正態(tài)分布的教學(xué)設(shè)計(jì)

2．4正態(tài)分布教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)目標(biāo)：理解并掌握〔標(biāo)準(zhǔn)〕正態(tài)分布和正態(tài)曲線的概念，意義及性質(zhì)，能簡(jiǎn)單應(yīng)用。能力目標(biāo)：能用正態(tài)分布、正態(tài)曲線研究有關(guān)隨機(jī)變量分布規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察并探究規(guī)律，提高分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法。情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)數(shù)學(xué)中一系列的探究過(guò)程，使學(xué)生體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的快樂(lè)，形成積極的情感，培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)取的意識(shí)和科學(xué)精神。教學(xué)重點(diǎn)：正態(tài)分布曲線的性質(zhì)、正態(tài)曲線的特點(diǎn)及其所表示的意義。教學(xué)難點(diǎn)：通過(guò)正態(tài)分布的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì)。教具準(zhǔn)備：多媒體、實(shí)物投影儀。教學(xué)設(shè)想：在總體分布研究中我們選擇正態(tài)分布作為研究的突破口，正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)中是最根本、最重要的一種分布。內(nèi)容分析：1．這節(jié)課是學(xué)生在必修三中已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)統(tǒng)計(jì)的知識(shí)根底之上來(lái)進(jìn)行學(xué)習(xí)的。學(xué)生已經(jīng)知道當(dāng)樣本容量無(wú)限增大時(shí)，頻率分布直方圖就無(wú)限接近于一條總體密度曲線，總體密度曲線較科學(xué)地反映了總體分布.但總體密度曲線的相關(guān)知識(shí)較為抽象，學(xué)生不易理解，因此在總體分布研究中我們選擇正態(tài)分布作為研究的突破口.正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)中是最根本、最重要的一種分布.2．課本中首先通過(guò)高爾頓板實(shí)驗(yàn)向?qū)W生演示了小球落下的規(guī)律，畫(huà)出頻率直發(fā)圖，發(fā)現(xiàn)隨著實(shí)驗(yàn)重復(fù)次數(shù)的增加，頻率直方圖的形狀會(huì)越來(lái)越像一條鐘形曲線。接著給出正態(tài)曲線的定義，引出正態(tài)分布的概念。課本中還談到正態(tài)曲線的由來(lái)及其實(shí)際生活中的應(yīng)用。3．正態(tài)分布是可以用函數(shù)形式來(lái)表述的.其密度函數(shù)可寫(xiě)成：，〔σ＞0〕由此可見(jiàn)，正態(tài)分布是由它的平均數(shù)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ唯一決定的常把它記為.4．從形態(tài)上看，正態(tài)分布是一條單峰、對(duì)稱(chēng)呈鐘形的曲線，其對(duì)稱(chēng)軸為x=μ，并在x=μ時(shí)取最大值.從x=μ點(diǎn)開(kāi)始，曲線向正負(fù)兩個(gè)方向遞減延伸，不斷逼近x軸，但永不與x軸相交，因此說(shuō)曲線在正負(fù)兩個(gè)方向都是以x軸為漸近線的.5．通過(guò)三組正態(tài)分布的曲線，可知正態(tài)曲線具有兩頭低、中間高、左右對(duì)稱(chēng)的根本特征.6．結(jié)合正態(tài)曲線的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì).正態(tài)曲線的作圖較難，教科書(shū)沒(méi)做要求，授課時(shí)借助幾何畫(huà)板作圖，學(xué)生只要了解大致的情形就行了，關(guān)鍵是能通過(guò)正態(tài)曲線，引導(dǎo)學(xué)生歸納其性質(zhì).教學(xué)過(guò)程：學(xué)生探究過(guò)程：上節(jié)課，給全班學(xué)生布置了一道作業(yè)：即讓每個(gè)學(xué)生在計(jì)算機(jī)課上搜索正態(tài)分布的由來(lái)及其相關(guān)的知識(shí)。具體做法如下：將全班學(xué)生按座位分成了四個(gè)小組，每個(gè)小組有一個(gè)小組長(zhǎng)，小組長(zhǎng)在上課之前將各個(gè)小組成員查到的資料做總結(jié)，寫(xiě)成報(bào)告稿的形式。上課之前老師先讓每位小組長(zhǎng)將調(diào)查的情況同全班同學(xué)分享。老師再作總結(jié)，其內(nèi)容如下：一、正態(tài)分布的由來(lái)正態(tài)分布是最重要的一種概率分布。正態(tài)分布概率是由法國(guó)數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家棣莫弗于1733年首次提出的。但由于德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯最先將其應(yīng)用于天文學(xué)家研究，故正態(tài)分布又叫高斯分布。高斯這項(xiàng)工作對(duì)后世的影響極大，他使正態(tài)分布同時(shí)有了“高斯分布”的名稱(chēng)，后世之所以多將最小二乘法的創(chuàng)造權(quán)歸之于他，也是出于這一工作。高斯是一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家。重要的奉獻(xiàn)不勝枚舉?，F(xiàn)今德國(guó)10馬克的印有高斯頭像的鈔票，其上還印有正態(tài)分布的密度曲線。這傳達(dá)了一種想法：在高斯的一切科學(xué)奉獻(xiàn)中，其對(duì)人類(lèi)文明影響最大者，就是這一項(xiàng)。二、講解新課復(fù)習(xí)引入：總體密度曲線:樣本容量越大，所分組數(shù)越多，各組的頻率就越接近于總體在相應(yīng)各組取值的概率．設(shè)想樣本容量無(wú)限增大，分組的組距無(wú)限縮小，那么頻率分布直方圖就會(huì)無(wú)限接近于一條光滑曲線,這條曲線叫做總體密度曲線．