新教材2024高考數(shù)學(xué)二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)分冊(cè)二探究一三函數(shù)導(dǎo)數(shù)

三函數(shù)、導(dǎo)數(shù)必記結(jié)論1.函數(shù)的定義域和值域(1)求函數(shù)定義域的類(lèi)型和相應(yīng)方法①若已知函數(shù)的解析式，則函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍．②若已知f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則f(g(x))的定義域?yàn)椴坏仁絘≤g(x)≤b的解集；反之，已知f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)楹瘮?shù)y＝g(x)(x∈[a，b])的值域．(2)常見(jiàn)函數(shù)的值域①一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的值域?yàn)镽.②二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)閇，＋∞)，當(dāng)a<0時(shí)，值域?yàn)?－∞，].③反比例函數(shù)y＝(k≠0)的值域?yàn)閧y∈R|y≠0}．2．函數(shù)的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，對(duì)于定義域內(nèi)的隨意x(定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng))，都有f(－x)＝－f(x)成立，則f(x)為奇函數(shù)(都有f(－x)＝f(x)成立，則f(x)為偶函數(shù))．(2)周期性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，假如對(duì)于定義域內(nèi)的隨意一個(gè)x的值，若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，則f(x)是周期函數(shù)，T是它的一個(gè)周期．3．函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì)．①單調(diào)性的定義的等價(jià)形式：設(shè)x1，x2∈[a，b]，那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0?>0?f(x)在[a，b]上是增函數(shù)；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0?<0?f(x)在[a，b]上是減函數(shù)．②若函數(shù)f(x)和g(x)都是減函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，f(x)＋g(x)是減函數(shù)；若函數(shù)f(x)和g(x)都是增函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，f(x)＋g(x)是增函數(shù)；依據(jù)同增異減推斷復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的單調(diào)性．4．指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)(1)定點(diǎn)：y＝ax(a>0，且a≠1)恒過(guò)(0，1)點(diǎn)；y＝logax(a>0，且a≠1)恒過(guò)(1，0)點(diǎn)．(2)單調(diào)性：當(dāng)a>1時(shí)，y＝ax在R上單調(diào)遞增；y＝logax在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)0<a<1時(shí)，y＝ax在R上單調(diào)遞減；y＝logax在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．5．導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)f′(x0)的幾何意義：曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率，該切線的方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(2)切點(diǎn)的兩大特征：①在曲線y＝f(x)上；②在切線上．6．利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性(1)求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟①求函數(shù)f(x)的定義域；②求導(dǎo)函數(shù)f′(x)；③由f′(x)>0的解集確定函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間，由f′(x)<0的解集確定函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間．(2)由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍①若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間M上單調(diào)遞增，則f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間M上單調(diào)遞減，則f′(x)≤0(x∈M)恒成立(留意：等號(hào)不恒成立)；②若可導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上存在單調(diào)遞增(減)區(qū)間，f′(x)>0(或f′(x)<0)在該區(qū)間上存在解集；③若已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I中含有參數(shù)時(shí)，可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，則I是其單調(diào)區(qū)間的子集．7．利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值與最值(1)求函數(shù)的極值的一般步驟①確定函數(shù)的定義域；②解方程f′(x)＝0；③推斷f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0兩側(cè)的符號(hào)變更；若左正右負(fù)，則x0為極大值點(diǎn)；若左負(fù)右正，則x0為微小值點(diǎn)；若不變號(hào)，則x0不是極值點(diǎn)．(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最值的一般步驟①求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]內(nèi)的極值；②比較函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)的大小，最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．易錯(cuò)剖析易錯(cuò)點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)區(qū)間理解不精確【突破點(diǎn)】對(duì)于函數(shù)的幾個(gè)不同的單調(diào)遞增(減)區(qū)間，切忌運(yùn)用并集，只要指明這幾個(gè)區(qū)間是該函數(shù)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間即可．易錯(cuò)點(diǎn)2推斷函數(shù)的奇偶性時(shí)忽視定義域【突破點(diǎn)】一個(gè)函數(shù)具備奇偶性的必要條件是這個(gè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，假如不具備這個(gè)條件，函數(shù)確定是非奇非偶函數(shù)．易錯(cuò)點(diǎn)3不清晰導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系【突破點(diǎn)】(1)f′(x0)＝0只是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x0處取得極值的必要條件，即必需有這個(gè)條件，但只有這個(gè)條件還不夠，還要考慮f′(x)在x0兩側(cè)是否異號(hào)．(2)已知極值點(diǎn)求參數(shù)要進(jìn)行檢驗(yàn)．易錯(cuò)點(diǎn)4混淆“切點(diǎn)”致誤【突破點(diǎn)】留意區(qū)分“過(guò)點(diǎn)A的切線方程”與“在點(diǎn)A處的切線方程”的不同．“在”說(shuō)明這點(diǎn)就是切點(diǎn)，“過(guò)”只說(shuō)明切線過(guò)這個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)不愿定是切點(diǎn)．易錯(cuò)點(diǎn)5導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系理解不精確【突破點(diǎn)】(1)f′(x)>0(<0)(x∈(a，b))是f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(遞減)的充分不必要條件．(2)對(duì)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上為單調(diào)增(減)函數(shù)的充要條件為：對(duì)于隨意x∈(a，b)，有f′(x)≥0(≤0)且f′(x)在(a，b)內(nèi)的任何子區(qū)間上都不恒為零．若求單調(diào)區(qū)間，可用充分條件．若由單調(diào)性求參數(shù)，可用充要條件．即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，否則簡(jiǎn)潔漏解．易錯(cuò)快攻易錯(cuò)快攻一混淆“切點(diǎn)”致誤1(1)[2024·全國(guó)甲卷]曲線y＝在點(diǎn)(1，)處的切線方程為()A．y＝xB．y＝xC．y＝x＋D．y＝x＋(2)[2024·新高考Ⅰ卷]若曲線y＝(x＋a)ex有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是________．易錯(cuò)快攻二混淆“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)”“函數(shù)存在單調(diào)區(qū)間”2(1)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x－alnx在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．(2)已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax2－2x存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．三函數(shù)、導(dǎo)數(shù)[典例1](1)解析：由題意可知y′＝＝，則曲線y＝在點(diǎn)處的切線斜率k＝y(tǒng)′|x＝1＝，所以曲線y＝在點(diǎn)處的切線方程為y－＝(x－1)，即y＝x＋，故選C.(2)解析：設(shè)切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)．令f(x)＝(x＋a)ex，則f′(x)＝(x＋1＋a)ex，f′(x0)＝.因?yàn)閥0＝，切線過(guò)原點(diǎn)，所以f′(x0)＝，即＝.整理，得＋ax0－a＝0.由題意知該方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0.答案：C(2)(－∞，－4)[典例2](1)解析：因?yàn)閒(x)＝x2－2x－alnx在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f′(x)＝2x－2－≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a≤2x2－2x在(0，＋∞)上恒成立，而y＝2x2－2x＝2－≥