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文檔簡介
數(shù)列求和(一)
學(xué)習(xí)目標(biāo):1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前〃項和公式;2.掌握非等差、等比數(shù)列求和的
幾種常見方法(①分組求和;②并項求和;③裂項相消).
知識梳理:
1.求數(shù)列的前〃項和的方法
求和公式:①等差數(shù)列的前n項和公式£==
②等比數(shù)列的前〃項和公式(i)當(dāng)q=l時,£=;
(ii)當(dāng)斤1時,S?==.
(1)分組求和:把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項,轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列,再求解.
(2)并項求和:一個數(shù)列的前A項和中,可兩兩結(jié)合求解,則稱之為并項求和.形如劣=(一
1)量(〃)類型,可采用兩項合并求解.
(3)裂項相消法:把數(shù)列的通項拆成兩項之差或和求和,正負(fù)相消剩下首尾若干項.
常見的裂項公式⑴7第一=/喜.⑵L+I4a肅)
⑶高=口-6
分析高考:高考文科數(shù)學(xué)數(shù)列解答題一般是第四道解答題,屬于中等難度的題
目,出題方向主要是求通項和求和,有可能會和不等式、函數(shù)、程序框圖知識
結(jié)合。
年份文科理科
2011分組與并項求和(與對數(shù)運(yùn)算分組與并項求和(項數(shù)分奇數(shù)和
結(jié)合)偶數(shù))
2012公式法、不等式公式法、不等式
2013乘公比錯位相減乘公比錯位相減
2014分組求和(項數(shù)分奇數(shù)和偶數(shù))裂項相消
2015乘公比錯位相減乘公比錯位相減
診斷自測:
1.等差數(shù)列{a}的公差為2,若如&,金成等比數(shù)列,貝!]{aj的前A項和S=()
/一、c/_、cnn+1enn-1
A.77(/7+1)B.〃(〃—1)C.----------D.--------
乙乙
2.若數(shù)列{&}的通項公式為&=2"+2〃-1,則數(shù)列{&}的前〃項和為()
+12,,+12
A.2"+4一1B.2"+/3-1C.2+Z?-2D.2"+n~2
3.數(shù)列{&}的前〃項和為S,已知$=1-2+3—4+…+(—1)〃7?〃,則品=()
A.9B.8C.17D.16
4.已知等差數(shù)列{&}的前A項和為£,a=5,&=15,則數(shù)歹49一1的前100項和為()
1aa+1J
100n99八99n101
A?而B.而C.礪D.而
5.已知函數(shù)/U)"的圖象過點(diǎn)(4,2),2f'〃水記數(shù)列⑷的前
〃項和為S,貝!ISOM=()A.yj2013-1B.劣20為一1C.y20為一1
D.、2015+1
考點(diǎn)突破:
考點(diǎn)一分組求和
【例1】設(shè)數(shù)歹U?}滿足囪=2,改+&=8,且對任意〃GN*,函數(shù)fC?)=(a〃-&+1+2〃+2)彳
+%+icosx—an+2sinx滿足£(高=0.(1)求數(shù)列{&}的通項公式;⑵若
bn=2(a“+J-),求數(shù)列仇}的前n項和Sn.
考點(diǎn)二并項求和
【例2】在等差數(shù)列{&}中,已知公差d=2,切是&與&的等比中項.(1)求數(shù)列{&}的通
項公式;(2)令=即(“+[),記北=一瓜+慶一瓜+幼一…+(―1)"4,求7k
變式提高:已知數(shù)列{a,,}的前〃項和S“=巴聲,〃eN*.(1)求數(shù)列{%}的通項公式;
(2)設(shè)d=2%+(-l)"a“,求數(shù)列也}的前2〃項和.
考點(diǎn)三裂項相消法
思考:裂項相消主要涉及哪些類型?方法的根本是什么?例如:a尸—L;a產(chǎn)
nn-rk
1〃+1k村
g+W;af〃+22等等
【例3】已知數(shù)列{4}滿足a=1,a.+i=l-;,其中〃CN*.
4&
9
(1)設(shè)4=^一7,求證:數(shù)列{4}是等差數(shù)列,并求出{4}的通項公式;
4
⑵設(shè),=蒸,求數(shù)列{&c葉。的前n項和為T.
