高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)提綱

第一章集合與簡易邏輯

集合及其運(yùn)算

集合的概念、分類：

二.集合的特征：

⑴確定性⑵無序性⑶互異性

三.表示方法：

⑴列舉法⑵描述法(3)圖示法(4)區(qū)間法

四.兩種關(guān)系：

從屬關(guān)系：對象€、正集合；包含關(guān)系：集合三、U集合

五.三種運(yùn)算：

交集：AB={x|xeAExeB}

并集：AB={x|xeeB}

補(bǔ)集：?A={x|xeU且xwA}

六.運(yùn)算性質(zhì)：

(1)A0=A,A0=0.

⑵空集是隨意集合的子集，是隨意非空集合的真子集.

⑶若AqB,則AB=A,AB=B.

(4)A(aA)=0,A，(aA)=U,粼心)=4.

(5)(楙”、(uB)=a,(AB),(瘠A)1(uB)=Qj(AB).

⑹集合{q,%，%，…，%}的全部子集的個(gè)數(shù)為2"，全部真子集的個(gè)數(shù)為2"-1,全部非空真子集

的個(gè)數(shù)為2"—2,全部二元子集(含有兩個(gè)元素的子集)的個(gè)數(shù)為C〉

簡易邏輯

邏輯聯(lián)結(jié)詞：

1.命題是可以推斷真假的語句的語句，其中推斷為正確的稱為真命題，推斷為錯(cuò)誤的為假命題.

2.邏輯聯(lián)結(jié)詞有“或”、“且”、“非”.

3.不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題，叫做簡潔命題，由簡潔命題再加上一些邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題叫復(fù)

合命題.

4.真值表：

Pq非Pp且qP或q

真真真真

假

真假假真

假真假真

真

假假假假

二.四種命題：

I.原命題：若p則q

逆命題：若P則q,即交換原命題的條件和結(jié)論；

否命題：若q則P，即同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論；

逆否命題：若rP則iq，即交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定.

2.四個(gè)命題的關(guān)系：

⑴原命題為真，它的逆命題不肯定為真；

⑵原命題為真，它的否命題不肯定為真；

⑶原命題為真，它的逆否命題肯定為真.

三.充分條件與必要條件

1.“若p則q”是真命題，記做

“若p則4”為假命題，記做“％4，

2.若pnq,則稱p是q的充分條件，q是p的必要條件

3.若pnq,且“%q,則稱p是4的充分非必要條件；

若"4q,且則稱〃是4的必要非充分條件；

若p=>q,且puq,則稱p是q的充要條件；

若〃4q,且〃/q,則稱p是q的既不充分也不必要條件.

4.若p的充分條件是q,則qnp；

若p的必要條件是q，則p=>4.

其次章函數(shù)

指數(shù)與對數(shù)運(yùn)算

分?jǐn)?shù)指數(shù)幕與根式：

假如X"=4,則稱X是〃的〃次方根，0的"次方根為0,若則當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，”的"次

方根有1個(gè)，記做標(biāo)；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，負(fù)數(shù)沒有〃次方根，正數(shù)”的〃次方根有2個(gè)，其中正的〃

次方根記做人.負(fù)的〃次方根記做-標(biāo).

1.負(fù)數(shù)沒有偶次方根；

〃為奇數(shù)

2.兩個(gè)關(guān)系式：(折)"=4;

〃為偶數(shù)

竺

3、正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的意義:”=

-巴1

正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義：

Na1"

4、分?jǐn)?shù)指數(shù)'幕的運(yùn)算性質(zhì)：

(1)a"'-an=am+n；(2)am^an=am-ni

⑶(am)n=a'm；(4)(abr=am-bm；

⑸a0=\,其中〃?、〃均為有理數(shù)，a,b均為正整數(shù)

對數(shù)及其運(yùn)算

1.定義:若ab=N(a>0,且”1,N>0),則b=log〃N.

