人教版高一數(shù)學(xué)新教材同步配套教學(xué)講義4.5.2用二分法求方程的近似解(原卷版+解析)

4．5．2用二分法求方程的近似解【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一：二分法1、二分法對于區(qū)間上圖象連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐漸逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到近似值的方法．2、用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的一般步驟：已知函數(shù)定義在區(qū)間D上，求它在D上的一個零點(diǎn)x0的近似值x，使它滿足給定的精確度．第一步：在D內(nèi)取一個閉區(qū)間，使與異號，即，零點(diǎn)位于區(qū)間中．第二步：取區(qū)間的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對應(yīng)的坐標(biāo)為．計(jì)算和，并判斷：①如果，則就是的零點(diǎn)，計(jì)算終止；②如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間中，令；③如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間中，令第三步：取區(qū)間的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對應(yīng)的坐標(biāo)為．計(jì)算和，并判斷：①如果，則就是的零點(diǎn)，計(jì)算終止；②如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間中，令；③如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間中，令；……繼續(xù)實(shí)施上述步驟，直到區(qū)間，函數(shù)的零點(diǎn)總位于區(qū)間上，當(dāng)和按照給定的精確度所取的近似值相同時(shí)，這個相同的近似值就是函數(shù)的近似零點(diǎn)，計(jì)算終止．這時(shí)函數(shù)的近似零點(diǎn)滿足給定的精確度．知識點(diǎn)詮釋：（1）第一步中要使：①區(qū)間長度盡量??；②、的值比較容易計(jì)算且．（2）根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程的根的關(guān)系，求函數(shù)的零點(diǎn)和求相應(yīng)方程的根式等價(jià)的．對于求方程的根，可以構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)即為方程的根．3、關(guān)于精確度（1）“精確度”與“精確到”不是一回事，這里的“精確度”是指區(qū)間的長度達(dá)到某個確定的數(shù)值，即；“精確到”是指某謳歌數(shù)的數(shù)位達(dá)到某個規(guī)定的數(shù)位．（2）精確度表示當(dāng)區(qū)間的長度小于時(shí)停止二分；此時(shí)除可用區(qū)間的端點(diǎn)代替近似值外，還可選用該區(qū)間內(nèi)的任意一個數(shù)值作零點(diǎn)近似值．【題型歸納目錄】題型一：用二分法求近似解的條件題型二：用二分法求方程近似解的過程題型三：用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的過程【典型例題】題型一：用二分法求近似解的條件例1．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下列圖像表示的函數(shù)中能用二分法求零點(diǎn)的是（

）A． B．C． D．例2．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）觀察下列函數(shù)的圖象，判斷能用二分法求其零點(diǎn)的是（

）A．B．C．D．例3．（2022·四川省南充高級中學(xué)高一階段練習(xí)）用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)，可以取的初始區(qū)間是（

）A． B． C． D．變式1．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)中不能用二分法求零點(diǎn)近似值的是（

）A．f（x）＝3x－1 B．f（x）＝x3C．f（x）＝|x| D．f（x）＝lnx變式2．（2022·江蘇·高一單元測試）下列函數(shù)一定能用“二分法”求其零點(diǎn)的是（

）A．（k，b為常數(shù)，且）B．（a，b，c為常數(shù)，且）C．D．（，k為常數(shù)）變式3．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值適合于（

）A．變號零點(diǎn) B．不變號零點(diǎn)C．都適合 D．都不適合【方法技巧與總結(jié)】判斷一個函數(shù)能否用二分法求其零點(diǎn)的依據(jù)是：其圖象在零點(diǎn)附近是連續(xù)不斷的，且該零點(diǎn)為變號零點(diǎn)．因此，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的方法僅對函數(shù)的變號零點(diǎn)適用，對函數(shù)的不變號零點(diǎn)不適用．題型二：用二分法求方程近似解的過程例4．（2022·甘肅·高臺縣第一中學(xué)高一期中）已知函數(shù)的一個零點(diǎn)附近的函數(shù)值的參考數(shù)據(jù)如下表：x00．50．531250．56250．6250．7510．0660．2150．5121．099由二分法，方程的近似解（精確度為0．05）可能是（

）A．0．625 B． C．0．5625 D．0．066例5．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)的部分函數(shù)值如下，那么方程的一個近似根（精確到0．1）可以是（

）A．1．2 B．1．3 C．1．4 D．1．5例6．（2022·四川·廣安二中高一期中）函數(shù)的一個正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，參考數(shù)據(jù)如下：

那么方程的一個近似解（精確度為0．1）為（

）A．1．5 B．1．25 C．1．41 D．1．44變式4．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）用二分法研究函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)過計(jì)算得，，則其中一個零點(diǎn)所在區(qū)間和第二次應(yīng)計(jì)算的函數(shù)值分別為（

