銳角三角函數(shù)

關(guān)于銳角三角函數(shù)問題1

為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機(jī)井房沿著山坡鋪設(shè)水管，在山坡上修建一座揚(yáng)水站，對(duì)坡面的綠地進(jìn)行噴灌．現(xiàn)測得斜坡與水平面所成角的度數(shù)是30°，為使出水口的高度為35m，那么需要準(zhǔn)備多長的水管？這個(gè)問題可以歸結(jié)為，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB的長.ABC

思考：你能將實(shí)際問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題嗎？情境探究第2頁,共51頁，星期六，2024年，5月

根據(jù)“在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”，即ABC

在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB的長.可得AB=2BC=70m，即需要準(zhǔn)備70m長的水管。第3頁,共51頁，星期六，2024年，5月在上面的問題中，如果使出水口的高度為50m，那么需要準(zhǔn)備多長的水管？結(jié)論：在一個(gè)直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么不管三角形的大小如何，這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比值都等于。?思考ABC50m30mB'C'第4頁,共51頁，星期六，2024年，5月

即在直角三角形中，當(dāng)一個(gè)銳角等于45°時(shí)，不管這個(gè)直角三角形的大小如何，這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比都等于。

如圖，任意畫一個(gè)Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，計(jì)算∠A的對(duì)邊與斜邊的比

，你能得出什么結(jié)論？ABC第5頁,共51頁，星期六，2024年，5月

綜上可知，在一個(gè)Rt△ABC中，∠C＝90°，

一般地，當(dāng)∠A

取其他一定度數(shù)的銳角時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比是否也是一個(gè)固定值？結(jié)論問題

當(dāng)∠A＝30°時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比都等于，是一個(gè)固定值；

當(dāng)∠A＝45°時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比都等于，也是一個(gè)固定值.第6頁,共51頁，星期六，2024年，5月探究ABCA'B'C'

任意畫Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘，使得∠C＝∠C’＝90°，∠A＝∠A‘＝，那么與有什么關(guān)系．你能解釋一下嗎？由于∠C＝∠C’＝90°，∠A＝∠A’＝所以Rt△ABC∽R(shí)t△A’B’C’第7頁,共51頁，星期六，2024年，5月

這就是說，在直角三角形中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí)，不管三角形的大小如何，∠A的對(duì)邊與斜邊的比都是一個(gè)固定值．探究第8頁,共51頁，星期六，2024年，5月

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦（sine），記作sinA，即例如，當(dāng)∠A＝30°時(shí)，我們有當(dāng)∠A＝45°時(shí)，我們有ABCcab對(duì)邊斜邊在圖中∠A的對(duì)邊記作a∠B的對(duì)邊記作b∠C的對(duì)邊記作c

正弦第9頁,共51頁，星期六，2024年，5月注意sinA是一個(gè)完整的符號(hào)，它表示∠A的正弦，記號(hào)里習(xí)慣省去角的符號(hào)“∠”；sinA沒有單位，它表示一個(gè)比值，即直角三角形中∠A的對(duì)邊與斜邊的比；sinA不表示“sin”乘以“A”。第10頁,共51頁，星期六，2024年，5月例1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．ABC34

例題示范ABC135(1)(2)試著完成圖（2）第11頁,共51頁，星期六，2024年，5月練習(xí)AC35B2、在平面直角平面坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(3，0)和B(0，-4)，則sin∠OAB等于____.3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是BC邊上的中線，AC=2，BC=4，則sin∠DAC=___.4、在Rt△ABC中,∠C=90°,,則sin∠A=___.1、如圖，求sinA和sinB的值．第12頁,共51頁，星期六，2024年，5月5、如圖，在△ABC中，AB=CB=5，sinA=，求△ABC的面積。BAC55第13頁,共51頁，星期六，2024年，5月28.1銳角三角函數(shù)（2）——正弦正切第14頁,共51頁，星期六，2024年，5月復(fù)習(xí)與探究：

