高中數(shù)學新教材同步必修第一冊 第5章 再練一課 范圍：5

再練一課（范圍：5.5）

%基礎(chǔ)鞏固

1.sin162°cos78°+cos162°sin78°化簡得（）

,1c近八近c1

A.-2B.C.-2D，2

答案c

解析sin162°cos780+cos162°sin78°=sin（162°+78°）=sin240°=sin（180°+60°）=—sin60°

—2-

2.函數(shù)y=2cos2（x+：）—1是（）

A.最小正周期為兀的偶函數(shù)

B.最小正周期為冷的奇函數(shù)

C.最小正周期為兀的奇函數(shù)

D.最小正周期為飄偶函數(shù)

答案C

解析y=2cos2（x+：）—l=cos（2x+］）=-sin2x,顯然是奇函數(shù),周期為兀.

3.已知a,￡6（甘，^…^^（/…“是方程^^小^^的兩個根，則a+4的值為

（）

t-乂3口,3

一兀兀一兀

C.一§或可D.—j

答案B

解析由題意可得tana+tan4=-3小，tanatan4=4；

所以tan（a+夕尸*士嗎=書=4；

r1—tanatanp1—4v

因為a,5，tana+tany?=-3小<0,tanatan4=4>0,

所以a,即（一］，yf所以a+￡W（—7i,0）.

2元

因為tan（a+夕）=/，所以?+/?=-y.

4.已知函數(shù)凡￥)=火九一幻，且當x￡(一，5時，/(x)=x+sinx.設(shè)。=犬1),b=fi2)fc=fi3),

則()

A.a<b<cB.b<c<a

C.c<b<aD.c<a<b

答案D

解析由已知函數(shù)yu)在(一去習上是增函數(shù).

E、,，兀儲(TtTt\

因為兀一2￡(1/，兀一3￡(一2J9兀一3<1<兀一2,

所以加—3)41)9兀-2),

即式3)?1)勺(2),c<〃<4

5.“a+Q=，'是"(l+tana)(l+tan/T)=2”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分又不必要條件

答案D

解析由(1+tana)(l+tan￡)=2得1+tana+tany?+tanatan￡=2,

即tana+tanp=1—tanatanfi，

tana+tan/?1—tana-tanp

??tan(ctip}=~.7i=~t1,

1—tanatanp1—tana-tan夕

TTTT

.??a+￡=4+E伏￡Z),不一定有"a+￡=a”；

反之,“a+夕看不一定有“(l+tana)(l+tan份=2"，

7C71

如。=5，。=—&此時tana無意義；

7T

.??%+△=V是"(l+tana)(l+tan￡)=2”的既不充分又不必要條件.

,—1*23TI.a

6.已矢口cosa=—§m且冗RIL貝LUsin]=.

答案呼

23兀

解析已知cosa=—§且n<a<-Y，

根據(jù)二倍角公式得到cosa=1—2sin27=>sin2T=i,

zzo

e、？3兀,,,7ta3a

因為兀va<?-,故付到,〈I〈邪，sin2>0?

故得到sin3=40

2o

7.已知sina—3cosa=0,則sin2a=.

3

答案5

解析由題意可得sina=3cosa,

所以sin2a+cos2a=(3cosa)2+cos2a=1,

所以cos2a=^,

3

所以sin2a=2sinctcosa=6cos2a=5.

8.若方程sinx—小cosx=c有實數(shù)解，則c的取值范圍是

答案[-2,2]

解析關(guān)于尤的方程sinx-A/3COSX=C有解，

即c=sinx—小cosx=2sin(x-即有解，

由于x為實數(shù)，則2sin(^x—^)e[—2,2],

故有一2WcW2.

3\[5

9.已知夕，￡為銳角，COSQ=§,cos(a+￡)=一手\

⑴求sin2a的值;

(2)求tan(a一尸)的值.

