2024年高中數(shù)學(xué)專題4-15數(shù)列全章綜合測(cè)試卷提高篇教師版新人教A版選擇性必修第二冊(cè)

第四章數(shù)列一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2024·上海市高三階段練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+22+???+25A．7 B．6 C．5 D．4【解題思路】分別寫出n=k與【解答過(guò)程】當(dāng)n=k當(dāng)n=k∴從k到k+1故選：C.2．（5分）（2024·廣東·高二階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）①數(shù)列1，3，5，7與數(shù)列7，3，5，1是同一數(shù)列；②數(shù)列0，1，2，3...的一個(gè)通項(xiàng)公式為an③數(shù)列0，1，0，1…沒(méi)有通項(xiàng)公式；④數(shù)列nnA．①③ B．②④ C．②③ D．②③④【解題思路】依據(jù)數(shù)列的概念即可推斷A項(xiàng)；代入可推斷B項(xiàng)；依據(jù)數(shù)列中前幾項(xiàng)的特點(diǎn)寫出通項(xiàng)可說(shuō)明C項(xiàng)錯(cuò)誤；作差法求an【解答過(guò)程】數(shù)列有依次，①錯(cuò)誤；逐個(gè)代入檢驗(yàn)，可知數(shù)列前幾項(xiàng)滿足通項(xiàng)公式，②正確；an=1--設(shè)an=n所以，an+1>故選：B.3．（5分）（2024·河北·高二期中）數(shù)列an滿足a1=2,anA．-1 B．-13【解題思路】依據(jù)遞推公式求得數(shù)列的周期，結(jié)合數(shù)列的周期即可求得結(jié)果.【解答過(guò)程】依據(jù)題意可得a1故該數(shù)列是以4為周期的數(shù)列，且a1故數(shù)列an的前2024項(xiàng)的乘積為a故選：C.4．（5分）（2024·江蘇省高二期中）“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見(jiàn)于我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》，1852年，英國(guó)傳教士偉烈亞力將該解法傳至歐洲，1874年，英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國(guó)剩余定理”，此定理講的是關(guān)于整除的問(wèn)題，現(xiàn)將1到2024這2024個(gè)數(shù)中，能被2除余1且被7除余1的數(shù)按從小到大的依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列an，則該數(shù)列共有（

A．145項(xiàng) B．146項(xiàng) C．144項(xiàng) D．147項(xiàng)【解題思路】由已知可得能被2除余1且被7除余1的數(shù)即為能被14除余1，進(jìn)而得通項(xiàng)及項(xiàng)數(shù).【解答過(guò)程】由已知可得an-1既能被2整除，也能被7整除，故a所以an-1=14即an故1≤an≤2022，即1故選：A.5．（5分）（2024·江西·高三階段練習(xí)（理））已知an是等比數(shù)列，Sn為其前①an+an+1是等比數(shù)列；②an?a④lgan是等比數(shù)列，⑤若Sn=aA．5 B．4 C．3 D．2【解題思路】依據(jù)題意找到反例說(shuō)明命題錯(cuò)誤，或者利用等比數(shù)列的定義或前n項(xiàng)和公式證明命題正確.【解答過(guò)程】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q若an+a例如數(shù)列1，-1，1，-故①不正確；因?yàn)閍nan與第1個(gè)相仿，若相加和為零，不能構(gòu)成等比數(shù)列，例如數(shù)列1，-1，1，-1，…，S2，S故③不正確；例如an=(-1)n，由Sn=aSn所以a=a11-q故選:D.6．（5分）（2024·江西·高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列an滿足a1=1,a2A．31011-2023 B．31011【解題思路】利用累加法得到a2n-【解答過(guò)程】因?yàn)閍2所以a2n+1所以a===3所以a2所以S==3=3故選：D.7．（5分）（2024·河南·模擬預(yù)料（文））設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，若S4A．若a1<0，則an為遞增數(shù)列 B．若C．若a4+a11>0，則【解題思路】依據(jù)已知條件求得a1,d【解答過(guò)程】由于等差數(shù)列an滿足S所以4aA選項(xiàng)，若a1=-112B選項(xiàng)，若d≠0，a9a9C選項(xiàng)，a4D選項(xiàng)，當(dāng)d>0時(shí)，a所以S6故選：D.8．（5分）（2024·福建三明·高三期中）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，其前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為Tn，并滿足條件a1>1,A．S2019>S2020 B．C．a(chǎn)2019a2021【解題思路】依據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質(zhì)分析公比q的范圍，由此分析選項(xiàng)可得答案．