1.銳角正弦的定義在中，

∠A的正弦：2、當(dāng)銳角A確定時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比就隨之確定。此時(shí)，其他邊之間的比是否也隨之確定？為什么？第15頁,共51頁，星期六，2024年，5月新知探索:1、你能將“其他邊之比”用比例的式子表示出來嗎？這樣的比有多少？2、當(dāng)銳角A確定時(shí)，∠A的鄰邊與斜邊的比，∠A的對(duì)邊與鄰邊的比也隨之確定嗎？為什么？交流并說出理由。方法一：從特殊到一般，仿照正弦的研究過程；方法二：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)來說明。第16頁,共51頁，星期六，2024年，5月

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，ABC斜邊c對(duì)邊a鄰邊b★我們把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦（cosine），記作cosA，即★我們把銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切（tangent），記作tanA，即第17頁,共51頁，星期六，2024年，5月注意cosA，tanA是一個(gè)完整的符號(hào)，它表示∠A的余弦、正切，記號(hào)里習(xí)慣省去角的符號(hào)“∠”；cosA，tanA沒有單位，它表示一個(gè)比值，即直角三角形中∠A的鄰邊與斜邊的比、對(duì)邊與鄰邊的比；cosA不表示“cos”乘以“A”，tanA不表示“tan”乘以“A”第18頁,共51頁，星期六，2024年，5月

對(duì)于銳角A的每一個(gè)確定的值，sinA有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，所以sinA是A的函數(shù)。

同樣地，

cosA，tanA也是A的函數(shù)。

銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù).第19頁,共51頁，星期六，2024年，5月ABC6例1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=6，，求cosA和tanB的值．第20頁,共51頁，星期六，2024年，5月例2如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=2，AB=3，求∠A，∠B的正弦、余弦、正切值．ABC23延伸：由上面的計(jì)算，你能猜想∠A，∠B的正弦、余弦值有什么規(guī)律嗎？結(jié)論：一個(gè)銳角的正弦等于它余角的余弦，或一個(gè)銳角的余弦等于它余角的正弦。第21頁,共51頁，星期六，2024年，5月練習(xí)課本P78練習(xí)1，2，3.補(bǔ)充練習(xí)

1、在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.ABCD第22頁,共51頁，星期六，2024年，5月rldmm8989889補(bǔ)充練習(xí)2、如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC=12，AB=13，∠BCM=∠BAC，求sin∠BAC和點(diǎn)B到直線MC的距離．3、如圖所示，CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高，求證：第23頁,共51頁，星期六，2024年，5月28.1銳角三角函數(shù)（3）第24頁,共51頁，星期六，2024年，5月

AB

C∠A的對(duì)邊a∠A的鄰邊b斜邊c第25頁,共51頁，星期六，2024年，5月?思考

請(qǐng)同學(xué)們拿出自己的學(xué)習(xí)工具——一副三角尺，思考并回答下列問題：1、這兩塊三角尺各有幾個(gè)銳角？它們分別等于多少度？2、每塊三角尺的三邊之間有怎樣的特殊關(guān)系？如果設(shè)每塊三角尺較短的邊長為1，請(qǐng)你說出未知邊的長度。30°60°45°121145°第26頁,共51頁，星期六，2024年，5月新知探索:30°角的三角函數(shù)值sin30°=cos30°=tan30°=第27頁,共51頁，星期六，2024年，5月cos45°=tan45°=sin45°=新知探索:45°角的三角函數(shù)值第28頁,共51頁，星期六，2024年，5月sin60°=cos60°=tan60°=新知探索:60°角的三角函數(shù)值第29頁,共51頁，星期六，2024年，5月30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：

銳角a三角函數(shù)30°45°60°sinacosatana第30頁,共51頁，星期六，2024年，5月例1求下列各式的值：（1）cos260°＋sin260°（2）第31頁,共51頁，星期六，2024年，5月求下列各式的值：第32頁,共51頁，星期六，2024年，5月例2（1）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，求∠A的度數(shù)．ABC第33頁,共51頁，星期六，2024年，5月（2）如圖，已知圓錐的高AO等于圓錐的底面半徑OB的倍，求a．ABO