）A．， B．，C．， D．，變式5．（2022·全國·高一課前預(yù)習(xí)）方程在區(qū)間上的根必定在（

）A．上 B．上 C．上 D．上變式6．（2022·全國·高一單元測試）若函數(shù)在區(qū)間[1，1．5]內(nèi)的一個零點(diǎn)附近函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，列表如下：x11．51．251．3751．3125f（x）-10．875-0．29690．2246-0．05151那么方程的一個近似根（精確度為0．1）可以為（）A．1．3 B．1．32 C．1．4375 D．1．25變式7．（2022·內(nèi)蒙古·呼和浩特市教育教學(xué)研究中心高一期末）用二分法求方程的近似解，求得函數(shù)的部分函數(shù)值數(shù)據(jù)如下：，，，，則方程的一個近似根x所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．變式8．（2022·全國·高一專題練習(xí)）用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)，要求精確度為時(shí)，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為（

）A． B． C． D．變式9．（2022·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，在用二分法求方程在內(nèi)近似解的過程可得，，，則方程的解所在區(qū)間為（

）A． B．C． D．不能確定變式10．（2022·廣東·珠海市斗門區(qū)第一中學(xué)高一階段練習(xí)）若函數(shù)的一個零點(diǎn)（正數(shù)）附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，參考數(shù)據(jù)如下表：那么方程的一個近似解（精確度0．04）為（

）A．1．5 B．1．25 C．1．375 D．1．4375變式11．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）在用二分法求方程在上的近似解時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，依次計(jì)算得，，，，，則該近似解所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】（1）依據(jù)圖象估計(jì)零點(diǎn)所在的初始區(qū)間（這個區(qū)間既要包含所求的根，又要使其長度盡可能的小，區(qū)間的端點(diǎn)盡量為整數(shù)）．（2）取區(qū)間端點(diǎn)的平均數(shù)，計(jì)算，確定有解區(qū)間是還是，逐步縮小區(qū)間的“長度”，直到區(qū)間的長度符合精確度要求（這個過程中應(yīng)及時(shí)檢驗(yàn)所得區(qū)間端點(diǎn)差的絕對值是否達(dá)到給定的精確度），才終止計(jì)算，得到函數(shù)零點(diǎn)的近似值（為了比較清晰地表達(dá)計(jì)算過程與函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間往往采用列表法）．題型三：用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的過程例7．（2022·江蘇·南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校高一期中）用二分法研究函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，第一次計(jì)算，得，，第二次應(yīng)計(jì)算，則等于（

）A．1 B． C．0．25 D．0．75例8．（2022·山西·懷仁市大地學(xué)校高中部高一階段練習(xí)）已知定義在上的增函數(shù)，在用二分法尋找零點(diǎn)的過程中，依次確定了零點(diǎn)所在區(qū)間為，，，又，則函數(shù)的零點(diǎn)為（

）A． B． C． D．例9．（2022·新疆昌吉·高一期末）在用“二分法”求函數(shù)零點(diǎn)近似值時(shí)，若第一次所取區(qū)間為，則第三次所取區(qū)間可能是（

）A． B． C． D．變式12．（2022·江蘇·高一）已知函數(shù)在內(nèi)有一個零點(diǎn)，且求得的部分函數(shù)值數(shù)據(jù)如下表所示：121.51.751.76561.75781.7617－63－2.625－0.140630.035181－0.05304－0.0088要使零點(diǎn)的近似值精確度為0.01，則對區(qū)間的最少等分次數(shù)和近似解分別為（

）A．6次1.75 B．6次1.76 C．7次1.75 D．7次1.76變式13．（2022·全國·高一單元測試）用二分法求方程近似解時(shí)，所取的第一個區(qū)間可以是（

）A． B． C． D．變式14．（2022·遼寧·沈陽市第一二〇中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)在上有零點(diǎn)，用二分法求零點(diǎn)的近似值（精確度小于0.1）時(shí)，至少需要進(jìn)行______次函數(shù)值的計(jì)算.變式15．（2022·全國·高一專題練習(xí)）根據(jù)下表，用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)的近似值（精確度）是__________．f（1）=-1f（2）=3f（1.5）=-0.125f（1.75）=1.109375f（1.625）=0.41601562f（1.5625）=0.12719726變式16．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)探究在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；(2)判斷方程是否存在實(shí)根？若存在，設(shè)此根為，請求出一個長度為的區(qū)間，使；若不存在，請說明理由.（注：區(qū)間的長度為）變式17．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）用二分法求下列函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)：(1)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)（精確到0.1）；(2)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)（精確到0.1）．變式18．（2022·湖南·益陽平高學(xué)校高一階段練習(xí)）已知函數(shù)為上的連續(xù)函數(shù)．(1)若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．(2)若，判斷在上是否存在零點(diǎn)？若存在，請?jiān)谡`差不超過0.1的條件下，用二分法求出這個零點(diǎn)所在的區(qū)間；若不存在，請說明理由．【方法技巧與總結(jié)】利用二分法求函數(shù)近似零點(diǎn)的流程圖：【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)圖像與x軸都有公共點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)近似值的是（

