2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義第十二章培優(yōu)課12.6　概率、統(tǒng)計與其他知識的交匯問題(學(xué)生版+解析)

§12.6概率、統(tǒng)計與其他知識的交匯問題有關(guān)概率、統(tǒng)計與其他知識相交匯的考題，能體現(xiàn)“返璞歸真，支持課改；突破定勢，考查真功”的命題理念，是每年高考的必考內(nèi)容．近幾年將概率、統(tǒng)計問題與數(shù)列、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)結(jié)合，成為創(chuàng)新問題．題型一概率、統(tǒng)計與數(shù)列的綜合問題例1“每天鍛煉一小時，健康工作五十年，幸福生活一輩子”．某公司組織全員每天進(jìn)行體育鍛煉，訂制了主題為“百年風(fēng)云”的系列紀(jì)念幣獎勵員工，該系列紀(jì)念幣有A1，A2，A3，A4四種．每個員工每天自主選擇“球類”和“田徑”中的一項進(jìn)行鍛煉．鍛煉結(jié)束后員工將隨機等可能地獲得一枚紀(jì)念幣．(1)某員工活動前兩天獲得A1，A4，則前四天恰好能集齊“百年風(fēng)云”系列紀(jì)念幣的概率是多少？(2)通過抽樣調(diào)查發(fā)現(xiàn)，活動首日有eq\f(3,4)的員工選擇“球類”，其余的員工選擇“田徑”；在前一天選擇“球類“的員工中，次日會有eq\f(1,3)的員工繼續(xù)選擇“球類”，其余的選擇“田徑”；在前一天選擇“田徑”的員工中，次日會有eq\f(1,2)的員工繼續(xù)選擇“田徑”，其余的選擇“球類”．用頻率估計概率，記某員工第n天選擇“球類”的概率為Pn.①計算P1，P2，并求Pn；②該公司共有員工1400人，經(jīng)過足夠多天后，試估計該公司接下來每天各有多少員工參加“球類”和“田徑”運動？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華高考有時將概率、統(tǒng)計等問題與數(shù)列交匯在一起進(jìn)行考查，此類問題常常以概率、統(tǒng)計為命題情景，同時考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定及其前n項和，解題時要準(zhǔn)確把握題中所涉及的事件，明確其所屬的事件類型．跟蹤訓(xùn)練1(2022·太原模擬)足球運動是深受人們喜愛的一項體育運動，其中守門員撲點球和傳球是足球訓(xùn)練中的兩個重要訓(xùn)練項目．(1)假設(shè)發(fā)點球時，球員等可能地選擇左、中、右三個方向射門，守門員等可能地選擇左、中、右三個方向撲點球，且守門員方向判斷正確時，有eq\f(1,3)的可能將球撲出球門外．在一次點球戰(zhàn)中，求守門員在前三次點球中，把球撲出球門外的個數(shù)X的分布列和均值；(2)某次傳球訓(xùn)練中，教練員讓甲、乙、丙、丁4名球員進(jìn)行傳接球訓(xùn)練，從甲開始傳球，甲等可能地傳給另外3人中的1人，接球者再等可能地傳給另外3人中的1人，如此一直進(jìn)行．假設(shè)每個球都能被接住，記第n次傳球后球又回到甲腳下的概率為Pn.求證：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Pn－\f(1,4)))為等比數(shù)列，并求Pn.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型二概率、統(tǒng)計與導(dǎo)數(shù)的綜合問題例2(2023·岳陽模擬)中國國家統(tǒng)計局2021年9月30日發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，2021年9月中國制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)(PMI)為49.8%，反映出中國制造業(yè)擴張步伐有所加快．以新能源汽車、機器人、增材制造、醫(yī)療設(shè)備、高鐵、電力裝備、船舶、無人機等為代表的高端制造業(yè)突飛猛進(jìn)，進(jìn)一步體現(xiàn)了中國制造業(yè)當(dāng)前的跨越式發(fā)展．已知某精密制造企業(yè)根據(jù)長期檢測結(jié)果，得到生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量差服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，并把質(zhì)量差在(μ－σ，μ＋σ)內(nèi)的產(chǎn)品稱為優(yōu)等品，質(zhì)量差在(μ＋σ，μ＋2σ)內(nèi)的產(chǎn)品稱為一等品，優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品處理．現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機抽取1000件，測得產(chǎn)品質(zhì)量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計如圖所示：(1)取樣本數(shù)據(jù)的方差s2的近似值為100，用樣本平均數(shù)eq\x\to(x)作為μ的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計值，記質(zhì)量差X～N(μ，σ2)，求該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率P(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)；(2)假如企業(yè)包裝時要求把2件優(yōu)等品和n(n≥2，n∈N*)件一等品裝在同一個箱子中，質(zhì)檢員從某箱子中摸出兩件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗，若抽取到的兩件產(chǎn)品等級相同，則該箱產(chǎn)品記為A，否則該箱產(chǎn)品記為B.