新教材粵教版高中物理選擇性必修第一冊第二章機(jī)械振動 知識點(diǎn)考點(diǎn)解題方法規(guī)律歸納總結(jié)

第二章機(jī)械振動

第一節(jié)簡諧運(yùn)動.......................................................-1-

第二節(jié)簡諧運(yùn)動的描述.................................................-7-

第三節(jié)單擺...........................................................-12-

第四節(jié)用單擺測量重力加速度..........................................-17-

第五節(jié)受迫振動共振................................................-22-

第一節(jié)簡諧運(yùn)動

知識點(diǎn)一認(rèn)識簡諧運(yùn)動

1.機(jī)械振動

物體(或者物體的一部分)在某一中心位置(平衡位置)兩側(cè)所做的往復(fù)運(yùn)動.

2.彈簧振子

把一個有孔的小球安裝在彈簧的一端，彈簧的另一端固定，小球和彈簧穿在

光滑的水平桿上，使其能在桿上自由滑動，小球和水平桿之間的摩擦可以忽略不

計，小球的運(yùn)動視為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動,這樣的系統(tǒng)稱為彈簧振子.

3.回復(fù)力

(1)方向：總是指向平衡位置.

(2)作用效果：使振子能返回平衡位置.

(3)公式：F=~kx,負(fù)號表示回復(fù)力的方向跟振子偏離平衡位置的位移方向相

反.

4.簡諧振動

物體在跟平衡位置的位移大小成正比,并且總指向平衡位置的回復(fù)力的作用

下的振動.

5.振幅

物體振動時離開平衡位置的最大距離.

6.周期

物體完成一次全振動所需要的時間,用T表示.

7.頻率

物體在一段時間內(nèi)全振動的玄數(shù)與所用時間之比，用/表示.周期和頻率的關(guān)

系為了=/

知識點(diǎn)二簡諧運(yùn)動的能量特征

對水平彈簧振子，當(dāng)振子在位移最大處時，彈簧彈性勢能最大,振子動能為

雯；當(dāng)振子在平衡位置時，彈簧彈性勢能為雯，振子動能最大.彈簧振子在振動

過程中，機(jī)械能守恒.

□考點(diǎn)1平衡位置與回復(fù)力

令情境探究

豎直方向的彈簧振子模型如圖所示，請思考以下問題：

(1)在平衡位置處，彈簧的彈力等于零嗎？

(2)該彈簧振子的回復(fù)力是由什么力提供的？

提示：(1)不等于零.

(2)由小球重力和彈簧的彈力的合力提供.

1.對簡諧運(yùn)動的平衡位置的認(rèn)識

(1)從物體受力特點(diǎn)看：物體在平衡位置所受合力不一定為零，而是沿振動方

向的合力為零.

(2)從速度角度看：平衡位置是振動中速度最大的位置.

2.機(jī)械振動的特點(diǎn)

(1)物體在平衡位置附近做往復(fù)運(yùn)動.

(2)機(jī)械振動是一種周期性運(yùn)動.

3.回復(fù)力的理解

(1)回復(fù)力的方向總是指向平衡位置.總與簡諧運(yùn)動位移的方向相反.

(2)回復(fù)力的效果是使偏離平衡位置的物體返回到平衡位置，是產(chǎn)生振動的條

件.

(3)回復(fù)力可以是振動物體所受的某一個力，也可以是物體所受幾個力的合力.

【典例1]如圖所示，對做簡諧運(yùn)動的彈簧振子M的受力情況分析正確的

是()

A,重力、支持力、彈簧的彈力

B.重力、支持力、彈簧的彈力、回復(fù)力

C.重力、支持力、回復(fù)力、摩擦力

D.重力、支持力、摩擦力、彈簧的彈力

A[彈簧振子的簡諧運(yùn)動中忽略了摩擦力，C、D錯；回復(fù)力為效果力，受力

分析時不分析此力，B錯：故振子只受重力、支持力及彈簧給它的彈力，A對.]

□考點(diǎn)2簡諧運(yùn)動的物理量的變化規(guī)律

1.簡諧運(yùn)動中相關(guān)量的變化規(guī)律

(1)變化規(guī)律：當(dāng)物體做簡諧運(yùn)動時，它偏離平衡位置的位移X、回復(fù)力只加

速度速度。、動能叫、勢能耳及振動能量E,遵循一定的變化規(guī)律，可列表如

下:

物理量XV

FaEkEPE

遠(yuǎn)離平衡位置

增大增大增大減小減小增大不變

運(yùn)動

最大位移處最大最大最大零零最大不變

靠近平衡位置

減小減小減小增大增大減小不變

運(yùn)動

平衡位置零零零最大最大最小不變

(2)兩個轉(zhuǎn)折點(diǎn).

①平衡位置是速度大小、位移方向、回復(fù)力方向和加速度方向變化的轉(zhuǎn)折點(diǎn);

②最大位移處是速度方向變化的轉(zhuǎn)折點(diǎn).

(3)一個守恒：簡諧運(yùn)動過程中動能和勢能之間相互轉(zhuǎn)化，但總的能量守恒.

2.簡諧運(yùn)動的對稱性

如圖所示，物體在A與8間運(yùn)動，。點(diǎn)為平衡位置，任取關(guān)于。點(diǎn)對稱的C、

D兩點(diǎn),則有：

IIII?