）A． B．C． D．2．（2022·湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末）已知函數(shù)的部分函數(shù)值如下表所示那么函數(shù)的一個零點(diǎn)的近似值（精確度為）為（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下列選項(xiàng)中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)近似值的是（

）A． B．C． D．4．（2022·浙江·高一期末）若的一個正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，數(shù)據(jù)如下表：那么方程的一個近似根（精確到0.1）為（

）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.55．（2022·江蘇·高一）下列關(guān)于二分法的敘述，正確的是（

）A．用二分法可求所有函數(shù)零點(diǎn)的近似值B．用二分法求方程的近似解時(shí)，可以精確到小數(shù)點(diǎn)后的任一位C．二分法無規(guī)律可循，無法在計(jì)算機(jī)上完成D．只有求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)才用二分法6．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)的一個正零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計(jì)算，其參考數(shù)據(jù)如下：那么方程的一個近似根（精確度0.1）為（

）．A．1.2 B．1.4 C．1.3 D．1.57．（2022·湖北·華中師大一附中高一階段練習(xí)）在用二分法求方程3x+3x﹣8=0在（1，2）內(nèi)近似根的過程中，已經(jīng)得到，則方程的根落在區(qū)間（

）A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能確定8．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）用二分法求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的近似值，要求誤差不超過0.01時(shí)，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為（

）A．5 B．6 C．7 D．8二、多選題9．（2022·湖北·武漢市第十四中學(xué)高一階段練習(xí)）給出下列命題：①已知函數(shù)，則②當(dāng)且時(shí)，函數(shù)的圖像必過定點(diǎn)③用二分法求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)近似值，至少經(jīng)過3次二分后精確度達(dá)到0.1④函數(shù)的零點(diǎn)有2個以上命題錯誤的有（

）．A．① B．② C．③ D．④10．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點(diǎn)，且都可以用二分法求得，其圖象是連續(xù)不斷的，若，，則下列命題正確的是（

）A．函數(shù)的兩個零點(diǎn)可以分別在區(qū)間和內(nèi)B．函數(shù)的兩個零點(diǎn)可以分別在區(qū)間和內(nèi)C．函數(shù)的兩個零點(diǎn)可以分別在區(qū)間和內(nèi)D．函數(shù)的兩個零點(diǎn)不可能同時(shí)在區(qū)間內(nèi)11．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）某同學(xué)用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，計(jì)算出如下結(jié)果：，，，，．下列說法正確的有（

）A．的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi) B．的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)C．精確到0.1的近似值為1.4 D．精確到0.1的近似值為1.512．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，函數(shù)的圖像與軸交于，，，四點(diǎn)，則能用二分法求出的零點(diǎn)近似值的是（