【解答過(guò)程】解：等比數(shù)列an的公比為q，則an=a1qn又由a2019-1a2020-1<0，即又當(dāng)a2020>10<a2019<1時(shí)，可得q>1所以0<a2020<1由此分析選項(xiàng)：對(duì)于A，S2020-S對(duì)于B，等比數(shù)列{an}中，0<q<1，a1>0，所以數(shù)列{an}單調(diào)遞減，又因?yàn)閷?duì)于C，等比數(shù)列{an}中，則a對(duì)于D，由B的結(jié)論知T2019是數(shù)列{故選：C.二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：當(dāng)fk≥k+1成立時(shí)，總有A．若f6<7成立，則B．若f3≥4成立，則當(dāng)kC．若f2<3成立，則D．若f4≥5成立，則當(dāng)k【解題思路】由逆否命題與原命題為等價(jià)命題可推斷AC，再依據(jù)題意可得若f3≥4成立，則當(dāng)k【解答過(guò)程】對(duì)于A：當(dāng)fk≥k則逆否命題：當(dāng)fk+1<k若f6<7成立，則對(duì)于B：若f3≥4成立，則當(dāng)k對(duì)于C：當(dāng)fk≥k則逆否命題：當(dāng)fk+1<k故若f2<3成立，則對(duì)于D：依據(jù)題意，若f4≥5即fk≥k所以當(dāng)k≥4時(shí)，均有故選：AD.10．（5分）（2024·湖南·高三階段練習(xí)）已知等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項(xiàng)之積為Tn，且滿足0<a1<1A．q>1 B．C．T2023的值是Tn中最小的 D．使Tn【解題思路】由等比數(shù)列的性質(zhì)得0<a【解答過(guò)程】由0<a1<1，a2022a2023-對(duì)于A，q=對(duì)于B，a2021對(duì)于C，當(dāng)1≤n≤2022時(shí)，0<a故T2022的值是T對(duì)于D，T4043=a20224043<1，故選：ABD.11．（5分）（2024·河北張家口·高三期中）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=2，且A．a(chǎn)nB．0<C．1D．當(dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列an的前n項(xiàng)和【解題思路】對(duì)于A，利用遞推式得到0<an+1an=12an2+1<1，從而證得數(shù)列an是單調(diào)遞減數(shù)列，由此推斷即可；對(duì)于B，先利用反證法證得a【解答過(guò)程】對(duì)于A，因?yàn)閍n+1若an=0，則an+1=an2所以an≠0，an2>0，則所以數(shù)列an對(duì)于B，因?yàn)閍n+1若an<0，則an+1<0，故an又因?yàn)閿?shù)列an是單調(diào)遞減數(shù)列，所以a1=2是數(shù)列a綜上：0<a對(duì)于C，因?yàn)閍n+1=an2所以1a上述各式相加得1a又a1=2，所以經(jīng)檢驗(yàn)：1a2-所以1a對(duì)于D，由選項(xiàng)A知，an所以Sn故選：BCD.12．（5分）（2024·安徽·高三階段練習(xí)）已知Sn為等差數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，且滿足3b2=b5，b3=5A．b32=63 B．SC．a(chǎn)n為等差數(shù)列 D．a(chǎn)n和【解題思路】對(duì)于A選項(xiàng)，干脆利用等差數(shù)列bn所給的條件求出首項(xiàng)和公差進(jìn)而求出b對(duì)于B選項(xiàng)，將Sn-5對(duì)于C選項(xiàng)由題意可得an的地推公式，利用構(gòu)造法找到規(guī)律進(jìn)而得出數(shù)列a來(lái)推斷C；對(duì)于D選項(xiàng)，結(jié)合an【解答過(guò)程】由bn為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，∵3b2=解得b1=1，d=2Sn=n(1+2nSn-5bn=n2-選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由an+an+1=構(gòu)建一個(gè)新數(shù)列cn，令cn+1=an+1-n∴a1=0，由an+c1=a1=0，c2=a2an=n-1由an=n-1和b1+3+5+7+?故選：AC.三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明1n+1+1n+2+......+【解題思路】先列舉出當(dāng)n=k時(shí)，左邊的式子，再令n=【解答過(guò)程】當(dāng)n=k時(shí)，所假設(shè)的不等式為當(dāng)n=k+1故需添加的項(xiàng)為：13k+1故答案為：13k+114．（5分）（2024·上?！じ叨谀┰O(shè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn【解題思路】依據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式解決即可.【解答過(guò)程】由題知，等差數(shù)列{an}{bn}的前n項(xiàng)和分別為因?yàn)閍4故答案為：381315．（5分）（2024·江西·高三階段練習(xí)（理））斐波那契數(shù)列，又稱黃金數(shù)列，指的是1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)等領(lǐng)域都有干脆應(yīng)用，對(duì)斐波那契數(shù)列，其遞推公式為a1=a2=1，an+2=an+1+an．已知【解題思路】由已知條件，寫出遞推公式，累加法求出相應(yīng)的通項(xiàng)（或遞推）公式即可.