當(dāng)A，B為銳角時(shí)，若A≠B，則sinA≠sinB,cosA≠cosB,tanA≠tanB.第34頁,共51頁，星期六，2024年，5月1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，，求∠A、∠B的度數(shù)．BAC第35頁,共51頁，星期六，2024年，5月2、求適合下列各式的銳角α第36頁,共51頁，星期六，2024年，5月ABCD4、如圖,△ABC中,∠C=900,BD平分∠ABC,BC=12,BD=,求∠A的度數(shù)及AD的長.第37頁,共51頁，星期六，2024年，5月小結(jié)

:

我們學(xué)習(xí)了30°,45°,60°這幾類特殊角的三角函數(shù)值．第38頁,共51頁，星期六，2024年，5月作業(yè)課本P82第3題《同步練習(xí)》P51-52（四）（五）第39頁,共51頁，星期六，2024年，5月28.1銳角三角函數(shù)（4）第40頁,共51頁，星期六，2024年，5月rldmm8989889

DABE1.6m20m42°C引例升國旗時(shí)，小明站在操場上離國旗20m處行注目禮。當(dāng)國旗升至頂端時(shí)，小明看國旗視線的仰角為42°（如圖所示），若小明雙眼離地面1.60m，你能幫助小明求出旗桿AB的高度嗎？這里的tan42°是多少呢？第41頁,共51頁，星期六，2024年，5月

前面我們學(xué)習(xí)了特殊角30°45°60°的三角函數(shù)值，一些非特殊角(如17°56°89°等)的三角函數(shù)值又怎么求呢？

這一節(jié)課我們就學(xué)習(xí)借助計(jì)算器來完成這個(gè)任務(wù).第42頁,共51頁，星期六，2024年，5月1、用科學(xué)計(jì)算器求一般銳角的三角函數(shù)值：（1）我們要用到科學(xué)計(jì)算器中的鍵：sincostan（2）按鍵順序◆如果銳角恰是整數(shù)度數(shù)時(shí)，以“求sin18°”為例，按鍵順序如下：按鍵順序顯示結(jié)果sin18°sin18sin180.309016994∴sin18°=0.309016994≈0.31第43頁,共51頁，星期六，2024年，5月1、用科學(xué)計(jì)算器求一般銳角的三角函數(shù)值：◆如果銳角的度數(shù)是度、分形式時(shí)，以“求tan30°36′”為例，按鍵順序如下：方法一：按鍵順序顯示結(jié)果tan30°36′tan3036tan30°36′0.591398351∴tan30°36′=0.591398351≈0.59方法二：先轉(zhuǎn)化，30°36′=30.6°,后仿照sin18°的求法?！羧绻J角的度數(shù)是度、分、秒形式時(shí)，依照上面的方法一求解。第44頁,共51頁，星期六，2024年，5月rldmm8989889（3）完成引例中的求解：tan2042+1.619.60808089∴AB=19.60808089≈19.61m即旗桿的高度是19.61m.第45頁,共51頁，星期六，2024年，5月練習(xí):使用計(jì)算器求下列銳角的三角函數(shù)值.（精確到0.01）（1）sin20°，cos70°；

sin35°，cos55°；

sin15°32′，cos74°28′；（2）tan3°8′，tan80°25′43″；（3）sin15°+cos61°tan76°.第46頁,共51頁，星期六，2024年，5月按鍵的順序顯示結(jié)果SHIFT20917.301507834sin·7=

已知三角函數(shù)值求角度，要用到sin，Cos，tan的第二功能鍵“sin－１

Cos－１，tan－１”鍵例如：已知sinα＝0.2974,求銳角α．按健順序?yàn)椋喝绻侔础岸确置虢　本蛽Q算成度分秒，°′″即∠α＝17o18’5.43”2、已知銳角的三角函數(shù)值，求銳角的