2.兩個(gè)對數(shù)：

(1)常用對數(shù)：。=10,h=logl()N=.

(2)自然對數(shù)：a=e=2.71828,b=\ogeN=\nN.

3.三條性質(zhì)：

(1)1的對數(shù)是0,即log“1=0；

(2)底數(shù)的對數(shù)是1,即logd=l；

⑶負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù).

4.四條運(yùn)算法則：

M

(1)log?(MN)=log?M+log?N；(2)log?—=logM-logN；

Nan

(3)log?Mn=nlogM；(4)log,,VM=-log?M.

an

5.其他運(yùn)算性質(zhì)：

⑴對數(shù)恒等式：。喘)=6；

(2)換底公式：log*=^f；

logrb

⑶log,,blogjc=log。c；log?b-logta=l；

n

(4)log,?^=-log^.

mfl

函數(shù)的概念

映射：設(shè)A、B兩個(gè)集合，假如依據(jù)某中對應(yīng)法則/,對于集合A中的隨意一個(gè)元素，在集合

B中都有唯一的一個(gè)元素與之對應(yīng)，這樣的對應(yīng)就稱為從集合A到集合B的映射.

函數(shù)：在某種改變過程中的兩個(gè)變量x、y,對于x在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，依據(jù)某

個(gè)對應(yīng)法則，y都有唯一確定的值和它對應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，記做y=/(x),其中x稱為

自變量，x改變的范圍叫做函數(shù)的定義域，和x對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值y的改變范

圍叫做函數(shù)的值域.

三.函數(shù))=/")是由非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射.

四.函數(shù)的三要素：解析式；定義域；值域.

函數(shù)的解析式

一.依據(jù)對應(yīng)法則的意義求函數(shù)的解析式；

例如：已知/(J7+l)=x+24,求函數(shù)f(x)的解析式.

已知函數(shù)的解析式一般形式，求函數(shù)的解析式；

例如：已知/(x)是一次函數(shù)，且f[/(x)]=4x+3,函數(shù)f(x)的解析式.

三.由函數(shù)八幻的圖像受制約的條件，進(jìn)而求/(x)的解析式.

函數(shù)的定義域

一.依據(jù)給出函數(shù)的解析式求定義域：

(1)整式：xwR

⑵分式：分母不等于0

⑶偶次根式：被開方數(shù)大于或等于0

(4)含0次幕、負(fù)指數(shù)幕：底數(shù)不等于0

⑸對數(shù)：底數(shù)大于0,且不等于1,真數(shù)大于0

二.依據(jù)對應(yīng)法則的意義求函數(shù)的定義域：

例如：已知y=/(x)定義域?yàn)閇2,5],求y=f(3x+2)定義域;

已知y=/(3尤+2)定義域?yàn)閇2,5],求y=/(x)定義域;

三.實(shí)際問題中，依據(jù)自變量的實(shí)際意義確定的定義域.

函數(shù)的值域

一.基本函數(shù)的值域問題：

名稱解析式值域

一次函數(shù)y=kx-￥hR

Q>0時(shí)，—―,+00)

4Q

二次函數(shù)y=ax2++c

Q<0時(shí)，(-00,4ac_b_^

4a

k

反比例函數(shù)y=—{ylyeR,且"0}

X

指數(shù)函數(shù)y=ax{y|y>0}

對數(shù)函數(shù)y=iog“xR

y=sinx

{y|-l<y<l}

三角函數(shù)y=cosx

y=tanxR

二.求函數(shù)值域(最值)的常用方法：函數(shù)的值域確定于函數(shù)的解析式和定義域，因此求函數(shù)值域

的方法往往取決于函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，常用解法有：視察法、配方法、換元法(代數(shù)換元

與三角換元)、常數(shù)分別法、單調(diào)性法、不等式法、*反函數(shù)法、*判別式法、*幾何構(gòu)造法和*

導(dǎo)數(shù)法等.

