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文檔簡介

數(shù)列求和(一)

學(xué)習(xí)目標(biāo):1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前〃項和公式;2.掌握非等差、等比數(shù)列求和的

幾種常見方法(①分組求和;②并項求和;③裂項相消).

知識梳理:

1.求數(shù)列的前〃項和的方法

求和公式:①等差數(shù)列的前n項和公式£==

②等比數(shù)列的前〃項和公式(i)當(dāng)q=l時,£=;

(ii)當(dāng)斤1時,S?==.

(1)分組求和:把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項,轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列,再求解.

(2)并項求和:一個數(shù)列的前A項和中,可兩兩結(jié)合求解,則稱之為并項求和.形如劣=(一

1)量(〃)類型,可采用兩項合并求解.

(3)裂項相消法:把數(shù)列的通項拆成兩項之差或和求和,正負(fù)相消剩下首尾若干項.

常見的裂項公式⑴7第一=/喜.⑵L+I4a肅)

⑶高=口-6

分析高考:高考文科數(shù)學(xué)數(shù)列解答題一般是第四道解答題,屬于中等難度的題

目,出題方向主要是求通項和求和,有可能會和不等式、函數(shù)、程序框圖知識

結(jié)合。

年份文科理科

2011分組與并項求和(與對數(shù)運(yùn)算分組與并項求和(項數(shù)分奇數(shù)和

結(jié)合)偶數(shù))

2012公式法、不等式公式法、不等式

2013乘公比錯位相減乘公比錯位相減

2014分組求和(項數(shù)分奇數(shù)和偶數(shù))裂項相消

2015乘公比錯位相減乘公比錯位相減

診斷自測:

1.等差數(shù)列{a}的公差為2,若如&,金成等比數(shù)列,貝!]{aj的前A項和S=()

/一、c/_、cnn+1enn-1

A.77(/7+1)B.〃(〃—1)C.----------D.--------

乙乙

2.若數(shù)列{&}的通項公式為&=2"+2〃-1,則數(shù)列{&}的前〃項和為()

+12,,+12

A.2"+4一1B.2"+/3-1C.2+Z?-2D.2"+n~2

3.數(shù)列{&}的前〃項和為S,已知$=1-2+3—4+…+(—1)〃7?〃,則品=()

A.9B.8C.17D.16

4.已知等差數(shù)列{&}的前A項和為£,a=5,&=15,則數(shù)歹49一1的前100項和為()

1aa+1J

100n99八99n101

A?而B.而C.礪D.而

5.已知函數(shù)/U)"的圖象過點(diǎn)(4,2),2f'〃水記數(shù)列⑷的前

〃項和為S,貝!ISOM=()A.yj2013-1B.劣20為一1C.y20為一1

D.、2015+1

考點(diǎn)突破:

考點(diǎn)一分組求和

【例1】設(shè)數(shù)歹U?}滿足囪=2,改+&=8,且對任意〃GN*,函數(shù)fC?)=(a〃-&+1+2〃+2)彳

+%+icosx—an+2sinx滿足£(高=0.(1)求數(shù)列{&}的通項公式;⑵若

bn=2(a“+J-),求數(shù)列仇}的前n項和Sn.

考點(diǎn)二并項求和

【例2】在等差數(shù)列{&}中,已知公差d=2,切是&與&的等比中項.(1)求數(shù)列{&}的通

項公式;(2)令=即(“+[),記北=一瓜+慶一瓜+幼一…+(―1)"4,求7k

變式提高:已知數(shù)列{a,,}的前〃項和S“=巴聲,〃eN*.(1)求數(shù)列{%}的通項公式;

(2)設(shè)d=2%+(-l)"a“,求數(shù)列也}的前2〃項和.

考點(diǎn)三裂項相消法

思考:裂項相消主要涉及哪些類型?方法的根本是什么?例如:a尸—L;a產(chǎn)

nn-rk

1〃+1k村

g+W;af〃+22等等

【例3】已知數(shù)列{4}滿足a=1,a.+i=l-;,其中〃CN*.

4&

9

(1)設(shè)4=^一7,求證:數(shù)列{4}是等差數(shù)列,并求出{4}的通項公式;

4

⑵設(shè),=蒸,求數(shù)列{&c葉。的前n項和為T.

