高中數(shù)學(xué)蘇教版必修四教學(xué)案第2章24向量的數(shù)量積

包量的數(shù)量積

第1課時(shí)向量數(shù)量積的概念及運(yùn)算律

入門(mén)答辯——辨析問(wèn)題解疑惑

I

新知自解----自讀教材找關(guān)鍵

自主學(xué)習(xí)梳理主干ziz丘sftutizdu/1

知識(shí)點(diǎn)1平面向量的數(shù)量積的定義

〃〃〃入門(mén)本科，〃〃

問(wèn)題：一個(gè)物體在力尸的作用下位移為s,那么力F所做功lf^\F\|sicos0,。為尸和位

移s的夾角，試想功/是力尸和位移s的乘積嗎？

提示：不是.

/〃/,新知育解‘〃〃

1.數(shù)量積的定義

兩個(gè)非零向量a與6,它們的夾角為。，那么把數(shù)量lab-cos9叫做a與。的數(shù)量積（或

內(nèi)積）,記作a?6,即a?6=|a161cos0.

2.規(guī)定

零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

知識(shí)點(diǎn)2向量的夾角

〃〃〃入n率算〃/

如圖，為等邊三角形.

問(wèn)題1：向量A*與向量AC?的夾角的大小是多少？

提示：60°.

問(wèn)題2：向量A后與向量5d的夾角的大小是多少？

提示：120°.

〃//,新知（解'〃〃

兩非零向量的夾角

⑴定義：對(duì)于兩非零向量a和6,作函=a,OB=b,那么/4仍=，叫做向量a與。的

夾角.

⑵范圍：0W夕080°.

（3）當(dāng)夕=0°時(shí)，a與b同向.

當(dāng)夕=180°時(shí)，a與6反向.

當(dāng)夕=90。時(shí)，那么稱a與6垂直，記作a_L8.

知識(shí)點(diǎn)3平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律

入口本舞〃/

向量a和6都是非零向量，。為a與6的夾角.

問(wèn)題1：假設(shè)。=90°,求a?6；假設(shè)”6=0,求0.

提示：假設(shè)6=90°,那么a?6=|a?\b\cos90°=0；

假設(shè)a?6=0,那么a?b\cos9=0,cos8=0.

又???0°<8W180°,I.9=90°.

問(wèn)題2：假設(shè)夕=0°,求a?公假設(shè)6=180°,求a?b.

提示：假設(shè)。=0°,那么a?6=|司?161cos0°=|a|?\b\；

假設(shè)。=180°,那么a?b=a?Ib\cos180°=—\a9\b\.

//////|豫'〃〃/

L兩個(gè)向量的數(shù)量積

(1)當(dāng)a與5同向時(shí)，a*b=\ab\；

⑵當(dāng)a與6反向時(shí)，a?b=~\ab；

(3)a?a=Ia『或|a|=yja?a.

2.數(shù)量積的運(yùn)算律

(l)a?b=b,a；

⑵(4a)?b=a(Xb)=4(a?8)=Xa?b；

(3)(a+6)?c=a?c+b?c.

［歸納,升華■領(lǐng)悟］-------------------------

1.兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量，其大小與兩個(gè)向量的長(zhǎng)度及其夾角都有關(guān)，

符號(hào)由夾角的余弦值的符號(hào)打算.

2.向量數(shù)量積的幾何意義，是一個(gè)向量的長(zhǎng)度乘以另一向量在該向量方向上的投影值.這

個(gè)投影值可正可負(fù)也可以為零，向量的數(shù)量積的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù).

3.數(shù)量積的運(yùn)算只適合交換律，加乘安排律及數(shù)乘結(jié)合律，但不適合乘法結(jié)合律，即

(a?6)?c手a?(A?c),這是由于a?b,b?c都是實(shí)數(shù)，(a?b)?c與向量c方向相同或相

反.a?(b?c)與向量a方向相同或相反，而H與。不肯定共線，就是a與c共線，(a,6)?c

與a?(8?c)也不肯定相等.