反函數(shù)

—.反函數(shù)：設(shè)函數(shù)y=/(x)(xeA)的值域是C,依據(jù)這個(gè)函數(shù)中x,y的關(guān)系，用y把x表示出，

得到x=9(y).若對于C中的每一y值，通過x=°(y),都有唯一的一個(gè)x與之對應(yīng)，那么，

x=/(y)就表示y是自變量，x是自變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)x=e()>)(yeC)叫做函數(shù)

y=F(x)(xwA)的反函數(shù),記作x=/T(y),習(xí)慣上改寫成y=/T(x).

二.函數(shù)f(x)存在反函數(shù)的條件是：X、y---對應(yīng).

三.求函數(shù)的反函數(shù)的方法：

⑴求原函數(shù)的值域，即反函數(shù)的定義域

⑵反解，用y表示x,得了=廣()0

(3)交換x、y,得y=/i(x)

⑷結(jié)論，表明定義域

四.函數(shù)y=/(x)與其反函數(shù)y=/T(x)的關(guān)系：

⑴函數(shù)y=/(x)與＞=的定義域與值域互換.

⑵若y=/(x)圖像上存在點(diǎn)①涉)，則尸尸(X)的圖像上必有點(diǎn)S,a),即若/(&)=〃，則

P\b)=a.

(3)函數(shù)y=/(x)與＞=的圖像關(guān)于直線y=x對稱.

函數(shù)的奇偶性：

定義：對于函數(shù)/(X)定義域中的隨意一個(gè)X,假如滿意/(-x)=-/(X),則稱函數(shù)f(x)為奇函

數(shù)；假如滿意A—x)=/(x),則稱函數(shù)f(x)為偶函數(shù).

二.推斷函數(shù)/(X)奇偶性的步驟：

1.推斷函數(shù)/(X)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，假如對稱可進(jìn)一步驗(yàn)證，假如不對稱；

2.驗(yàn)證f(x)與f(-x)的關(guān)系，若滿意/(-x)=-/(x),則為奇函數(shù),若滿意f(-x)=/(x),則為偶

函數(shù)，否則既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于謝對稱.

三.已知f(x)、g(x)分別是定義在區(qū)間M、N(MN/0)上的奇(偶)函數(shù)，分別依據(jù)條件推

斷下列函數(shù)的奇偶性.

1

/(X)g(x)一以X)f(x)+g(x)，(x)—g(x)f(x)-g(x)

/(X)

奇奇奇奇偶

奇

奇偶奇

偶奇奇

偶

偶偶偶偶偶

五.若奇函數(shù)/(尤)的定義域包含0,則/(0)=0.

六.一次函數(shù)曠=日+力(&H0)是奇函數(shù)的充要條件是…；

二次函數(shù)片加+法+c(”0)是偶函數(shù)的充要條件是它.

函數(shù)的周期性：

定義：對于函數(shù)/(X),假如存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)X取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有

/(x+T)=7(x),則/(x)為周期函數(shù)，T為這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期.

2.假如函數(shù)/(》)全部的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做/")的最小正周

T

期.假如函數(shù)/(x)的最小正周期為T,則函數(shù)/(以)的最小正周期為

函數(shù)的單調(diào)性

一.定義：一般的，對于給定區(qū)間上的函數(shù)/(x),假如對于屬于此區(qū)間上的隨意兩個(gè)自變量的值再，

々，當(dāng)辦＜々時(shí)滿意：

⑴/(X,)</(x2),則稱函數(shù)/(x)在該區(qū)間上是增函數(shù)；

(2)/(%,)>/(%2),則稱函數(shù)/*)在該區(qū)間上是減函數(shù).

推斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法：

1.定義法：

⑴取值；⑵作差、變形；⑶推斷：⑷定論：

*2.導(dǎo)數(shù)法：

(1)求函數(shù)段)的導(dǎo)數(shù)的⑺；

⑵解不等式尸(x)〉0,所得x的范圍就是遞增區(qū)間；

⑶解不等式/(x)<0,所得x的范圍就是遞減區(qū)間.

