第04講 利用幾何法解決空間角和距離19種常見考法歸類解析版-新高二數(shù)學暑假自學課講義

第04講利用幾何法解決空間角和距離19種常見考法歸類學會利用幾何法求空間角及空間距離．1、異面直線所成的角(1)定義：已知a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).注：兩異面直線所成的角歸結到一個三角形的內(nèi)角時，容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補角．2、直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫做這條直線和這個平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是90°；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°.(2)范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3、二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．(2)二面角的平面角若有①O∈l；②OA?α，OB?β；③OA⊥l，OB⊥l，則二面角α－l－β的平面角是∠AOB．(3)二面角的平面角α的范圍：0°≤α≤180°.4、點到平面的距離已知點是平面外的任意一點，過點作，垂足為，則唯一，則是點到平面的距離。即：一點到它在一個平面內(nèi)的正射影的距離叫做這一點到這個平面的距離（轉化為點到點的距離）結論：連結平面外一點與內(nèi)一點所得的線段中，垂線段最短.1、求異面直線所成的角的方法和步驟(1)求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補形平移．(2)求異面直線所成角一般步驟：一作、二證、三求①平移：經(jīng)常選擇“端點、中點、等分點”，通過作三角形的中位線，平行四邊形等進行平移，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線，作出異面直線所成的角．②證明：證明所作的角是異面直線所成的角．③尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之．④取舍：因為異面直線所成角的取值范圍是，所以所作的角為鈍角時，應取它的補角作為異面直線所成的角．2、求直線與平面所成的角的方法和步驟（1）垂線法求線面角：①先確定斜線與平面，找到線面的交點B為斜足；找線在面外的一點A，過點A向平面做垂線，確定垂足O；②連結斜足與垂足為斜線AB在面上的投影；投影BO與斜線AB之間的夾角為線面角；③把投影BO與斜線AB歸到一個三角形中進行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）.平移法求線面角是指利用圖形平移變換的性質，構造滿足求解的條件，進而得出結論的方法.在運用平移法求解線面角問題時，我們可以利用圖象平移的性質：圖形移動位置后其大小、形狀、面積等都不改變，將分散的條件關聯(lián)起來，以便將立體幾何問題轉化為平面幾何問題來求解.（3）等體積法求線面角通過換底求體積求出斜線上一點到平面的距離，再求直線與平面所成角的正弦值，如圖,已知平面α與斜線AP,PO⊥α,則P0線面角為∠PAO,，要求線面角，關鍵是求垂線段PO的長度，而垂線段PO的長度可看作點P到平面α的距離，在平面α內(nèi)找一個三角形(點A是其中一個頂點)與點P構成三棱錐，在三棱錐中借助等體積法就可以求PO的長度，從而達到簡便求解線面角的目的.3、求二面角的平面角的方法和步驟（1）求二面角大小的步驟是：①作：找出這個平面角；②證：證明這個角是二面角的平面角；③求：將作出的角放在三角形中，解這個三角形，計算出平面角的大?。?）確定二面角的平面角的方法①定義法（棱上一點雙垂線法）：提供了添輔助線的一種規(guī)律在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別過該點作垂直于棱的射線．如：“三線合一型”、“全等型”②三垂線法（面上一點雙垂線法）----最常用自二面角的一個面上一點向另外一個面作垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點（即斜足），斜足和面上一點的連線與斜足和垂足的連線所夾的角，即為二面角的平面角③等體積法利用三棱錐等體積法求出點A到平面PBC的距離d，如圖，點A到二面角A-PB-C的棱PB的距離為h（即△PAB中PB邊上的高），則二面角A-PB-C的正弦值為.③垂面法（空間一點垂面法）過空間一點作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。④射影面積法已知平面α內(nèi)的平面圖形Γ的面積為S，它在平面β內(nèi)的射影?！涞拿娣e為S′，設平面α與平面β所成二面角的平面角為θ，則當θ∈0,π2時，cos?4、求解點面距的方法和步驟（1）定義法（直接法）：找到或者作出過這一點且與平面垂直的直線，求出垂線段的長度；（2）等體積法：通過點面所在的三棱錐，利用體積相等求出對應的點線距離；（3）轉化法：轉化成求另一點到該平面的距離，常見轉化為求與面平行的直線上的點到面的距離．考點一：直接平移法求異面直線所成的角例1．（2023春·廣東廣州·高一廣州市第六十五中學校考期中）在正方體中,分別為的中點,則異面直線與所成角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題易得,連接,即可得出為等邊三角形,從而得出所求角的大小為60°.【詳解】如下圖所示,連接,則異面直線與所成角為,即為等邊三角形.故選:C.變式1．（2023春·山東濱州·高一山東省北鎮(zhèn)中學校聯(lián)考階段練習）如圖，在長方體中，，且為的中點，則直線與所成角的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中點，可得直線與所成角即為直線與所成的，在中由余弦定理可得答案.【詳解】取的中點，連接，所以，直線與所成角即為直線與所成的，所以，，，在中由余弦定理可得,因為，所以.故選：C.

變式2．（2023春·江蘇南京·高一南京市第九中學?？茧A段練習）如圖，圓柱的底面直徑與母線相等，是弧的中點，則與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出輔助線，找到異面直線形成的夾角，求出各邊長，利用余弦定理求出夾角.【詳解】取的中點，連接，則，且，故四邊形為平行四邊形，所以，所以或其補角為與所成角，設，則，由勾股定理得，，，由余弦定理得，故，所以與所成角為.故選：C考點二：中位線平移法求異面直線所成的角例2．（2023春·全國·高一專題練習）在四棱錐中，平面，，底面是菱形，，E，F(xiàn)，G分別是，，的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】連接、交于點，連接，說明異面直線與所成的角為或其補角，計算出、，即可求得，即可得出結論.【詳解】連接、交于點，連接，因為四邊形為菱形，，則為的中點，且，因為為的中點，則，又F，G分別是，的中點，所以，故所以，異面直線與所成的角為或其補角，平面，平面，，，，平面，平面，平面，，因為，，則為等邊三角形，同理可知也為等邊三角形，又，，同理可得，，所以，.因此，異面直線與所成的角的余弦值為.故選：D.變式1．（2023春·廣東深圳·高一深圳市羅湖高級中學校考期中）如圖，在三棱錐中，，且，，分別是棱，的中點，則和所成的角等于__________.【答案】/【分析】取BC的中點G，連接FG、EG，則為EF與AC所成的角．解．【詳解】如圖所示，取BC的中點G，連接FG，EG．，F(xiàn)分別是CD，AB的中點，，，且，．為EF與AC所成的角（或其補角）．又，．又，，，為直角三角形，，又為銳角，，即EF與AC所成的角為．故答案為：．變式2．（2023春·陜西西安·高一西北工業(yè)大學附屬中學?？茧A段練習）在四棱錐中，所有側棱長都為，底面是邊長為的正方形，O是P在平面ABCD內(nèi)的射影，M是PC的中點，則異面直線OP與BM所成角為___________【答案】【分析】取的中點為,連接，利用中位線性質得，則異面直線夾角轉化為求，再利用勾股定理求出相關線段長，最后求出即可得到答案.【詳解】由題意可知底面是邊長為的正方形,所有側棱長都為則四棱錐為正四棱錐,為正方形的中心,取的中點為,連接，又因為M是PC的中點，則，

則即為所求，因為平面，所以平面,則，，則，因為，所以.故答案為：.變式3．（2023春·廣東廣州·高一廣州市天河中學?？计谥校┤鐖D，矩形ABCD中，，正方形ADEF的邊長為1，且平面平面ADEF，則異面直線BD與FC所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】取AF的中點G，連接AC交BD于O點，異面直線與所成角即直線與所成角.在中，分別求得，利用余弦定理即可求得，從而求得異面直線夾角的余弦值.【詳解】取AF的中點G，連接AC交BD于O點，如圖所示，

則，且，異面直線與所成角即直線與所成角，由平面平面，，平面平面，平面知，平面，又平面，所以，由題易知，所以，則，，，則在中，由余弦定理知，，由兩直線夾角取值范圍為，則直線與所成角即異面直線與所成角的余弦值為.故選：C【點睛】方法點睛：將異面直線平移到同一個平面內(nèi)，利用余弦定理解三角形，求得異面直線的夾角.變式4．（2023春·上海寶山·高一上海市行知中學?？茧A段練習）如圖，已知四棱錐的底面是正方形，底面，是側棱的中點.