ACODB

(1)時間對稱.

(2)位移、回復(fù)力、加速度大小對稱.

(3)速率、動能對稱.

【典例2】如圖所示，質(zhì)量為機(jī)的物體A放在質(zhì)量為M的物體8上，B與

彈簧相連，它們一起在光滑水平面上做簡諧運(yùn)動，振動過程中，A、B之間無相對

滑動，設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為A，求當(dāng)物體離開平衡位置的位移為x時，8對A的摩

擦力大小.

【圾瞅頗測

/77777777777777777777777777777'

［思路點(diǎn)撥］(1)應(yīng)用整體法、隔離法思考.

(2)8對A的摩擦力是A做簡諧運(yùn)動的回復(fù)力.

［解析］A、B兩物體組成的系統(tǒng)做簡諧運(yùn)動的回復(fù)力由彈簧的彈力提供，當(dāng)

物體離開平衡位置的位移為無時，回復(fù)力大小廣=心，A和8的共同加速度大小a

Fkx

=-T￡—=^-,而物體A做簡諧運(yùn)動的回復(fù)力由A受到的靜摩擦力提供，由此

M+mM+m

可知B對A的摩擦力大小

mkx

［答案］

M+m

廠.......規(guī)富方法............................

分析簡諧運(yùn)動應(yīng)注意的問題

(1)位移、速度、加速度和回復(fù)力都是矢量，它們要相同，必須大小相等、方

向相同.

(2)回復(fù)力是變力，大小、方向發(fā)生變化，加速度也隨之發(fā)生變化.

(3)要注意簡諧運(yùn)動的周期性和對稱性，由此判定振子可能的路徑，從而確定

各物理量及其變化情況.

口考點(diǎn)3振幅、周期和頻率

畬情境探究

如圖所示，思考探究下面兩個問題

!g<CO：O：ftK>J

'/X/////>

s&rciioioioi

，//7、/////z//z/?z/z,

210cm：10cm

^777

甲COB

乙

(1)振子振幅與位移最大值有什么關(guān)系？

(2)圖乙中振子振幅為多少？

提示：(1)振幅是振動物體離開平衡位置的最大距離；位移是振動物體相對平

衡位置的位置變化；位移的最大值等于振幅.

⑵10cm.

1.對全振動的理解

(1)振動特征：一個完整的振動過程.

(2)物理量特征：位移(幻、加速度(。)、速度(。)等各物理量第一次同時與初始狀

態(tài)相同.

(3)時間特征：歷時一個周期.

(4)路程特征：振幅的4倍.

2.振幅和振動系統(tǒng)能量的關(guān)系

對一個確定的振動系統(tǒng)來說，系統(tǒng)能量僅由振幅決定，振幅越大，振動系統(tǒng)

能量越大.

3.振幅與路程的關(guān)系

振動中的路程是標(biāo)量，是隨時間不斷增大的，其中常用的定量關(guān)系是：

(1)一個周期內(nèi)的路程為4倍的振幅.

(2)半個周期內(nèi)的路程為2倍的振幅.

4.振幅與周期的關(guān)系

在簡諧運(yùn)動中，一個確定的振動系統(tǒng)的周期(或頻率)是固定的，與振幅無關(guān).

【典例3】如圖所示，彈簧振子在B、。間振動，0為平衡位置，BO=OC

=5cm,若振子從8到C的運(yùn)動時間是Is,則下列說法正確的是()

麗而孤

1\AAAAA7W\AAAJIWB

A.振子從8經(jīng)。到。完成一次全振動

B.振動周期是1s,振幅是10cm

C.經(jīng)過兩次全振動，振子通過的路程是20cm

D.從8開始經(jīng)過3s,振子通過的路程是30cm

［思路點(diǎn)撥］(1)振子從8經(jīng)。到。的時間為3「

(2)振子的振幅是5cm,完成一次全振動的路程為振幅的4倍.

D［振子從OfC僅完成了半次全振動，所以周期T=2X1s=2s,振幅A

=BO=5cm.彈簧振子在一次全振動過程中通過的路程為4A=20cm,所以兩次

全振動中通過路程為40cm,3s的時間為1.5T,所以振子通過的路程為30cm.故

D正確，A、B、C錯誤.］

廠.......規(guī)律C方法.............................

振幅與路程的關(guān)系

振動中的路程是標(biāo)量，是隨時間不斷增大的.一個周期內(nèi)的路程為振幅的4

倍，半個周期內(nèi)的路程為振幅的2倍.

(1)若從特殊位置開始計時，如平衡位置、最大位移處，(周期內(nèi)的路程等于振

幅.

(2)若從一般位置開始計時，(周期內(nèi)的路程與振幅之間沒有確定關(guān)系，路程可

能大于、等于或小于振幅.

訓(xùn)練角度2振動物體的路程

4.一個物體做簡諧運(yùn)動時，周期是T,振幅是A,那么物體()

A.在任意梟通過的路程一定等于A

B.在任意彳內(nèi)通過的路程一定等于2A

C.在任意子內(nèi)通過的路程一定等于3A

D.在任意T內(nèi)通過的路程一定等于2A

B［物體做簡諧運(yùn)動，是變加速運(yùn)動，在任意孑內(nèi)通過的路程不一定等于A,

故A錯誤；物體做簡諧運(yùn)動，在任意號內(nèi)通過的路程一定等于2A,故B正確：物

體做簡諧運(yùn)動，在任意子內(nèi)通過的路程不一定等于3A,故C錯誤；物體做簡諧運(yùn)

動，在一個周期內(nèi)完成一次全振動，位移為零，路程為4A,故D錯誤.]