3.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：

對于復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)],設(shè)〃=g(x),則y=/(〃)，可依據(jù)它們的單調(diào)性確定復(fù)合函數(shù)

y=/[g(x)l，詳細(xì)推斷如下表：

y=f(u)增增減減

u=g(x)增減增減

y=加(尤)]增減減增

4.奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同.

函數(shù)的圖像

一.基本函數(shù)的圖像.

—.圖像變換：

>=/”)fy=f\x)+k

將『=/")圖像上每一點(diǎn)向上伏>0)或向下伏〈可平移|&|個(gè)單

位，可得y=/(x)+Z的圖像

y=/(x)ty=f(x+h)

將y=/(x)圖像上每一點(diǎn)向左(〃>可或向右(〃<0)平移I川個(gè)單

位，可得y=/'(x+〃)的圖像

y=/(x)-y=叭?

將曠=/(X)圖像上的每一點(diǎn)橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)拉伸(a>1)

或壓縮(0<。<1)為原來的。倍，可得y=qf(x)的圖像

>=f(x)-y=f(ax)

將y=/(x)圖像上的每一點(diǎn)縱橫坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)壓縮

3>1)或拉伸(0<。<1)為原來的工，可得y=/(ar)的圖像

______________________________a

y=f(x)ty=f(-x)

關(guān)于y軸對稱

y=f(x).y=-f(x)

關(guān)于X軸對稱

y=/(x)-?y=/(|x|)

將y=/(x)位于>軸左側(cè)的圖像去掉，再將y軸右側(cè)的圖像沿y軸

對稱到左側(cè)，可得y=/(|x|)的圖像

y=f(x)ty=I/(x)I

將y=f(x)位于x軸下方的部分沿x軸對稱到上方，可得

y="(x)l的圖像

三.函數(shù)圖像自身的對稱

關(guān)系圖像特征

f(x)=f(-x)關(guān)于y軸對稱

/(x)=-/(-x)關(guān)于原點(diǎn)對稱

f{a-x)^f(x-a)關(guān)于y軸對稱

f(a+x)=f(a-x)關(guān)于直線x=a對稱

f(x)=f(a-x)關(guān)于直線x=與軸對稱

2

關(guān)于直線=叱對稱

f{a+x)=f(b-x)X

2

/(x)=/(x+a)周期函數(shù)，周期為a

四.兩個(gè)函數(shù)圖像的對稱

關(guān)系圖像特征

y=/(x)與y=/(-%)關(guān)于y軸對稱

y=f(x)與y=-/(x)關(guān)于x軸對稱

y=/(x)與y=-f(-x)關(guān)于原點(diǎn)對稱

y=/(x)與y=/“(x)關(guān)于直線y=x對稱

y=f(x-a)^y=f(a-x)關(guān)于直線x=a對稱

y=/(a+x)與/(a-x)關(guān)于y軸對稱

第三章數(shù)列

數(shù)列的基本概念

一.數(shù)列是依據(jù)肯定的依次排列的一列數(shù)，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).

二.假如數(shù)列｛%｝中的第〃項(xiàng)冊與項(xiàng)數(shù)”之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做

這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公事，它實(shí)質(zhì)是定義在正整數(shù)集或其有限子集的函數(shù)解析式.

三.數(shù)列的分類：

按項(xiàng)的特點(diǎn)可分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、搖擺數(shù)列

按項(xiàng)數(shù)可分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列

四.數(shù)列的前"項(xiàng)和：S“=q+4+。3+…+%T+4,

五.假如已知數(shù)列｛%｝的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)4與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以

用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.遞推公式也是給出數(shù)列的一種

方法.

