子性結(jié)合共價(jià)結(jié)合金屬性結(jié)合范德瓦耳斯結(jié)合類型結(jié)合力特點(diǎn)形成代表結(jié)合能離子體相間排列通過庫侖靜電力相互吸引。熔點(diǎn)高：硬度大，膨脹系數(shù)小，易沿解理面劈裂，高溫下有良好的離子導(dǎo)電性。形成結(jié)合。共價(jià)體有的自旋相反配對的電子結(jié)構(gòu)完整晶體硬度大，熔點(diǎn)一較差，為絕緣體或半導(dǎo)體?；瘜W(xué)惰性大，由于飽和性、只能取有限的幾種形式。結(jié)合金剛石金屬體化形成的共有化負(fù)電子云與處在其中的正離子實(shí)通過庫侖力而鍵合。電導(dǎo)率熱導(dǎo)率高、密度大、密集排列(能量低)電負(fù)性小的原子形成NNa較強(qiáng)~分子體偶極矩的作用聚合排列。惰性原子，周期表右下間結(jié)合。惰性(氣體)有機(jī)化合物體弱弱氫鍵體子參與形成共價(jià)鍵另一負(fù)電性較大的原子通過靜電作用相互結(jié)合熔點(diǎn)和沸點(diǎn)介于離子晶體和分子晶體之間，密度小，介電系數(shù)大。合形成一個(gè)構(gòu)造基元。冰弱弱334石墨及其納米材料結(jié)構(gòu)近年來，對低維系統(tǒng)的研究越來越引起人們的注意，層狀材料正是以典型的二維體系。石墨及其納米材料是目前研究最多的層狀結(jié)構(gòu)之一。名校經(jīng)典試題青島大學(xué)2010年(10分)說明晶體有哪幾種基本的結(jié)合類型，并說明其特點(diǎn)青島大學(xué)2010年(10分)：u＝－＋ (1)說明右式兩項(xiàng)的物理意義并求出處于平衡態(tài)是的原子間距r0； (2)證明此系統(tǒng)可以處于穩(wěn)定平衡態(tài)的條件是n＞m。北京科技大學(xué)2012年(10分)試分析離子晶體與金屬晶體的配位數(shù)高于共價(jià)晶體配位數(shù)的原因。北京科技大學(xué)2012年(20分)335 (1)晶體平衡間距r0； (2)單個(gè)基元的結(jié)合能ε0； VU的總內(nèi)能)。336第三章晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)第一章中我們假定晶體中所有原子都處于平衡位置靜止不動(dòng)，然后研究其結(jié)構(gòu)及描述方法，它給我們提供了一個(gè)基本的晶體微觀結(jié)構(gòu)圖景。然而，晶體中的原子并非靜止不動(dòng)，它們時(shí)刻都在運(yùn)動(dòng)著。當(dāng)溫度不很高時(shí)，所有原子(或離子)都在其平衡位置附近振動(dòng)。因此，晶體中的格點(diǎn)表示原子的平衡位置，晶格振動(dòng)則是指原子在格點(diǎn)附近的振動(dòng)。本章主要內(nèi)容： 晶格振動(dòng)是晶體中諸原子(離子)集體地在作振動(dòng)，由于晶體內(nèi)原子間有相互作用，存在相互聯(lián)系，各個(gè)原子的振動(dòng)間都存在著固定的位相關(guān)系，從而形成各種模式的波，即各晶格原子在平衡位置附近作振動(dòng)時(shí)，將以前進(jìn)波的形式在晶體中傳播，這種波稱為格波。單地說，由于晶格具有周期性，晶格的振動(dòng)模具有波的形式，稱為格波。格波和一般連續(xù)介質(zhì)波有共同的波的特性，但也有不同的特點(diǎn)。的相互作用假設(shè)一維單原子鏈包含有N個(gè)原胞，在平衡時(shí)相鄰原子距離為a，每個(gè)原胞內(nèi)含一個(gè)原子，質(zhì)量為子存在相互作用一維簡單晶格的振動(dòng)考慮第n個(gè)原子，它受到左右兩個(gè)原子對它的作用力3737n則得到第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程為····每個(gè)原子對應(yīng)有一個(gè)方程，對有N個(gè)原子的原子鏈，則有N個(gè)方程，所以，上式實(shí)際上是N個(gè)聯(lián)立的線性齊次方程。將(4)式代入(3)式，有觀察(5)式，可以看到，此式與n無關(guān)，表明N個(gè)聯(lián)立方程都?xì)w結(jié)于同一個(gè)方程。也就是說，只要ω與q之間滿足(5)式的關(guān)系，(4)式就表示了聯(lián)立方程的解，稱為格波。并且把ω與q之間的關(guān)系稱為色散關(guān)系，也稱為振動(dòng)頻譜或振動(dòng)譜。 (1)解的物理意義比較(4)式與一般連續(xù)介質(zhì)波可見兩者有完全類似的形式，其中ω是波的圓頻率，λ是波長，q是波數(shù)。338期性的排列的點(diǎn)。由此可知，一個(gè)格波解表示所有原子同時(shí)做頻率為ω的振動(dòng)，不同原子之間有位相差。相鄰原子 (2)q的取值范圍由(4)式可知，如果把a(bǔ)q改變2π的整數(shù)倍，所有原子的振動(dòng)將沒有任何變化。由此可見，aq的取值范圍為－π＜aq≤π(7)這個(gè)范圍以外的值，不能提供其它不同的波。q的取值及范圍常稱為布里淵區(qū)。 對于有限長的鏈，兩端的原子與內(nèi)部的原子有所不同。如果只考慮鄰近作用時(shí)，其運(yùn)動(dòng)方程則不同。為了避免這種情況，玻恩－卡曼提出了包含N個(gè)原胞的環(huán)狀鏈作為有限鏈的模型，即將有限的原子首尾連接起來，這樣所有的原胞完全等價(jià)，都遵從類似的方程。N個(gè)原子所處的位置完全相同一維原子鏈的波恩－卡曼邊界條件對于(4)式解的形式，應(yīng)用玻恩－卡曼所提出的邊界條件，應(yīng)有μn＋N＝μneiNaq(9)或q或q＝Na×h(h為整數(shù))(10)稱(9)式為玻恩－卡曼條件。對照(8)式，可知h只能?。璑／2到＋N／2，共有N個(gè)不同的值。NqNqN＝一維單原子鏈的自由度數(shù)。兩種原子的運(yùn)動(dòng)方程及其解 (1)運(yùn)動(dòng)方程 (2)方程的解339 (1)聲學(xué)波和光學(xué)波 (2)兩種格波的振幅比 (3)ω＋與ω－都是q的周期函數(shù)3．對色散關(guān)系的討論 (1)一維單原子鏈與一維雙原子鏈的格波解的差異 (2)聲學(xué)波的物理本質(zhì) (3)光學(xué)波是復(fù)式格子特有的 (4)q的取值1．兩種原子的運(yùn)動(dòng)方程及其解 (1)運(yùn)動(dòng)方程假設(shè)一維雙原子鏈?zhǔn)怯少|(zhì)量為M和m的兩種原子相間排列而成(M＞m)，原子間距為a。顯然晶格的周期是2a，每個(gè)原胞含有2個(gè)不同原子。設(shè)這個(gè)復(fù)式格子的原胞數(shù)為N，則其鏈長為2Na。將這些原子按順序編號，雙號是質(zhì)量為m的原子，單號是質(zhì)量為M的原子。仍采用周期性邊界條件，只考慮近鄰原子間的相互作用，并采用簡諧近似。設(shè)原子間的恢復(fù)力系數(shù)為β，原子I對平衡位置的偏離為μi(向右為正)。于是，對兩種原子分別寫出運(yùn)動(dòng)方程n·· (1)n·· (1) (2)方程的解由于我們采用了周期性的邊界條件，所有質(zhì)量為m的原子相互等價(jià)，所有質(zhì)量為M的原子也相互等價(jià)，它們分別滿足(1)式中的兩個(gè)方程。并且由于原子鏈包含N個(gè)原胞，上式實(shí)際上是2N個(gè)方程的聯(lián)立方程組。這個(gè)方程組有下列形式的格波解： (1)聲學(xué)波和光學(xué)波將(2)代入(1)式，并簡化之有} (3)方程與n無關(guān)，表明所有聯(lián)立方程對于格波形式的解都?xì)w結(jié)于同一對方程。(3)式可以看作是以A、B為未知數(shù)的線性齊次方程 (4) (4)上式有解的條件是＝0上式有解的條件是＝0從上式可以看出，ω與q之間存在兩種不同的色散關(guān)系，即對一維復(fù)式格子，可以存在兩種獨(dú)立有自己的色散關(guān)系把ω＋對應(yīng)的格波稱為光學(xué)波或光學(xué)支；ω－對應(yīng)的格波稱為聲學(xué)波或聲學(xué)支，每一組(ω，q)所對應(yīng)的振動(dòng)模也相應(yīng)地稱為聲學(xué)模．一維雙原子鏈的振動(dòng)頻譜 (2)兩種格波的振幅比把(6)式代回到(4)式，可以求出相鄰原子的振幅之比為所以，我們可以將q限制在一個(gè)周期(一個(gè)倒格子原胞)之內(nèi)，通常選第一布里淵區(qū) (8)這個(gè)區(qū)域之外的q給不出新的格波。上圖是一維復(fù)式格子的色散關(guān)系曲線3．對色散關(guān)系的討論 (1)一維單原子鏈與一維雙原子鏈的格波解的差異一維單原子鏈只有一支格波(一個(gè)波矢對應(yīng)一個(gè)格波)—聲學(xué)波；而一維雙原子鏈則有兩支格波(一個(gè)波矢對應(yīng)兩個(gè)格波)—聲學(xué)波和光學(xué)波，兩支格波的頻率各有一定的范圍： 在ω－max與ω＋min之間有一頻率間隙，說明這種頻率的格波不能被激發(fā)。 (2)聲學(xué)波的物理本質(zhì)聲學(xué)波的色散關(guān)系曲線與一維單原子鏈的色散關(guān)系很相似，并且在q很小時(shí)(長波極限)ω與q近似成線性關(guān)系，可以看作是連續(xù)介質(zhì)彈性波。這是這支格波被稱作為聲學(xué)波的原因。 2β 2β這說明聲學(xué)格波情況下，相鄰的原子傾向于沿同一方向振動(dòng)；特別是長波極限下的聲學(xué)波，相鄰兩種原子不僅振動(dòng)方向相同，位相相同，而且振動(dòng)幅度也相同，因而反映的是原胞的整體振動(dòng)，或者說是原胞質(zhì)心的振動(dòng)。 (3)光學(xué)波是復(fù)式格子特有的4242因此，在光學(xué)格波的情況下，相鄰的兩種原子傾向于沿相反方向運(yùn)動(dòng)；特別是在長波極限下的光波長變?yōu)闊o窮大，所有的m原子同步振動(dòng)，所有的M原子也同步振動(dòng)，但兩種原子的振動(dòng)方向相反。也就是說，兩種原子構(gòu)成的兩種格子在保持質(zhì)心不動(dòng)的情況下作剛性的相對振動(dòng)。一維雙原子鏈長波時(shí)原子的位移 根據(jù)周期性邊界條件有：μ2(n＋N)＝μ2neiqNaqh數(shù)) 綜合以上的討論有：晶格振動(dòng)的波矢數(shù)＝晶體原胞數(shù)晶格振動(dòng)頻率的數(shù)目＝晶格的自由度數(shù)這些結(jié)論對三維晶格振動(dòng)也適用。考點(diǎn)三三維晶格的振動(dòng)對于原胞含有n個(gè)原子的復(fù)式晶格，與一維單原子鏈和一維雙原子鏈的情形對比，可以得到n個(gè)格波解la稱為聲學(xué)波；其余3(n－1)支，描述同一原胞內(nèi)各原子之間的相對運(yùn)動(dòng)，稱為光學(xué)波。 (1)q空間“q空間”亦稱為波矢空間或倒格子空間。邊界條件允許的q值則表示這個(gè)空間中的點(diǎn)子。周期性邊界條件(玻恩－卡曼條件)，在三維情形NaRl＋N3a3)＝μ(Rl) (3)方向的原胞數(shù)；晶體總的原胞數(shù)為N＝N1N2N3，μ(Rl)代表Rl格點(diǎn)上原胞的位移。邊界條件要求q·N2a2＝h22πq·N3a3＝h32πN1NN2NN3)|卜J|J (4) (2)q在波矢空間的密度將(4)式代入(2)式，有NNNNNN23 (5)這代表在波矢空間均勻分布的點(diǎn)子，每個(gè)點(diǎn)子占據(jù)的體積為 [聲學(xué)波和光學(xué)波]ω＋對應(yīng)的格波稱為光學(xué)波或光學(xué)支；ω－對應(yīng)的格波稱為聲學(xué)波或聲學(xué)支。晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性—晶格熱容的量子理論定律的敘述：其中N為原子數(shù)，kB為玻爾茲曼常數(shù)。根據(jù)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論的能量均分定理，每個(gè)簡諧振子的平均能量為kBT。若固體中有N個(gè)原子，則有3N個(gè)簡諧振動(dòng)模，其總的平均能量為－ (1)模型的特點(diǎn)認(rèn)為晶格中各原子在振動(dòng)時(shí)相互獨(dú)立的，所有原子都以相同的頻率振動(dòng)。 (2)晶格的熱容 θE2eθE／T (3)愛因斯坦模型與實(shí)驗(yàn)符合的程度則e e1 T2≈2＝()θθθ2T2T 2T2TθE2T2所以，C≈3Nk()()＝3NkTθE與杜?。晏娑梢恢?。晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性—晶格熱容的量子理論按溫度的指數(shù)形式降低愛因斯坦模型只適合于近似描述聲子譜中的光學(xué)支對熱容的貢獻(xiàn) (1)模型特點(diǎn)把晶格看作是各向同性的連續(xù)彈性介質(zhì)，格波為彈性波，并且假定橫波和縱波的波速相等。 (2)能量和熱容的表達(dá)式00ωm (3)討論當(dāng)溫度T＞＞ΘD時(shí)，熱容趨于經(jīng)典極限。TTDebyesT－law)。溫度越低，德拜近似越好．12π4T3能帶理論—能帶和帶隙能帶和帶隙(禁帶)兩個(gè)態(tài)的能量間隔—禁帶寬度Eg＝2