【解答過(guò)程】因?yàn)閍n+2所以a3a4a5an+2將以上n個(gè)式子兩邊分別相加，得Sn+2所以Sn+2又Sn+2所以Sn所以Sn所以S2022故答案為：p-16．（5分）（2024·江蘇·高二期中）已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，a1=2，an+12【解題思路】運(yùn)用因式分解法，結(jié)合等比數(shù)列的定義、裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.【解答過(guò)程】由an+12-當(dāng)an+1=-an時(shí)，即an+1a當(dāng)an+1=2an時(shí)，即an+1an所以an因?yàn)閍n所以anan+1故答案為：6822049四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2024·上?！じ叨A段練習(xí)）視察下面等式：1=1【解題思路】總結(jié)規(guī)律后由數(shù)學(xué)歸納法證明【解答過(guò)程】一般規(guī)律：n+(證明：（1）n=1（2）假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即則當(dāng)n=k+1=(2k由（1）（2）得當(dāng)n∈18．（12分）（2024·陜西·高二期中（理））已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a3(1)求數(shù)列an(2)若bn=an，求數(shù)列bn【解題思路】（1）確定a1>0,d<0,a（2）考慮1≤n≤5和【解答過(guò)程】（1）由a3=5,S由a3=5，可得a5=5+2d又公差d為整數(shù)，d=-2（2）bn當(dāng)1≤n≤5時(shí)，an>0；當(dāng)當(dāng)1≤n≤當(dāng)n≥6時(shí)，綜上，Tn19．（12分）（2024·上海市高一期末）在一次聘請(qǐng)會(huì)上，甲、乙兩家公司分別給出了它們的工資標(biāo)準(zhǔn).甲公司承諾：第一年的年薪為10.8萬(wàn)元，以后每年的年薪比上一年增加8000元；乙公司的工資標(biāo)準(zhǔn)如下：①第一年的年薪為8萬(wàn)元；②從其次年起，每年的年薪除比上一年增加10%外，還另外發(fā)放a（a為大于0的常數(shù)）萬(wàn)元的交通補(bǔ)貼作為當(dāng)年年薪的一部分.設(shè)甲、乙兩家公司第n年的年薪依次為an萬(wàn)元和(1)證明數(shù)列bn+10a為等比數(shù)列，并求(2)小李年初被這兩家公司同時(shí)意向錄用，他打算選擇一家公司連續(xù)工作至少10年.若僅從前10年工資收入總量較多作為選擇的標(biāo)準(zhǔn)（不記其它因素），為了吸引小李的加盟，乙公司從其次年起，每年應(yīng)至少發(fā)放多少元的交通補(bǔ)貼？（結(jié)果精確到元）【解題思路】（1）由題意可得出bn+1=1.1bn+（2）設(shè)數(shù)列an、bn的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn（單位：萬(wàn)元），計(jì)算出S10、T【解答過(guò)程】(1)解：由題意可得bn+1=1.1bn+所以，數(shù)列bn+10a為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為b1所以，bn+10a(2)解：設(shè)數(shù)列an、bn的前n項(xiàng)和分別為Sn則數(shù)列an是首項(xiàng)為10.8，公差為0.8所以，S10T10可得a≥所以，每年應(yīng)至少發(fā)放2779元的交通補(bǔ)貼.20．（12分）（2024·陜西·一模（理））已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為Mn，a2+M3=20,a5(1)求數(shù)列an和b(2)若cn=1anan+1，數(shù)列c【解題思路】（1）運(yùn)用等差數(shù)列的基本公式聯(lián)立方程可解出an的首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式；對(duì)bn，考慮整理b1=1【解答過(guò)程】（1）設(shè)an的公差為d，由題意得：4a所以an=由2Sn+1=2又b1=12，所以所以bn（2）證明：cnTn要證Tn>1因?yàn)閒(x)=1-2所以1-21．（12分）（2024·上?！じ咭黄谀?duì)于無(wú)窮數(shù)列an，設(shè)集合A=x|x=an,n≥(1)已知數(shù)列an滿足a1=2,an+1(2)設(shè)函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式為f(x)=3|x+1|-(3)設(shè)an=cos(tπn)．若數(shù)列【解題思路】（1）依據(jù)a1=2,an+1=11-an，計(jì)算即可；（2）f(x)min=f(-1)=-1，當(dāng)x>-1時(shí)，【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閍1所以a2所以A=x|x=an,n（2）由題知，f(所以f(x)當(dāng)x>-1因此當(dāng)a1=-即an=-1,n當(dāng)a1≠-由(*)得因此an+1>a綜上，a1（3）當(dāng)t為有理數(shù)時(shí)，必存在p∈Z+則an+2p因此集合A=x|x=a當(dāng)t為無(wú)理數(shù)時(shí)，對(duì)隨意m,n∈若am=a則tπn=tπ則t=2kn-m因此集合A=綜上，t的取值集合是全體有理數(shù)，即t∈22．（12分）（2024·江蘇·高二階段練習(xí)）已知等差數(shù)列an滿足a(1)求an(2)若m=2an2n+