(1)證明平面.(2)求異面直線與所成的角；【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線面垂直的判定定理與性質定理即可得證；（2）先利用中位線定理證得，從而得到或其補角即為異面直線與所成的角，再確定為正三角形，從而得解.【詳解】（1）因為底面，平面，所以，又平面平面，所以平面，又平面，所以，因為是側棱的中點，所以，又平面平面，所以平面.（2）連，兩直線交于點，連，

因為底面是正方形，所以是的中點，又分別是的中點，所以，所以或其補角就是異面直線與所成的角，因為為正方形，且，所以，，，故，即是正三角邊，所以.所以異面直線AE與PD所成的角為.變式5．（2023春·甘肅定西·高一甘肅省臨洮中學校考期中）如圖，四棱錐中，平面，底面是邊長為的正方形，，為的中點，為的中點．

(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明出平面，可得出，利用等腰三角形三線合一的性質可得出，再利用線面垂直的判定定理可證得結論成立；（2）取的中點，連接、，分析可知異面直線與所成角為或其補角，計算出三邊邊長，即可求得的余弦值，即為所求.【詳解】（1）證明：因為四邊形為正方形，則，因為平面，平面，所以，，因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，因為，為的中點，所以，，因為，、平面，所以，平面.（2）解：取的中點，連接、，

因為、分別為、的中點，所以，且，所以，異面直線與所成角為或其補角，因為，四邊形是邊長為的正方形，且平面，且平面，所以，，則，故，因為，同理可得，取的中點，連接，則，故.因此，異面直線與所成角的余弦值為.考點三：平行四邊形平移法求異面直線所成的角例3．（2023春·上海奉賢·高一上海市奉賢中學?？茧A段練習）如圖，在長方體中，，，M、N分別是、AC的中點，則異面直線DN和CM所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】取的中點為，將平移到即可知異面直線DN和CM所成的角的平面角即為，再利用余弦定理即可解得.【詳解】取的中點為，連接，如下圖所示：

M是的中點，的中點為，所以，且；由N分別是AC的中點，所以，由正方體性質可得，所以可得，即四邊形是平行四邊形，則異面直線DN和CM所成的角的平面角即為，易知，所以.故選：D變式1．（2023春·江西南昌·高一南昌十中?？茧A段練習）如圖，在正三棱柱中，是棱的中點，在棱上，且，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取棱靠近點的三等分點，取棱的中點，取的中點，連接.證明，得是異面直線與所成的角（或補角）.設，用余弦定理計算出余弦值.【詳解】取棱靠近點的三等分點，取棱的中點，取的中點，連接，.由已知，又，所以是平行四邊形，，同時可得是中點，而是中點，所以.所以，則是異面直線與所成的角（或補角）.又平面，則平面平面，則，設，則，從而，故.在中，由余弦定理可得.所以異面直線與所成的角的余弦值為.故選:B.變式2．（2023春·浙江·高一路橋中學校聯(lián)考期中）在直三棱柱中，，，E是的中點，則異面直線與所成的角的余弦值是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義，取中點，中點，連接，可得為異面直線與所成的角或其補角，結合余弦定理求解即可得答案.【詳解】如圖，取中點，中點，連接

在直三棱柱中，，所以平面，有平面，所以，則因為分別為中點，所以又可得，則四邊形為平行四邊形所以，則為異面直線與所成的角或其補角由平面，平面，可得，所以，在中，，，由余弦定理得，所以，所以在中，由余弦定理得所以異面直線與所成的角的余弦值.故選：B.考點四：補形法求異面直線所成的角例4．（2023·全國·高一專題練習）在長方體中，，，則異面直線與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作圖，構造三角形，將與的夾角轉變?yōu)槿切蝺?nèi)角，運用余弦定理求解.【詳解】依題意作上圖，延長至，使得，連接，，∴四邊形是平行四邊形，，異面直線與的夾角就是與的夾角，，，，由余弦定理得，，∴；故選：B.變式1．（2023春·浙江寧波·高一效實中學?？计谥校┤鐖D，在正三棱臺中，底面是邊長為的正三角形，且.

(1)證明：；(2)求異面直線、所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）將正三棱臺補成正三棱錐，取的中點，連接、，證明出平面，可得出，即可得出結論；（2）【詳解】（1）證明：將正三棱臺補成正三棱錐，取的中點，連接、，因為為等邊三角形，為的中點，則，在正三棱錐中，，為的中點，則，因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，即.（2）解：取的中點，連接、、、，如下圖所示：

因為在三棱臺中，，且，則，又因為，所以，、分別為、的中點，同理，為的中點，所以，，故正三棱錐的每個面都是邊長為的等邊三角形，因為為的中點，則，同理，因為、分別為、的中點，所以，，且，所以，異面直線、所成角為或其補角，在中，，，，由余弦定理可得，由余弦定理可得，因此，異面直線、所成角的余弦值為.變式2．（2023·全國·高一專題練習）在正方體中，E為的中點，平面與平面的交線為l，則l與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】延長，交直線于點M，延長交于點，連接，則直線即為交線，從而可得即為l與所成的角，解即可得解.【詳解】解：延長，交直線于點M，延長交于點，連接，則直線即為交線，又，則即為l與所成的角，設正方體棱長為1，因為E為的中點，，所以為的中點，為的中點，點為的中點，為的中點，則，又，所以，所以，則，，，所以，即l與所成角的余弦值為.故選：D.考點五：通過證線面垂直證異面直線所成的角為90°例5．（2023春·廣東廣州·高一廣州四十七中?？计谥校┤鐖D，在正四面體中，是的中點，P是線段上的動點，則直線和所成角的大小（

）A．一定為 B．一定為 C．一定為D．與P的位置有關【答案】A【分析】連接，可以證到，，從而證到平面，所以，即可得解．【詳解】解：連接,四面體是正四面體，是的中點,、是等邊三角形，，．平面，平面，，平面，又平面，，直線與所成角為.故選：A．變式1．（2023秋·河南鶴壁·高一鶴壁高中?？茧A段練習）三棱錐中，，是斜邊的等腰直角三角形，則以下結論中：①異面直線與所成的角為90°；②直線平面；③平面平面；④點到平面的距離是.其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由題意證明平面,可判斷①;通過結合①即可證明②;根據(jù)②可證明③;取的中點,連接,根據(jù)線面垂直的性質可判斷④.【詳解】由題意,則由是斜邊的等腰直角三角形,可得且所以平面,即,故①正確；由①得,根據(jù),即且所以平面,故②正確因為平面所以平面平面,故③正確；取的中點,連接可證得平面,故的長度即為到平面的距離,所以④正確.綜上可知,正確的為①②③④故選:D【點睛】本題考查了線面垂直與面面垂直判定,直線與平面垂直性質的應用,屬于基礎題.變式2．（2023·高一課時練習）如圖，正方體中，的中點為，的中點為，則異面直線與所成角的大小為A． B． C． D．【答案】D【分析】取中點，連，可證，轉化為求所成的角，利用平面幾何關系，證明即可.【詳解】取中點，連，在正方體中，為中點，，四邊形為平行四邊形，，異面直線與所成角為直線所成的角，在正方形中，，，直線與所成角的大小為.故選：D.【點睛】本題考查空間線、面位置關系，證明異面直線垂直，考查直觀想象、邏輯推理能力，屬于基礎題.變式3．（2023春·重慶九龍坡·高一重慶實驗外國語學校?？茧A段練習）如圖，三棱柱中，底面三角形是正三角形，是的中點，則下列敘述正確的是（