第二節(jié)簡諧運(yùn)動的描述

知識點(diǎn)一簡諧運(yùn)動的函數(shù)描述

1.描述簡諧運(yùn)動位移一時間圖像的函數(shù)表達(dá)式為x=Acos（0/+°）.式中A是

簡諧運(yùn)動的振幅,0為簡諧運(yùn)動的角頻率.

2.①與T、/的關(guān)系為：（o=y=21if.

知識點(diǎn)二簡諧運(yùn)動的圖像描述

1.相位'初相

位移一時間函數(shù)x=cos（①f+卬）中的a>t+（p叫作相位,而對應(yīng)r=0時的相位他

叫作初相.

2.相位差

對于頻率相同、相位不同的振子，相位差=+（①/+。2）=01—02,

表示兩個頻率相同的簡諧運(yùn)動的振動先卮關(guān)系.

3.圖像信息

如圖所示，從圖像上可知周期和振幅.還可知道任一時刻的位移大小和方向.

□考點(diǎn)1簡諧運(yùn)動的表達(dá)式

畬情境探究

某彈簧振子的振動圖像如圖所示，將彈簧振子從平衡位置拉開4cm后放開,

同時開始計時,

討論：(1)該振動的周期、頻率分別是多少？

(2)寫出該振動的正弦函數(shù)表達(dá)式.

提示：⑴周期T=0.4s頻率/=2.5Hz.

兀

(2)x=4sin(57r?+2)cm.

1.簡諧運(yùn)動表達(dá)式x=Asincot的理解

(l)x：表示振動質(zhì)點(diǎn)相對于平衡位置的位移.

(2)4表示振幅，描述簡諧運(yùn)動振動的強(qiáng)弱.

27r

(3)。：角頻率，它與周期、頻率的關(guān)系為“=亍=2呼可見。、八/相當(dāng)于

一個量，描述的都是振動的快慢.

2.簡諧運(yùn)動的表達(dá)式x=Asin(初+網(wǎng))的理解

⑴式中(而+外)表示相位，描述做周期性運(yùn)動的物體在各個不同時刻所處的不

同狀態(tài)，是描述不同振動的振動步調(diào)的物理量.它是一個隨時間變化的量，相當(dāng)

于一個角度，相位每增加2兀，意味著物體完成了一次全振動.

(2)式中外表示r=0時簡諧運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)所處的狀態(tài)，稱為初相位或初相.

(3)相位差：即某一時刻的相位之差.兩個具有相同。的簡諧運(yùn)動，設(shè)其初相

位分別為801和802；其相位差△9=(初+州2)—(0)/+夕01)=9()2—肥01.當(dāng)k(p=0時，

兩質(zhì)點(diǎn)振動步調(diào)一致；當(dāng)八夕二兀時，兩質(zhì)點(diǎn)振動步調(diào)完全相反.

【典例1】一物體沿x軸做簡諧運(yùn)動，振幅為12cm,周期為2s.當(dāng)，=0

時，位移為6cm,且向x軸正方向運(yùn)動，求：

(1)初相位；

(2)f=0.5s時物體的位置.

［思路點(diǎn)撥］①關(guān)鍵條件是：r=o時，位移為6cm,且向X軸正方向運(yùn)動.

②先假設(shè)函數(shù)表達(dá)式，由f=0時尤=6cm求出初相夕.

［解析］(1)設(shè)簡諧運(yùn)動的表達(dá)式為x=Asin(co/+s),

A=12cm,T=2s,eo=于，f=0時，x=6cm,

代入上式得，6cm=12sin(0+^>)cm,

解得sins=或，

、7171

因這時物體向x軸正方向運(yùn)動，故應(yīng)取8=不即其初相為

(2)由上述結(jié)果可得：

x=4sin初+8)=12sin(兀f+看)cm,

所以x=12sin代+方)cm=⑵喏兀cm=6小cm.

［答案］(琮⑵6小cm處

r.......規(guī)律<方法...........................

初相位的兩種求解方法

(1)確定振幅A、角頻率①及，=0時刻的位移x,然后利用x=Asin(①f+s),求

出初相位(p.

(2)設(shè)平衡位置處的質(zhì)點(diǎn)向正方向運(yùn)動〃(〃<1)個周期可到達(dá)/=0時刻質(zhì)點(diǎn)所在

處，則初相位夕=〃,2兀.

D考點(diǎn)2簡諧運(yùn)動的圖像

畬情境探究

如圖所示，在彈簧振子的小球上固定安置一記錄用的鉛筆P,在下面放一條白

紙帶，鉛筆可在紙上留下痕跡.

日

討論：(1)振子振動時白紙不動，畫出的軌跡是怎樣的？

(2)振子振動時，勻速拖動白紙時，畫出的軌跡又是怎樣的？

提示：(1)是一條平行于小球運(yùn)動方向的線段.

(2)是一條正弦曲線.

1.圖像形狀

正(余)弦曲線.