課

堂

突破考點(diǎn)一總結(jié)規(guī)律

互

I

動(dòng)I

高考為標(biāo)提煉技法

區(qū)把握熱點(diǎn)考向貴在學(xué)有所悟

師生共研突破重難shiskenggongyantupozkongnan

考點(diǎn)1求平面向量的數(shù)量積

［例1］正方形四切的邊長(zhǎng)為2,分別求：

(1)AB?CD；(2)AB-AD；(3)DA-AC.

［思路點(diǎn)撥］求數(shù)量積時(shí)，利用定義要留意兩個(gè)向量的夾角大小和實(shí)際圖形聯(lián)系起來(lái).

［精解詳析］⑴：AB,CD的夾角為n,

AB?CD=ABCD|cosn=2X2X(—1)=-4.

(2)VAB,4力的夾角為方，

:.AB,AD—IABIIAD\cos-^-—2X2X0=Q.

(或?.?A4,通的夾角為三,；.4公，礪，故?4?通=0)

-''二3五

(3)VDA,4C的夾角為了，

DA?AC\DA\\AC|cos^=2X2^X(—^)=—4.

［一點(diǎn)通］求平面對(duì)量的數(shù)量積時(shí)，常用到以下結(jié)論：

⑴/=a2；

(2)(xa+yb){mc+nd)=xma?c+xna?d+y/nb?c+ynb,d,其中x,y,m,〃￡R,類似于多

項(xiàng)式的乘法法那么；

(3)(a+6)'=a+2a?b~\-b；

(4)(a+Z>+c)2=a2+Z?J+c2+2a?b+2b?c+2a?c.

〃〃/題俶條鈍么〃

1.假設(shè)|a|=4,|6|=6,a與，的夾角為135°,那么a?(-6)=.

解析：a*(—b)=—a*b=~\ab|cos135°

=-4X6Xcos135°=124.

答案：12小

2.設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為，AB=c,BC—a,CA—b,那么a?6+b?c+c?a=

解析：a?b+b?c+c,a=yf2?4cos120°+yf2?y[2?cos120°+yf2,/cos120°=

—3.

答案：一3

3.在園中，"是州的中點(diǎn)，4Q3,BC=10,求?衣的值.

解：：2AM=AB+AC,BC=AC-AB,

：.(2AM尸=(AB+AC產(chǎn)，BC2=(AC-AB}2,

：AAB?4d=4A/一般=-64,

AB-AC=-16,

信圖31求向量的模

［例2］向量O7(=a,OB=b,N4仍=60°,且|a|=6|=4.求a+6,|a—6|,|3a+

b\.

［思路點(diǎn)撥］依據(jù)條件將向量的模利用|a|=而7轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算求解.

［精解詳析］Va?b—\a\?bcosZ?16!ff=4X4X^=8,

/.a+b=y/~a+b~'=.才+2己?b~\~￡

=:16+16+16=473,

a~b=?~a-b~2a,b-\-if

=，16—16+16=4,

3a+/>=7_3a+6~'=^9a"+6a,b+tf

=：9X16+48+16=4713.

［一點(diǎn)通］關(guān)系式才=以「可使向量的長(zhǎng)度與向量數(shù)量積相互轉(zhuǎn)化，利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問(wèn)

題是數(shù)量積的重要應(yīng)用，要把握此類問(wèn)題的處理方法，特殊留意不要遺忘開(kāi)方.

〃〃，強(qiáng)輯靠鈍'〃〃

4.向量a,6夾角為45°,且la|=l,2a-b\=y［10,那么|引=..

解析：依題意，可知|2a—6'=41a--4a?6+/'=4—4；ab,cos45°+Ib\2—4—2y［2

b\+\b\:=10,即|引2—245|引一6=0,.?.引=當(dāng)空遮=3也(負(fù)值舍去).

答案：3^2

5.向量a、Z?滿意!a|=2,b=3,a+b\=4,那么己一力|=.

解析：由/a+6|=4,

得|a+"=42

/.a'+2a?b+t)=\&.①

a\=2,b=3,

.?.#=|a|2=4,8=|引2=9,

代入①式得/1+24?6+9=16,

BP2a?b=3.