如：在數(shù)列伍“｝中，4=1,4,=；a,i+l，其中即為數(shù)列｛%｝的遞推公式，依據(jù)

數(shù)列的遞推公式可以求出數(shù)列中的每一項(xiàng)，同時(shí)可依據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)推斷出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，

至于揣測的合理性，可利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

如上述數(shù)列｛%｝,依據(jù)遞推公式可以得到：%=,，%=（，%=：，進(jìn)一步可揣

等差數(shù)列

一.定義：假如一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等

差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.

二.通項(xiàng)公式：

若已知四、d,則=q+（〃一l）d；若已知a,,,、d,貝（I=a,“+

三.前八項(xiàng)和公式：

若已知q,an,則S“=%x"；若已知4、d,貝+電^——i/

22

注：⑴前〃項(xiàng)和公式S”的推導(dǎo)運(yùn)用的是倒序相加法的方法.

⑵在數(shù)列｛對｝中，通項(xiàng)公式％,前〃項(xiàng)和公式S,均是關(guān)于項(xiàng)數(shù)〃的函數(shù)，在等差數(shù)列｛4｝通

項(xiàng)公式%是關(guān)于〃的一次函數(shù)關(guān)系，前〃項(xiàng)和公式S“是關(guān)于〃的沒有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)關(guān)

系.

⑶在等差數(shù)列中包含q、d、〃、a”、S“這五個(gè)基本量，上述的公式中均含有4基本量，因

此在數(shù)列運(yùn)算中，只需知道其中隨意3個(gè)，可以求出其余基本量.

四.假如a、b、c成等差數(shù)列，則稱人為a與c的等差中項(xiàng)，且匕=色二.

2

五.證明數(shù)列｛《｝是等差數(shù)列的方法：

1.利用定義證明：an-a?_,-d(n>2)

2.利用等差中項(xiàng)證明：b=—

2

3.利用通項(xiàng)公式證明：an=an+b

4.利用前〃項(xiàng)和公式證明：S?=an2+bn

六.性質(zhì)：在等差數(shù)列｛““｝中，

1.若某幾項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)成等差數(shù)列，則對應(yīng)的項(xiàng)也成等差數(shù)列，

即：若若〃?+〃=23則a,“+a“=2a?.

2.若兩項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)之和與另兩項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)之和相等，則對應(yīng)項(xiàng)的和也相等，

即：若機(jī)+〃=左+/,則a,“+a“=a?+q.

3.依次相鄰每左項(xiàng)的和仍成等差數(shù)列，

即：Sk,S2k-Sk,S3*-S2A成等差數(shù)列.

4.%,a,-,an_2,—,a2,為仍成等差數(shù)列，其公差為-d.

三.等比數(shù)列

定義：假如一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都是同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做

等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用宇母q(qwO)表示.

—,通項(xiàng)公式：

n

若已知q、q,則a“=；若已知、q，則??=amq~"'

三.前八項(xiàng)和公式：

當(dāng)公比q=1時(shí)，Sn=na1

當(dāng)公比qwl時(shí).，若已知/、a“、q,則S“=幺二股

i-q

若已知可、勺、"，則s"="CT)

i—q

注：(1)等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式s”的推導(dǎo)運(yùn)用的是錯(cuò)位相減的方法.

⑵在等比數(shù)列中包含⑷、q、〃、4、S,這五個(gè)基本量，上述的公式中均含有4基本量，因

此在數(shù)列運(yùn)算中，只需知道其中隨意3個(gè)，可以求出其余基本量.

四.若a、b、c成等比數(shù)列，則稱6為。與c的等比中項(xiàng)，且b、c滿意關(guān)系式8=±疝.

