高中數(shù)學必修一復習

第一章集合與函數(shù)概念

知識架構(gòu)

第一講集合

★知識梳理

一：集合的含義及其關(guān)系

1.集合中的元素具有的三個性質(zhì):確定性、無序性和互異性;

2.集合的3種表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖;

3.集合中元素與集合的關(guān)系：

文字語言符號語言

屬于e

不屬于g

4.常見集合的符號表示

數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集復數(shù)集

符號NZQC

N?或N+R

集合間的基本關(guān)系

表示文字語言符號語言

關(guān)系

相等集合A與集合B中的所有元素AoB且3qA<=>

都相同A=B

子集A中任意一元素均為B中的元AqB或BqA

素

真子集A中任意一元素均為B中的元A￡B

素，且B中至少有一元素不是

A的元素

空集空集是任何集合的子集，是任

0qA,0隆B(3w0)

何非空集合的真子集

三：集合的基本運算

①兩個集合的交集:AB={X|XGA.S.X6fij；

②兩個集合的并集：A5={x|xeA或xe8上

③設(shè)全集是U,集合AqU,則6從={x|xeU且無e4}

交并補

AB=[x\x^GB]AB={x|XGASJCXGB}CqA=1xeU且xeA}

(3D?

方法:常用數(shù)軸或韋恩圖正七行集合的交、并、補三種運算.

★重、難點突破

重點：集合元素的特征、集合的三種表示方法、集合的交、并、補三種運算。

難點：正確把握集合元素的特征、進行集合的不同表示方法之間的相互轉(zhuǎn)化，準確進行集合

的交、并、補三種運算.

重難點：

1.集合的概念

掌握集合的概念的關(guān)鍵是把握集合元素的三大特性，耍特別注意集合中元素的互異性，

在解題過程中最易被忽視，因此要對結(jié)果進行檢驗；

2.集合的表示法

(1)列舉法要注意元素的三個特性；(2)描述法要緊緊抓住代表元素以及它所具有的性

質(zhì)，如弗=/(*)}、{y[y=/(x)}、{(蒼丁)〉=/(工)}等的差別，如果對集合中代表元素認

識不清，將導致求解錯誤：

問題：己知集合M=<*+?=1},N=卜及+]=},則McN=()

A.①；B.{(3,0),(0,2)}；C.[-3,3]；D.{3,2}

(3)Venn圖是直觀展示集合的很好方法，在解決集合間元素的有關(guān)問題和集合的運算時常用

Venn圖。

3.集合間的關(guān)系的幾個重要結(jié)論

(1)空集是任何集合的子集，即。qA

(2)任何集合都是它本身的子集，即AQA

(3)子集、真子集都有傳遞性，即若A=6,BqC,則A±C

4.集合的運算性質(zhì)

(1)交集：①An8=BnA；②4nA=A；③Ano=。；④AnS^A,AABCB

⑤AnB=AoAq5；

(2)并集：①AU8=3UA；②AUA=A；③A(JO=A;④AUB^A,AUB3B

⑤AUB=AoBqA；

(3)交、并、補集的關(guān)系

①AClCuA*AUCtJA=U

②?？?ACl6)=(QA)U(Q8)；Q(AU5)=?A)A(C?

★熱點考點題型探析

考點一：集合的定義及其關(guān)系

題型1：集合元素的基本特征

［例1］(2008年江西理)定義集合運算：A*jB={z|z=xy,xG.設(shè)

A={l,2},6={0,2},則集合A*8的所有元素之和為()

A.0；B.2；C.3；D.6

題型2：集合間的基本關(guān)系

［例2］.數(shù)集X={(2〃+1)肛〃€2}與丫={(4左土1)肛左wZ}之的關(guān)系是()