2.物理意義

表示振動質(zhì)點(diǎn)在不同時刻偏離平衡位置的位移，是位移隨時間的變化規(guī)律.

3.圖像應(yīng)用

⑴任意時刻質(zhì)點(diǎn)位移的大小和方向.如圖甲所示，質(zhì)點(diǎn)在力、及時刻的位移分

別為XI和一X2.

(2)任意時刻質(zhì)點(diǎn)的振動方向：看下一時刻質(zhì)點(diǎn)的位置，如圖乙中。點(diǎn)，下一

時刻離平衡位置更遠(yuǎn)，故。點(diǎn)此刻沿x軸正方向振動.圖乙中b點(diǎn)，下一時刻離

平衡位置更近，故b此刻沿尤軸正方向振動.

(3)某段時間內(nèi)位移、速度、加速度的變化情況判斷：先判斷質(zhì)點(diǎn)在這段時間

內(nèi)的振動方向，從而確定各物理量的變化.如圖甲所示，質(zhì)點(diǎn)在力時刻到m時刻

這段時間內(nèi)，離平衡位置的位移變小，故質(zhì)點(diǎn)正向平衡位置運(yùn)動，速度增大，位

移和加速度都變?。毁|(zhì)點(diǎn)在力時刻到/2時刻這段時間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)遠(yuǎn)離平衡位置運(yùn)動，

則速度為負(fù)值且減小，位移、加速度增大.

【典例2】如圖甲所示，輕彈簧上端固定，下端系一質(zhì)量為機(jī)=1kg的小球,

小球靜止時彈簧伸長量為10cm.現(xiàn)使小球在豎直方向上做簡諧運(yùn)動，從小球在最

低點(diǎn)釋放時開始計時，小球相對平衡位置的位移隨時間r變化的規(guī)律如圖乙所示，

重力加速度g取10m/s2.

(1)寫出小球相對平衡位置的位移隨時間的變化關(guān)系式；

(2)求出小球在0?12.9s內(nèi)運(yùn)動的總路程和12.9s時刻的位置；

(3)小球運(yùn)動到最高點(diǎn)時加速度的大小.

is

OK

甲乙

2兀5兀

［解析］(1)由振動圖像可知：A=5cm,T=1.2s,則①=亍=亍rad/s,

小球相對平衡位置的位移隨時間的變化關(guān)系式：

5兀

y=Acosa)Z(cm)=5cos^(cm).

(2)12.9S=1()1T,則小球在0?12.9s內(nèi)運(yùn)動的總路程：43A=215cm;12.9s

時刻的位置：y=0,即在平衡位置.

(3)小球在平衡位置時彈簧伸長量10cm,則：仁箕=言"N/m=100N/m,

小球在最高點(diǎn)時，彈簧伸長5cm,則mg—kNx'=ma,

解得a=5m/s2.

5兀

［答案］(l)y=5cos^~z(cm)(2)215cm平衡位置(3)5m/s2

廠.......規(guī)WcT5法.......................

簡諧運(yùn)動圖像的應(yīng)用技巧

(1)判斷質(zhì)點(diǎn)任意時刻的位移大小和方向.

質(zhì)點(diǎn)任意時刻的位移大小看質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置距離的大小即可，也可比較圖

像中縱坐標(biāo)值的大小.方向由坐標(biāo)值的正負(fù)判斷或質(zhì)點(diǎn)相對平衡位置的方向判斷.

(2)判斷質(zhì)點(diǎn)任意時刻的加速度(回復(fù)力)大小和方向.

由于加速度(回復(fù)力)的大小與位移大小成正比，方向與位移方向相反，所以只

要從圖像中得出質(zhì)點(diǎn)在任意時刻的位移大小和方向即可.

第三節(jié)單擺

1.單擺模型

如果懸掛物體的繩子的使維和質(zhì)量可以忽略不計，繩長比物體的尺寸大很多，

物體可以看作質(zhì)點(diǎn),這樣的裝置可以看作單擺，單擺是實(shí)際擺的理想模型.

2.單擺的運(yùn)動

若單擺的擺角小于生，單擺的擺動可看成簡諧運(yùn)動.

3.單擺的回復(fù)力

重力mg沿圓弧切線方向的分力F為單擺擺球的回復(fù)力.

4.單擺的固有周期

(1)特點(diǎn)：單擺的簡諧運(yùn)動周期與裝置的固有因素有關(guān)，和外界條件無關(guān)，故

稱固有周期.

(2)公式：式中L為單擺的擺長,g為重力加速度.

□考點(diǎn)1單擺模型的回復(fù)力及運(yùn)動情況

畬情境探究

如圖所示，一根細(xì)線上端固定，下端連接一個金屬小球，用手使小球偏離豎

直方向一個夾角，然后釋放.

討論：

(1)小球受到哪些力的作用？

(2)向心力和回復(fù)力分別是由什么力提供的？

提示：(1)小球受重力和細(xì)線的拉力.

(2)細(xì)線的拉力和重力沿細(xì)線方向的分力的合力提供向心力.小球重力沿圓弧

切線方向的分力提供回復(fù)力.

1.單擺的回復(fù)力

(1)單擺受力：如圖所示，受細(xì)線拉力和重力作用.

(2)向心力來源：細(xì)線拉力和重力沿徑向的分力的合力.