五.證明數(shù)列｛4,｝是等比數(shù)列的方法：

1.利用定義證明：-^-=q(n>2)

%

2.利用等比中項(xiàng)證明：h2=ac

3.利用通項(xiàng)公式證明：a“=aq

六.性質(zhì)：在等比數(shù)列｛/｝中，

1.若某幾項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)成等差數(shù)列，則對應(yīng)的項(xiàng)成等比數(shù)列，

即：若加+〃=2Z,則

2.若兩項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)之和與另兩項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)之和相等，則對應(yīng)項(xiàng)的積相等,

即：若〃?+〃=%+/,則

3.若數(shù)列公比則依次相鄰每％項(xiàng)的和仍成等比數(shù)列，

即又，S2k-Sk,邑*-52?成等比數(shù)列。

4.an,an_t,an_2,a,,q仍成等比數(shù)列，其公比為

q

數(shù)列求和

1.常見數(shù)列的前n項(xiàng)和：

(1)自然數(shù)數(shù)列：1,2,3,n,???

(2)奇數(shù)列：1,3,5,…，2n-l,S“=〃2

(3)偶數(shù)列：2,4,611,,,2〃，…s?=〃(〃+1)

2^(^1X2^1)

(4)自然數(shù)平方數(shù)列：/，22,32,…

2.等差、等比數(shù)列：利用等差、等比數(shù)列的求和公式.

3.數(shù)列｛%｝滿意：cn=an+bn,其中%、3為等差或者等比數(shù)列?

方法：拆項(xiàng)，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)等差或等比各項(xiàng)的和(差).

4.數(shù)列｛c,J滿意：cn=a?-hn,其中｛%｝是公差為d的等差數(shù)列；｛2｝是公比為夕的等比數(shù)列.

方法：錯(cuò)位相減.

5.若數(shù)列｛%｝滿意：---―,~~-,其中2、。、6均為常數(shù).

方法：裂項(xiàng)法，設(shè)4=-------J-------=p(---------),其中P為可確定的參數(shù).

(knta>(kn+b)kn+akn+b

第四章三角函數(shù)

角度與弧度制

1.弧度與角度的互化：萬=180

2.終邊相同角：與角a有相同終邊的角的集合可以表示為：

｛(3\(3=a+2k;r,keZ｝

3.特別角的集合:

⑴各個(gè)象限的角的集合

第一象限角：{a|2k兀<a<%+2k兀,keZ}

rr

其次象限角：{a\—+2k7v<a<兀+2卜兀、kGZ}

3

第三象限角：{a17t4-2k7r<a乃+2匕r,ZGZ}

3

第四象限角：{aI；■乃+2匕a<2乃+2%",左eZ}

⑵角的終邊在各個(gè)坐標(biāo)軸上的角的集合

終邊在X軸的角：{a|a=&?肛ZwZ}

終邊在>軸的角：{a|a=]+Z肛&eZ}

終邊在坐標(biāo)軸上的角：{a|a=hM#￡Z}

2

終邊在第一三象限角平分線上：{a|a=K+br,左eZ}

4

3

終邊在其次四象限角平分線上：{a|a=±乃+br,ZeZ}

4

4.弧長公式和扇形面積公式

設(shè)扇形的半徑為r,圓心角為a,則

弧長/=|a",扇形的面積S=L/-r=L|a"2

22

隨意角三角函數(shù)的定義：

定義：以角a頂點(diǎn)為原點(diǎn)0,始邊為x軸的非負(fù)半軸建立直角坐標(biāo)系。在角a的終邊上任取不

同于原點(diǎn)。的一點(diǎn)尸(x,y),設(shè)P點(diǎn)與原點(diǎn)。的距離為r(r>0),則|？。|=r=,則角a

的六個(gè)三角函數(shù)依次為：

X

sina二=2,cosa=一,tanor=—

rX1

rX

esca-——,seca=立，cotcr=—A

yXyJ

二.三角函數(shù)的定義域與值域：0

定義域值域

sinaR

cosaR[-u]

兀R1

tana{a\a^—+k7r,kGZ]

三.三角函數(shù)值的符號:

四.三角函數(shù)線

正弦線、余弦線正切線

以角a的終邊與

過點(diǎn)41,0）作x

單位圓的公共點(diǎn)P作

軸的垂線交a的終邊

x軸的垂線PM_Lx

或終邊的延長線于T

1軸，垂足為〃，則

點(diǎn)，則：

sina=MP

tan=AT

cosa=OM

同角三角函數(shù)基本關(guān)系式:

倒數(shù)關(guān)系:sinacsca=1、cosaseca=1、tana-cota—\

sinacosa

商數(shù)關(guān)系:tana=-------、cota=-------

cosasina

平方關(guān)系:sin2or+cos2a-1

正弦、余弦的誘導(dǎo)公式:

sin(2Ai+a)=sina；cos(2攵4+a)=cosa.

7i-asinQr—a)=sina；cos(7F-a)=-cosa.

zr+asin(;r+a)=-sina；cosO+a)=-cosa.

2萬一。sin(2萬-a)=-sina；cos(24-a)=cosa.

-asin(—a)=—sina；cos(-a)=cosa.

71

——asin弓-a)=cosa；cos弓-a)=sina.

2

71,,71..71、.

\-asm(—+a)=cosa；cos(?+a)=-sina.

2

3〃.,3兀、/3%、.

------asin(--cr)=-cosa；cos(-—a)=-sina.

2

34?/34、/34、

-----FOCsin(——+a)=-cosa；cos(—+a)=sma.

22

誘導(dǎo)公式可簡潔的概括為：“奇變偶不變，符號看象限”，其中“奇變偶不變”的含義為：當(dāng)

女為奇數(shù)時(shí)，h工±。的三角函數(shù)值為a的余函數(shù)，當(dāng)上為偶數(shù)時(shí)，八三±。的三角函數(shù)值為a的原

22

函數(shù)；“符號看象限”的含義為在。的三角函數(shù)前加上一個(gè)把a(bǔ)看作銳角時(shí)原三角函數(shù)值的符號.

兩角和與差的三角函數(shù)：

一.基本公式：

sin(a+尸)=sina?cosp+cosa?sin/

sin(a-/?)=sina?cosft-cosa-sin/?

cos(cr+￡)=cosa-cosJ3-sina-sin0

cos(cif-/?)=cosa-cos/?+sincif-sin0

八、tana+tan/?tana-tanZ?

tanz(a+0)=....................-tan(zcr=....................-

1-tanor-tan(31+tana?tan°

二.常見關(guān)系：

1.協(xié)'助角公式：asinx+bcosx=4a2^-^sin(x+(p)

如：sina+cosa=gsin(a+—)；sinar-cosar=V2sin(^z--)

44

sina+Gcosa=2sin(a+馬；cosx-\/3sinx=2sin(----a)

36

2.兩角和與差的正切公式的變形：

tana+tan/=tan(6z+/?)?[1—tana?tan/?]

tana-tan/?=tan(a-/)?[1+tana?tanp\

二倍角公式

一,基本公式：

sin2a=2sin。?cosa

cos2。=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a

c2tana

tan2a=-------；—

l-tarra

二.常見關(guān)系式:

1.1+sin2a=(sina+cosa)21-sin2a=(sina-cosa)2

l-cos2a=2sin2a1+cos=2cos2a

c.21-COS2(71+cos2a

2.sina-------------cos2a--------------

22

三角函數(shù)的圖像:

正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像:

1.y=sinx」^^)，=Asinx：將y=&11》圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)拉伸(A>1)或壓

縮(0<A<1)為原來的A倍得到.

2.y=sinx—嗯變第—>y=sin①x:將y=sinx圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)壓縮(。>1)或拉

伸(0<。<1)為原來的,倍得到.