）A． B． C． D．三、填空題13．（2022·全國·高一專題練習(xí)）用二分法研究函數(shù)的零點(diǎn)，第一次經(jīng)計(jì)算，則第二次計(jì)算的的值為___．14．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）在用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值時(shí)，若第一次所取區(qū)間為，則第三次所取區(qū)間可能是______．（寫出一個符合條件的區(qū)間即可）15．（2022·全國·高一專題練習(xí)）用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)，要求精確度為時(shí)，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為______．16．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）用二分法求方程x3－8＝0在區(qū)間(2，3)內(nèi)的近似解經(jīng)過________次“二分”后精確度能達(dá)到0.01.四、解答題17．（2022·全國·高一專題練習(xí)）求函數(shù)的一個負(fù)零點(diǎn)（精確度0.01）.18．（2022·全國·高一專題練習(xí)）求方程lnx＋x－3＝0在(2，3)內(nèi)的近似解(精確度為0.1).19．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝3x＋，方程f(x)＝0在(－1,＋∞)內(nèi)是否有根？若有根，有幾個？請你用二分法求出方程f(x)＝0根的近似值.(精確度0.01)20．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，判斷函數(shù)在上是否存在零點(diǎn).若存在，請?jiān)诰_度為0.2的條件下，用二分法求出該零點(diǎn)存在的區(qū)間；若不存在，請說明理由.(2)若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.4．5．2用二分法求方程的近似解【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一：二分法1、二分法對于區(qū)間上圖象連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐漸逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到近似值的方法．2、用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的一般步驟：已知函數(shù)定義在區(qū)間D上，求它在D上的一個零點(diǎn)x0的近似值x，使它滿足給定的精確度．第一步：在D內(nèi)取一個閉區(qū)間，使與異號，即，零點(diǎn)位于區(qū)間中．第二步：取區(qū)間的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對應(yīng)的坐標(biāo)為．計(jì)算和，并判斷：①如果，則就是的零點(diǎn)，計(jì)算終止；②如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間中，令；③如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間中，令第三步：取區(qū)間的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對應(yīng)的坐標(biāo)為．計(jì)算和，并判斷：①如果，則就是的零點(diǎn)，計(jì)算終止；②如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間中，令；③如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間中，令；……繼續(xù)實(shí)施上述步驟，直到區(qū)間，函數(shù)的零點(diǎn)總位于區(qū)間上，當(dāng)和按照給定的精確度所取的近似值相同時(shí)，這個相同的近似值就是函數(shù)的近似零點(diǎn)，計(jì)算終止．這時(shí)函數(shù)的近似零點(diǎn)滿足給定的精確度．知識點(diǎn)詮釋：（1）第一步中要使：①區(qū)間長度盡量?。虎?、的值比較容易計(jì)算且．（2）根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程的根的關(guān)系，求函數(shù)的零點(diǎn)和求相應(yīng)方程的根式等價(jià)的．對于求方程的根，可以構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)即為方程的根．3、關(guān)于精確度（1）“精確度”與“精確到”不是一回事，這里的“精確度”是指區(qū)間的長度達(dá)到某個確定的數(shù)值，即；“精確到”是指某謳歌數(shù)的數(shù)位達(dá)到某個規(guī)定的數(shù)位．（2）精確度表示當(dāng)區(qū)間的長度小于時(shí)停止二分；此時(shí)除可用區(qū)間的端點(diǎn)代替近似值外，還可選用該區(qū)間內(nèi)的任意一個數(shù)值作零點(diǎn)近似值．【題型歸納目錄】題型一：用二分法求近似解的條件題型二：用二分法求方程近似解的過程題型三：用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的過程【典型例題】題型一：用二分法求近似解的條件例1．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下列圖像表示的函數(shù)中能用二分法求零點(diǎn)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】四個圖像中，與x軸垂直的直線和圖像只有一個交點(diǎn)，所以四個圖像都表示函數(shù)的圖像，對于A，函數(shù)圖像和x軸無交點(diǎn)，所以無零點(diǎn)，故錯誤；對于B，D，函數(shù)圖像和x軸有交點(diǎn)，函數(shù)均有零點(diǎn)，但它們均是不變號零點(diǎn)，因此都不能用二分法求零點(diǎn)；對于C，函數(shù)圖像是連續(xù)不斷的，且函數(shù)圖像與x軸有交點(diǎn)，并且其零點(diǎn)為變號零點(diǎn)．故選：C．例2．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）觀察下列函數(shù)的圖象，判斷能用二分法求其零點(diǎn)的是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由圖象可知，BD選項(xiàng)中函數(shù)無零點(diǎn)，AC選項(xiàng)中函數(shù)有零點(diǎn)，C選項(xiàng)中函數(shù)零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值符號相同，A選項(xiàng)中函數(shù)零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值符號相反，故A選項(xiàng)中函數(shù)零點(diǎn)可以用二分法求近似值，C選項(xiàng)不能用二分法求零點(diǎn)．故選：A例3．（2022·四川省南充高級中學(xué)高一階段練習(xí)）用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)，可以取的初始區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)槭菃握{(diào)增函數(shù)，故是單調(diào)增函數(shù)，其零點(diǎn)至多有一個；又，故用二分法求其零點(diǎn)，可以取得初始區(qū)間是．故選：B．變式1．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)中不能用二分法求零點(diǎn)近似值的是（

）A．f（x）＝3x－1 B．f（x）＝x3C．f（x）＝|x| D．f（x）＝lnx【答案】C【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于A，f（x）＝3x－1在R上是單調(diào)函數(shù)，有唯一零點(diǎn)，且函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)異號，可用二分法求零點(diǎn)；對于B，f（x）＝x3在R上是單調(diào)函數(shù)，有唯一零點(diǎn)，且函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)異號，可用二分法求零點(diǎn)；對于C，f（x）＝|x|，雖然也有唯一的零點(diǎn)，但函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)都是正號，故不能用二分法求零點(diǎn)；對于D，f（x）＝lnx在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，有唯一零點(diǎn)，且函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)異號，可用二分法求零點(diǎn)；故選：C．變式2．（2022·江蘇·高一單元測試）下列函數(shù)一定能用“二分法”求其零點(diǎn)的是（

）A．（k，b為常數(shù)，且）B．（a，b，c為常數(shù)，且）C．D．（，k為常數(shù)）【答案】A【解析】由指數(shù)函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)可知其沒有函數(shù)零點(diǎn)，故C，D不能用“二分法”求其零點(diǎn)，故CD錯誤；對于二次函數(shù)（a，b，c為常數(shù)，且），當(dāng)時(shí)，不能用二分法，故B錯誤；由于一次函數(shù)一定是單調(diào)函數(shù)，且存在函數(shù)零點(diǎn)，故可以用“二分法”求其零點(diǎn)，故A選項(xiàng)正確．故選：A變式3．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值適合于（