A.x展y；B.；c.x=Y-D.X

［新題導練］

1.第二十九屆夏季奧林匹克運動會將于2008年8月8日在北京舉行，若集合A={參加北京奧

運會比賽的運動員},集合B={參加北京奧運會比賽的男運動員},集合C={參加北京奧運會比

賽的女運動員}，則下列關(guān)系正確的是()

A.A^BB.5cCC.APlB=CD.8UC=A

［解析］D;因為全集為A,而BUC=全集=A

2.(2006?山東改編)定義集合運算：AG)8=M=fy+孫A,ywB},設(shè)集合

A={1,0,8={2,3},則集合A區(qū)8的所有元素之和為

3.(2007?湖北改編)設(shè)P和。是兩個集合，定義集合P—Q={x|xeP,且X0Q},如果

尸=Mlogsx<1},Q=NN<1},那么P—Q等于

4.研究集合4={布=/一4},3={巾=/-4},0=卜,四僅=/一4}之間的關(guān)系

考點二：集合的基本運算

［例3］設(shè)集合A=—3x+2=()},B=^|x2+2(a+l)x+(a2—5)=o|

(1)若AD8={2},求實數(shù)a的值；

(2)若AU6=A,求實數(shù)。的取值范圍若，

［新題導練］

6.若集合S={Ny=3',xwR},7="丁=l2一I,XGR},則5口7是()

A.S；B.T;C.。；D.有限集

7.已知集合/={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合MnN為()

A.x=3,y=-l；B.(3,-1)；C.{3,-1}；D.{(3,-1)}

8.集合A=(x|ox-l=0},0={x|x2-3x+2=0},且4B=B,求實數(shù)。的值.

備選例題1：已知M=b|y=x+1},N={(x,y)*+y2="，則"「N中的元素個數(shù)是

()

A.0；B.1；C.2；D.無窮多個

備選例題2：已知集合A和集合B各有12個元素，API8含有4個元素，試求同時滿足下面

兩個條件的集合C的個數(shù)：

(I)C￡AUB,且C中含有3個元素；

(II)CnA#。(。表示空集)

★搶分頻道

基礎(chǔ)鞏固訓練：

1.設(shè)全集

t/=R,A={x|x(x+3)<0},B={x|x<-l},則右圖中陰

影部分表示的集合為()

A.{x|x>0}；B.|x|-3<x<O}；C.|x|-3<x<-1}；D.1x|x<-1}

2.已知A={x|x(l-x)>O},B={xjlog?x<O}則AB-

A.(0,1)；B.(0,2)；C.(—oo,0)；D.(~oo,0)(0,+oo)

3.集合{-1,0,1}的所有子集個數(shù)為

4.集合A中的代表元素設(shè)為x,集合8中的代表元素設(shè)為y,若IxwB且VyeA,則A與

B的關(guān)系是__________

5.設(shè)集合S={x||x-2|>3},T={x［a<x<a+8},SUT=R，則a的取值范圍是()

A.-3<tz<-1；B.-3<?<-1

C.?！川D3或1；D.3或a>—1

綜合提高訓練：

6.P=—1<m<0),Q=jmw園根X2+4加%一4<0對于任意實數(shù)1恒成立}

則下列關(guān)系中立的是()

A.P展Q;B.。展PCP=Q;D.PCQ=?

7.設(shè)/(〃)=2n+l(nwN),P={12,3,4,5},Q={3,4,5,6,7},記

P={?G^/(n)GP},0={〃WN*|/(〃)WQ},則(戶nCN@)UQriGv>)=()

A.{0,3}；B.{1,2}；c.{3,4,5};D.{1,2,6,7)

8.設(shè)A、B是非空集合，定義

Ax5={x|xeAuBJLreACJB},已知A={x中=，2x一旦},B={y|y=2",x>0},

則AXB等于()

A.[0,+oo)；B.[0,1][2,+oo)；C.[0,1)[2,+oo)；D.[0,1](2,+00)