變式提高:2、已知等差數(shù)列{a,,}的公差為列前〃項和為S“,且,,邑,$4成等比數(shù)列.
(I)求數(shù)列{4}的通項公式;(n)令a=(—iyi--------,求數(shù)列他j的前"項和
4%
知識方法總結(jié):
鞏固練習(xí)
1、設(shè)等差數(shù)列{aj的前〃項和為S,且S=2S+4,戊=36,數(shù)列{4}是各項均為正數(shù)的
等比數(shù)列,且》?幼=2,幼?4=32.(1)求數(shù)列{4},{4}的通項公式;(2)求數(shù)列1+4}
的前n項和;(3)設(shè)4=£—1(〃GN*),7L=T;+T+^----求森
b\bzthbn
《數(shù)列求和》學(xué)情分析
對于初中學(xué)過的多數(shù)知識.在高中沒有系統(tǒng)深入學(xué)習(xí)的機(jī)會而初中內(nèi)容是學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)
的必要基礎(chǔ),因而在學(xué)習(xí)高中內(nèi)容時有意識地復(fù)習(xí)、深化初中內(nèi)容顯得特別重要。
適當(dāng)加強(qiáng)本章內(nèi)容與函數(shù)的聯(lián)系適當(dāng)加強(qiáng)這種聯(lián)系,不僅有利于知識的融匯貫通,加
深對數(shù)列的理解,運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)和方法解決有關(guān)數(shù)列的問題,而且反過來可使學(xué)生對函數(shù)
的認(rèn)識深化一步。比如,學(xué)生在此之前接觸的函數(shù)一般是自變量連續(xù)變化的函數(shù),而到本章
接觸到數(shù)列這種自變量離散變化的函數(shù)之后,就能進(jìn)一步理解函數(shù)的一般定義,防止了前面
內(nèi)容安排可能產(chǎn)生的學(xué)生認(rèn)識上的負(fù)遷移。
數(shù)列求和是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn),主要方法有分組求和,并項求和,裂項相消求和,乘公比
錯位相減,倒序相加,方法的選擇要根據(jù)通項公式的形式,學(xué)生需要在合作探究中發(fā)現(xiàn)里面
的本質(zhì),牢固的掌握。
《數(shù)列求和》效果分析
一、學(xué)生明確了高考的考試方向。數(shù)列求和是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn),有可能和函數(shù)相結(jié)合,
綜合性的題目要分解難點(diǎn)解決,目標(biāo)明確,重點(diǎn)突出,學(xué)生要做到既會又對。
二、學(xué)生是課堂的主體,通過學(xué)生表情的變化、思維的速度,回答問題、練習(xí)、測
試、動手操作的準(zhǔn)確性等信息反饋,準(zhǔn)確把握學(xué)生新知識新技能的掌握情況。不僅關(guān)注尖
子生的接受情況,更要及時關(guān)注弱科生,邊緣生的接受情況,根據(jù)課堂問題及時調(diào)整教學(xué)
方式,一切以學(xué)生接受為教學(xué)的根本。
三、及時糾正學(xué)生的思維誤區(qū)。學(xué)生對方法有認(rèn)識,但是應(yīng)用不熟練,理解不透徹,
如何選擇存在疑慮。課堂教學(xué)中充分體現(xiàn)師生平等、教學(xué)民主的思想,信息交流暢通,
情感交流融洽,合作和諧,配合默契,教與學(xué)的氣氛達(dá)到最優(yōu)化,課堂教學(xué)效果達(dá)到最大
化。教師教得輕松,學(xué)生學(xué)得愉快。
《數(shù)列求和》教材分析
數(shù)列作為一種特殊的函數(shù),是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型。在本模塊中,學(xué)生通過等
差數(shù)列和等比數(shù)列這兩種數(shù)列模型,探索并掌握它們的一些基本數(shù)量關(guān)系,感受這兩種數(shù)列
模型的廣泛應(yīng)用,并利用它們解決一些實(shí)際問題。
數(shù)列在整個中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中,處于一個知識匯合點(diǎn)的地位,很多知識都與數(shù)列有
著密切聯(lián)系,過去學(xué)過的數(shù)、式、方程、函數(shù)、簡易邏輯等知識在這一章均得到了較為充分
的應(yīng)用,學(xué)習(xí)這一章便于對學(xué)生進(jìn)行綜合訓(xùn)練,從而有助于培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題
的能力。
本章內(nèi)容中,涉及多種數(shù)學(xué)思想方法,如函數(shù)思想、方程思想、遞歸思想、合理猜想等,
教學(xué)中要突出思想方法在解題中的作用,技巧的熟練掌握應(yīng)建立在學(xué)生體會理解的基礎(chǔ)上,
不要以特殊的技巧沖淡通性通法的領(lǐng)悟.