）A．變號零點(diǎn) B．不變號零點(diǎn)C．都適合 D．都不適合【答案】A【解析】由零點(diǎn)存在定理可知，二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值適合于在零點(diǎn)兩邊的函數(shù)值異號，即適用于變號零點(diǎn)．故選：A．【方法技巧與總結(jié)】判斷一個函數(shù)能否用二分法求其零點(diǎn)的依據(jù)是：其圖象在零點(diǎn)附近是連續(xù)不斷的，且該零點(diǎn)為變號零點(diǎn)．因此，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的方法僅對函數(shù)的變號零點(diǎn)適用，對函數(shù)的不變號零點(diǎn)不適用．題型二：用二分法求方程近似解的過程例4．（2022·甘肅·高臺縣第一中學(xué)高一期中）已知函數(shù)的一個零點(diǎn)附近的函數(shù)值的參考數(shù)據(jù)如下表：x00．50．531250．56250．6250．7510．0660．2150．5121．099由二分法，方程的近似解（精確度為0．05）可能是（

）A．0．625 B． C．0．5625 D．0．066【答案】C【解析】由題意得在區(qū)間上單調(diào)遞增，設(shè)方程的解的近似值為，由表格得，所以，因?yàn)?，所以方程的近似解可取?．5625．故選：C．例5．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)的部分函數(shù)值如下，那么方程的一個近似根（精確到0．1）可以是（

）A．1．2 B．1．3 C．1．4 D．1．5【答案】C【解析】因?yàn)椋?，?．375與1．4375精確到0．1的近似值都為1．4，所以原方程的一個近似根為1．4．故選：C．例6．（2022·四川·廣安二中高一期中）函數(shù)的一個正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，參考數(shù)據(jù)如下：

那么方程的一個近似解（精確度為0．1）為（

）A．1．5 B．1．25 C．1．41 D．1．44【答案】C【解析】由所給數(shù)據(jù)可知，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個根，因?yàn)?，，所以根在?nèi)，因?yàn)?，所以不滿足精確度，繼續(xù)取區(qū)間中點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以根在區(qū)間，因?yàn)?，所以不滿足精確度，繼續(xù)取區(qū)間中點(diǎn)，因?yàn)?，，所以根在區(qū)間內(nèi)，因?yàn)闈M足精確度，因?yàn)?，所以根在?nèi)，所以方程的一個近似解為，故選：C變式4．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）用二分法研究函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)過計(jì)算得，，則其中一個零點(diǎn)所在區(qū)間和第二次應(yīng)計(jì)算的函數(shù)值分別為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】因?yàn)?，由零點(diǎn)存在性知：零點(diǎn)，根據(jù)二分法，第二次應(yīng)計(jì)算，即，故選：D．變式5．（2022·全國·高一課前預(yù)習(xí)）方程在區(qū)間上的根必定在（

）A．上 B．上 C．上 D．上【答案】D【解析】解析：設(shè)，則，，因?yàn)榍?，所以函?shù)在上必有零點(diǎn)．又因?yàn)榍?，所以函?shù)在上必有零點(diǎn)．又因?yàn)榍?，所以函?shù)在上必有零點(diǎn)．即方程的根必在上．故選：D變式6．（2022·全國·高一單元測試）若函數(shù)在區(qū)間[1，1．5]內(nèi)的一個零點(diǎn)附近函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，列表如下：x11．51．251．3751．3125f（x）-10．875-0．29690．2246-0．05151那么方程的一個近似根（精確度為0．1）可以為（）A．1．3 B．1．32 C．1．4375 D．1．25【答案】B【解析】由，，且為連續(xù)函數(shù)，由零點(diǎn)存在性定理知：區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，故方程的一個近似根可以為1．32，B選項(xiàng)正確，其他選項(xiàng)均不可．故選：B變式7．（2022·內(nèi)蒙古·呼和浩特市教育教學(xué)研究中心高一期末）用二分法求方程的近似解，求得函數(shù)的部分函數(shù)值數(shù)據(jù)如下：，，，，則方程的一個近似根x所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，知，所以函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，即方程的一個近似根x所在區(qū)間為．故選：B．變式8．（2022·全國·高一專題練習(xí)）用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)，要求精確度為時(shí)，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】開區(qū)間的長度等于1，每經(jīng)過一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，?jīng)過此操作后，區(qū)間長度變?yōu)?，用二分法求函?shù)在區(qū)間上近似解，要求精確度為，，解得，故選：C．變式9．（2022·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，在用二分法求方程在內(nèi)近似解的過程可得，，，則方程的解所在區(qū)間為（

）A． B．C． D．不能確定【答案】A【解析】因?yàn)?，故方程的解所在區(qū)間為．故選：A．變式10．（2022·廣東·珠海市斗門區(qū)第一中學(xué)高一階段練習(xí)）若函數(shù)的一個零點(diǎn)（正數(shù)）附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，參考數(shù)據(jù)如下表：那么方程的一個近似解（精確度0．04）為（