第2講函數(shù)與映射的概念

★知識梳理

1.函數(shù)的概念

(1)函數(shù)的定義：

設(shè)A、8是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法則/,對于集合A中的每一個數(shù)X,在

集合8中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng),那么這樣的對應(yīng)叫做從A到B的一個函數(shù)，通常記為

y=f(x),x^A

(2)函數(shù)的定義域、值域

在函數(shù)y=/(x),xeA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做y=的定義域;與

x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛/(x)keA｝稱為函數(shù)y=f(x)的值域。

(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)法則

2.映射的概念

設(shè)A、8是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則/,對于集合A中的任意元素,在集合8

中都有唯一確定的元素與之對應(yīng),那么這樣的單值對應(yīng)叫做從A到3的映射，通常記為

f：AiB

★重、難點突破

誤

問題1：己知函數(shù)y=/(x)的定義域為[a,b],求y=/.(x+2)的定義域

問題2：已知y=/(x+2)的定義域是[a,b],求函數(shù)y=f(x)的定義域

2.求值域的幾種常用方法

(1)配方法：對于(可化為)''二次函數(shù)型”的函數(shù)常用配方法，(2)基本函數(shù)法：一些由基

本函數(shù)復合而成的函數(shù)可以利用基本函數(shù)的值域來求，如函數(shù)y=log](一/+2x+3)就是利

2

用函數(shù)y=log14和u=-x2+2x+3的值域來求。

2

2尤+1

(3)判別式法：通過對二次方程的實根的判別求值域。如求函數(shù)y=-----的值域

'x2-2x+2

由y=一^—得yV—2(y+l)x+2y—1=0,若y=(),則得％=-工，所以y=()是

x~—2x+22

函數(shù)值域中的一個值；若ywO,則由△=[-2(y+l)]2-4y(2y-l)20得

3—V133+V13□士后仃「卡估布、曰「3—3+JT5

---<y<--—且yw0,故所求值域是[—--,---]

(4)分離常數(shù)法：常用來求''分式型〃函數(shù)的值域。

3r

(5)利用基本不等式求值域：如求函數(shù)y=的值域

%■+4

(6)利用函數(shù)的單調(diào)性求求值域：如求函數(shù)卜=2/一/+2(》€(wěn)[_1,2])的值域

(7)圖象法：如果函數(shù)的圖象比較容易作出，則可根據(jù)圖象直觀地得出函數(shù)的值域(求某些

分段函數(shù)的值域常用此法)。

★熱點考點題型探析

考點一：判斷兩函數(shù)是否為同一個函數(shù)

[例1]試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？

(1)f(x)—y[x^，g(x)=；

[1x>0,

(2)f(%)=U,g(X)=

x[-1x<0;

(3)f(x)=2,1^x^,g(x)=(2n^[x)2n-}(?eN*)；

(4)/(x)=VxVx+1,g(x)=Vx2+x；

(5)f(x)=x2—2x—1,g(f)—t2—2t—\

[新題導練]

1.下列函數(shù)中與函數(shù)y=x相同的是()

___2

A.y=(Vx)2;B.y=療"；C.y=V?；D.y=-

X

2.(與函數(shù)y=0.1?2'f的圖象相同的函數(shù)是()

A.y=2x-1(%>—)；B.y=―--；C.y=---(x>—)；D.y=|-----

-2-2x-l2x-l22x-l

考點二：求函數(shù)的定義域、值域

題型1：求有解析式的函數(shù)的定義域

[例2].函數(shù)/(x)=-ln(7x2-3x+2+J-爐-3安+4)的定義域為()

X

A.(-8,-4)U[2,+8);B.(TO)U(0,1);C.[,—4,0)U((U]；D.[,T,O)U(O,D

題型2：求抽象函數(shù)的定義域

［例3］設(shè)/?(x)=lgZ±3,則f(忘)+的定義域為()