①試用含n的代數(shù)式表示某箱產(chǎn)品抽檢被記為B的概率p；②設(shè)抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為B的概率為f(p)，求當(dāng)n為何值時，f(p)取得最大值，并求出最大值．參考數(shù)據(jù)：若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.9973.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華在概率與統(tǒng)計的問題中，決策的工具是樣本的數(shù)字特征或有關(guān)概率．決策方案的最佳選擇是將概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作為最佳方案，這往往借助于函數(shù)、不等式或數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)去實現(xiàn)．跟蹤訓(xùn)練2(2023·江門模擬)學(xué)習(xí)強國中有兩項競賽答題活動，一項為“雙人對戰(zhàn)”，另一項為“四人賽”．活動規(guī)則如下：一天內(nèi)參加“雙人對戰(zhàn)”活動，僅首局比賽可獲得積分，獲勝得2分，失敗得1分；一天內(nèi)參加“四人賽”活動，僅前兩局比賽可獲得積分，首局獲勝得3分，次局獲勝得2分，失敗均得1分．已知李明參加“雙人對戰(zhàn)”活動時，每局比賽獲勝的概率為eq\f(1,2)；參加“四人賽”活動(每天兩局)時，第一局和第二局比賽獲勝的概率分別為p，eq\f(1,3).李明周一到周五每天都參加了“雙人對戰(zhàn)”活動和“四人賽”活動(每天兩局)，各局比賽互不影響．(1)求李明這5天參加“雙人對戰(zhàn)”活動的總得分X的分布列和均值；(2)設(shè)李明在這5天的“四人賽”活動(每天兩局)中，恰有3天每天得分不低于3分的概率為f(p)．求當(dāng)p為何值時，f(p)取得最大值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________§12.6概率、統(tǒng)計與其他知識的交匯問題有關(guān)概率、統(tǒng)計與其他知識相交匯的考題，能體現(xiàn)“返璞歸真，支持課改；突破定勢，考查真功”的命題理念，是每年高考的必考內(nèi)容．近幾年將概率、統(tǒng)計問題與數(shù)列、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)結(jié)合，成為創(chuàng)新問題．題型一概率、統(tǒng)計與數(shù)列的綜合問題例1“每天鍛煉一小時，健康工作五十年，幸福生活一輩子”．某公司組織全員每天進(jìn)行體育鍛煉，訂制了主題為“百年風(fēng)云”的系列紀(jì)念幣獎勵員工，該系列紀(jì)念幣有A1，A2，A3，A4四種．每個員工每天自主選擇“球類”和“田徑”中的一項進(jìn)行鍛煉．鍛煉結(jié)束后員工將隨機等可能地獲得一枚紀(jì)念幣．(1)某員工活動前兩天獲得A1，A4，則前四天恰好能集齊“百年風(fēng)云”系列紀(jì)念幣的概率是多少？(2)通過抽樣調(diào)查發(fā)現(xiàn)，活動首日有eq\f(3,4)的員工選擇“球類”，其余的員工選擇“田徑”；在前一天選擇“球類“的員工中，次日會有eq\f(1,3)的員工繼續(xù)選擇“球類”，其余的選擇“田徑”；在前一天選擇“田徑”的員工中，次日會有eq\f(1,2)的員工繼續(xù)選擇“田徑”，其余的選擇“球類”．用頻率估計概率，記某員工第n天選擇“球類”的概率為Pn.①計算P1，P2，并求Pn；②該公司共有員工1400人，經(jīng)過足夠多天后，試估計該公司接下來每天各有多少員工參加“球類”和“田徑”運動？解(1)設(shè)事件E為“該員工前四天恰好能集齊這4枚紀(jì)念幣”，由題意知，基本事件總數(shù)N＝4×4＝16，事件E包含的基本事件的個數(shù)n＝2×1＝2，所以該員工前四天恰好能集齊這四枚紀(jì)念幣的概率P(E)＝eq\f(2,16)＝eq\f(1,8).(2)①由題意知，P1＝eq\f(3,4)，P2＝eq\f(1,3)P1＋eq\f(1,2)(1－P1)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,6)P1＝eq\f(1,2)－eq\f(1,6)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,8)，當(dāng)n≥2時，Pn＝eq\f(1,3)Pn－1＋eq\f(1,2)(1－Pn－1)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,6)Pn－1，所以Pn－eq\f(3,7)＝－eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Pn－1－\f(3,7)))，又因為P1－eq\f(3,7)＝eq\f(3,4)－eq\f(3,7)＝eq\f(9,28)，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Pn－\f(3,7)))是以eq\f(9,28)為首項，以－eq\f(1,6)為公比的等比數(shù)列，所以Pn－eq\f(3,7)＝eq\f(9,28)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))n－1，即Pn＝eq\f(3,7)＋eq\f(9,28)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))n－1.