高中數(shù)學蘇教版選修23教學案11兩個基本計數(shù)原理

1.1兩個基本計數(shù)原理

第1課時分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理

預

習

入門答辯——辨析問題解疑惑

導

引

新知自解——自讀教材找關鍵

區(qū)

知識點1分類計數(shù)原理

〃//，入R備料'〃〃

1.2016年世界速度輪滑錦標賽期間，一名志愿者從北京趕赴南京為游客供應導游效勞,

每天有7次航班，5列火車.

問題1：該志愿者從北京到南京可乘的交通工具可分為幾類？

提示：兩類，即乘飛機、乘火車.

問題2：這幾類方法相同嗎？

提示：不同.

問題3：該志愿者從北京到南京共有多少種不同的方法？

提示：7+5=12（種）.

2.甲盒中有3個不同的紅球，乙盒中有5個不同的白球，某同學要從甲盒或乙盒中摸

出一球.

問題4：不同的摸法有多少種？

提示：3+5=8（種）.

3.某班有男生26人，女生24人，從中選一位同學為生活.

問題5：不同選法的種數(shù)為多少？

提示：26+24=50.

〃〃/新和由解'〃〃

完成一件事，有.〃類方式，在第1類方式中有如種不同的方法，在第2類方式中有.2

種不同的方法，……在第〃類方式中有如種不同的方法，那么完成這件事共有N=mt+m2

H種不同的方法.

知識點2"分步計數(shù)原理

入門冬科,〃/

1.2016年世界速度輪滑錦標賽期間，一名志愿者從北京趕赴南京為游客供應導游效勞,

但需在天津停留，從北京到天津有7次航班，從天津到南京有5列火車.

問題1：該志愿者從北京到南京需要經受幾個步驟？

提示：兩個，即從北京到天津、從天津到南京.

問題2：這幾個步驟之間相互有影響嗎？

提示：沒有，第一個步驟實行什么方式完成與其次個步驟采納的方式沒有任何關系.

問題3：該志愿者從北京到南京共有多少種不同的方法？

提示：7X5=35種.

2.假設xe{2,3,5},yG{6,7,8）.

問題4：能組成的集合{x,），}的個數(shù)為多少？

提示：3X3=9（個）.

3.某班有男生26人，女生24人，從中選一位男同學和一位女同學擔當生活.

問題5：不同的選法的種數(shù)為多少？

提示：26X24=624種.

//////if\加育解“〃/

完成一件事，需要分成〃個步驟，做第1步有如種不同的方法，做第2步有利2種不同

的方法，……做第n步有如種不同的方法，那么完成這件事共有…義，廝種不

同的方法.

［歸納.升華.領悟］-------------------------

1.分類計數(shù)原理中的每一種方法都可以完成這件事情，而分步計數(shù)原理的每一個步驟

只是完成這件事情的中間環(huán)節(jié)，不能完成這件事情.

2.分類計數(shù)原理考慮的是完成這件事情的方法被分成不同的類別，求各類方法之和；

而分步計數(shù)原理考慮的是完成這件事情的過程被分成不同的步驟，求各步驟方法之積.

突破考點總結規(guī)律

II

高考為標提煉技法

把握熱點考向貴在學有所悟

師生共研突破重難tfiisfiensgongyantupozhonanan

考點1分類計數(shù)原理的應用

［例1］某單位職工義務獻血，在體檢合格的人中，0型血的共有29人，A型血的共有

7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人，從中任選1人去獻血，共有多少種不同的

選法？

I思路點撥］先按血型分類，再求每一類的選法，然后求和.

［精解詳析］從中選1人去獻血的方法共有4類：

第一類：從0型血的人中選1人去獻血共有29種不同的方法；

其次類：從A型血的人中選1人去獻血共有7種不同的方法；

第三類：從B型血的人中選1人去獻血共有9種不同的方法；

第四類：從AB型血的人中選1人去獻血共有3種不同的方法.

利用分類計數(shù)原理，可得選1人去獻血共有29+7+9+3=48種不同的選法.