2—x,

A.(-4,0)U(0,4)；B.(-4,-1)U(1,4);C.(-2,-l)U(l,2);D.(-4-2)U(2,4)

題型3；求函數(shù)的值域

［例4］已,知函數(shù)y=X?—4ax+2a+6(aeR),若y20恒成立，求/(a)=2—4。+3|的值

域

Jx—2—1

3.函數(shù)/(x)=乂--------的定義域為

log2(x-l)

4.定義在R上的函數(shù)y=/(x)的值域為［a,句，則函數(shù)y=/(x-l)的值域為()

A.[<2—l,b—1]；B.[o,/?]；C.[tz+1,/?+!]；D.無法確定

5.若函數(shù)y=/(x)的定義域是［1,3］,則函數(shù)g(x)=13的定義域是

x-1

91

6.若函數(shù)y=/(x)的值域是亡,3］,則函數(shù)/x)=/(x)+—的值域

3/(x)

是__________

考點三：映射的概念

［例5］為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文—密文(加密)，接收方由密文—明

文(解密)，已知加密規(guī)則為：明文a,b,c,d對應(yīng)密文。+2瓦如+c,2c+3d,4d.例如,明文

1,2,3,4對應(yīng)密文5,7,18,16.當接收方收到密文14,9,23,28時，則解密得到的明文為()

A.7,6,1,4；B.6,4,1,7；C.4,6,1,7；D.1,6,4,7

理解映射的概念，應(yīng)注意以下幾點：

(1)集合A、B及對應(yīng)法則/是確定的，是一個整體系統(tǒng)；

(2)對應(yīng)法則有“方向性”，即強調(diào)從集合A到集合B的對應(yīng)，它與從集合B到集合4的

對應(yīng)關(guān)系一般是不同的；

(3)集合A中每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯二的，這是映射區(qū)別于一般

對應(yīng)的本質(zhì)特征；

(4)集合A中不同元素，在集合8中對應(yīng)的象可以是同一個；

(5)不要求集合8中的每一個元素在集合A中都有原象.

［新題導練］

7.集合A={3,4},8={5,6,7},那么可建立從A到8的映射個數(shù)是,從B到A的

映射個數(shù)是.

8.若/:y=3x+l是從集合A={1,2,3,4}到集合B={4,7,a4,/+3a}的一個映射，求自然數(shù)

a、%的值及集合A、B.

備選例題：已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)/(x)的全體：存在非零常數(shù)T,對任意xeR,

有f(x+T)=療(x)成立。

(1)函數(shù)/(x)=x是否屬于集合M?說明理由；

(2)設(shè)函數(shù)/(尤)=優(yōu)(。＞0,。。1)的圖象與y=x的圖象有公共點，證明：

/(%)=axGM

★搶分頻道

基礎(chǔ)鞏固訓練：

1.已知函數(shù)/(x)=~^=的定義域為N,g(x)=ln(l+x)的定義域為M,則MUN=

vl-x

2.函數(shù)y=杷及①")的定義域是

X

3.函數(shù)y=2^~-1~^的值域是

2'+1-----------

［

4.從集合A到B的映射中，下列說法正確的是()

A.B中某一元素”的原象可能不只一個；B.A中某一元素4的象可能不只一個

C.A中兩個不同元素的象必不相同；D.B中兩個不同元素的原象可能相同

5.下列對應(yīng)法則/中，構(gòu)成從集合A到集合B的映射是

A.A={x|%>0},B=/?,/:x—>|^|=x2

B.A—{—2,0,2},B={4},/:y=x2

C.A=R,B={y\y>0},f:x^y=-^-

x

x

D.A={0,2},8={0,l}J:xfy=i

25

6.若函數(shù)y=f—3x—4的定義域為[0,m],值域為[--,-4],則加的取值范圍是（）

4

A.（0,4]；B.[->3]；C.弓，4]；D.[j,+oo）

綜合提高訓練:

8.設(shè)函數(shù)/(x)=ln2±±,則函數(shù)8(%)=/(當+/(,)的定義域是_______

2-x2x

9.設(shè)函數(shù)/(x)=/1+x+|1■的定義域是+(〃是正整數(shù))，那么/(x)的值域中共有

個整數(shù)

第3講函數(shù)的表示方法

★知識梳理

一、函數(shù)的三種表示法：圖象法、列表法、解析法

1.圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個變量之間的關(guān)系;

2.列表法：就是列出表格來表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系;

3.解析法：就是把兩個變量的函數(shù)關(guān)系，用等式來表示。

二、分段函數(shù)

在自變量的不同變化范圍中，對應(yīng)法則用不同式子來表示的函數(shù)稱為分段函數(shù)。

★重、難點突破

重點：掌握函數(shù)的三種表示法--圖象法、列表法、解析法，分段函數(shù)的概念

難點：分段函數(shù)的概念，求函數(shù)的解析式

重難點：掌握求函數(shù)的解析式的一般常用方法：

(1)若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，則用待定系數(shù)法；

(2)若已知復合函數(shù)ZTg(x)］的解析式，則可用換元法或配湊法;

問題1.已知二次函數(shù)滿足y(2x+l)=4x2-6x+5,求f(x)

方法一：換元法

方法二：配湊法

方法三：待定系數(shù)法

(3)若已知抽象函數(shù)的表達式，則常用解方程組消參的方法求出/(%)

問題2：已知函數(shù)/⑴滿足/(x)+2/d)=3x,求/(x)

X

★熱點考點題型探析

考點1:用圖像法表示函數(shù)

［新題導練］

1.一給定函數(shù)y=/(x)的圖象在下列圖中，并且對任意.e(O,l),由關(guān)系式

/(%)=°得到的數(shù)列｛4｝滿足%+1一?！?gt;0(〃GN*)，則該函數(shù)的圖象是()

A

BCD

2.函數(shù)曠=/回一|%—1|的圖象大致是()

考點2：用列表法表示函數(shù)

［例2］)已知函數(shù)/(x),g(x)分別由下表給出

X123X123

/(X)131g(x)321

則/［g(D］的值為；滿足/［g(x)］>g［/(x)］的x的值是

［新題導練］

3.設(shè)/、g都是由A到A的映射，其對應(yīng)法則如下表(從上到下)：

映射/的對應(yīng)法則是表1

原象1234

象3421

映射g的對應(yīng)法則是表2

原象1234

象4312

則與/Ig(D］相同的是()

A.g[/(Dl；B.g[/(2)]；C.g[/(3)]；D.g[/(4)l

4.二次函數(shù))=<2%2+加;+<?(無《10的部分對應(yīng)值如下表:

X-3-2-101234

y60-4-6-6-406

則不等式ax2+bx+c<0的解集是

考點3:用解析法表示函數(shù)

題型1:由復合函數(shù)的解析式求原來函數(shù)的解析式

1_i_Y1_丫2

［例3］已知/(7)=匕二，則/*)的解析式可取為

\-xl+x

題型2：求二次函數(shù)的解析式

［例4］二次函數(shù)f(x)滿足/(x+1)-/(x)=2x,且/(0)=1?

⑴求f(x)的解析式；

⑵在區(qū)間［-1,1］上，/=/(刈的圖象恒在丁=2%+根的圖象上方，試確定實數(shù)機的范圍。

[新題導練]

7T

5.若/(sin%)=3-cos2x,則/[sin(--x)]=

6.設(shè)y=/(x)是一次函數(shù)，若/⑼=1且/⑴J(4)J(13)成

等比數(shù)列，則/(2)+/(4)++/(2〃)=；

1-1-y

7設(shè)/(x)=—,又記

/(x)=/(x),加(x)=/(￡.(x)),左=1,2,,則以00s(x)=()