）A．直線與直線相交B．與共面C．與是異面直線但不垂直D．平面垂直于平面【答案】A【分析】在三棱柱中，根據(jù)線線，線面關系對選項一一判斷即可.【詳解】在三棱柱中，，且，所以四邊形為梯形，直線與直線相交，故A正確；由幾何圖形易知與為異面直線，故B錯誤；與是異面直線，且三角形是正三角形，，又，則，故C錯誤；在三棱柱中未給出側面與上下底面的關系，不能判斷AE是否與平面垂直，故無法判斷平面與平面的關系，故D錯誤；故選：A考點六：由異面直線所成的角求其他量例6．（2023春·湖北武漢·高一武漢市第六中學?？茧A段練習）在長方體中，與和所成的角均為，則下面說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)長方體的結構特征，可得與和所成的角即為與和所成的角,從而設,由此可求得長方體的棱長，即可一一判斷各選項，即得答案.【詳解】在長方體中，,則與和所成的角即為與和所成的角,即,連接,易得面，面，且面，面，則為直角三角形，設,則,故，故A錯誤；由為直角三角形，可得,則,故B錯誤；由以上解答可知,故，C錯誤；在長方體中，，，故，D正確，故選：D變式1．（2023·高一單元測試）在空間四邊形中，，，，分別是，，，的中點．若，且與所成的角為，則的長為（

）A．1 B． C．1或 D．或【答案】C【分析】連接，可得或，求解三角形即可求出.【詳解】如圖，連接，在中，因為為中點，所以，，在中，因為為中點，所以，，因為與所成的角為，所以或，當時，為等邊三角形，所以，當，由余弦定理可得，即，所以的長為1或.故選：C.變式2．（2023春·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末）在空間四邊形中，，，分別為，的中點，若與所成的角為40°，則與所成角的大小為（

）A．20° B．70°C．20°或70° D．40°或140°【答案】C【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義轉化為相交直線所成角，利用幾何圖形求與所成角的大小.【詳解】取的中點，的中點，連接，分別是的中點，，，同理，四邊形是平行四邊形，又，，四邊形是菱形，與所成的角為，或，與所成角是或.故選：C變式3．（2023·高一課時練習）如圖，在三棱錐中，，，，且直線AB與DC所成角的余弦值為，則該三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意，將三棱錐放入對應的長方體中，根據(jù)已知條件建立關于長方體的長?寬?高的邊長a，b，c的方程組，求解得，進而可得外接球的直徑即為長方體的體對角線長，從而根據(jù)球的體積公式即可求解.【詳解】解：由題意知，，則平面ADC，所以，又，，所以平面ABC，將三棱錐放入對應的長方體中，如圖：易知，所以為直線AB與DC所成的角，所以，解得.設長方體的長?寬?高分別為a，b，c，則，，，三式相加得，所以長方體的外接球的半徑為，所以該三棱錐的外接球的體積為.故選：C.考點七：垂線法求直線與平面所成的角例7．（2023春·海南·高一海南華僑中學?？计谀┤鐖D所示，四棱錐的底面為正方形，平面ABCD，則下列結論中不正確的是（

）A．B．平面SCDC．直線SA與平面SBD所成的角等于D．直線SA與平面SBD所成的角等于直線SC與平面SBD所成的角.【答案】C【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理、性質定理可推出A正確；根據(jù)線面平行的判定定理可推出B正確；根據(jù)直線與平面所成角的定義，可推出C不正確；D正確.【詳解】對于A，因為平面ABCD，平面ABCD，所以，因為為正方形，所以，又平面，，所以平面，因為平面，所以，故A正確；對于B，因為，平面，平面，所以平面SCD，故B正確；對于C，設交于，連，由A知，平面SBD，則是直線SA與平面SBD所成的角，設，，則，，只有當，即，即時，才有，故C不正確；對于D，由C知，是直線SA與平面SBD所成的角，是直線與平面SBD所成的角，因為，，，所以與全等，所以，故D正確.變式1．（2023春·山西·高一統(tǒng)考階段練習）如圖，在圓柱OP中，底面圓的半徑為2，高為4，AB為底面圓O的直徑，C為上更靠近A的三等分點，則直線PC與平面PAB所成角的正弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，取OA的中點D，連接CO，PO，CD，PD，可證直線與平面所成的角為，再結合題設中的數(shù)據(jù)可求線面角的正弦值.【詳解】如圖，取OA的中點D，連接CO，PO，CD，PD，由題意得，所以△AOC為正三角形，則，因為平面，平面，所以，同理，而平面，所以平面，而平面，則，由平面可得直線與平面所成的角為．由等邊三角形及可得．又，得．故選：A.

變式2．（2023·高一單元測試）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，其形狀可視為一個正四棱錐，已知該金字塔的塔高與底面邊長的比滿足黃金比例，即比值約為，則它的側棱與底面所成角的正切值約為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】畫出示意圖，然后找出側棱與底面所成角，計算其正切值即可.【詳解】畫出如圖所示示意圖，設底面邊長為，則塔高所以側棱與底面的角的正切值為故選：A變式3．（2023·高一課時練習）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點，則直線與對角面所成角的大小是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，交于點O，證明直線與平面所成的角是，由得直線與平面所成的角等于，在直角三角形中求得此角大小．【詳解】由E，F(xiàn)分別是的中點得．連接，交于點O，平面，平面，則，又正方形中，，平面，所以平面，所以直線與平面所成的角是，即直線與平面所成的角等于平面，，，，直角三角形中，故選：A．變式4．（2023春·江蘇宿遷·高一泗陽縣實驗高級中學?？茧A段練習）直三棱柱中，，，則與平面所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將直三棱柱補全為正方體，根據(jù)正方體性質、線面垂直的判定可得面，由線面角的定義找到與平面所成角的平面角，進而求其大小.【詳解】由題意，將直三棱柱補全為如下圖示的正方體，為上底面對角線交點，所以，而面，面，故，又，面，故面，則與平面所成角為，若，所以，，則，故.故選：A變式5．（2023春·浙江寧波·高一效實中學校考期中）如圖，四棱錐中，底面為矩形，⊥平面，為的中點.

(1)證明：平面；(2)設直線與底面所成角的正切值為，，，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取底面中心，利用三角形中位線得線線平行，再證線面平行即可；（2）根據(jù)線面夾角得定義及已知可求得AB長，再根據(jù)線面垂直判定直線與平面所成角即∠CPD，解三角形即可.【詳解】（1）連接，記，為中點，為中點，，又，，∴平面；

（2）因為平面，所以即為直線與平面所成線面角，則.

因為矩形中，所以.

因為平面，平面，所以，計算可得.又，，，平面，所以，所以即為直線與平面所成線面角，解得.變式6．（2023春·重慶九龍坡·高一重慶市楊家坪中學?？茧A段練習）如圖，在四棱錐中，平面，底面是棱長為的菱形，，，是的中點．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接交于點，根據(jù)三角形中位線性質可得，由線面平行判定可證得結論；（2）取中點，根據(jù)，，結合線面垂直判定可證得平面，由線面角定義可知所求角為，由長度關系可得結果.【詳解】（1）連接，交于點，連接，四邊形為菱形，為中點，又為中點，，平面，平面，平面.（2）取中點，連接，，，為等邊三角形，又為中點，；平面，平面，，，平面，平面，即為直線與平面所成角，，，又，，，即直線與平面所成角的正弦值為.變式7．（2023春·湖南長沙·高一長沙一中?？茧A段練習）如圖，多面體中，四邊形為矩形，二面角的大小為，，，，.