(a—8)2=6—2a?6+8=4—3+9=10,

/.|a-b

答案：瓜

6.a=2,|引=4,a,b的夾角為?，以a,6為鄰邊作平行四邊形，求平行四邊形的兩條

對(duì)角線中較短一條的長(zhǎng)度.

解：??,平行四邊形的兩條對(duì)角線中較短一條的長(zhǎng)度為la—引，

/.Ia—b=yj~a~b_3=yja:—2a?b~\~b

=^\^4—2X2X4Xcos-+16=2^3.

考點(diǎn)3向量的夾角問(wèn)題

[例3]a,力是非零向量，且(a—2b)J_a,bl.(b—2a),求a與，的夾角.

a.?h

［思路點(diǎn)撥］依據(jù)向量的數(shù)量積公式變形為cos9=』，從而可求火

[精解詳析]v(a-2b)_La,b-L(6—2a),

a—2b?a=0,

b?b—2a=0,

\a/=2a,b、

a—b\.

Ib\2=2a,b.

設(shè)a與6的夾角為e,

1||2

,,QIAI

,a?ba?b/1

那么cos

夕=1^?=百=廿二2,

又丁J￡[0,n],/.8=±

o

［一點(diǎn)通］向量的數(shù)量積公式a?6=1a||Reos0不僅可以用來(lái)求數(shù)量積，也可以用來(lái)求

a?b

模與夾角，即cosg工.在依據(jù)三角函數(shù)值求角時(shí)，要留意角的范圍確實(shí)定.此夕卜，要留

意假設(shè)兩非零向量a,6的夾角為銳角?力0且a?6W|ab；兩非零向量a,6的夾角為鈍

角?ZKO且a?6W—IaIb\.

〃〃,題俶家鈍“^

7.|a|=l,|A|=6,a?(A—a)=2,那么向量a與向量力的夾角為_(kāi)______.

解析：由條件得a?A-I/=2,設(shè)a與b的夾角為。，那么a?6=2+a「=3=a|b|cos

a=lX6Xcos。.所以cos。=：，所以67=*.

乙o

yqIl

答案：

㈤

8.非零向量a,b,滿意且a+26與a—26的夾角為120°,那么Xb\~

解析：(a+2b)?(&-26)=/一46，Va±A,

；?Ia+2b=yja+4b~fa~2b\=*\/#+4尻

.a+26?a—2ba'-4b

；.cos120=―2ba—2bl^/7+4p-

a—4Z>2]_

~a+4b'2,

.￡_4.|a|2。

,,Z>2-3,"\b\~3-

答案.為叵

9.單位向量8,。的夾角為60°,求向量a=&+e2,6=史一2e的夾角.

解：設(shè)2方的夾角為明:單位向量8,。的夾角為60°,

/.a?e>=|ei|\e>\cos60°=~

Aa?b=(ei+ft)?忌一2e)

=e?改+/一2/一2e)?e乙

13

=送-2.-8?包=]-2-5=一亍

Ia\=y[^=yj~&+氏~\

=、看+&+2ei?員

=弋1+1+1=鎘,

Ib\=乖=?~e—2e\一'

4e?改+4e；

=JL4X.+4=*

_3

.ca、b21

??cose=：7~~―尸產(chǎn)=-77*

ab小?小2

__2兀

6W［O,n］,0=—.

o

［方法.規(guī)律.小結(jié)］-------------------------'

1.向量數(shù)量積的性質(zhì)及作用

設(shè)a和6是非零向量，a與6的夾角為0.

(l)a±/^a-6=0,此性質(zhì)可用來(lái)證明向量垂直或由向量垂直推出等量關(guān)系.

(2)當(dāng)a與6同向時(shí)，a?b—a\\b\,當(dāng)a與6反向時(shí)，a-b=~\a\\b\,即當(dāng)a與b共線

時(shí)，\a-b\=\a6,此性質(zhì)可用來(lái)證明向量共線.