(3)回復(fù)力來源：重力沿圓弧切線方向的分力F=mgsin。提供了使擺球振動的

回復(fù)力.

2.單擺做簡諧運(yùn)動的推證

在偏角很小時，sin。得，又回復(fù)力F=mgsm仇所以單擺的回復(fù)力為尸=一竿

x(式中x表示擺球偏離平衡位置的位移，L表示單擺的擺長，負(fù)號表示回復(fù)力廠與

位移x的方向相反)，由此知回復(fù)力符合尸=一乙，單擺做簡諧運(yùn)動.

【典例1】振動的單擺小球通過平衡位置時，關(guān)于小球受到的回復(fù)力及合力

的說法中正確的是()

A.回復(fù)力為零，合力不為零，方向指向懸點(diǎn)

B.回復(fù)力不為零，方向沿軌跡的切線

C.合力不為零，方向沿軌跡的切線

D.回復(fù)力為零，合力也為零

［思路點(diǎn)撥］(1)考慮擺動情況，小球在平衡位置回復(fù)力為零.

(2)考慮圓周運(yùn)動情況，小球在平衡位置所受合外力不為零.

A［單擺的回復(fù)力不是它的合力，而是重力沿圓弧切線方向的分力；當(dāng)擺球

運(yùn)動到平衡位置時，回復(fù)力為零，但合力不為零，因?yàn)樾∏蜻€有向心力，方向指

向懸點(diǎn)(即指向圓心).］

廠......規(guī)富方法............................

單擺中的回復(fù)力

(1)單擺振動中的回復(fù)力不是它受到的合外力，而是重力沿圓弧切線方向的一

個分力.單擺振動過程中，有向心力，這是與彈簧振子不同之處.

(2)在最大位移處時，因速度為零，所以向心力為零，故此時合外力也就是回

復(fù)力.

⑶在平衡位置處時，由于速度不為零，故向心力也不為零，即此時回復(fù)力為

零，但合外力不為零.

口考點(diǎn)2單擺的周期

畬情境探究

央視新聞2019年3月1日消息，“嫦娥四號''著陸器已于上午7點(diǎn)52分自主

喚醒，中繼前返向鏈路建立正常，平臺工況正常，目前正在進(jìn)行狀態(tài)設(shè)置，按計

劃開始第三月晝后續(xù)工作.假設(shè)將一單擺隨“嫦娥四號”著陸器帶至月球表面，

單擺在做簡諧運(yùn)動時其周期與在地球上相比有何變化？并說明原因.

提示：變大，月球表面的重力加速度比地球表面小.

1.單擺的周期公式：

2.對周期公式的理解

(1)單擺的周期公式在單擺偏角很小時成立(偏角為5。時，由周期公式算出的周

期和精確值相差0.01%).

(2)公式中L是擺長，即懸點(diǎn)到擺球球心的距離，即L=/我十小

(3)公式中g(shù)是單擺所在地的重力加速度，由單擺所在的空間位置決定.

(4)周期T只與L和g有關(guān)，與擺球質(zhì)量相及振幅無關(guān).所以單擺的周期也叫

固有周期.

3.擺長的確定

(1)圖(a)中，甲、乙在垂直紙面方向擺起來效果是相同的，所以甲擺的擺長為

￡sina,這就是等效擺長，其周期7=2^^|且.圖(b)中，乙在垂直于紙面方向

擺動時，與甲擺等效；乙在紙面內(nèi)小角度擺動時，與丙擺等效.

甲乙丙

(b)

(2)如圖(c)所示，小球在光滑的半徑較大的圓周上做小幅度(0很小)的圓周運(yùn)動

時，可等效為單擺，小球在A、B間做簡諧運(yùn)動，周期T=2cJ|.

4.公式中重力加速度g的變化與等效

(1)若單擺系統(tǒng)只處在重力場中且處于靜止?fàn)顟B(tài)，g由單擺所處的空間位置決

定，即且=智，式中火為物體到地心的距離，M為地球的質(zhì)量，g隨所在位置的

高度的變化而變化.另外，在不同星球上“和R也是變化的，所以g也不同，g

=9.8m/s2只是在地球表面附近時的取值.

(2)等效重力加速度：若單擺系統(tǒng)處在非平衡狀態(tài)(如加速、減速、完全失重狀

態(tài))，則一般情況下，g值等于擺球相對靜止在自己的平衡位置時，擺線所受的張

力與擺球質(zhì)量的比值.如圖所示，球靜止在平衡位置。時，F(xiàn)T=mgsin0,等效加

速度g'=J=gsin9.

【典例2］一個單擺的擺長為I,在其懸點(diǎn)。的正下方0.19/處有一釘子P(如

圖所示)，現(xiàn)將擺球向左拉開到A,使擺線偏角，＜5。，放手后使其擺動，求出單擺

的振動周期.

［思路點(diǎn)撥］(1)左邊和右邊擺長不同.

(2)單擺的周期等于兩個擺周期之和的一半.

［解析］擺球釋放后到達(dá)右邊最高點(diǎn)8處，由機(jī)械能守恒可知8和A等高，

則擺球始終做簡諧運(yùn)動.擺球做簡諧運(yùn)動的擺長有所變化，它的周期為兩個不同

單擺的半周期的和.