變式提高:2、已知等差數(shù)列{a,,}的公差為列前〃項和為S“,且,,邑,$4成等比數(shù)列.

(I)求數(shù)列{4}的通項公式;(n)令a=(—iyi--------,求數(shù)列他j的前"項和

4%

知識方法總結(jié):

鞏固練習(xí)

1、設(shè)等差數(shù)列{aj的前〃項和為S,且S=2S+4,戊=36,數(shù)列{4}是各項均為正數(shù)的

等比數(shù)列,且》?幼=2,幼?4=32.(1)求數(shù)列{4},{4}的通項公式;(2)求數(shù)列1+4}

的前n項和;(3)設(shè)4=£—1(〃GN*),7L=T;+T+^----求森

b\bzthbn

《數(shù)列求和》學(xué)情分析

對于初中學(xué)過的多數(shù)知識.在高中沒有系統(tǒng)深入學(xué)習(xí)的機(jī)會而初中內(nèi)容是學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)

的必要基礎(chǔ),因而在學(xué)習(xí)高中內(nèi)容時有意識地復(fù)習(xí)、深化初中內(nèi)容顯得特別重要。

適當(dāng)加強(qiáng)本章內(nèi)容與函數(shù)的聯(lián)系適當(dāng)加強(qiáng)這種聯(lián)系,不僅有利于知識的融匯貫通,加

深對數(shù)列的理解,運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)和方法解決有關(guān)數(shù)列的問題,而且反過來可使學(xué)生對函數(shù)

的認(rèn)識深化一步。比如,學(xué)生在此之前接觸的函數(shù)一般是自變量連續(xù)變化的函數(shù),而到本章

接觸到數(shù)列這種自變量離散變化的函數(shù)之后,就能進(jìn)一步理解函數(shù)的一般定義,防止了前面

內(nèi)容安排可能產(chǎn)生的學(xué)生認(rèn)識上的負(fù)遷移。

數(shù)列求和是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn),主要方法有分組求和,并項求和,裂項相消求和,乘公比

錯位相減,倒序相加,方法的選擇要根據(jù)通項公式的形式,學(xué)生需要在合作探究中發(fā)現(xiàn)里面

的本質(zhì),牢固的掌握。

《數(shù)列求和》效果分析

一、學(xué)生明確了高考的考試方向。數(shù)列求和是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn),有可能和函數(shù)相結(jié)合,

綜合性的題目要分解難點(diǎn)解決,目標(biāo)明確,重點(diǎn)突出,學(xué)生要做到既會又對。

二、學(xué)生是課堂的主體,通過學(xué)生表情的變化、思維的速度,回答問題、練習(xí)、測

試、動手操作的準(zhǔn)確性等信息反饋,準(zhǔn)確把握學(xué)生新知識新技能的掌握情況。不僅關(guān)注尖

子生的接受情況,更要及時關(guān)注弱科生,邊緣生的接受情況,根據(jù)課堂問題及時調(diào)整教學(xué)

方式,一切以學(xué)生接受為教學(xué)的根本。

三、及時糾正學(xué)生的思維誤區(qū)。學(xué)生對方法有認(rèn)識,但是應(yīng)用不熟練,理解不透徹,

如何選擇存在疑慮。課堂教學(xué)中充分體現(xiàn)師生平等、教學(xué)民主的思想,信息交流暢通,

情感交流融洽,合作和諧,配合默契,教與學(xué)的氣氛達(dá)到最優(yōu)化,課堂教學(xué)效果達(dá)到最大

化。教師教得輕松,學(xué)生學(xué)得愉快。

《數(shù)列求和》教材分析

數(shù)列作為一種特殊的函數(shù),是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型。在本模塊中,學(xué)生通過等

差數(shù)列和等比數(shù)列這兩種數(shù)列模型,探索并掌握它們的一些基本數(shù)量關(guān)系,感受這兩種數(shù)列

模型的廣泛應(yīng)用,并利用它們解決一些實(shí)際問題。

數(shù)列在整個中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中,處于一個知識匯合點(diǎn)的地位,很多知識都與數(shù)列有

著密切聯(lián)系,過去學(xué)過的數(shù)、式、方程、函數(shù)、簡易邏輯等知識在這一章均得到了較為充分

的應(yīng)用,學(xué)習(xí)這一章便于對學(xué)生進(jìn)行綜合訓(xùn)練,從而有助于培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題

的能力。

本章內(nèi)容中,涉及多種數(shù)學(xué)思想方法,如函數(shù)思想、方程思想、遞歸思想、合理猜想等,

教學(xué)中要突出思想方法在解題中的作用,技巧的熟練掌握應(yīng)建立在學(xué)生體會理解的基礎(chǔ)上,

不要以特殊的技巧沖淡通性通法的領(lǐng)悟.