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明出平面平面，利用面面平行的性質可證得結論成立；（2）分析可知二面角的平面角為，過點在平面內(nèi)作，垂足為點，證明出平面，可得出直線與平面所成角為，計算出、的長，即可求得的正弦值，即為所求.【詳解】（1）證明：因為四邊形是矩形，所以，，因為平面，平面，所以平面，

因為，平面，平面，所以平面，

因為，、平面，則平面平面，因為平面，所以，平面.（2）解：因為，，所以，二面角的平面角為，由題意可得，又因為，、平面，所以，平面，過點在平面內(nèi)作，垂足為點，因為平面，所以，又因為，、平面，所以平面，連接，所以直線與平面所成角為，

因為，，，則，因為，則，所以.直線與平面所成角的正弦值為

考點八：等體積法求直線與平面所成的角例8．（2023春·北京朝陽·高一清華附中朝陽學校?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，底面是邊長為a的正方形，平面．若，則直線與平面所成的角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等積法可得到平面的距離，進而即得.【詳解】因為平面，平面，平面，平面，所以，，，又底面是邊長為a的正方形，所以，又平面，平面，所以平面，平面，所以，設到平面的距離為，直線與平面所成的角，則，所以，，所以，所以，又，所以.故選：A.變式1．（2023春·河南·高一校聯(lián)考期末）如圖，三棱柱中，為等邊三角形，，，．

(1)證明：平面平面；(2)求直線和平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接交于O，連接，證明可得線面垂直，再由面面垂直的判定定理得證；（2）利用等體積法求出點到平面的距離，再由線面角公式求解即可.【詳解】（1）連接交于O，連接，如圖，

因為為等邊三角形，所以為等邊三角形，四邊形是菱形，所以，又，，是的中點，所以且，所以，，在中，，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）設到平面的距離為，因為中，，，所以，又，，所以由，可得，即，設直線和平面所成角為，則,因為平面平面，所以求直線和平面所成角的正弦值為．變式2．（2023春·浙江杭州·高一?？计谥校┤鐖D，四棱錐中，平面ABCD，，底面ABCD是矩形，且，．(1)求證：平面PCD；(2)求直線AC與平面APD所成的角的正弦值；【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用平面證得，利用線面垂直的判定定理證得結論；（2）利用等體積法求得點到平面的距離為，從而求得結果；【詳解】（1）證明：平面，平面，故，又，平面，故平面.（2）設點到平面的距離為，由知，因為平面，平面，所以，則，，，可得，所以直線與平面所成的角的正弦值是.考點九：平移法求直線與平面所成的角例9．（2023·江蘇·高一專題練習）如圖，邊長是6的等邊三角形和矩形.現(xiàn)以為軸將面進行旋轉，使之形成四棱錐，是等邊三角形的中心，，分別是，的中點，且，面，交于.(1)求證面(2)求和面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先利用線面平行的性質定理證得，再利用線面垂直的判定定理證得面，從而得到面；（2）構造平行四邊形，將所求角轉化為和面的所成角，再在中求得，從而利用三角函數(shù)的基本關系式求得，由此得解.【詳解】（1）因為面，面面，面，所以，因為是的中點，是等邊三角形，所以，因為在矩形中，，分別是，的中點，所以，又，所以，又，面，所以面，因為，所以面.（2）在線段上取點使得，連接，因為是等邊三角形的中心，，所以，因為，所以，所以，因為，，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以和面所成角等于和面所成角，由（1）得面，又，所以面，即面，所以和面的所成角為，即為所求，在中，，則，因為，所以，聯(lián)立，解得，所以和面所成角的正弦值為..變式1．（2023春·天津和平·高一天津一中?？计谥校┤鐖D，已知平面ABC，，，，，，點和分別為和的中點.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平面，得到平面，即可得到平面平面，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質得到，然后利用面面垂直的性質定理即可得到平面；（2）根據(jù)，點為中點得到，即可將直線與平面所成角轉化為直線與平面所成角，由（1）的結論可得為直線與平面所成角，然后利用勾股定理得到，的長度，即可求直線與平面所成角.【詳解】（1）∵平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面，∵，點為中點，∴，∵平面平面，平面，∴平面.（2）取中點，連接，，∵，，，點為中點，∴四邊為平行四邊形，∴，∴直線與平面所成角和直線與平面所成角相等，∵平面，∴為直線與平面所成角，∵點為中點，，∴，，，∴，又，所以，所以直線與平面所成角為.考點十：由線面角求其他量例10．（2023春·湖南·高一校聯(lián)考階段練習）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，為線段上一點，平面.

(1)證明：為的中點；(2)若直線與平面所成的角為，且，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，設，連接，根據(jù)線面平行的性質得到，即可證明；（2）首先證明平面，則為直線與平面所成的角，再求出，最后根據(jù)計算可得.【詳解】（1）連接，設，連接，因為平面，平面，平面平面，所以，又底面為矩形，所以為的中點，所以為的中點.

（2）因為平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，所以為直線與平面所成的角，即，又，所以，則，由平面，平面，所以，所以在中，所以.變式1．（2023春·福建泉州·高一校聯(lián)考階段練習）如圖所示，三棱臺中，底面，．(1)證明：是直角三角形；(2)若，問為何值時，直線與平面所成角的正弦值為？【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）結合棱臺的特征及條件先證得平面，由即可得結論；（2）作，先證為直線與平面所成角，設邊長，結合條件解直角三角形得出含參表示的邊長，作商即可解得.【詳解】（1）∵平面，平面，∴又，，平面，∴平面，∵三棱臺中，∴平面，又平面，，故是直角三角形．（2）在平面內(nèi)作，垂足為，連接．由（1）知，平面，又平面，，，平面，平面，是在平面上的射影，即為直線與平面所成角．設，則，，∵三棱臺中，，，．在中，，，在中，，解得．∴當時，直線與平面所成角的正弦值為．變式2．（2023春·高一單元測試）如圖，在中，O是的中點，.將沿折起，使B點移至圖中點位置．(1)求證：平面；(2)當三棱錐的體積取最大時，求二面角的余弦值；(3)在（2）的條件下，試問在線段上是否存在一點P，使與平面所成的角的正弦值為？證明你的結論，并求的長．【答案】(1)證明見解析(2)(3)存在，證明見解析，.【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理可證明結論；（2）確定當平面時,三棱錐的體積取最大，作出二面角的平面角，解三角形求得答案；（3）假設存在，作出與平面所成的角，結合題意求得，判斷適合題意，即可求得的長．【詳解】（1）證明：∵且O是的中點，∴，即，又∵，平面平面，∴平面．（2）在平面內(nèi)，作于點D，則由（1）可知，又平面，即是三棱錐的高，又，∴當D與O重合時，三棱錐的體積最大，此時平面,過O作于點H，連接，如圖,由（1）知平面，又平面，∴，∵，∴平面，平面，,∴即為二面角的平面角．在中，，∴，∴，故二面角的余弦值為..（3）假設在線段上是否存在一點P，使與平面所成的角的正弦值為，如圖，連接，在（2）的條件下，平面,故平面，∴與平面所成的角為，∴，∴，又在中，,,則，故,而，∴，∴，∴，即故在線段上是否存在一點P，使與平面所成的角的正弦值為，此時.變式3．（2023春·吉林延邊·高一延邊第一中學校考期中）如圖，是的直徑，垂直于所在的平面，是圓周上不同于的一動點.(1)證明：是直角三角形；(2)若，且直線與平面所成角的正切值為，①求的長；②求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)①；②【分析】（1）證明平面即可；（2）①根據(jù)線面角的定義確定直線與平面所成角，由條件求，②根據(jù)線面角定義作出直線與平面所成角，求出到平面的距離，解三角形求線面角正弦值.【詳解】（1）∵是的直徑，是圓周上不同于的一動點.∴，∵平面，平面∴，又，平面，∴平面，平面，∴，∴是直角三角形.（2）①∵平面，∴是直線PC與平面ABC所成的角，又②過A作AH⊥PC于H，∵BC⊥平面PAC，平面，∴BC⊥AH，又PC∩BC=C，PC，BC?平面PBC，∴AH⊥平面PBC，∴∠ABH是直線AB與平面PBC所成的角，在Rt中，，在Rt中，，故直線與平面所成角的正弦值為.考點十一：定義法求二面角的平面角例11．（2023春·河北石家莊·高一?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，為棱的中點，，．