［一點通］利用分類計數(shù)原理，首先搞清要完成的“一件事”是什么，其次確定一個合

理的分類標準，將完成“這件事”的方法進行分類；然后，對每一類中的方法進行計數(shù)，最

終由分類計數(shù)原理計算總方法數(shù).

〃〃，題做隼鈍〃

I.從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出1種種植，不同的種植方法有

種.

解析：分4種品種種植，依據(jù)分類計數(shù)原理可知，共有4種不同的種植方法.

答案：4

2.全部邊長均為整數(shù)，且最大邊長均為11的三角形的個數(shù)為.

解析：假設另兩邊長分別為a,b(a,6CZ),不妨設要構成三角形，必有〃

+b212,因此626=11時，a可取1,2,3,—11；當6=10時，a可取2,3,…，10;

當b=6時，a只能是6.

故全部三角形的個數(shù)為11+9+7+5+3+1=36.

答案：36

3.在填寫高考志愿表時.，一名高中畢業(yè)生了解到，A,8兩所高校各有一些自己感愛好

的強項專業(yè)，詳細狀況如下：

A高校B高校

生物學數(shù)學

化學會計學

數(shù)學信息技術學

物理學法學

工程學

假如這名同學只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇呢？

解：這名同學可以選擇A,8兩所高校中的一所，在A高校中有5種專業(yè)選擇方法，在

B高校中有4種專業(yè)選擇方法，因此依據(jù)分類計數(shù)原理，這名同學可能的專業(yè)選擇共有5+

4=9（種）.

考點2分步計數(shù)原理的應用

［例2］要支配一份5天的值班表，每天有一個人值班，共有5個人，每個人值

多天或不值班，但相鄰兩天不準由同一個人值班，此值班表共有多少種不同的排法？

r思路點撥1該問題是計數(shù)問題，完成一件事是排值班表，因而需一天一天的排，用分

步計數(shù)原理，分步進行.

［精解詳析］先排第一天，可排5人中任一人，有5種排法；

再排其次天，此時不能排第一天已排的人，有4種排法；

再排第三天，此時不能排其次天已排的人，有4種排法；

同理，第四、五天各有4種排法.

由分步計數(shù)原理可得值班表不同的排法共有：

N=5X4X4X4X4=1280（種）.

［一點通］利用分步計數(shù)原理解決問題應留意:

(1)要按大事發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后挨次的：

(2)各步中的方法相互依存，缺一不行，只有各個步3聚都完成才算完成這件事.

〃〃.題.做卷制."〃/

4.用6種不同的顏色給圖中的“笑臉”涂色，要"眼睛"(如圖A,B所示區(qū)域)用相同

顏色，那么不同的涂色方法共有種.

△

V

解析：第1步涂眼睛有6種涂法，第2步涂鼻子有6種涂法，第三步涂嘴有6種涂法，

所以共有63=216種涂法.

答案：216

5.現(xiàn)有4件不同款式的上衣和3條不同顏色的長褲，假設一條長褲與一件上衣配成一

套，那么不同的配法種數(shù)為.

解析：要完成長褲與上衣配成一套，分兩步：

第一步，選上衣，從4件中任選一件，有4種不同選法：

其次步，選長褲，從3條長褲中任選一條，有3種不同選法.

故共有4X3=12種不同的配法.

答案：12

6.集合用=｛一3,-2,-1,0,1,2),P(a,b)(a,表示平面上的點，問：

(1)點P可表示平面上多少個不同的點？

(2)點P可表示平面上多少個其次象限內的點？

解：(1)確定平面上的點P(a,b),可分兩步完成：第一步確定a的值，有6種不同方法；

其次步確定〃的值，也有6種不同方法.依據(jù)分步計數(shù)原理，得到平面上點P的個數(shù)為6X6

=36.

(2)確定平面上其次象限內的點P,可分兩步完成：第一步確定a的值，由于"0,所以

有3種不同方法；其次步確定人的值，由于m>0,所以有2種不同方法.由分步計數(shù)原理，

得到平面上其次象限內的點P的個數(shù)為3X2=6.