數(shù)列求和

一、選擇題

1.在等差數(shù)列{%}中,%=1,%=5,則{。“}的前5項和55=()

A.7B.15C.20D.25

2.若數(shù)歹H}的通項公式是為=(-2),則a+色H--Faio=().

A.15B.12C.-12D.-15

i9niQ

3.在數(shù)列{&}中,&=-上一,若{&}的前〃項和為宗需,則項數(shù)〃為().

n〃十1/014

A.2011B.2012C.2013D.2014

4.數(shù)列{a}滿足a+]+(—1)”為=2〃-1,則{4}的前60項和為().

A.3690B.3660C.1845D.1830

5.已知數(shù)列{a.}的通項公式為a.=2〃+l,令4=,(國+a+…+a.),則數(shù)列{4}的前10

n

項和/io=()

A.70B.75C.80D.85

6.數(shù)列{&}滿足4+&+尸:(力@心,且a=1,S是數(shù)列{&}的前〃項和,則5=().

A.^B.6C.10D.11

二、填空題

7.在等比數(shù)列{a}中,若24=—4,則公比q=;|311+|aH----H&l=

8.等比數(shù)列{a〃}的前A項和S=2"—1,則4+■+…+4=.

9.已知等比數(shù)列{aj中,&=3,a=81,若數(shù)歹!]伉}滿足瓦=log3a”,則數(shù)歹”念;]的前〃

項和Sn=.

三、解答題

10.等差數(shù)列{a.}的各項均為正數(shù),a=3,前A項和為S,{4}為等比數(shù)列,瓦=1,且質(zhì)S

=64,左W=960.(1)求品與4;(2)求----

Ol02)

11.已知數(shù)列{a}的前〃項和為S,且a=La+i=[s(〃=l,2,3,…).

(1)求數(shù)列{&}的通項公式;

⑵設(shè)4=log1(3&+i)時,求數(shù)列kA]的前〃項和Tn.

Z\DnUn+\\

12、設(shè)等差數(shù)列{&}的前刀項和為S,且W=2S+4,a=36,數(shù)列{4}是各項均為正數(shù)的

等比數(shù)列,且A?慶=2,瓜?&=32.⑴求數(shù)列{&},{4}的通項公式;(2)求數(shù)列{&+〃}

的前n項和;(3)設(shè)1(〃£N*),北=4+4+4+…+[,求森

D\thDiOn

評測練習(xí)答案

BACDBB-2|(4"-1)n

n+1

10.

解(1)設(shè){4}的公差為“{4}的公比為S則d為正數(shù),&=3+(〃-l)d,bn=(f\

[&&=6+(/g=64,

依題意有…

&h=9+3dq2=960,

r,6

陽2,仁飛'

解得O或〈S(舍去)

(q=840

故4=3+2(〃—1)=2〃+Lbn=8〃T.

⑵S=3+5+…+(2〃+1)=刀(〃+2),

所以工----F—=—^―+^—+-^—

切以SS&1X32X43X5n+2

圭一旬

_3_2〃+3

42〃+1〃+2'

11.

r一乂

a+i-26,

解(1)由已知得1]

&=尹-1

3

得到an+i=-aX^2).

3

二數(shù)列{&}是以選為首項,以£為公比的等比數(shù)列.

pill

又為=5$=5&=5,

...&=檢x2(62).

《數(shù)列求和》課后反思

學(xué)習(xí)新課程標(biāo)準(zhǔn)理念要求教師從片面注重知識的傳授轉(zhuǎn)變到注重學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng),

教師不僅要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果,更重要的是要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程,促進(jìn)學(xué)生學(xué)會自主學(xué)

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