②由①知，當(dāng)n足夠大時，選擇“球類”的概率近似于eq\f(3,7)，假設(shè)用ξ表示一天中選擇“球類”的人數(shù)，則ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1400，\f(3,7)))，所以E(ξ)＝1400×eq\f(3,7)＝600，即選擇“球類”的人數(shù)的均值為600，所以選擇“田徑”的人數(shù)的均值為800.即經(jīng)過足夠多天后，估計該公司接下來每天有600名員工參加球類運動，800名員工參加田徑運動．思維升華高考有時將概率、統(tǒng)計等問題與數(shù)列交匯在一起進(jìn)行考查，此類問題常常以概率、統(tǒng)計為命題情景，同時考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定及其前n項和，解題時要準(zhǔn)確把握題中所涉及的事件，明確其所屬的事件類型．跟蹤訓(xùn)練1(2022·太原模擬)足球運動是深受人們喜愛的一項體育運動，其中守門員撲點球和傳球是足球訓(xùn)練中的兩個重要訓(xùn)練項目．(1)假設(shè)發(fā)點球時，球員等可能地選擇左、中、右三個方向射門，守門員等可能地選擇左、中、右三個方向撲點球，且守門員方向判斷正確時，有eq\f(1,3)的可能將球撲出球門外．在一次點球戰(zhàn)中，求守門員在前三次點球中，把球撲出球門外的個數(shù)X的分布列和均值；(2)某次傳球訓(xùn)練中，教練員讓甲、乙、丙、丁4名球員進(jìn)行傳接球訓(xùn)練，從甲開始傳球，甲等可能地傳給另外3人中的1人，接球者再等可能地傳給另外3人中的1人，如此一直進(jìn)行．假設(shè)每個球都能被接住，記第n次傳球后球又回到甲腳下的概率為Pn.求證：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Pn－\f(1,4)))為等比數(shù)列，并求Pn.解(1)每個點球能被守門員撲出球門外的概率P＝3×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9)，由題意可知，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,9)))，P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,9)))3＝eq\f(512,729)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,9)))2＝eq\f(192,729)＝eq\f(64,243)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,9)))1＝eq\f(24,729)＝eq\f(8,243)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))3＝eq\f(1,729)，則X的分布列為X0123Peq\f(512,729)eq\f(64,243)eq\f(8,243)eq\f(1,729)E(X)＝3×eq\f(1,9)＝eq\f(1,3).(2)由已知得，第(n－1)次傳球后球又回到甲腳下的概率為Pn－1，∴當(dāng)n≥2時，Pn＝(1－Pn－1)·eq\f(1,3)，∴Pn－eq\f(1,4)＝－eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Pn－1－\f(1,4)))，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Pn－\f(1,4)))是首項為P1－eq\f(1,4)＝－eq\f(1,4)，公比為－eq\f(1,3)的等比數(shù)列，∴Pn－eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))n－1，∴Pn＝eq\f(1,4)－eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))n－1.題型二概率、統(tǒng)計與導(dǎo)數(shù)的綜合問題例2(2023·岳陽模擬)中國國家統(tǒng)計局2021年9月30日發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，2021年9月中國制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)(PMI)為49.8%，反映出中國制造業(yè)擴張步伐有所加快．以新能源汽車、機器人、增材制造、醫(yī)療設(shè)備、高鐵、電力裝備、船舶、無人機等為代表的高端制造業(yè)突飛猛進(jìn)，進(jìn)一步體現(xiàn)了中國制造業(yè)當(dāng)前的跨越式發(fā)展．已知某精密制造企業(yè)根據(jù)長期檢測結(jié)果，得到生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量差服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，并把質(zhì)量差在(μ－σ，μ＋σ)內(nèi)的產(chǎn)品稱為優(yōu)等品，質(zhì)量差在(μ＋σ，μ＋2σ)內(nèi)的產(chǎn)品稱為一等品，優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品處理．