(3)a?a=#=|ar或㈤=迎，此性質(zhì)可用來(lái)求向量的模，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的

相互轉(zhuǎn)化.

a?b

(4)cos9=-、~rr-jT-此性質(zhì)可求a與6的夾角.

\a\\b\

2.求向量夾角的一般步驟

(1)求兩向量的模；

(2)計(jì)算兩向量的數(shù)量積；

(3)計(jì)算夾角的余弦值；

(4)結(jié)合夾角的范圍［0,頁(yè)］確定所求的夾角.

訓(xùn)

練

隨堂練課下練

提

能課堂8分鐘對(duì)點(diǎn)練，讓課下限時(shí)檢測(cè)，提速

區(qū)學(xué)生趁熱打鐵消化所提能，每課一檢測(cè)，步

學(xué)，既練速度又練準(zhǔn)度步為營(yíng)步步贏

課下力量提升(二十)

一、填空題

1.假設(shè)ai=2,|引a與b的夾角為60°,那么a?6等于

解析：a?b=a\\6|cos^=2x|x|=1.

1

答案：2

2.△46C是等腰直角三角形，C=90°,AB=2p,那么等于

解析：由題意知I/?Cl=2/X乎=2.

：.AB-BC^\AB\-\BC|cos135°=2yf2X2X=-4.

答案：一4

3.設(shè)〃和h是兩個(gè)單位向量，其夾角是60。，那么向量a=2〃+〃與5=2〃一3〃的夾角為

解析：設(shè)a,b的夾角為夕.

由于?=1,〃|=1,m,〃夾角為60°,所以

所以IH=yj_2m+n~電+4^*n+n=干，

!b\=y1_2/7—32Z7~5=y/4d-12m?〃+9、=木,

.7

a,b—(2zff+z?)?(2〃-3。)=zz??〃-6229f+2〃~=—5.

1

a?

夕-

a2

又由于0°<94180°,所以，=120°,即48的夾角為120°.

答案：120。

4.向量a,8滿意(a+28)?(a—8)=-6,且a=1,\b\=2,那么a與b的夾角為

解析：設(shè)&與力的夾角為夕，

由于(a+2b)?(a—b)=—6,

且|a|=Lb\=2,

所以aa?Z?—2Zr=-6,

即「+iX2cos。-2X2?=-6,

化簡(jiǎn)得cos0=^,

又,:0G[0。，180°],

，。=60°.

答案：60°

5.在邊長(zhǎng)為1的正三角形中，設(shè)6C=28。，C4=3C￡,那么4。?BE=

解析：

A

A

B?D

如下圖，???5C=25D,

是比1的中點(diǎn).

AD=1(AB+AC).

：CA^3CE,

*--1-2’一

二BE^BA+AEAB+-AC.

：.AD-BE=4(AB+AC)?[-AB+|AC

N\J

=；(-Ai?」-：AB?AC+|A。)

\(1八…2

=d-1--X1X1XCOS60°+-X1

JJ

=-7

答案：一；

二、解答題

6.|a=4,\b\=5,當(dāng)(l)a〃隊(duì)(2)aJ_b；(3)&與8的夾角為60°；(4)a與力的夾角為

150時(shí).分別求，與8的數(shù)量積.

解：令&與b的夾角為

(1)由于3〃。，那么當(dāng)a與方同向時(shí)，0=0。，

a?b—\a\|A|cos0°=20；

當(dāng)a與b反向時(shí)，。=180。，

a,b=\a\\b\cos180°=—20.

(2)當(dāng)8_1_6時(shí)，夕=90°,a?b=abcos90°=0.

⑶當(dāng)夕=60°時(shí)，a*b=\a\\2?|cos60°=4X5X2=10.

7.\a=1,a?6=；,(a-b)?(a+b)=1.

(1)求a與8的夾角為0.

(2)求|a+b|.

解：(1)V[a—6)?(a+b)=a'—l)=^Ia=1,

1

a*b2

Acos8=尸=,又夕e[0,n],

㈤㈤T(mén)~=IX孚o2

，夕=?.故a與b的夾角為1.

