高中數(shù)學講義-平面

高中數(shù)學講義——平面

【最新課程標準】

1.借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點、

直線、平面的位置關(guān)系的定義.

2.了解關(guān)于平面的三個基本事實.

【學科核心素養(yǎng)】

1.了解平面的概念，掌握平面的畫法及表示方法.（數(shù)學抽象）

2.能用符號語言描述空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系.（直觀想象）

3.能用三個基本事實證明簡單的共面、共線問題.（邏輯推理）

4.理解兩異面直線的定義，會用平面襯托來畫異面直線.（數(shù)學抽象）

5.會用圖形和符號語言表示直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系.（直觀想象）

L平面

1.L【教材要點】

1.1.1.要點一平面

概念幾何里所說的“平面”是從生活中的一些物體中抽象出來的，是___一__的

常常把水平的平面畫成一個________,并且其銳角畫成______，且橫邊長等

畫法

于鄰邊長的______，為了增強立體感，被遮擋部分用______畫出來

（1）一個希臘字母：如a,B，y等；

表示方法（2）兩個大寫英文字母：表示平面的平行四邊形的相對的兩個頂點；

（3）四個大寫英文字母：表示平面的平行四邊形的四個頂點

1.直線在平面內(nèi)的概念

如果直線I上的都在平面a內(nèi)，就說直線/在平面?內(nèi)，或者說平面a

直線/.

2.一些文字語言、數(shù)學符號與圖形的對應(yīng)關(guān)系

數(shù)學符號表示文字語言表達圖形語言表達

—點A在直線1上-------

—點A在直線1外

—點A在平面a內(nèi)

?A

—點A在平面a外%/

—直線/在平面a內(nèi)

///

—直線/在平面a外///

—直線/，機相交于點AXT

—平面a,夕相交于直線/0切

狀元隨筆1.平面和點、直線一樣，是只描述而不加定義的原始概念，不能進行度量;

2.平面無厚薄、無大小，是無限延展的.

1.1.2.要點二平面的基本性質(zhì)

內(nèi)容圖形符號

A,B,C三點不共線=

過______________的三

基本事實1存在唯一的平面。使A,

點，_______一個平面

B,C^a

如果一條直線上的______

Ae/,且

基本事實2在一個平面內(nèi)，那么這條

Beg_____

直線在________

如果兩個不重合的平面有

一個公共點，那么它們有PWa且

基本事實3

且只有一條過該點的專

狀元隨筆1.基本事實1的作用：①確定平面；②證明點、線共面.基本事實1中要注

意條件“不在同一條直線上的三點”，事實上，共線的三點是不能確定一個平面的.同時要

注意經(jīng)過一點、兩點或在同一條直線上的三點可能有無數(shù)個平面；過不在同一條直線上的四

點，不一定有平面.因此，要充分重視“不在同一條直線上的三點”這一條件的重要性.

2.基本事實2的作用：①用直線檢驗平面（常被應(yīng)用于實踐，如泥瓦工用直的木條刮平

地面上的水泥漿）；②判斷直線是否在平面內(nèi)（經(jīng)常被用于立體幾何的說理中）.

3.基本事實3的主要作用：①判定兩個平面是否相交；②證明共線問題；③證明線共

點問題.

基本事實3強調(diào)的是兩個不重合的平面，只要它們有公共點，其交集就是一條直線.以

后若無特別說明，''兩個平面是指不重合的兩個平面.

1.1.3.要點三重要推論

推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.

推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.

推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.

(1)(2)(3)

1.2.【基礎(chǔ)自測】

1.思考辨析（正確的打“，錯誤的打“x”）

（1）有一個平面的長是50m,寬是20m,厚是20cm.（）

（2）一條直線和一個點可以確定一個平面.（）

（3）空間不同的三點可以確定一個平面.（）

（4）四邊形是平面圖形.（）

2.如果qua,ba.a,InS=A,Ib=B,那么下列關(guān)系成立的是（）

A./caB.傳。

c.ica=AD.inQ=B

3.如果空間四點A、B、C、。不共面，那么下列判斷正確的是（）

A.A、B、C、。四點中必有三點共線

B.4、B、C、。四點中不存在三點共線

C.直線A8與CZ）相交

D.直線A8與CO平行

4.已知a。B=機，ac.a,buB,ab=A，則直線相與A的位置關(guān)系用集

合符號表示為.

L3.題型1文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉(zhuǎn)化

例1（1）若A,B表示點，a表示直線，a表示平面，則下列敘述中正確的是（）

A.若Au。，Bua,則ABu。

B.若BGa,則

C.若aua,則4陰a

D.若ac：a,則AWa

⑵如圖，用符號表示下列圖形中點、直線、平面之間的位置關(guān)系.