CD

3.y=sinx—相位交換一>y=sin(x+*)：將y=sinx的圖象向右"<0)或向左(°>0)平移|0|個(gè)單位得

至

4.函數(shù)丁=4§皿5+0)(43>0,4工1)的圖象可以看作是由函數(shù)了=71^的圖象分別經(jīng)過下面的兩

種方法得到：

⑴)=sinx—>y=sin(x+(p)

—―變.—>y-sin(cox+(p)

--u'-y=Asin(0x+e)

①將〉=5由了的圖象向左(0>0)或向右(0<0)平移|°|個(gè)單位，可得到函數(shù)y=sin(x+〃)圖

象；

②將得到圖象點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)壓縮a>1)或拉伸(0<3<1)為原來的工倍，得

CD

到函數(shù)y=sin(Gx+e)圖象；

③將新圖象各點(diǎn)橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)拉伸(A>1)或壓縮(O<A<1)為原來的A倍，可得

函數(shù)y=Asin(5+e)圖象.

(2)y=sinx——換>y=sin(ox

—相位變換>y=sinCD{X4--)=sin(5+(p)

co

—振幅變松->y=Asin(d>x+(p)

①將丁二出!!》圖象點(diǎn)縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)壓縮3>1)或拉伸(0<3<1)為原來的,倍，

CD

可以得到函數(shù)y=sins圖象；

②將得到的圖象向左(*〉0)或向右"<0)平移助個(gè)單位就得到函數(shù)y=sin(s+e)圖象；

CD

③將新的圖象各點(diǎn)橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)拉伸(A>1)或壓縮(OvA<l)為原來的A倍，可

得函數(shù)y=Asin(0x+e)的圖象.

三.形如y=Asin(s+p)的函數(shù)圖像的畫法----五點(diǎn)法，即依據(jù)5分別取0、■、萬、與、

2)時(shí)對應(yīng)的x與y的值描點(diǎn)作出y=Asin(〃)x+0)的一個(gè)周期的圖像.

三角函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)

名稱y=sinxy—cosxy=tanx

冗

定義域RR{a\a^—+k7i,keZ}

值域[-1,111-1JJR

\

Wax=1Wax=1

最值

>min=TWin=T

圖象

分布

最小正

212TC71

周期

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

對稱軸X=k7T+—,kGZx—k九keZ

2

對稱7tj,。)

(Z肛0)(^+-,0)

中心

.71.71

增[2^--,2^+-][2k/r,2&4+7t\(zk兀---,k7TT——)

單2222

調(diào)

性jr3

減[2k/rH——,2k兀+—zr]\2k7i+兀,2k兀4-2/r]

22

三角形中的邊角關(guān)系

正弦定理：

在一個(gè)三角形中，各邊和他所對角的正弦的比都等于該三角形外接圓的直徑，即:

sinAsinBsinC_

-----=------=------=2K

abc

二.余弦定理：

三角形隨意一邊的平方等于其他兩邊的平方減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.即:

+。2—?COSA

b2=a2-^-c2-2ac?cosB

c2=a2+h2-2ab-cosC

22

4R、人A+c-a_

推論：cosA=-----------；cos3=

2bc2clelab

三.相關(guān)結(jié)論：

在AABC中，角A、B、C所對的邊分別為。、b、c

A+3_7TC

(1)A+J?+C=%,4+3=%—C，

2一2一萬

(2)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A4-B)=-tanC

A+3CA+8.CA+BC

sin=cos—cos------=sin—,tan-----=cot—

222222

(3)依據(jù)正弦定理：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

?:/?:c=sinA:sinB:sinC

(4)三角形面積公式：

①三角形的面積等于三角形隨意一邊與對應(yīng)邊上的高的乘積的一半，即：

C1/1AA,1

SAABC.C,為

②三角形的面積等于三角形的隨意兩邊與其夾角的正弦值乘積的一半，即:

^SABC=-ahsinC=-Z?csinA=-tzesinB

222

第五章平面對量

向量的基本概念

1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量可以用一條有向線段來表示.

2.向量的長度：向量A8的大小，也就是向量A8的長度(也稱為4