）A．1．5 B．1．25 C．1．375 D．1．4375【答案】D【解析】由表格結(jié)合零點(diǎn)存在定理知零點(diǎn)在上，區(qū)間長度為0．03125，滿足精度要求，觀察各選項(xiàng)，只有D中值1．4375是該區(qū)間的一個端點(diǎn)，可以作為近似解，故選：D．變式11．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）在用二分法求方程在上的近似解時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，依次計(jì)算得，，，，，則該近似解所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)已知，，，，，根據(jù)二分法可知該近似解所在的區(qū)間是．故選：C.【方法技巧與總結(jié)】（1）依據(jù)圖象估計(jì)零點(diǎn)所在的初始區(qū)間（這個區(qū)間既要包含所求的根，又要使其長度盡可能的小，區(qū)間的端點(diǎn)盡量為整數(shù)）．（2）取區(qū)間端點(diǎn)的平均數(shù)，計(jì)算，確定有解區(qū)間是還是，逐步縮小區(qū)間的“長度”，直到區(qū)間的長度符合精確度要求（這個過程中應(yīng)及時(shí)檢驗(yàn)所得區(qū)間端點(diǎn)差的絕對值是否達(dá)到給定的精確度），才終止計(jì)算，得到函數(shù)零點(diǎn)的近似值（為了比較清晰地表達(dá)計(jì)算過程與函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間往往采用列表法）．題型三：用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的過程例7．（2022·江蘇·南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校高一期中）用二分法研究函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，第一次計(jì)算，得，，第二次應(yīng)計(jì)算，則等于（

）A．1 B． C．0．25 D．0．75【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以在?nèi)存在零點(diǎn)，根據(jù)二分法第二次應(yīng)該計(jì)算，其中；故選：C例8．（2022·山西·懷仁市大地學(xué)校高中部高一階段練習(xí)）已知定義在上的增函數(shù)，在用二分法尋找零點(diǎn)的過程中，依次確定了零點(diǎn)所在區(qū)間為，，，又，則函數(shù)的零點(diǎn)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由在上單調(diào)遞增得：，，又恒成立，∴，解得，∴的零點(diǎn)為，故選：C.例9．（2022·新疆昌吉·高一期末）在用“二分法”求函數(shù)零點(diǎn)近似值時(shí)，若第一次所取區(qū)間為，則第三次所取區(qū)間可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】第一次所取區(qū)間為，則第二次所取區(qū)間可能是；第三次所取的區(qū)間可能是.故選：.變式12．（2022·江蘇·高一）已知函數(shù)在內(nèi)有一個零點(diǎn)，且求得的部分函數(shù)值數(shù)據(jù)如下表所示：121.51.751.76561.75781.7617－63－2.625－0.140630.035181－0.05304－0.0088要使零點(diǎn)的近似值精確度為0.01，則對區(qū)間的最少等分次數(shù)和近似解分別為（