（2）|a+b='_a+b_5=yja~+2a?b-\-l）

8.la=5,I引=12,當(dāng)且僅當(dāng)勿為何值時(shí)，向量&+帥與a—帥相互垂直?

解：假設(shè)向量〃+/〃，與a—泌相互垂直，

那么有（a+/〃b）?（a-mb）=0.

=0.Va=5,Ib\=12,

5

Aa2=25,8=144..,.25—144/?=0.???加=±R.

5

當(dāng)且僅當(dāng)m=土瓦時(shí)，

向量a+/與a—就相互垂直.

第2課時(shí)平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

預(yù)

習(xí)

入門(mén)答辯——辨析問(wèn)題解疑惑

導(dǎo)

引4

區(qū)新知自解——自讀教材找關(guān)鍵

梳理主干ziz(iuK_ue)i?s(iu(izkugan

知識(shí)點(diǎn)1平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

勿%</入口答料”

兩個(gè)向量8=（汨，yi）,6=（x2,%）,那么a+b=（汨+入2,必+%），a—b=（xi—入2,切一%）.

問(wèn)題1：你認(rèn)為a?6=（xiX2,切%）對(duì)嗎？為什么？

提示：不對(duì).由于兩個(gè)向量的數(shù)量積a-6是一個(gè)實(shí)數(shù)，而不是一個(gè)向量.

問(wèn)題2：如何用坐標(biāo)表示a?入呢？

提示：a?b—X\X2"Vy\Y'^

//////a豫“〃/

平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

假設(shè)兩個(gè)向量a=（X1,71）,b=（如72），那么a?6=為M+/任.

知識(shí)點(diǎn)2向量的模、夾角、垂直的坐標(biāo)表示

〃〃〃入門(mén)答料〃//

由前面的學(xué)習(xí)，我們知道，la=后￡cos。=備耳T（。為非零向量&6的夾角）;

aVb^a-6=0.（其中a,6為非零向量）

問(wèn)題1：你能用坐標(biāo)求|a|,cos〃的值嗎？

提不：能.

問(wèn)題2：你能用坐標(biāo)表示兩向量垂直的條件嗎？

提示:能.

/〃/〃新知由*7〃〃

1.向量的模

假設(shè)a=（x,力，那么|a|

2.向量的夾角

X\X2~\~y\y2

設(shè)兩個(gè)非零向量8=（￡,力），6=（X2,度），它們的夾角為0,那么cos

3.兩向量垂直的條件

兩非零向量3=（X1,71）,6=（X2,㈤，假設(shè)aJ_6,那么汨總+中丫2=0.反之,假設(shè)不熱+巾度

=0,那么a,Lb.

［歸納■升華■領(lǐng)悟］-------------------------

1.兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和，該公式可簡(jiǎn)記為：“對(duì)應(yīng)相乘來(lái)求和.〃

小數(shù)十%刑=0是判定兩個(gè)非零向量垂直的特別好用的條件.

課

堂

突破考點(diǎn)總結(jié)規(guī)律

互

動(dòng)II

高考為標(biāo)提煉技法

區(qū)

把握熱點(diǎn)考向貴在學(xué)有所悟

考點(diǎn)1平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

［例1］⑴向量a=(―1,2),b=(3,2),求a?6和a?(a-6).

(2)假設(shè)a=(2,-3),b=(%,2x),且a?6=4,求x的值.

［思路點(diǎn)撥］直接利用平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解即可.

［精解詳析］⑴a?6=(-1,2)?(3,2)

-(-1)X3+2X2=1,

a,(a—/二(—1,2),［(—1,2)—(3,2)］

=(-1,2)?(-4,0)=4.

(2)Va,b=(2,—3),(x,2x)=2x—6x=4,

x=-1.

［一點(diǎn)通］進(jìn)行平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算，前提是牢記有關(guān)的運(yùn)算法那么和運(yùn)算性質(zhì).解題時(shí)

通常有兩種途徑：一是先將各向量用坐標(biāo)表示，直接進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算；二是先利用數(shù)量積的運(yùn)算

律將原式綻開(kāi)，再依據(jù)計(jì)算.