(1)求證：平面；(2)求二面角平面角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用面面垂直的性質定理可證得結論成立；（2）分析出二面角的平面角為，分析出為等腰直角三角形，即可得出結果.【詳解】（1）證明：因為平面平面，平面平面，，平面，因此，平面.（2）解：因為四邊形為正方形，則，且，因為平面，平面，所以，，因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，則二面角的平面角為，因為，，所以，為等腰直角三角形，且.故二面角為.變式1．（2023春·吉林·高一校聯(lián)考期中）如圖，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，點為的中點.

(1)求證：直線平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接交于點，連接，根據(jù)線面平行的判定定理求解；（2）連接，，可證明為二面角的平面角，利用余弦定理求解余弦值即可.【詳解】（1）連接交于點，連接，如圖，則為的中點，由于是的中點，故，∵平面，平面，所以平面；（2）連接，，因為，是的中點，所以，因為，平面，所以平面，又平面，所以，由底面是菱形，得，又平面，所以平面，又平面，所以，則為二面角的平面角，，，，由余弦定理可知，∴二面角的余弦值為.

變式2．（2023春·天津寶坻·高一天津市寶坻區(qū)第一中學?？茧A段練習）如圖，邊長為4的正方形中，點分別為的中點．將分別沿折起，使三點重合于點P．(1)求證：；(2)求三棱錐的體積；(3)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）先證明平面，根據(jù)線面垂直的性質定理即可證明結論；（2）根據(jù)棱錐的體積公式即可求得答案;（3）作出二面角的平面角，解直角三角形即可求得答案.【詳解】（1）證明：因為在正方形中，折疊后即有，又平面，所以平面，而平面,故；（2）由題意知，故，故；（3）取線段的中點G，連接，因為，所以有，平面,平面,所以即為二面角的平面角，又由（1）得平面，平面，故,而,,故,即二面角的余弦值為.變式3．（2023春·浙江·高一校聯(lián)考階段練習）如圖，在多面體中，平面平面，平面平面是菱形，．

(1)證明：平面；(2)求二面角的平面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質及線面垂直的判定定理即可得證；（2）利用勾股定理可得出線段的長，再由此證明，得出二面角的平面角，計算得解.【詳解】（1）分別取的中點，連接，如圖，

是菱形且，為正方形，故，平面平面，平面平面平面，平面，又平面，同理可得，，平面平面，又平面．（2）在上取，連接．因為平面，由（1）知，，由勾股定理可知，，在中可得，由正三角形可知，在平行四邊形中，由可知，，，，，即為二面角的平面角．由余弦定理知，二面角的平面角的余弦值為．考點十二：三垂線法求二面角的平面角例12．（2023春·江蘇連云港·高一江蘇省海頭高級中學?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，底面是菱形．

(1)若點E是PD的中點，證明：平面；(2)若，，且平面平面，求二面角的正切值．【答案】(1)證明見解析(2)2【分析】（1）連接交于M，連接，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結論；（2）設為的中點，連接，證明平面，從而作出二面角的平面角，解直角三角形即可求得答案.【詳解】（1）連接交于M，連接，

因為底面是菱形，所以M為的中點，又點E是PD的中點，故為的中位線，故，而平面，平面，故平面；（2）設為的中點，連接，因為，故,因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面，而平面，故，底面是菱形，故，作交于N，則，且N為的中點，連接，因為平面，故平面，則即為二面角的平面角，設，則,，則，則，由于為的中點，N為的中點，故，而平面，平面，故，所以，即二面角的正切值為2.變式1．（2023春·陜西西安·高一西北工業(yè)大學附屬中學?？茧A段練習）已知正三棱柱中，，D為AC邊的中點，

(1)求側棱長；(2)求三棱錐D-的體積；(3)求二面角的大小.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）取中點，連接，，可得△，從而可求側棱的長；（2）利用等體積法即可求解.（3）過做，垂足為，過做，垂足為，連接，則，故為二面角的平面角，計算，，即可求得結論．【詳解】（1）不妨考慮將三棱錐底面朝下，取中點，連接，，則,是正三棱柱，平面平面,且交線為,平面,所以平面，由于平面,，，平面平面，平面,，側棱長為.

（2）,（3）過做，垂足為，過做，垂足為，連接，由于平面平面,且交線為,平面,所以平面，平面,所以,又，平面,所以平面,平面,則，為二面角的平面角,在直角三角形中，,所以,而,在中，由等面積可得二面角的大小為，變式2．（2023春·山東濱州·高一山東省北鎮(zhèn)中學校聯(lián)考階段練習）如圖，在四棱臺中，底面是正方形，側面底面是正三角形，是底面的中心，是線段上的點．

(1)當//平面時，求證：平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）連接，證得，由底面是正方形，所以，根據(jù)面面垂直的性質，證得平面，得到，再由，利用線面垂直的判定定理，即可證得平面；（2）取的中點分別為，連接，證得即為所求二面角的平面角，在直角中，結合，即可求解.【詳解】（1）證明：連接，因為平面，平面，且平面平面，所以，又因為在中，是的中點，所以是的中點，因為底面是正方形，所以，又因為平面平面，平面平面平面，所以平面，因為平面，所以，所以是正三角形，所以，因為，且平面，所以平面．（2）解：取的中點分別為，連接，所以是正三角形，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，又因為且平面，所以平面，因為平面，所以，則即為所求二面角的平面角，設，則，在直角中，，所以，即所求二面角的余弦值為．

變式3．（2023春·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習）四棱錐中，平面，四邊形為菱形，，，E為AD的中點，F(xiàn)為PC中點．

(1)求證：平面；(2)求PC與平面PAD所成的角的正切值；(3)求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)(3).【分析】（1）取的中點，證明，結合線面平行判定定理證明結論；（2）先證明平面，由線面角的定義證明是與平面所成角的平面角，推導出，，由此能求出與平面所成角的正切值；（3）過點作，根據(jù)二面角平面角定義證明是二面角的平面角，由此能求出二面角的正弦值．【詳解】（1）取的中點，連接，因為點為的中點，所以，又，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）四邊形為菱形，，，為等邊三角形，，在中，是中點，，平面，平面，，，平面，平面，平面，斜線在平面內(nèi)的射影為，即是與平面所成角的平面角，平面，平面，，在中，，在中，，平面，平面，，在中，，與平面所成角的正切值為．（3）在平面中，過點作，垂足為，連結，

平面，平面，，，平面，平面，又平面，是二面角的平面角，在中，，，，在中，，，，在中，，由余弦定理得，二面角的正弦值為．考點十三：等體積法求二面角的平面角例13．（2023春·江蘇常州·高一常州高級中學校考階段練習）如圖，和都是邊長為的等邊三角形，，平面.