現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機抽取1000件，測得產(chǎn)品質(zhì)量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計如圖所示：(1)取樣本數(shù)據(jù)的方差s2的近似值為100，用樣本平均數(shù)eq\x\to(x)作為μ的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計值，記質(zhì)量差X～N(μ，σ2)，求該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率P(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)；(2)假如企業(yè)包裝時要求把2件優(yōu)等品和n(n≥2，n∈N*)件一等品裝在同一個箱子中，質(zhì)檢員從某箱子中摸出兩件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗，若抽取到的兩件產(chǎn)品等級相同，則該箱產(chǎn)品記為A，否則該箱產(chǎn)品記為B.①試用含n的代數(shù)式表示某箱產(chǎn)品抽檢被記為B的概率p；②設(shè)抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為B的概率為f(p)，求當(dāng)n為何值時，f(p)取得最大值，并求出最大值．參考數(shù)據(jù)：若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.9973.解(1)由題意估計從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機抽取1000件的平均數(shù)eq\x\to(x)＝0.010×10×eq\f(46＋56,2)＋0.020×10×eq\f(56＋66,2)＋0.045×10×eq\f(66＋76,2)＋0.020×10×eq\f(76＋86,2)＋0.005×10×eq\f(86＋96,2)＝70，∴μ≈eq\x\to(x)＝70，又樣本方差s2≈100，∴σ≈eq\r(s2)＝10，∴X～N(70，102)，則優(yōu)等品質(zhì)量差在(μ－σ，μ＋σ)，即(60,80)內(nèi)，一等品質(zhì)量差在(μ＋σ，μ＋2σ)，即(80,90)內(nèi)，∴正品質(zhì)量差在(60,80)和(80,90)，即(60,90)內(nèi)，∴該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率P＝P(60<X<90)＝P(60<X<70)＋P(70<X<90)≈eq\f(1,2)×(0.6827＋0.9545)＝0.8186.(2)①從(n＋2)件正品中任選2件，有Ceq\o\al(2,n＋2)種選法，其中等級相同的有Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(2,2)種選法，∴某箱產(chǎn)品抽檢被記為B的概率p＝1－eq\f(C\o\al(2,n)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,n＋2))＝1－eq\f(n2－n＋2,n2＋3n＋2)＝eq\f(4n,n2＋3n＋2).②由題意，一箱產(chǎn)品抽檢被記為B的概率為p(0<p<1)，則5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為B的概率為f(p)＝Ceq\o\al(3,5)p3(1－p)2＝10p3(1－2p＋p2)＝10(p3－2p4＋p5)，∴f′(p)＝10(3p2－8p3＋5p4)＝10p2(3－8p＋5p2)＝10p2(p－1)(5p－3)，∴當(dāng)p∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,5)))時，f′(p)>0，函數(shù)f(p)單調(diào)遞增；當(dāng)p∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，1))時，f′(p)<0，函數(shù)f(p)單調(diào)遞減，∴當(dāng)p＝eq\f(3,5)時，f(p)取得最大值f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))＝Ceq\o\al(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))2＝eq\f(216,625)，此時，p＝eq\f(4n,n2＋3n＋2)＝eq\f(3,5)，解得n＝3或n＝eq\f(2,3)(舍)．∴當(dāng)n＝3時，5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為B的概率最大，最大值為eq\f(216,625).思維升華在概率與統(tǒng)計的問題中，決策的工具是樣本的數(shù)字特征或有關(guān)概率．決策方案的最佳選擇是將概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作為最佳方案，這往往借助于函數(shù)、不等式或數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)去實現(xiàn)．