數(shù)列求和
一、選擇題
1.在等差數(shù)列{%}中,%=1,%=5,則{。“}的前5項和55=()
A.7B.15C.20D.25
2.若數(shù)歹H}的通項公式是為=(-2),則a+色H--Faio=().
A.15B.12C.-12D.-15
i9niQ
3.在數(shù)列{&}中,&=-上一,若{&}的前〃項和為宗需,則項數(shù)〃為().
n〃十1/014
A.2011B.2012C.2013D.2014
4.數(shù)列{a}滿足a+]+(—1)”為=2〃-1,則{4}的前60項和為().
A.3690B.3660C.1845D.1830
5.已知數(shù)列{a.}的通項公式為a.=2〃+l,令4=,(國+a+…+a.),則數(shù)列{4}的前10
n
項和/io=()
A.70B.75C.80D.85
6.數(shù)列{&}滿足4+&+尸:(力@心,且a=1,S是數(shù)列{&}的前〃項和,則5=().
A.^B.6C.10D.11
二、填空題
7.在等比數(shù)列{a}中,若24=—4,則公比q=;|311+|aH----H&l=
8.等比數(shù)列{a〃}的前A項和S=2"—1,則4+■+…+4=.
9.已知等比數(shù)列{aj中,&=3,a=81,若數(shù)歹!]伉}滿足瓦=log3a”,則數(shù)歹”念;]的前〃
項和Sn=.
三、解答題
10.等差數(shù)列{a.}的各項均為正數(shù),a=3,前A項和為S,{4}為等比數(shù)列,瓦=1,且質(zhì)S
=64,左W=960.(1)求品與4;(2)求----
Ol02)
11.已知數(shù)列{a}的前〃項和為S,且a=La+i=[s(〃=l,2,3,…).
(1)求數(shù)列{&}的通項公式;
⑵設(shè)4=log1(3&+i)時,求數(shù)列kA]的前〃項和Tn.
Z\DnUn+\\
12、設(shè)等差數(shù)列{&}的前刀項和為S,且W=2S+4,a=36,數(shù)列{4}是各項均為正數(shù)的
等比數(shù)列,且A?慶=2,瓜?&=32.⑴求數(shù)列{&},{4}的通項公式;(2)求數(shù)列{&+〃}
的前n項和;(3)設(shè)1(〃£N*),北=4+4+4+…+[,求森
D\thDiOn
評測練習(xí)答案
BACDBB-2|(4"-1)n
n+1
10.
解(1)設(shè){4}的公差為“{4}的公比為S則d為正數(shù),&=3+(〃-l)d,bn=(f\
[&&=6+(/g=64,
依題意有…
&h=9+3dq2=960,
r,6
陽2,仁飛'
解得O或〈S(舍去)
(q=840
故4=3+2(〃—1)=2〃+Lbn=8〃T.
⑵S=3+5+…+(2〃+1)=刀(〃+2),
所以工----F—=—^―+^—+-^—
切以SS&1X32X43X5n+2
圭一旬
_3_2〃+3
42〃+1〃+2'
11.
r一乂
a+i-26,
解(1)由已知得1]
&=尹-1
3
得到an+i=-aX^2).
3
二數(shù)列{&}是以選為首項,以£為公比的等比數(shù)列.
pill
又為=5$=5&=5,
...&=檢x2(62).
《數(shù)列求和》課后反思
學(xué)習(xí)新課程標(biāo)準(zhǔn)理念要求教師從片面注重知識的傳授轉(zhuǎn)變到注重學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng),
教師不僅要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果,更重要的是要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程,促進(jìn)學(xué)生學(xué)會自主學(xué)
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