(1)證明：平面；(2)若點到平面的距離為，求二面角的正切值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點，連接、，證明出平面，利用面面垂直的性質可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結論成立；（2）連接、，取的中點，連接，取的中點，連接，利用等體積法計算出的長，推導出二面角的平面角為，求出的正切值，即為所求.【詳解】（1）證明：如圖，取的中點，連接、，因為和都是邊長為的等邊三角形，則，，且，同理可得，因為，所以，，則，又因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：如圖，連接、，取的中點，連接，

因為為等邊三角形，為的中點，則，取的中點，連接，因為，則，且，則等腰的面積為，所以三棱錐的體積為，因為平面，、平面，則，，又因為，，、平面，所以，平面，因為，平面，平面，所以，平面，則點到平面的距離等于點到平面的距離等于，因為，則，又，即，所以，因為平面，平面，則，又因為，則，因為為的中點，所以，，又因為，所以二面角的平面角為，則，所以二面角的正切值為.變式1．（2023·高一單元測試）已知四邊形ABCD中，，，O是AC的中點，將沿AC翻折至．(1)若，證明：平面ACD；(2)若D到平面PAC的距離為，求平面PAC與平面ACD夾角的大?。敬鸢浮?1)證明見解析(2)【分析】(1)由題目已知可得出平面PAC，從而得到，再由等腰三角形性質可得，進而得出結論.(2)取CD中點F并連接OF，PF，可得出所求二面角，再利用已知條件，構建直角三角形，即可計算兩平面的夾角.【詳解】（1）中，，，，所以，則，又，所以平面PAC，平面PAC，所以.又因為，O是AC的中點，所以，，所以平面ACD.（2）取CD中點F，連接OF，PF，在中過F作FG垂直于PO，垂足為G，，則，又因為，所以為平面PAC與平面ACD夾角，所以平面POF，又平面POF，所以，又，所以平面PAC，所以FG就是點F到平面PAC的距離，因為點D到平面PAC的距離為，又由F為CD中點，所以F到平面PAC的距離為.中，，因為點可能在上，也可能在的延長線上，所以或，所以平面PAC與平面ACD所成角不會是鈍角，所以大小為.考點十四：垂面法求二面角例14．（2023·全國·高一專題練習）如圖，已知，，垂足為、，若，則二面角的大小是______．【答案】/【分析】根據(jù)與二面角大小互補進行求解.【詳解】設二面角的大小為，因為，，垂足為、，所以，又，所以.故答案為：變式1．（2023秋·山東日照·高二?？茧A段練習）若二面角內(nèi)一點到兩個面的距離分別為5和8，兩垂足間的距離為7，則這個二面角的大小是______．【答案】/【分析】畫出圖象，可知二面角的平面角為，與互補，利用余弦定理可求，即可求解.【詳解】如圖所示，設為二面角內(nèi)一點，，，，由題，則，，，設平面，，，則二面角的平面角為，由四邊形的性質可知，與互補，則，所以，所以，故答案為：變式2．（2023·全國·高一專題練習）已知是二面角內(nèi)的一點，垂直于于垂直于于，則二面角的大小為__．【答案】【分析】設平面交直線于點，連接，，可證得即二面角的平面角，在由余弦定理求出，即可求出二面角的大?。驹斀狻拷猓涸O平面交直線于點，連接，，由于，，，，故，，又，平面，故平面，又，平面，故，，所以為二面角的平面角，由于，，，，故，，故在四邊形中，與互補，又，，在中由余弦定理，即，解得，又，所以，故，則二面角的大小為．故答案為：．變式3．（2023·高二課時練習）如圖，已知平面，，且，，，，為垂足.（1）試判斷直線與的關系，并證明你的結論；（2）設直線與平面交于點，點，若二面角的大小為，且，求平面與平面所成的銳二面角的大小.【答案】（1）直線與是垂直關系，證明見解析；（2）.【分析】(1)由條件可得，，則平面PCD，從而可得答案.(2)由，所以，，就是所求二面角的平面角,則根據(jù)條件可得，然后求出即可.【詳解】（1）∵，，，又平面PCD∵平面PCD，所以即直線與是垂直關系.（2）連接，，則∵，由（1）有平面PCD，則，所以二面角的平面角為四點共圓，所以∵，又，，∵，，∵，所以，就是所求二面角的平面角，所以即平面與平面所成的銳二面角的大小為.【點睛】本題考查線線位置關系的判斷，考查求二面角，屬于中檔題.考點十五：射影面積法求二面角例15．（2023·全國·高一專題練習）如圖與所在平面垂直，且，，則二面角的余弦值為_______.【答案】【分析】根據(jù)題意以及面面垂直的性質定理，可作出在平面內(nèi)的射影，再利用攝影面積法求出二面角的余弦值，再根據(jù)所求角與二面角互補即可求得結果.【詳解】過A作的延長線于E，連結DE，∵平面平面，平面平面，∴平面∴E點即為點A在平面內(nèi)的射影，∴為在平面內(nèi)的射影，

設，則，∴由余弦定理可得，∴，∴，又，∴，設二面角為，∴.而二面角與互補，∴二面角的余弦值為.故答案為：變式1．（2023·全國·高一專題練習）在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，側面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD．(1)證明：AB⊥平面PAD；(2)求面PAD與面PDB所成的二面角的正切值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平面PAD⊥底面ABCD以及AB⊥AD即可證得AB⊥平面PAD；（2）（法一）利用面積射影法，求出面PAD與面PDB所成的二面角的余弦值，即可求出面PAD與面PDB所成的二面角的正切值．(法二)取中點，連接.則是平面PAD與平面PDB所成的二面角的平面角，中求解即可.【詳解】（1）證明：∵底面ABCD是正方形，∴AB⊥AD，∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，∴由面面垂直的性質定理得，AB⊥平面PAD；（2）解：(法一)由題意，△PBD在面PAD上的射影為△PAD．設AD＝a，則S△PAD，△PBD中，PD＝a，BDa，PBa，∴S△PBD，∴面PAD與面PDB所成的二面角的余弦值為，∴面PAD與面PDB所成的二面角的正切值為．（法二）如圖所示：取中點，連接.設AD＝a，則，所以,所以是平面PAD與平面PDB所成的二面角的平面角，在中，,所以.變式2．（2023·浙江·模擬預測）如圖所示，正方形平鋪在水平面上，先將矩形沿折起，使二面角為30°，再將正方形沿折起，使二面角為30°，則平面與平面所成的銳二面角的正切值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設平面ADE'F'，平面AF'G''H'',與以ABCD為底面的直四棱柱(高要足夠高)的截面分別為APQD和APRS,利用二面角的面積射影定理計算求解即可.【詳解】設平面ADE'F'，平面AF'G''H'',與以ABCD為底面的直四棱柱(高要足夠高)的截面分別為APQD和APRS,在后側面CDSR中過S,R作直線DQ的垂線，垂足分別為N,M,則由于平面APQD經(jīng)過AD,AD⊥平面CDSR,∴平面APQD⊥平面CDSR,由平面垂直的性質定理可得SN,RM都是平面APQD的垂線，∴四邊形APMN為四邊形APRS在平面APQD中的正投影，易知△SDN與△RQM全等，∴四邊形APMN的面積等于四邊形APQD的面積，設四邊形ABCD的面積為S1,四邊形APQD的面積為S2,四邊形APRS的面積為S3,平面APQD與平面ABCD所成的銳二面角為α，平面APQD與平面APRS所成的銳二面角為β，平面ABCD與平面APRS所成的銳二面角為γ，,,∴,故選：B.【點睛】本題考查關鍵是平面與直四棱柱的的截面進行規(guī)范化，以便利用面積射影定理進行計算求解.二面角的一個面內(nèi)的圖形在另一個面內(nèi)的正投影的圖形與原圖形的面積比等于二面角的余弦值的絕對值，這是一個重要的性質，運用熟練，常常能方便的解決一些與二面角有關的計算問題.考點十六：由二面角大小求其他量例16．（2023春·廣東廣州·高一廣州市天河中學校考期中）如圖1，在平行四邊形ABCD中，，將沿BD折起，使得點A到達點P，如圖2．