41做靠鈍'〃〃，

1.a=(l,3),6=(—2,-1),那么(3a+26)?(2a+5b)的值為一

解析：；a=(l,3),6=(—2,—1),

：.3a+2b=(3,9)+(-4,-2)=(-1,7),

2a+5b=(2,6)+(-10,-5)=(—8,1),

二(3a+2b)?(2a+5b)=(-l,7)?(-8,1)=8+7=15.

答案：15

2.a—(3,—1),b—(1,2),假設(shè)x?a=9,x-b=—\,那么向量入的坐標(biāo)為

x,a=9,f31—5=9,

解析：設(shè)x=(t,s),由得

x,bt——4〔t+2s=-4,

t—2

**?x=(2,—3).

{s=—3.

答案：(2,-3)

3.向量a與b同向，b=(1,2),a?b=10,求：

(1)向量a的坐標(biāo)；

(2)假設(shè)c=(2,-1),求(a?c)?b.

解:(1)??,牛與b同向,且6=(1,2),

：.a="=(4，24)(4>0).

又■a?8=10,/.A+4A=10,A=2,Aa=(2,4).

⑵:a?c=2X2+(-1)X4=0,

(a?c)?b=0?b=0.

向量的夾角問(wèn)題

［例2］1(16,12)、5(-5,15),0為坐標(biāo)原點(diǎn),求的大小.

［思路點(diǎn)撥］求/的占的大小轉(zhuǎn)化為求向量4。與A5的夾角的大小，所以需要求A0與

4后二者的坐標(biāo)，進(jìn)而求得模的大小和數(shù)量積，代入夾角公式求解即可.

［精解詳析］由得到：

y

8(-5弋7^(16,12)

O~

AO=—OA=—(16,12)

=(-16,—12),

AB=OB-OA=(-5,15)-(16,12)=(-21,3),

AIAO|=y]-162+~-122=20,

\AB\=yT-21'+3^15^2.

AO-AB=(-16,-12)?(-21,3)

=(-16)X(-21)+(-12)X3=300,

A。?4B300書(shū)

cosZ.0AB—

AO|【4520X15蛆—2

VO°W/A4店180°,；./6M6=45°.

［一點(diǎn)通］依據(jù)向量的坐標(biāo)表示求a與6的夾角時(shí)，需要先求出6及|a6,再由夾角

的余弦值確定。.其中，當(dāng)a?6>0時(shí)，a與6的夾角0e［0,—）；當(dāng)a?沃0時(shí)，a與6的夾角

6G4，"］；當(dāng)a?6=0,a與6的夾角為直角.

〃/〃/獗做條例'〃〃/

4.a—(3,0),b=(—5,5),那么a與6的夾角為.

解析：a?Z>=-15,\a\=3,b=5^/2,

./>a。b—15y[2

"C0S.a\b\-3X5^2-2，

又；OG[0,JT],。=牛.

答案:V

5.a=(—2,2),6=(1,y),假設(shè)a與b的夾角。為鈍角，求了的取值范圍.

解：由ZKO得一2Xl+2jK0,

又設(shè)a=46,A<0,那么(-2,2)=4(1,y)=(4,Ay),

.??H=-2且4y=2,y=—1,

???片(-8,-1)u(-1,1).

考點(diǎn)3平面向量的垂直

[例3]三點(diǎn)4(2,1),庾3,2),2)(-1,4).

⑴求證：AB_LAD；

(2)要使四邊形48切為矩形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)并求矩形力仍9的對(duì)角線的長(zhǎng)度.

［思路點(diǎn)撥］(1)求出A5,4萬(wàn)的坐標(biāo)，計(jì)算得到二者數(shù)量積為0即可；(2)由(1)知四邊

形46(力為矩形，只需45=DC,利用相等向量坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等建立方程求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，最終

利用長(zhǎng)度公式求對(duì)角線長(zhǎng)度.

［精解詳析］(1)證明：..3(2,1),6(3,2),〃(一1,4),

4B=(1,1),4萬(wàn)=(-3,3).