【方法歸他】

(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線

且相互之間的位置關(guān)系如何，試著先用文字語言表示，再用符號語言表示.

(2)要注意符號語言的意義，如點與直線的位置關(guān)系只能用“G”或“建”表示；直線與

平面的位置關(guān)系只能用“u”或表示.

(3)根據(jù)已知符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別.

跟蹤訓練1(1)已知a,夕是不同的平面，/,m,〃是不同的直線，P為空間中一點.若

aCB=/,〃u￡,mHn=P)則點P與直線/的位置關(guān)系用符號表示為

(2)根據(jù)下列條件畫出圖形：

aCaua,bu8,a//AB,b//AB.

1.4.題型2點、線共面問題

例2已知：如圖所示，h。b=A,I20[3=8,l\CL=C

求證：直線K，l2,在同一平面內(nèi).

15證明點、線共面的常用方法

(1)納入平面法：先確定一個平面，再證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi).

(2)輔助平面法：先證明有關(guān)的點、線確定平面a,再證明其余元素確定平面￡,最后證

明平面a,4重合.

跟蹤訓練2己知直線a〃江直線/與a,。都相交，求證：過a,b,/有且只有一個

平面.

16題型3三點共線、三線共點問題

例3如圖所示，在正方體ABCQ-A/ICIA中，E,尸分別為AB,441的中點.求證:

CE,D\F,D4三線交于一點.

變式探究若將題目條件中的“E,F分別為AB,A4,的中點”改成“E,F分別為AB,

A4上的點，且CCE=M"，求證：點。，A,M三點共線.

1.7.【方注精地】

（1）證明三點共線的方法

1首先找出兩個平面，然后證明這三點都是

方法一:這兩個平面的公共點，根據(jù)基本事實3可知,

:這些點都在兩個平面的交線上

:選擇其中兩點，確定一條直線，然后證明

方法二

i另一點也在此直線上

(2)證明三線共點的步驟

步驟一;一[說明兩條直線共面且交于一點

;說明這個點在另兩個平面上，并且這兩個

;平面相交

步驟三)一1得到交線也過此點，從而得到三線共點

跟蹤訓練3(1)如圖，已知平面a,[i,且aCB=/,設(shè)梯形ABC。中，AD//BC,

且A8ua,CDuB.求證：AB,CD,/共點.

(2)已知△ABC在平面a外,ABAO.=p,ACHO-=R,BC0a=Q,如圖.求

證：P,Q,R三點共線.

18易錯辨析忽略基本事實的重要條件致誤

例4已知A,B,C,D,E五點中,A,B,C,O共面，B,C,D,E共面，則A,B,

C,D,E五點的位置關(guān)系是()

A.共面B.不共面

C.共線D.不確定

解析：分兩類進行討論.

(1)若8,C,。三點不共線，則它們確定一個平面a.因為A,B,C,。共面，所以點A

在平面a內(nèi).

因為8,C,D,E共面，所以點E在平面a內(nèi).所以點A,E都在平面a內(nèi)，即A,B,

C,D,E五點一定共面.

（2）若8,C,。三點共線于/,若AB,EG/,則A,B,C,D,E五點一定共面，但平

面不唯一；

若A,E中有且只有一個在/上，則A,B,C,D,E五點一定共面；若A,E都不在/

上，則A,B,C,D,E五點可能共面，也可能不共面.

故選D.

答案：D

L9.易錯警示

易錯原因糾錯心得

解本題時易誤認為因為4,B,C,O共面，所以點A在&

C,。所確定的平面內(nèi)，因為8,C,D,E共面，所以點對于確定平面問題，在應(yīng)用

E也在8,C,。所確定的平面內(nèi)，所以點A,E都在B,基本事實1及三個推論時一

C,。所確定的平面內(nèi)，即A,B,C,E五點一定共面.以定要注意它們成立的前提條

上錯解忽略了基本事實1中“不在一條直線上的三個點”件.

這個重要條件.實際上B,C,。三點有可能共線.

【課堂十分鐘】

1.下列四個選項中的圖形表示兩個相交平面，其中畫法正確的是（）

ABCD

2.空間中，可以確定一個平面的條件是（）

A.三個點B.四個點

C.三角形D.四邊形

3.如果A點在直線〃上，而直線〃在平面。內(nèi)，點8在a內(nèi)，可以表示為（）

A.Au。，aua,BRaB.Ada,aua,Bea

C.Aua,aQa,BuaD.A&a,aWa,B&a

4.三條平行直線最多能確定的平面的個數(shù)為.