(1)證明：平面平面PAD；(2)當二面角的平面角的正切值為時，求直線BD與平面PBC夾角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）要證平面平面PAD，只需證明平面PAD，再利用面面垂直的判定進行說明；（2）先找到二面角的平面角，再找直線BD與平面PBC所成角.【詳解】（1）中，由余弦定理：，所以,則,將沿BD折起，使得點A到達點P，則，所以,又平面PAD,所以平面PAD，又平面BCD，所以平面平面PAD；（2）

如圖，取中點E，連接BE,DE，因為AB=PB,AD=PD,則所以為二面角的平面角，且由（1）知，平面所以,中，中垂線，所以由勾股定理可得，所以，又,所以平面PBD,又，所以平面PBD,過D作于點F，因為DF平面PBD,所以，因為,所以DF面PBC，所以直線BD與平面PBC夾角即為中，，所以直線BD與平面PBC夾角的正弦值為.變式1．（2023春·廣東佛山·高一佛山市南海區(qū)第一中學?？茧A段練習）如圖，四棱錐的底面是正方形，底面，是上一點.(1)求證：平面平面；(2)當?shù)闹禐槎嗌贂r，二面角的大小為.【答案】(1)證明見解析(2)1【分析】（1）根據(jù)題意，分別證得和，得到面，結合面面垂直的判定定理，即可證得平面平面.（2）作于，連接，證得是二面角的平面角，利用余弦定理，建立等量關系式，結合直角三角形的性質，即可求解.【詳解】（1）證明（1）四棱錐的底面是正方形，可得，因為底面，平面，所以，又因為且平面，所以面，因為平面，所以平面平面.（2）解：作于，連接，因為底面，，可得，由底面，底面，所以，又因為，，所以平面，又由平面，所以，同理可證：平面，且平面，所以，所以和全等，因為，所以，且所以是二面角的平面角，要使，只需，解得，又因為，可得，因為，且，所以，可得，因為，所以，可得，又因為，所以，所以故當時，二面角的大小為.

變式2．（2023春·河南安陽·高一安陽一中校考階段練習）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，，，E為邊AB的中點，將沿直線DE翻折為，若F為線段的中點．在翻折過程中，(1)求證：平面；(2)若二面角，求與面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點，通過證平面平面，可得面.（2）利用二面角的平面角的定義先找出二面角的平面角即為，再利用面面垂直的性質定理找到平面的垂線，從而作出與面所成的角，計算可得答案.【詳解】（1）證明：取的中點，連接，為線段的中點，，平面，平面，平面，又，，四邊形為平行四邊形，則平面，平面，可得平面，又，，平面，可得平面平面，平面，則面.（2）取中點，中點，連接，，，由，，為邊的中點，得，所以為等邊三角形，從而，，又，為的中點所以，又是等邊三角形，所以，所以為二面角的平面角，所以，過點作，過作交于，連接，是等邊三角形，所以可求得，，所以，，，，，，所以，，又，，面，所以面，又，所以面，平面，所以面面，由，在中易求得，又，所以，，面面，面，所以面，所以為與平面所成的角，在中可求得，所以，與面所成角的正弦值為變式3．（2023·高一課時練習）如圖，在中，，，且，分別為，的中點．現(xiàn)將沿折起，使點到達點的位置，連接，，為的中點，連接．(1)證明：平面；(2)若二面角的余弦值為，求四棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）設為的中點，則；是的中點，則，又可證得為平行四邊形，則，故，即可證明平面；（2）由題意可知是二面角的平面角，于是，由題意平面，于是有平面，則，求得，由得，又，所以平面，然后由錐體體積公式求出結果．【詳解】（1）設為的中點，連接，，又，則．因為，是的中點，所以，因為，，，，所以，，所以為平行四邊形，則，故，又因為，平面，所以平面．（2）因為平面，平面，所以，又，所以是二面角的平面角，于是．因為，，，平面，所以平面，于是有平面．因為平面，所以．在中，，，故，，因為，所以，所以，又因為，，平面，所以平面．故．考點十七：直接法求點面距例17．（2023·高一課時練習）如圖，在長方體中，已知，，，則點到上底面的距離為（

）A．4 B．2 C． D．3【答案】D【分析】利用長方體的性質可得答案.【詳解】∵平面，∴的長度為點到平面的距離，故點到上底面的距離為3.故選：D.變式1．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第六中學校?？计谀┤鐖D，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為直角梯形，，，，，，則點P到平面ABCD的距離為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意由勾股定理可得，可證平面PAB，即平面平面ABCD，根據(jù)面面垂直的性質作平面ABCD，結合圖形運算求解．【詳解】在中，由PA＝AB＝1，∠PAB＝120°，得．因為PC＝2，BC＝1，，所以，即．因為∠ABC＝90°，所以，又，所以平面PAB．因為平面ABCD，所以平面平面ABCD．在平面PAB內(nèi)，過點P作，交BA的延長線于點E，如圖所示，因為平面平面ABCD＝AB，，所以平面ABCD．因為在中，PA＝1，∠PAE＝60°，所以，所以點P到平面ABCD的距離為．故選：B．變式2．（2023春·山西晉中·高一校考階段練習）已知是面積為的等邊三角形，且其頂點都在球的球面上，若球的體積為，則到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意作出如下示意圖，設為外接圓的圓心，所以為外接圓的半徑，為球體的半徑，根據(jù)球的性質得平面，所以即為到平面的距離，所以，再分別求出所需數(shù)據(jù)即可.【詳解】根據(jù)題意作出如下示意圖，設為外接圓的圓心，所以為外接圓的半徑，為球體的半徑，根據(jù)球的性質得平面，所以即為到平面的距離，所以，因為是面積為的等邊三角形，所以底邊的高為：，所以面積為：，所以，所以底邊高為：，所以，因為球的體積，解得，即，所以到平面的距離為：.故選：A.考點十八：轉化法求點面距例18．（2023·陜西西安·西北工業(yè)大學附屬中學校考模擬預測）在三棱柱中，是棱長為的正四面體，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別取、的中點、，連接、、、，過點在平面內(nèi)作，垂足為點，證明出平面，利用余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關系求出的值，進而可求得的長，再結合平面可求得結果.【詳解】分別取、的中點、，連接、、、，如下圖所示：由題意可知，因為四面體是棱長為的正四面體，則是邊長為的等邊三角形，則，故，同理可得，，因為且，所以，四邊形為平行四邊形，則且，因為、分別為、的中點，則且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，且，又因為且，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，且、、、四點共面，因為，，，、平面，所以，平面，過點在平面內(nèi)作，垂足為點，因為平面，所以，，又因為，，、平面，則平面，在中，，，，由余弦定理可得，所以，，因此，點到平面的距離為.因為，平面，平面，所以，平面，所以，點到平面的距離等于.故選：C.變式1．（2023·江西·江西師大附中?？既＃┮阎睦忮F的底面是正方形，，是棱上任一點．

(1)求證：平面平面；(2)若，求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）由勾股定理證得，，得到平面，證得，從而證得平面，進而利用面面垂直的判定定理，即可證得平面平面；（2）根據(jù)題意點到平面的距離轉化為到平面的距離，過點作證得平面，轉化為邊的高，在中，利用面積相等，即可求解.【詳解】（1）證明：因為是正方形，且，可得，且，又因為，可得，因為且平面，所以平面，又因為平面，所以，因為，且平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面．（2）解：因為與平面交點為，且，可得點到平面的距離等于到平面的距離，過點作于點，由（1）知平面，且平面，所以，因為且平面，所以平面，即到平面的距離為邊的高，設為，過作于，則，所以，所以，即點到平面的距離等于．

考點十九：等體積法求點面距例19．（2023春·貴州貴陽·高一貴陽市民族中學校聯(lián)考階段練習）如圖在棱長為的正方體中，是上一點，且平面.