跟蹤訓(xùn)練2(2023·江門模擬)學(xué)習(xí)強國中有兩項競賽答題活動，一項為“雙人對戰(zhàn)”，另一項為“四人賽”．活動規(guī)則如下：一天內(nèi)參加“雙人對戰(zhàn)”活動，僅首局比賽可獲得積分，獲勝得2分，失敗得1分；一天內(nèi)參加“四人賽”活動，僅前兩局比賽可獲得積分，首局獲勝得3分，次局獲勝得2分，失敗均得1分．已知李明參加“雙人對戰(zhàn)”活動時，每局比賽獲勝的概率為eq\f(1,2)；參加“四人賽”活動(每天兩局)時，第一局和第二局比賽獲勝的概率分別為p，eq\f(1,3).李明周一到周五每天都參加了“雙人對戰(zhàn)”活動和“四人賽”活動(每天兩局)，各局比賽互不影響．(1)求李明這5天參加“雙人對戰(zhàn)”活動的總得分X的分布列和均值；(2)設(shè)李明在這5天的“四人賽”活動(每天兩局)中，恰有3天每天得分不低于3分的概率為f(p)．求當(dāng)p為何值時，f(p)取得最大值．解(1)X的所有可能取值為5,6,7,8,9,10，P(X＝5)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5＝eq\f(1,32)，P(X＝6)＝Ceq\o\al(1,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(5,32)，P(X＝7)＝Ceq\o\al(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(10,32)＝eq\f(5,16)，P(X＝8)＝Ceq\o\al(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(10,32)＝eq\f(5,16)，P(X＝9)＝Ceq\o\al(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1＝eq\f(5,32)，P(X＝10)＝Ceq\o\al(5,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5＝eq\f(1,32).所以X的分布列為X5678910Peq\f(1,32)eq\f(5,32)eq\f(5,16)eq\f(5,16)eq\f(5,32)eq\f(1,32)則E(X)＝5×eq\f(1,32)＋6×eq\f(5,32)＋7×eq\f(5,16)＋8×eq\f(5,16)＋9×eq\f(5,32)＋10×eq\f(1,32)＝eq\f(240,32)＝eq\f(15,2).(2)由題意知“每天得分不低于3分”的概率為p＋(1－p)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)p(0<p<1)，所以5天中恰有3天每天得分不低于3分的概率f(p)＝Ceq\o\al(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(2,3)p))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)－\f(2,3)p))2＝eq\f(40,243)(1＋2p)3·(1－p)2，f′(p)＝eq\f(40,243)[6(1＋2p)2(1－p)2－2(1＋2p)3(1－p)]＝eq\f(40,243)(1＋2p)2(1－p)(4－10p)，所以當(dāng)p∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,5)))時，f′(p)>0，f(p)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,5)))上單調(diào)遞增；當(dāng)p∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，1))時，f′(p)<0，f(p)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，1))上單調(diào)遞減，所以當(dāng)p＝eq\f(2,5)時，f(p)取得最大值．課時精練1．(2023·齊齊哈爾模擬)為落實立德樹人的根本任務(wù)，堅持“五育”并舉，全面推進(jìn)素質(zhì)教育，某校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽階段比賽的12名隊員來自3個不同校區(qū)，三個校區(qū)的隊員人數(shù)分別是3,4,5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊員進(jìn)行11場比賽(每場比賽都采取5局3勝制)，根據(jù)積分選出最后的冠軍．積分規(guī)則如下：比賽中以3∶0或3∶1取勝的隊員積3分，失敗的隊員積0分；以3∶2取勝的隊員積2分，失敗的隊員積1分．(1)若每名隊員獲得冠、亞軍的可能性相同，則比賽結(jié)束后，冠、亞軍恰好來自不同校區(qū)的概率是多少？(2)已知第10輪小李對抗小王，設(shè)每局比賽小李取勝的概率均為p(0<p<1)．①記小李以3∶1取勝的概率為f(p)．若當(dāng)p＝p0時，f(p)取最大值，求p0的值；②若以①中p0的值作為p的值，這輪比賽小李所得積分為X，求X的分布列及均值．解(1)比賽結(jié)束后，冠、亞軍恰好來自不同校區(qū)的概率P＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,4)＋C\o\al(1,4)C\o\al(1,5)＋C\o\al(1,3)C\o\al(1,5),C\o\al(2,12))＝eq\f(47,66).