）A．6次1.75 B．6次1.76 C．7次1.75 D．7次1.76【答案】D【解析】由表格數(shù)據(jù)，零點(diǎn)區(qū)間變化如下：，此時(shí)區(qū)間長度小于，在此區(qū)間內(nèi)取近似值，等分了7次，近似解取．故選：D．變式13．（2022·全國·高一單元測試）用二分法求方程近似解時(shí)，所取的第一個區(qū)間可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，，所以函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，所以用二分法求方程近似解時(shí)，所取的第一個區(qū)間可以是.故選：B.變式14．（2022·遼寧·沈陽市第一二〇中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)在上有零點(diǎn)，用二分法求零點(diǎn)的近似值（精確度小于0.1）時(shí)，至少需要進(jìn)行______次函數(shù)值的計(jì)算.【答案】3【解析】至少需要進(jìn)行3次函數(shù)值的計(jì)算，理由如下：取區(qū)間的中點(diǎn)，且，所以.取區(qū)間的中點(diǎn)，且，所以.取區(qū)間的中點(diǎn)，且，所以.因?yàn)?，所以區(qū)間的中點(diǎn)即為零點(diǎn)的近似值，即，所以至少需進(jìn)行3次函數(shù)值的計(jì)算.故答案為：3變式15．（2022·全國·高一專題練習(xí)）根據(jù)下表，用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)的近似值（精確度）是__________．f（1）=-1f（2）=3f（1.5）=-0.125f（1.75）=1.109375f（1.625）=0.41601562f（1.5625）=0.12719726【答案】（答案不唯一）【解析】由二分法定義：由函數(shù)，由圖表知；；；.由于，故零點(diǎn)的近似值是1.5或1.5625或區(qū)間[1.5，1.5625]上的任何一個值.故答案為：.（答案不唯一）變式16．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)探究在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；(2)判斷方程是否存在實(shí)根？若存在，設(shè)此根為，請求出一個長度為的區(qū)間，使；若不存在，請說明理由.（注：區(qū)間的長度為）【解析】（1），則函數(shù)在上為減函數(shù)，證明如下：任取、且，則，因?yàn)?，則，即，故函數(shù)在上為減函數(shù).（2）由，可知，即，解得，即，可得，構(gòu)造函數(shù)，由（1）可知，函數(shù)在上為減函數(shù)，而函數(shù)為定義域上的增函數(shù)，則函數(shù)在上為增函數(shù)，又因?yàn)楹瘮?shù)在上也為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)?，，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，且零點(diǎn)記為，，即，，故，，故，且區(qū)間的長度為.故滿足條件的一個區(qū)間為.變式17．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）用二分法求下列函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)：(1)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)（精確到0.1）；(2)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)（精確到0.1）．【解析】(1)因?yàn)?，，則在內(nèi)存在零點(diǎn)，又，，則在內(nèi)存在零點(diǎn)，又，，則在內(nèi)存在零點(diǎn)，又，，則在內(nèi)存在零點(diǎn)，又，，則在內(nèi)存在零點(diǎn)，因?yàn)?，，則在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)近似為.(2)因?yàn)?，，則在內(nèi)存在零點(diǎn)，又，，則在內(nèi)存在零點(diǎn)，又，，則在內(nèi)存在零點(diǎn)，又，，則在內(nèi)存在零點(diǎn)，因?yàn)?，，則在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)近似為.變式18．（2022·湖南·益陽平高學(xué)校高一階段練習(xí)）已知函數(shù)為上的連續(xù)函數(shù)．(1)若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．(2)若，判斷在上是否存在零點(diǎn)？若存在，請?jiān)谡`差不超過0.1的條件下，用二分法求出這個零點(diǎn)所在的區(qū)間；若不存在，請說明理由．【解析】(1)為二次函數(shù)，開口向上，對稱軸為，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，∵在區(qū)間上存在零點(diǎn)，∴，即，解得：，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．(2)當(dāng)時(shí)，為二次函數(shù)，開口向上，對稱軸為，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，則，∴函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)，又為上的連續(xù)函數(shù)，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，此時(shí)誤差為，即滿足誤差不超過0.1，∴零點(diǎn)所在的區(qū)間為．【方法技巧與總結(jié)】利用二分法求函數(shù)近似零點(diǎn)的流程圖：【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)圖像與x軸都有公共點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)近似值的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】函數(shù)在零點(diǎn)的左右兩側(cè)的函數(shù)值符號相反，即圖像穿過軸時(shí)，能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值，據(jù)此分析選項(xiàng)，由圖知，A選項(xiàng)中，零點(diǎn)的左右兩側(cè)的函數(shù)值符號相同，函數(shù)不能用二分法求零點(diǎn)近似值；B選項(xiàng)中，有零點(diǎn)且零點(diǎn)左右兩側(cè)函數(shù)值符號不同，函數(shù)能用二分法求零點(diǎn)近似值；C選項(xiàng)中，有零點(diǎn)且零點(diǎn)左右兩側(cè)函數(shù)值符號不同，函數(shù)能用二分法求零點(diǎn)近似值；D選項(xiàng)中，有零點(diǎn)且零點(diǎn)左右兩側(cè)函數(shù)值符號不同，函數(shù)能用二分法求零點(diǎn)近似值.故選:A2．（2022·湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末）已知函數(shù)的部分函數(shù)值如下表所示那么函數(shù)的一個零點(diǎn)的近似值（精確度為）為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，由數(shù)表知：，由零點(diǎn)存在性定義知，函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，所以函數(shù)的一個零點(diǎn)的近似值為.故選：B3．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下列選項(xiàng)中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)近似值的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由圖象可知B中零點(diǎn)是不變號零點(diǎn)，其他圖象中零點(diǎn)都是變號零點(diǎn)，故B不能用二分法求零點(diǎn)近似值.故選：B4．（2022·浙江·高一期末）若的一個正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，數(shù)據(jù)如下表：那么方程的一個近似根（精確到0.1）為（

）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【答案】C【解析】根據(jù)二分法，結(jié)合表中數(shù)據(jù)，由于所以方程的一個近似根所在區(qū)間為所以符合條件的解為1.4故選:C.5．（2022·江蘇·高一）下列關(guān)于二分法的敘述，正確的是（

）A．用二分法可求所有函數(shù)零點(diǎn)的近似值B．用二分法求方程的近似解時(shí)，可以精確到小數(shù)點(diǎn)后的任一位C．二分法無規(guī)律可循，無法在計(jì)算機(jī)上完成D．只有求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)才用二分法【答案】B【解析】根據(jù)二分法的概念可知，只有函數(shù)的圖象在零點(diǎn)附近是連續(xù)不斷且在該零點(diǎn)左右兩側(cè)函數(shù)值異號，才可以用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)的近似值，故A錯；用二分法求方程的近似解時(shí)，可以精確到小數(shù)點(diǎn)后的任一位，故B正確；二分法有規(guī)律可循，可以通過計(jì)算機(jī)來進(jìn)行，故C錯；求方程的近似解也可以用二分法，故D錯.故選：B.6．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)的一個正零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計(jì)算，其參考數(shù)據(jù)如下：那么方程的一個近似根（精確度0.1）為（