(1)求證：為的中點；(2)求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接交于點，連接，利用線面平行的性質可得出，推導出為的中點，結合中位線的性質可證得結論成立；（2）計算出三棱錐的體積以及的面積，利用等體積法可求得點到平面的距離.【詳解】（1）證明：連接交于點，連接，

因為平面，平面，平面平面，所以，，因為四邊形為正方形，，則為的中點，因此，為的中點.（2）解：因為平面，，又因為，所以，，因為，所以，，同理可得，，所以，，易知為的中點，則，則，所以，，設點到平面的距離為，由可得，即，解得，即點到平面的距離為.變式1．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第四中學校校考期中）如圖，，，，點C是OB的中點，繞OB所在的邊逆時針旋轉一周.設OA逆時針旋轉至OD時，旋轉角為，.

(1)求旋轉一周所得旋轉體的體積V和表面積S；(2)當時，求點O到平面ABD的距離.【答案】(1)，(2)【分析】（1）旋轉一周所得旋轉體為大圓錐挖去小圓錐，利用圓錐的體積公式和側面積公式可求旋轉體的體積V和表面積S；（2）利用等積法可求O到平面ABD的距離.【詳解】（1）設底面半徑為，圓錐BO底面面積為，底面周長，母線.圓錐BO的體積，側面積.圓錐CO的體積，，側面積.旋轉一周所得旋轉體的體積旋轉一周所得旋轉體表面積.（2）

連接AD，在等腰三角形AOD中，，，，，而，設點O到平面ABD的距離為h，，故，，變式2．（2023春·廣東江門·高一江門市第一中學?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，是邊長為4的正方形的中心，平面，，分別為，的中點．(1)求證：平面平面；(2)若，求點到平面的距離；(3)若，求直線與平面所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)．【分析】（1）先證明平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理證明平面平面；（2）利用幾何關系和等體積法求解即可．（3）由（2）可知點到平面的距離為，計算的長度，根據(jù)直線與平面所成的角的定義求解．【詳解】（1）因為四邊形是正方形，所以，因為平面，平面，所以，因為平面，平面，且，所以平面．又平面，所以平面平面．（2）由（1）知，為點到平面的距離．所以，連接．因為平面，平面，所以，因為，，所以，又因為，所以．在中，，，所以，設點到平面的距離為，由，得，所以．所以點到平面的距離為．（3）若，由（2）可知，點到平面的距離為，又，設直線與平面所成角為，所以，所以.即直線與平面所成角的余弦值為．變式3．（2023春·山東濱州·高一山東省北鎮(zhèn)中學校聯(lián)考階段練習）如圖①，在梯形中，，，，將沿邊翻折至，使得，如圖②，過點作一平面與垂直，分別交于點．

(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用勾股定理得到，然后利用線面垂直的判定定理和性質得到，最后利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）方法一：通過作垂線的方法得到垂線段的長度即為點到平面的距離，然后求距離即可；方法二：利用等體積的方法求點到面的距離即可.【詳解】（1）證明：如圖①，，，，，，，

如圖②，∵，，，，，，且，平面，平面，又平面，，平面，且平面，，又，且平面，平面．（2）

方法一：過點作，垂足為，由（1）知平面，而平面，，且，平面，平面，則垂線段的長度即為點到平面的距離．在中，，，，，，由已知得，則，由（1）知，，，即點到平面的距離為．方法二：求點到平面的距離，即求點到平面的距離，由（1）知平面，平面，，在直角三角形中，，，，由等面積得，，即，，平面，且平面，，由（1）知，∽，，則在直角三角形中，，設點到平面的距離為，在三棱錐中，由等體積得，，即，，即點到平面的距離為．1．【多選】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側面積為C． D．的面積為【答案】AC【分析】根據(jù)圓錐的體積、側面積判斷A、B選項的正確性，利用二面角的知識判斷C、D選項的正確性.【詳解】依題意，，，所以，A選項，圓錐的體積為，A選項正確；B選項，圓錐的側面積為，B選項錯誤；C選項，設是的中點，連接，則，所以是二面角的平面角，則，所以，故，則，C選項正確；D選項，，所以，D選項錯誤.故選：AC.

2．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊含著豐富的數(shù)學元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長之和為（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)線面角的定義求得，從而依次求，，，，再把所有棱長相加即可得解.【詳解】如圖，過做平面，垂足為，過分別做，，垂足分別為，，連接，

由題意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面夾角分別為和，所以.因為平面，平面，所以，因為，平面，，所以平面，因為平面，所以，.同理：，又，故四邊形是矩形，所以由得，所以，所以，所以在直角三角形中，在直角三角形中，，，又因為，所有棱長之和為.故選：C3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，推導確定線面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【詳解】取的中點，連接，因為是等腰直角三角形，且為斜邊，則有，又是等邊三角形，則，從而為二面角的平面角，即，顯然平面，于是平面，又平面，因此平面平面，顯然平面平面，直線平面，則直線在平面內(nèi)的射影為直線，從而為直線與平面所成的角，令，則，在中，由余弦定理得：，由正弦定理得，即，顯然是銳角，，所以直線與平面所成的角的正切為.故選：C4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距離為1．

(1)證明：；(2)已知與的距離為2，求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直，面面垂直的判定與性質定理可得平面，再由勾股定理求出為中點，即可得證；（2）利用直角三角形求出的長及點到面的距離，根據(jù)線面角定義直接可得正弦值.【詳解】（1）如圖，

底面，面，，又，平面，,平面ACC1A1，又平面，平面平面，過作交于，又平面平面，平面，平面到平面的距離為1，，在中，，設，則，為直角三角形，且，，，，，解得，，（2），，過B作，交于D，則為中點，由直線與距離為2，所以，，，在，，延長，使，連接，由知四邊形為平行四邊形，，平面，又平面，則在中，，，在中，，，,又到平面距離也為1，所以與平面所成角的正弦值為.5．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）三棱臺中，若面，分別是中點.

(1)求證：//平面；(2)求平面與平面所成夾角的余弦值；(3)求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，然后用線面平行的判定解決；（2）利用二面角的定義，作出二面角的平面角后進行求解；（3）方法一是利用線面垂直的關系，找到垂線段的長，方法二無需找垂線段長，直接利用等體積法求解【詳解】（1）

連接.由分別是的中點，根據(jù)中位線性質，//，且，由棱臺性質，//，于是//，由可知，四邊形是平行四邊形，則//，又平面，平面，于是//平面.（2）過作，垂足為，過作，垂足為,連接.由面，面，故，又，，平面，則平面.由平面，故，又，，平面，于是平面，由平面，故.于是平面與平面所成角即.又，，則，故，在中，，則，于是

（3）[方法一：幾何法]

過作，垂足為，作，垂足為，連接，過作，垂足為.由題干數(shù)據(jù)可得，，，根據(jù)勾股定理，，由平面，平面，則，又，，平面，于是平面.又平面，則，又，，平面，故平面.在中，，又，故點到平面的距離是到平面的距離的兩倍，即點到平面的距離是.[方法二：等體積法]

輔助線同方法一.設點到平面的距離為.，.由，即.6．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，，點F在AC上，.(1)證明：平面；(2)證明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.（2）由（1）的信息，結合勾股定理的逆定理及線面垂直、面面垂直的判定推理作答.（3）由（2）的信息作出并證明二面角的平面角