小球在左邊的周期為T\=2

小球在右邊的周期為72=2：

g

則整個單擺的周期為:

廠......規(guī)律方法..............................

求單擺周期的方法

(1)明確單擺的運(yùn)動過程，看是否符合簡諧運(yùn)動的條件.

(2)在運(yùn)用T=2cJ|時，要注意L和g是否發(fā)生變化，如果發(fā)生變化，則分

別求出不同L和g時的運(yùn)動時間.

(3)改變單擺振動周期的途徑是：

①改變單擺的擺長.

②改變單擺的重力加速度(如改變單擺的位置或讓單擺失重或超重).

(4)明確單擺振動周期與單擺的質(zhì)量和振幅沒有任何關(guān)系.

訓(xùn)練角度2單擺的振動圖像

3.(多選)如圖為甲、乙兩單擺的振動圖像，則()

ax/cm

A.由圖像可知兩單擺周期之比為2：1

B.若甲、乙兩單擺在同一地點(diǎn)擺動，則甲、乙兩單擺的擺長之比/甲：/乙=2：1

C.若甲、乙兩單擺在同一地點(diǎn)擺動，則甲、乙兩單擺的擺長之比/甲：/乙=4：1

D.若甲、乙兩擺擺長相同，且在不同的星球上擺動，則甲、乙兩擺所在星球

的重力加速度之比g甲：g乙=4：1

AC[由題中圖像可知T甲：7\=2：1,若兩單擺在同一地點(diǎn)，則兩擺擺長之

比/甲：/乙=4：1,若兩擺擺長相等，則所在星球的重力加速度之比為g,：g0=

1：4.]

第四節(jié)用單擺測量重力加速度

一、實(shí)驗(yàn)器材

長約1m的細(xì)線、球心開有小孔的金屬小球、帶有鐵夾的鐵架臺、長約1m

的毫米刻度尺、秒表、游標(biāo)卡尺.

二'實(shí)驗(yàn)原理與設(shè)計

單擺做簡諧運(yùn)動時，由周期公式T=2；rJ|,可得g=等.因此，測出單擺

擺長和振動周期，便可計算出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?

用秒表測量30?50次全振動的時間，計算平均做一次全振動的時間，得到的

便是振動周期.

三'實(shí)驗(yàn)步驟

1.取長約1m的細(xì)線，細(xì)線的一端連接小球，另一端用鐵夾固定在鐵架臺上,

讓擺球自由下垂，如圖所示.

實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

2.用刻度尺測擺線長度Lo,用游標(biāo)卡尺測小球的直徑d.測量多次，取平均

值，計算擺長L=〃)+今

3.將小球從平衡位置拉至一個偏角小于5。的位置并由靜止釋放，使其在豎直

面內(nèi)振動.待振動穩(wěn)定后，從小球經(jīng)過平衡位置時開始用秒表計時，測量N次全

振動的時間則周期7=(.如此重復(fù)多次，取平均值.

4.改變擺長，重復(fù)實(shí)驗(yàn)多次.

5.將每次實(shí)驗(yàn)得到的L、T代入8=47筆r2/計算重力加速度，取平均值，即為測

得的當(dāng)?shù)刂亓铀俣?

四'數(shù)據(jù)處理

1.平均值法：每改變一次擺長，將相應(yīng)的L和T代入公式g=警中求出g

值，最后求出g的平均值.設(shè)計如表所示實(shí)驗(yàn)表格.

五、注意事項(xiàng)

1.選擇材料時應(yīng)選擇細(xì)而不易伸長的線，比如用單根尼龍絲、絲線等，長度

一般不應(yīng)短于1m,小球應(yīng)選用密度較大的金屬球，直徑最好不超過2cm.

2.單擺懸線的上端不可隨意卷在鐵夾的桿上，應(yīng)夾緊在鐵夾中，以免擺動時

擺線下滑、擺長改變.

3.注意擺動時控制擺線偏離豎直方向不超過5。.

4.擺球擺動時，要使之保持在同一個豎直平面內(nèi)，不要形成圓錐擺.

5.計算單擺的振動次數(shù)時，應(yīng)以擺球通過最低點(diǎn)時開始計時，以后擺球應(yīng)從

同一方向通過最低點(diǎn)時計數(shù)，要多測幾次全振動的時間，用取平均值的辦法求周

期.

六'誤差分析

1.本實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)誤差主要來源于單擺模型本身是否符合要求，即：懸點(diǎn)是否

固定，是單擺還是復(fù)擺，球、線是否符合要求，振動是圓錐擺還是同一豎直平面

內(nèi)的振動，以及測量哪段長度作為擺長等.

2.本實(shí)驗(yàn)的偶然誤差主要來自時間（單擺周期）的測量上.因此，要注意測準(zhǔn)

時間（周期），要從擺球通過平衡位置開始計時，最好采用倒數(shù)計時計數(shù)的方法，不

能多記或漏記振動次數(shù).為了減小偶然誤差，應(yīng)進(jìn)行多次測量后取平均值.

3.本實(shí)驗(yàn)中長度（擺線長、擺球的直徑）的測量時，讀數(shù)讀到毫米位即可，時

間的測量中，秒表讀數(shù)的有效數(shù)字的末位在“秒”的十分位即可.