兩個計數(shù)原理的綜合應用

［例3］有一項活動，需在3名老師，8名男同學和5名女同學中選人參與.

(1)假設只需一人參與，有多少種不同選法？

(2)假設需老師、男同學、女同學各一人參與，有多少種不同選法？

(3)假設需一名老師，一名同學參與，有多少種不同選法？

［思路點撥］(1)從老師、男、女同學中選1人，用分類計數(shù)原理.

(2)從老師、男、女同學中各選1人，用分步計數(shù)原理.

(3)分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理的綜合.

［精解詳析］(1)有三類選人的方法：3名老師中選一人，有3種方法；8名男同學中選

一人，有.8種方法；5名女同學中選一人，有5種方法.

由分類計數(shù)原理，共有3+8+5=16種選法.

(2)分三步選人：第一步選老師，有3種方法；其次步選男同學，有8種方法；第三步

選女同學，有5種方法.由分步計數(shù)原理，共有3X8X5=120種選法.

(3)可分兩類，每一類又分兩步.第一類：選一名老師再選一名男同學，有3X8=24種

選法；其次類：選一名老師再選一名女同學，共有3X5=15種選法.

由分類計數(shù)原理，共有24+15=39種選法.

［一點通］用兩個計數(shù)原理解決詳細問題時，首先要分清是“分類”還是“分步”，其

次要清晰"分類"或"分步”的詳細標準.在“分類”時要做到"不重不漏”，在"分步”

時要正確設計“分步”的程序，留意步與步之間的連續(xù)性.

////.”〃/

7.假設直線方程Ax+B)，=0中的A,8可以從0,1,2,3,5這五個數(shù)字中任取兩個

不同的數(shù)字，那么方程所表示的直線共有條.

解析：解決這件事分兩類完成：

第1類，當A或8中有一個為。時，表示直線為y=0或x=0,共2條；

第2類，當A,8都不為0時，直線Ax+8y=0被確定需分兩步完成.

第1步，確定A的值，有4種不同的方法；

第2步，確定8的值，有3種不同的方法.

由分步計數(shù)原理，共可確定4X3=12(條)直線.

所以由分類計數(shù)原理，方程所表示的不同直線共有2+12=14(條).

答案：14

8.從5名醫(yī)生和8名護士中選出1名醫(yī)生和1名護士組成一個兩人醫(yī)療組，共有

種不同的選法.

解析：完成這件事需分兩步：第一步，從5名醫(yī)生中選一名，有5種不同的選法；其次

步，從8名護士中選一名，有8種不同的選法，故共有5X8=40種不同的選法.

答案：40

9.某公園休息處東面有8個空閑的凳子，西面有6個空閑的凳子，小明與爸爸來這里

休息.

(1)假設小明的爸爸任選一個凳子坐下(小明不坐)，有幾種坐法？

(2)假設小明與爸爸分別就坐，有多少種坐法？

解：(1)小明的爸爸選凳子可以分兩類：

第一類：選東面的空閑究子，有8種坐法；

其次類：選西面的空閑凳子，有6種坐法.

依據(jù)分類計數(shù)原理，小明的爸爸共有8+6=14種坐法.

(2)小明與爸爸分別就坐，可以分兩步完成：

第一步，小明先就坐，從東西面共8+6=14個髡子中選一個坐下，共有14種坐法；

其次步，小明的爸爸再就坐，從東西面共13個空閑凳子中選一個坐下，(小明坐下后，

空閑凳子數(shù)變成13)共13種坐法.

由分步計數(shù)原理，小明與爸爸分別就坐共有14X13=182種坐法.

［方法.規(guī)律.小結］-------------------------

I.利用分類計數(shù)原理解題的步驟

(1)分類：理解題意，確定分類標準，做到不重不漏；

(2)計數(shù)：求出每一類中的方法數(shù)；

(3)結論：將每一類中的方法數(shù)相加得最終結果.

2.利用分步計數(shù)原理解題的步驟

(1)分步：將完成這件事的過程分成假設干步；

(2)計數(shù)：求出每一步中的方法數(shù)；

(3)結論：將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結果.

訓

練

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