34

解(1)已知。，夕為銳角，cosa=5，所以sina=§,

3424

貝1]sin2a=2sinacosa=2X-X-=—

(2)由于a,￡為銳角,則0〈a+4〈冗,

又cos(a+夕)=一雪=>sin(a+6)=3

sma4

由(1)知tana=----=T,

''cosa3

、后32、后4、后

所以cosS=cos[(a+￡)—a]=cos(a+4)cosa+sin(a+位sina=—^-X-+—X-=-^-,

自一2

e八一u八tana—imp32

川tan6=2,故tan(a—￡)=1+tanaUn￡=4=一亓

1十§X2

10.已知函數(shù)J(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x—1.

⑴求7U)的最小正周期；

⑵求人幻在［o,雪上的單調(diào)區(qū)間.

解由已知得，y(x)=sin2r+cos2x+1

=V2sin^2x+^)+1.

(1)函數(shù)的最小正周期r=y=7r.

JiTTTT

⑵由2也一5W2￥+^W2左兀+2(攵￡2)得，

kn—kit+鼻￡Z),

oo

「兀］「兀

又工￡0,5,0,g,

???加0的單調(diào)遞增區(qū)間為［o,1］,

7Q?2A/2R2A/2

A.—gB.§C.-^-D.一寸-

答案A

解析因為sin(x+g)=3,《_x)+(x+；)=；,

所以cos(*—J=sinQ+g=g；

cos^-2x)=cos2^r—x)=2cos2(r-x)—1=-

12.函數(shù)y=2sinxcosx一小cos2x的單調(diào)增區(qū)間是()

二5兀,.7T-]

A.攵兀一石，E+正(左￡Z)

B〔E—5，E+全(%￡Z)

「，兀,,it]

C.[E—Q,E+4」(%￡Z)

「,71,I5兀1

D.攵兀一五，祈+五(左￡Z)

答案D

解析y=2sin戈cosx—巾cos2x=sin2x一小cos2r=2sinl5

'JlJI

由一/+2EW2x—§W5+2E(%￡Z)得,

E—專《后&兀+點左￡2),

，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是［航一古，航+居」（《GZ）.

13.如圖，是我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成

的一個大正方形，如果大正方形的面積為225,小正方形的面積為9,直角三角形較小的銳角

為a,則sin2a等于（）

答案D

解析?.?大正方形的面積為225,小正方形的面積為9,

大正方形的邊長為15,小正方形的邊長為3.

設(shè)四個全等的直角三角形的長直角邊為x,則短直角邊為x—3.

由勾股定理得f+（x—3>=152,解得x=12（舍負），

34

a為直角三角形較小的銳角，所以sina=g,cosa=5，

24

.'.sin2a=2sinacosa=^.

14.函數(shù)於）=cos2x—siMx+Zsinxcosx的最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間是

答案71（既+畜E+引（左￡Z）

解析由題意得，y(x)=cos2x—sin2x+2sinxcosx

立sin(2x+：),

=cos2x+sin2x=

???最小正周期

jrjr37r

由2E+2〈2x+w<2E+5(&￡Z)得,

E+J<x<E+您&￡Z),

oo

函數(shù)兀v）的單調(diào)遞減區(qū)間是（E+去E+看%wZ）.

q拓廣探究

15.函數(shù)段)=sin2x一小coslv在區(qū)間甘，方上的零點之和是()

兀e兀c兀c兀

A.一§B.一%C%D，3

答案B

解析由題意得./U)=2sin(2x一§,

TT

令y(x)=0,解得2x—]=E(AWZ),

即x=y+7(^SZ),

乙u

l^]Tjr

所以7U)的零點為%=y+^ez).

「兀兀一

又x￡|__]，2T

TT

令-1,則x—

TT

令k=0,則％=不

所以在區(qū)間「一支同上的零點之和為一一親

16.某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：

@sin213°+cos217°—sin13°cos17°；

(2)sin215°+cos215°—sin15°cos15°：

(3)sin218°+cos212°—sin18°cos12°；

@sin2(-18°)+cos2480-sin(-18°)cos48°；

(§)sin2(—25°)+cos255°—sin(—25°)cos55°.

⑴試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；

(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為一三角恒等式