5.已知空間四邊形ABC￡）（如圖所示），E,F分別是AB,A。的中點，G,H分別是BC,

CO上的點，且CG=3BC,CH=3DC.

求證：（1）E,F,H,G四點共面;

（2）直線/H,EG,AC共點.

2.平面答案

2.1.新知初探?課前預(yù)習

要點一

無藏延展平行四邊形4502倍虛線

1.所有點經(jīng)過

2.A&lA^lAGa肘。luaIQaICIU=AaCB=/

要點二

不在一條直線上有且只有兩個點這個平面內(nèi)lua公共直線aCB=/

且PG/

22［基礎(chǔ)自測］

1.(1)X(2)X(3)X(4)X

2.解析：C4A又.?.AG/且Ada.同理Bd/且BWa.."ua.

答案：A

3.解析：A、B、C、。四點中若有三點共線，則必與另一點共面；直線AB與CO既不

平行也不相交，否則A、B、C、。共面.

答案：B

4.解析：因為aCB=〃3AGaua,所以Ada,同理AW夕，故A在a與4的交

線m上.

答案：Aem

2.3.題型探究,課堂解透

例1解析：(1)點與面的關(guān)系用符號C,而不是u,所以選項A錯誤；直線與平面的關(guān)

系用u表示，則表示錯誤；點A不在直線。上，但只要A,B都在平面a內(nèi)，也存在

ABua,選項C錯誤；A&a,aca,則所以選項D正確.故選D.

(2)在圖1中，a。B=/,aCa=A,anR=B.

在圖2中，aCB=/,?ca,buB,aCl=P,bH\—P.

答案：(1)D(2)見解析

跟蹤訓練1解析：（1）因為〃?ua,"U￡,〃？介n=P,所以pea,且PGR

又因為acB=/,所以點p在直線/上，所以pe/.

（2）圖形如圖所示.

答案：（1）PW/（2）見解析

例2證明：方法一（納入平面法）：

因為/1nU=A,所以/1和，2確定一個平面a.

因為，2Cl'=8,所以

又因為6<=a,

所以BEa.同理可證C6?.

又因為8C/3,C03,所以［3<=a.

所以直線/1,12,/3在同一平面內(nèi).

方法二（輔助平面法）：

因為/iAU=A,所以/i,右確定一個平面a.

因為bC\=B,所以，2,/3確定一個平面日.

因為AG/2,Lua,所以AGa.

因為Ad'IwB,所以Ae及

同理可證BWa,B&p,C&a,CW￡.

所以不共線的三個點A,B,C既在平面a內(nèi)，又在平面/?內(nèi).

所以平面a和夕重合，即直線/i,h,b在同一平面內(nèi).

跟蹤訓練2證明：如圖所示.由已知〃〃b得，

過a,6有且只有一個平面a.

設(shè)aAl=A,hAl=B,

所以Ada,BGa,且AC/,BG1,

所以/ua.即過a,b,/有且只有一個平面.

例3證明：連接E凡DC,4B,

因為E為AB的中點，

F為A4的中點，

1

所以EF統(tǒng)

又因為

1

所以EF^孫C.

所以E,F,出，C四點共面.

可設(shè)。FnCE=p.

又因為OiFu平面AQiDA,CEu平面A8CQ,

所以點尸為平面A\D\DA與平面ABCD的公共點.

又因為平面AQiDAC平面ABCD=DA,

所以P￡DA,

即CE,DiF,￡>A三線交于一點.

變式探究證明：因為AFnCE=M,

且OiFu平面A\D\DA,

所以Md平面AiDiDA.

同理MG平面BCDA,

從而M在兩個平面的交線上，

因為平面AIDIDAC平面BCDA=AD,

所以MCA。成立.

所以點。，A,M三點共線.

跟蹤訓練3解析：(1)證明：因為梯形ABCQ中，AD//BC,

所以AB,CO是梯形48C3的兩腰，

所以AB,CD必定相交于一點，

如圖，設(shè)ABCCD=M.又因為ABua,CDuB,

所以"da,且MC/立

又因為anp=/,

所以MC/.即AB,CD,/共點.

(2)證明：因為A8Ca=P,所以PCa,P&AB,

而A8u平面ABC,則PG平面ABC；

同理可得RWa,R6平面ABC；QGa,QG平面ABC,

所以P,Q,R在平面a與平面ABC的交線上.

所以P,Q,