那么A*?AD=1X(-3)+lX3=0,

AABIAD,即

(2)VABIAD,四邊形4靦為矩形，.?.4*=。。.

設(shè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,力，那么。d=(x+l,y-4),

x+1=1,［x=0,

從而有即

y—4=1,ly=5,

二?C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,5).

VBD=(-4,2),BD|=2^5,

即矩形4?5的對(duì)角線的長(zhǎng)度為24

［一點(diǎn)通］

(1)向量的數(shù)量積是否為零，是推斷相應(yīng)的兩條線段或直線是否垂直的重要方法.

(2)向量垂直求參數(shù)問(wèn)題，即由向量的數(shù)量積為0建立關(guān)于參數(shù)的方程，求解即可.

〃〃,題做條例'〃〃

6.a—(3,4),b—(2,—1),假如向量a+46與一b垂直，那么久的值為.

解析：a+46=⑶4)+4(2,—1)=(3+2幾，4—4)，

—b=(—2,1).

(a+4方)_1_(—b)9.*?—2(3+24)+(4—4)=0.

2

答案：一E

5

7.設(shè)向量a=(1,2加)，b=(/zz+l,1),c=(2,m).假設(shè)(a+c)_L8,那么/a/=.

解析：a+c=(3,3z?),由(a+c)J_6,可得(a+c)?8=0,即3(加+1)+3%=0,解得力=一；,

那么a—(1,-1),

故a|=鏡.

答案：72

8.在△力力中，力(2,4),夕(一1,-2),。(4,3),外邊上的高為力〃

(1)求證:ABVAC\

⑵求點(diǎn)。和向量通的坐標(biāo)；

⑶設(shè)N應(yīng)?，=。，求cos0.

解:⑴證明:AB—(—1,—2)—⑵4)=(—3,一6),

AC=(4,3)-(2,4)=(2,-1).

VAB,AC——3X2+(—1)X(—6)=0,

J.ABLAC.

(2)設(shè)〃點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,力，那么4D=(x-2,y-4),

5。=(5,5),

'：ADVBC,

/.AD?bd=5(x—2)+5(y—4)=0.①

又麗=(x+Ly+2),

而B(niǎo)D與bd共線，...5(x+1)-5(y+2)=0.②

75

聯(lián)立①②，解得x=~,y=~,

故〃點(diǎn)坐標(biāo)為$|),

AD=修一2,|一4)=$-0

..BA-BC3X5+6X53訴

⑶c°s京|前廠即?即=10-

［方法.規(guī)律.小結(jié)］-------------------------、

L兩向量平行、垂直的坐標(biāo)表示的區(qū)分

(1)非零向量a=(小，yi),b—(A2,%),那么向量a與b垂直=a?6=00%及+必必=0；向

量a與6平行=存在AGR,使6=480小%一生％=0.

(2)向量垂直的坐標(biāo)表示為及及=0與向量共線的坐標(biāo)表示汨放一在必=0很簡(jiǎn)單混淆，應(yīng)

認(rèn)真比擬并熟記，當(dāng)難以區(qū)分時(shí)，要從意義上鑒別，垂直是a?6=0,而共線是方向相同或相反.

2.向量的坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用

利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算有助于解決平面幾何中的長(zhǎng)度問(wèn)題、角度大小以及直線的平行與垂直等

位置關(guān)系的推斷.其求解過(guò)程就是首先將平面圖形放置到坐標(biāo)系中，正確地寫(xiě)出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，

然后利用向量的模長(zhǎng)公式、夾角公式以及向量共線、垂直的條件進(jìn)行求解，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的結(jié)合.

訓(xùn)

練

隨堂練

提課下練

能

速

，提

時(shí)檢測(cè)

課下限

練，讓

對(duì)點(diǎn)

分鐘

課堂8

，步

一檢測(cè)

，每課

提能

所

鐵消化

趁熱打

區(qū)學(xué)生

步步贏

步為營(yíng)

度

練準(zhǔn)

度又

練速

學(xué)，既