(2)①由題可知f(p)＝Ceq\o\al(2,3)p2(1－p)·p＝3p3(1－p)，f′(p)＝3[3p2(1－p)＋p3×(－1)]＝3p2(3－4p)，令f′(p)＝0，得p＝eq\f(3,4)或p＝0(舍去)，當(dāng)p∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))時，f′(p)>0，f(p)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))上單調(diào)遞增，當(dāng)p∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))時，f′(p)<0，f(p)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))上單調(diào)遞減，所以p0＝eq\f(3,4).②X的所有可能取值為0,1,2,3，P(X＝0)＝(1－p)3＋Ceq\o\al(1,3)p(1－p)2·(1－p)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))3＋Ceq\o\al(1,3)×eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＝eq\f(13,256)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(2,4)p2(1－p)2·(1－p)＝Ceq\o\al(2,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＝eq\f(27,512)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)p2(1－p)2·p＝Ceq\o\al(2,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))2×eq\f(3,4)＝eq\f(81,512)，P(X＝3)＝p3＋Ceq\o\al(2,3)p2(1－p)·p＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3＋Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(3,4)＝eq\f(189,256)，所以X的分布列為X0123Peq\f(13,256)eq\f(27,512)eq\f(81,512)eq\f(189,256)則E(X)＝0×eq\f(13,256)＋1×eq\f(27,512)＋2×eq\f(81,512)＋3×eq\f(189,256)＝eq\f(1323,512).2．(2022·大連模擬)一款游戲規(guī)則如下：擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，若出現(xiàn)正面向前跳2步，若出現(xiàn)反面向前跳1步．(1)若甲、乙二人同時參與游戲，每人各擲硬幣2次，①求甲向前跳的步數(shù)大于乙向前跳的步數(shù)的概率；②記甲、乙二人向前跳的步數(shù)和為X，求隨機變量X的分布列和均值．(2)若某人擲硬幣若干次，向前跳的步數(shù)為n(n∈N*)的概率記為pn，求pn的最大值．解(1)①設(shè)甲向前跳的步數(shù)為Y，乙向前跳的步數(shù)為Z，則P(Y＝2)＝P(Z＝2)＝eq\f(1,4)，P(Y＝3)＝P(Z＝3)＝eq\f(1,2)，P(Y＝4)＝P(Z＝4)＝eq\f(1,4)，所以P(Y>Z)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,4)))＝eq\f(5,16)，所以甲向前跳的步數(shù)大于乙向前跳的步數(shù)的概率為eq\f(5,16).②由①知X的所有可能取值為4,5,6,7,8，所以P(X＝4)＝eq\f(1,16)，P(X＝5)＝eq\f(1,4)，P(X＝6)＝eq\f(3,8)，P(X＝7)＝eq\f(1,4)，P(X＝8)＝eq\f(1,16)，隨機變量X的分布列為X45678Peq\f(1,16)eq\f(1,4)eq\f(3,8)eq\f(1,4)eq\f(1,16)E(X)＝4×eq\f(1,16)＋5×eq\f(1,4)＋6×eq\f(3,8)＋7×eq\f(1,4)＋8×eq\f(1,16)＝6.(2)由題意得p1＝eq\f(1,2)，p2＝eq\f(3,4)，當(dāng)n≥3時，pn＝eq\f(1,2)pn－1＋eq\f(1,2)pn－2，pn－pn－1＝－eq\f(1,2)(pn－1－pn－2)＝eq\f(1,4)(pn－2－pn－3)＝…＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－2(p2－p1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n，所以pn＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n＋eq\f(2,3)(n≥3)，因為p1＝eq\f(1,2)，p2＝eq\f(3,4)，所以pn＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n＋eq\f(2,3)(n∈N*)，當(dāng)n為奇數(shù)時，eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n<0，pn<eq\f(2,3)；當(dāng)n為偶數(shù)時，p2＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋eq\f(2,3)＝