【典例11（1）某同學(xué)在探究影響單擺周期的因素時有如下操作，請判斷是否

恰當(dāng)（選填"是"或"否”）.

①把單擺從平衡位置拉開約5。釋放.（）

②在擺球經(jīng)過最低點(diǎn)時啟動秒表計時.（）

③把秒表記錄擺球一次全振動的時間作為周期.（）

（2）該同學(xué)改進(jìn)測量方法后，得到的部分測量數(shù)據(jù)見表.用螺旋測微器測量其

中一個擺球直徑的示數(shù)如圖，該球的直徑為mm.根據(jù)表中數(shù)據(jù)可以初步

判斷單擺周期隨的增大而增大.

數(shù)據(jù)組編號擺長/mm擺球質(zhì)量/g周期/S

1999.332.22.0

2999.316.52.0

3799.232.21.8

4799.216.51.8

5501.132.21.4

6501.116.51.4

［解析］單擺做簡諧運(yùn)動要求擺角小，單擺從平衡位置拉開約5°釋放滿足此條

件；因?yàn)樽畹忘c(diǎn)位置固定、容易觀察，所以在擺球經(jīng)過最低點(diǎn)時啟動秒表計時；

擺球一次全振動的時間太短，不易讀準(zhǔn)，誤差大，應(yīng)測多個周期的時間求平均值;

由表中數(shù)據(jù)可以初步判斷單擺周期隨擺長的增大而增大.

［答案］(1)①是②是③否

(2)20.685(20.683-20.687均正確)擺長

【典例2］在做“用單擺測定重力加速度”的實(shí)驗(yàn)時，用擺長L和周期T

計算重力加速度的公式是g=.若已知擺球直徑為2.00cm,讓刻度尺的

零點(diǎn)對準(zhǔn)擺線的懸點(diǎn)，擺線豎直下垂，如圖所示，則單擺擺長是m.若測

定了40次全振動的時間為75.2s,單擺擺動周期是.

為了提高測量精度，需多次改變L值，并測得相應(yīng)的T值.現(xiàn)將測得的六組

數(shù)據(jù)標(biāo)示在以L為橫坐標(biāo)，以P為縱坐標(biāo)的坐標(biāo)系上，即圖中用“?”表示的點(diǎn)，

則：

(1)單擺做簡諧運(yùn)動應(yīng)滿足的條件是.

(2)試根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)點(diǎn)作出P和L的關(guān)系圖線，根據(jù)圖線可求出g=

m/s2.(結(jié)果取兩位有效數(shù)字)

［解析］由可知g=^^.

由圖可知：

擺長L=(88.50-1.00)cm=87.50cm=0.8750m.

7=布=1.88s.

(1)單擺做簡諧運(yùn)動的條件是擺角小于5°.

(2)把在一條直線上的點(diǎn)連在一起，誤差較大的點(diǎn)平均分布在直線的兩側(cè)，如

A7^4712A/47r2

答案圖所示，則直線斜率攵=近.由8=%聲=丁，可得g=9.8m/s2(9.9m/s2也

正確）.

T2/s2

2.0口」」』」，」.工」,工1」一11」一1」一

0.60.70.80.91.0Um

4兀

［答案1卞0.87501.88s

⑴擺角小于5。（2）如圖所示9.8m/s2（或9.9m/s?）

【典例3】甲、乙兩個學(xué)習(xí)小組分別利用單擺測量重力加速度.

（1）甲組同學(xué)采用如圖甲所示的實(shí)驗(yàn)裝置.

0.5l.O^hS^.O2.53.0i/s

丙

①為比較準(zhǔn)確地測量出當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊臄?shù)值，除秒表外，在下列器材中，

還應(yīng)該選用.（用器材前的字母表示）

a.長度接近1m的細(xì)繩

b.長度為30cm左右的細(xì)繩

c.直徑為1.8cm的塑料球

d.直徑為1.8cm的鐵球

e.最小刻度為1cm的米尺

f.最小刻度為1mm的米尺

②該組同學(xué)先測出懸點(diǎn)到小球球心的距離L,然后用秒表測出單擺完成〃次全

振動所用的時間九請寫出重力加速度的表達(dá)式g=.（用所測物理量表示）

③在測量擺長后，測量周期時，擺球振動過程中懸點(diǎn)。處擺線的固定出現(xiàn)松

動,擺長略微變長，這將會導(dǎo)致所測重力加速度的數(shù)值________.(選填“偏

大”“偏小”或“不變”)

(2)乙組同學(xué)在圖甲所示裝置的基礎(chǔ)上再增加一個速度傳感器，如圖乙所示.將

擺球拉開一小角度使其做簡諧運(yùn)動，速度傳感器記錄了擺球振動過程中速度隨時

間變化的關(guān)系，如圖丙所示的。“圖線.

①由圖丙可知，該單擺的周期T=s；

②更換擺線長度后，多次測量，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用計算機(jī)作出r-L圖線，

并根據(jù)圖線擬合得到方程T2=4.041.由此可以得出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭=

m/s?.(取兀2=9.86,結(jié)果保留3位有效數(shù)字)

［解析］(1)①根據(jù)7=2;^，|得g=警，知需要測量擺長，即擺線長和小球

的直徑，擺線應(yīng)選1m左右的不可伸長的線，小球應(yīng)選用質(zhì)量大、體積小的金屬

球，測量擺線長的米尺的最小刻度應(yīng)為1mm,故選a、d、f.