創(chuàng)設(shè)情境：給學(xué)生演示高爾頓板實(shí)驗(yàn)：這個(gè)實(shí)驗(yàn)是英國(guó)科學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)的。具體操作如下：自上端放入一小球，任其自由下落，在下落過(guò)程中小球碰到釘子從左邊落下的概率記為P，從右邊落下的概率記為1-P，碰到下一排釘子時(shí)，也是如此。最后落入底板中的某個(gè)格。因此任意放入一個(gè)球，小球最后落入某個(gè)格子內(nèi)事先是難以確定的，但是實(shí)驗(yàn)證明，如果放入大量球的話(huà)那么其最后呈現(xiàn)的曲線總是雷同的，也就是說(shuō)落入格中的小球的頻率趨向穩(wěn)定。下面我們來(lái)驗(yàn)證一下：給學(xué)生演示動(dòng)畫(huà)，讓學(xué)生更直觀地看到小球動(dòng)態(tài)的落入情況，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。演示完動(dòng)畫(huà)后，給5分鐘時(shí)間讓學(xué)生之間進(jìn)行合作交流總結(jié)實(shí)驗(yàn)結(jié)果有什么共同特征？最后老師進(jìn)行點(diǎn)評(píng)。它反映了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的概率．根據(jù)這條曲線，可求出總體在區(qū)間(a，b)內(nèi)取值的概率等于總體密度曲線，直線x=a，x=b及x軸所圍圖形的面積．觀察總體密度曲線的形狀，它具有“兩頭低，中間高，左右對(duì)稱(chēng)”的特征，具有這種特征的總體密度曲線一般可用下面函數(shù)的圖象來(lái)表示或近似表示：式中的實(shí)數(shù)、是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡(jiǎn)稱(chēng)正態(tài)曲線．三、探求新知一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量X滿(mǎn)足,那么稱(chēng)X的分布為正態(tài)分布〔normaldistribution)．正態(tài)分布完全由參數(shù)和確定經(jīng)驗(yàn)說(shuō)明，一個(gè)隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布．例如，高爾頓板試驗(yàn)中，小球在下落過(guò)程中要與眾多小木塊發(fā)生碰撞，每次碰撞的結(jié)果使得小球隨機(jī)地向左或向右下落，因此小球第1次與高爾頓板底部接觸時(shí)的坐標(biāo)X是眾多隨機(jī)碰撞的結(jié)果，所以它近似服從正態(tài)分布．正態(tài)分布的應(yīng)用：在現(xiàn)實(shí)生活中，很多隨機(jī)變量都服從或近似地服從正態(tài)分布．例如長(zhǎng)度測(cè)量誤差；某一地區(qū)同年齡人群的身高、體重、肺活量等；一定條件下生長(zhǎng)的小麥的株高、穗長(zhǎng)、單位面積產(chǎn)量等；正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)〔如零件的尺寸、纖維的纖度、電容器的電容量、電子管的使用壽命等〕；某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度、降雨量等；一般都服從正態(tài)分布．因此，正態(tài)分布廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實(shí)際之中．正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計(jì)中占有重要的地位．說(shuō)明:1參數(shù)是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本均值去佑計(jì)；是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)．2．正態(tài)分布〕是由均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ唯一決定的分布思考：觀察上圖，結(jié)合的解析式及概率的性質(zhì)，你能說(shuō)說(shuō)正態(tài)曲線的特點(diǎn)嗎？正態(tài)曲線的性質(zhì)：〔1〕曲線在軸的上方，與軸不相交.〔2〕曲線是單峰的，它關(guān)于直線=μ對(duì)稱(chēng)〔由得〕〔3〕曲線在=μ處到達(dá)峰值〔4〕曲線與軸之間的面積為1四、用計(jì)算機(jī)〔幾何畫(huà)板〕研究正態(tài)曲線隨著和變化而變化的特點(diǎn)通過(guò)固定其中一個(gè)值，討論均值與標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)于正態(tài)曲線的影響.如以下圖所示請(qǐng)一個(gè)學(xué)生上講臺(tái)演示，其它學(xué)生在下面觀察圖像的變化趨勢(shì)。上下拖動(dòng)點(diǎn)A，觀察參數(shù)的變化及圖像的變化趨勢(shì)上下拖動(dòng)點(diǎn)B，觀察參數(shù)的變化及圖像的變化趨勢(shì)同桌之間互相討論，得出結(jié)論：〔5〕當(dāng)一定時(shí)，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿X軸平移〔6〕當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散。五、特殊區(qū)間的概率：假設(shè)~，那么對(duì)于任何實(shí)數(shù)，為圖中陰影局部的面積，對(duì)于固定的和a而言，該面積隨著的減少而變化，這說(shuō)明越小，X落在區(qū)間的概率越大，即X集中在周?chē)怕试酱蟆Ｌ貏e有：上述結(jié)果可用以下圖表示：可以看到，正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間之內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率只有0.0026，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生。在實(shí)際應(yīng)用中就只考慮這個(gè)區(qū)間，稱(chēng)為原那么.六、講解范例：例1．給出以下三個(gè)正態(tài)總體的函數(shù)表達(dá)式，請(qǐng)找出其均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ.〔１〕〔２〕〔３〕答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5例2