）．A．1.2 B．1.4 C．1.3 D．1.5【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以函?shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因?yàn)?，所以不滿足精確度；因?yàn)?，所以，所以函?shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因?yàn)?，所以不滿足精確度；因?yàn)?，所以，所以函?shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因?yàn)椋圆粷M足精確度；因?yàn)椋?，所以函?shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因?yàn)?，所以滿足精確度；所以方程的一個近似根（精確度）是區(qū)間內(nèi)的任意一個值（包括端點(diǎn)值），根據(jù)四個選項(xiàng)可知選B.故選：B7．（2022·湖北·華中師大一附中高一階段練習(xí)）在用二分法求方程3x+3x﹣8=0在（1，2）內(nèi)近似根的過程中，已經(jīng)得到，則方程的根落在區(qū)間（

）A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能確定【答案】B【解析】∵f（1）<0，f（1.5）>0，∴在區(qū)間（1，1.5）內(nèi)函數(shù)=3x+3x﹣8存在一個零點(diǎn)又∵f（1.5）>0，f（1.25）<0，∴在區(qū)間（1.25，1.5）內(nèi)函數(shù)=3x+3x﹣8存在一個零點(diǎn)，由此可得方程的根落在區(qū)間（1.25，1.5）內(nèi)，故選：B8．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）用二分法求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的近似值，要求誤差不超過0.01時(shí)，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】開區(qū)間的長度等于1，每經(jīng)過一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，所以?jīng)過次操作后，區(qū)間長度變?yōu)?，∵用二分法求函?shù)在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的近似值，要求誤差不超過0.01，∴，解得：，

所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為7.故選：C．二、多選題9．（2022·湖北·武漢市第十四中學(xué)高一階段練習(xí)）給出下列命題：①已知函數(shù)，則②當(dāng)且時(shí)，函數(shù)的圖像必過定點(diǎn)③用二分法求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)近似值，至少經(jīng)過3次二分后精確度達(dá)到0.1④函數(shù)的零點(diǎn)有2個以上命題錯誤的有（

）．A．① B．② C．③ D．④【答案】ACD【解析】①選項(xiàng)，函數(shù)，所以令代入得：，故選項(xiàng)錯誤；②選項(xiàng)，函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以，此函數(shù)必過定點(diǎn)，該選項(xiàng)正確；③選項(xiàng)，區(qū)間的長度等于1，每經(jīng)過一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，?jīng)過次操作后，區(qū)間長度變?yōu)?，故有，，至少要操?次，所以選項(xiàng)錯誤；④選項(xiàng)，函數(shù)的零點(diǎn)有3個，一個是，一個為，一個為，所以選項(xiàng)錯誤.故選：ACD10．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點(diǎn)，且都可以用二分法求得，其圖象是連續(xù)不斷的，若，，則下列命題正確的是（

）A．函數(shù)的兩個零點(diǎn)可以分別在區(qū)間和內(nèi)B．函數(shù)的兩個零點(diǎn)可以分別在區(qū)間和內(nèi)C．函數(shù)的兩個零點(diǎn)可以分別在區(qū)間和內(nèi)D．函數(shù)的兩個零點(diǎn)不可能同時(shí)在區(qū)間內(nèi)【答案】ABD【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有兩個零點(diǎn)，且都可以用二分法求得，其圖象是連續(xù)不斷的，所以零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號，又，，所以，，若，可得，，即此時(shí)函數(shù)的兩個零點(diǎn)分別在區(qū)間和內(nèi)，故B正確；若，則，，即此時(shí)函數(shù)的兩個零點(diǎn)分別在區(qū)間和內(nèi)，故A正確.綜上兩種情況，可知選項(xiàng)C錯誤，D正確.故選：ABD.11．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）某同學(xué)用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，計(jì)算出如下結(jié)果：，，，，．下列說法正確的有（

）A．的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi) B．的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)C．精確到0.1的近似值為1.4 D．精確到0.1的近似值為1.5【答案】BC【解析】易知是增函數(shù)，因?yàn)?，，所以零點(diǎn)在內(nèi)，所以A錯誤，B正確，又1.4375和1.375精確到0.1的近似數(shù)都是1.4，所以C正確，D錯誤．故選：BC.12．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，函數(shù)的圖像與軸交于，，，四點(diǎn)，則能用二分法求出的零點(diǎn)近似值的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】由題圖，可知在兩側(cè)，函數(shù)的值均大于0，故的近似值不能用二分法求出.其他零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值符號均相反，可以用二分法求解近似值.故選:ACD.三、填空題13．（2022·全國·高一專題練習(xí)）用二分法研究函數(shù)的零點(diǎn)，第一次經(jīng)計(jì)算，則第二次計(jì)算的的值為___．【答案】