②因?yàn)樨怚g=rjQ-.

③擺長略微變長，則擺長的測量值偏小，則導(dǎo)致測得的重力加速度偏小.

(2)①由。”圖線可知，單擺的周期T=2.0s.

②由T=21/1,得于2=程，

yo<5

4兀2

即圖線的斜率上=?=4.04,

O

解得gg9.76m/s2.

4兀2〃2乙

［答案］⑴①adf@—p~③偏小(2)①2.0②9.76

第五節(jié)受迫振動共振

知識點(diǎn)一受迫振動的頻率

1.等幅振動：振幅丕變的振動.

2.阻尼振動：振幅逐漸減小的振動.

3.受迫振動：在外界驅(qū)動力作用下的振動.

4.固有頻率：物體自由振動的頻率，只與它們自身的參數(shù)有關(guān)，稱為固有頻

率.

知識點(diǎn)二共振

1.條件：驅(qū)動力的周期（或頻率）虹振動系統(tǒng)的固有周期（或固有頻率）.

2.特征：共振時，物體受迫振動的振幅最大.

知識點(diǎn)三共振的應(yīng)用與防止

1.共振的應(yīng)用

在需要利用共振時，應(yīng)使驅(qū)動力頻率接近或等于振動系統(tǒng)的固有頻率,振動

將更劇烈.

2.共振的防止

考點(diǎn)1阻尼振動、受迫振動與簡諧運(yùn)動的比較

畬情境探究

甲乙

（1）如圖甲所示，生活中會見到陣風(fēng)吹過樹枝，使樹枝左右搖擺，一會兒樹枝

就會停下來，樹枝的運(yùn)動是阻尼振動嗎？

（2）如圖乙所示，蕩秋千的小朋友在一旁小朋友的不斷推動下不停地擺動.秋

千的運(yùn)動是受迫振動嗎？

提示：（1）是.（2）是.

三者對比列表:

振動類型簡諧運(yùn)動阻尼振動受迫振動

產(chǎn)生條件不受阻力作用受阻力作用受阻力和驅(qū)動力作用

頻率固有頻率頻率不變驅(qū)動力頻率

振幅不變減小大小變化不確定

振動圖像形狀不確定

彈簧振子振動，單擺敲鑼打鼓發(fā)出的聲揚(yáng)聲器紙盆振動發(fā)

實(shí)例

做小角度擺動音越來越弱聲、鐘擺的擺動

【典例1】(多選)一單擺在空氣中振動，振幅逐漸減小.下列說法正確的是

()

A.機(jī)械能逐漸轉(zhuǎn)化為其他形式的能

B.后一時刻的動能一定小于前一時刻的動能

C.后一時刻的勢能一定小于前一時刻的勢能

D.后一時刻的機(jī)械能一定小于前一時刻的機(jī)械能

［思路點(diǎn)撥］(1)在阻尼振動中，振動系統(tǒng)的機(jī)械能減小，即動能和勢能之和減

小.

(2)在一段較短的時間內(nèi)，動能和勢能不一定都減小，關(guān)鍵要看動能與勢能之

間是如何轉(zhuǎn)化的.

AD［單擺振動過程中，因不斷克服空氣阻力做功，使機(jī)械能逐漸轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，

選項(xiàng)A和D對；雖然單擺總的機(jī)械能在逐漸減小，但在振動過程中動能和勢能仍

不斷地相互轉(zhuǎn)化，動能轉(zhuǎn)化為勢能時，動能逐漸減小，勢能逐漸增大，而勢能轉(zhuǎn)

化為動能時，勢能逐漸減小，動能逐漸增大，所以不能斷言后一時刻的動能(或勢

能)一定小于前一時刻的動能(或勢能)，選項(xiàng)B、C錯.］

廠.......規(guī)富方法........-

阻尼振動的三個特點(diǎn)

(1)振幅逐漸減小，最后停止振動.

(2)系統(tǒng)的機(jī)械能逐漸減少，最后耗盡.

(3)周期、頻率不隨振幅的變化而變化.

訓(xùn)練角度2受迫振動

2.如圖所示的裝置，彈簧振子的固有頻率是4Hz.現(xiàn)勻速轉(zhuǎn)動把手，給彈簧

振子以周期性的驅(qū)動力，測得彈簧振子振動達(dá)到穩(wěn)定時的頻率為1Hz,則把手轉(zhuǎn)

動的頻率為()

A.1HzB.3HzC.4HzD.5Hz

A[受迫振動的頻率等于驅(qū)動力的頻率，把手轉(zhuǎn)動的頻率為1Hz,選項(xiàng)A正

確.]

□考點(diǎn)2共振的特點(diǎn)

畬情境探究

洗衣機(jī)在把衣服脫水完畢后，電動機(jī)還要轉(zhuǎn)動一會才能停下來.該過程中洗

衣機(jī)先振動得比較小，然后有一陣子振動得很劇烈，然后振動慢慢減小直至停下

來.

思考討論：1

(1)開始時，洗衣機(jī)為什么振動比較??？

(2)期間劇烈振動的原因是什么？

提示：(1)開始時，洗衣機(jī)的固有頻率與脫水桶的頻率相差較遠(yuǎn).

(2)劇烈