1+xx-\八1

A.----；B.-----；C.x；D.---；

1-xx+1X

8.設(shè)二次函數(shù)/(x)滿足/(x—2)=/(—x—2),且其圖象在y軸上的截距為1,在x軸上截得

的線段長為近，求/(X)的解析式。

考點4：分段函數(shù)

題型L根據(jù)分段函數(shù)的圖象寫解析式

題型2：由分段函數(shù)的解析式畫出它的圖象

例6］(2006?上海)設(shè)函數(shù)/(X)=旨一4左一5「在區(qū)

間［-2,6］上畫出函數(shù)/(x)的圖像。

［思路點撥］需將來絕對值符號打開，即先解，一4萬-520,然后依分界點將函數(shù)分段表示,

再畫出圖象。

-2<x<-1或5<x<6

［解析］f(x)=\x2-4x-5，如右上圖.

-l<x<5

【名師指引】分段函數(shù)的解決辦法是分段處理，要注意分段函數(shù)的表示方法，它是用聯(lián)立符

號將函數(shù)在定義域的各個部分的表達式依次表示出來，同時附上自變量的各取值范圍。

［新題導練］

2x-3(x>0)「，、r

9.(09年潮州金山中學)已知函數(shù)/'(x)=4,,則/"(1)］=_______

%"+1(%<0)

［解析］2；由已知得到./U?⑴］=”2x1-3)=/(—1)=(—1)2+1=2

’2萬*T,X<2.

10.(06山東改編)設(shè)/(x)=4,則不等式/(x)-2>0的解集為________

2

log2(x-l),x>2,

［解析］(l,2)U(V5,+oo)；當x<2時，由/(x)-2>0得>2,得l<x<2

當xN2時，由/(幻一2>()得Iog2(x2—1)>2,得x>石

X"

備選例題1:(2005?江西)已知函數(shù)/。)=------(。，b為常數(shù))且方程/(X)—x+12=0有兩個

ax-^-b

實根為Xi=3,Xz=4.

(1)求函數(shù)/(X)的解析式；(2)設(shè)k>l,解關(guān)于x的不等式；f(x)<(k+i)X~k

2-x

V2

［解析］⑴將2=3,%=4分別代入方程一^7+12=0得

ax-^-b

,解得所以/(X)=4(.2).

16°\b=22-x

-----=—Q、

［4a+b

/、-i-zwr-unnM廠(Z+1)X一A—/i_(^+1)X+k八

(2)不等式即為----<-——-----，可r化為------——----<0

2-x2—x2-x

即(％—2)(九一1)(%—外>0.

①當1v2<2,解集為xe(1,k)u(2,+oo).

②當攵=2fl寸，不等式為x—2)2(x—1)>0解集為re(1,2)D(2,zo);

③當%>2B機解集為cG(1,2)u(A:,+oo).

備選例題2：(06重慶)已知定義域為R的函數(shù)/(x)滿足

f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.

(I)若/(2)=3,求/⑴；又若/(0)=a,求/(a);

(H)設(shè)有且僅有一個實數(shù)/，使得/(%))=玉)，求函數(shù)/(x)的解析表達式

解：(I)因為對任意xeR,有f(f(x)-x2+x)^f(x)-x2+x

所以f(f(2)-2Z+2)=/(2)-22+2

又由f(2)=3,得f(3-22+2)=3-22+2,即/⑴=1

若f(O)=a,貝ljf(a—()2+0)=q—()2+0,即/(“)=a

(H)因為對任意xwR,W/(/(x)-x2+x)=fM-x2+x.

又因為有且只有一個實數(shù)知使得/(%)=%

所以對任意xeR,有/(x)-/+*=x()

在上式中令x=x(),有了(%)-片+x(,=%

又因為/(%)=%所以%-無；=0,故/=0或無o=l

若光o=0,則/(x)-/+光=0,=X2-x

但方程X?-x=x有兩個不相同實根，與題設(shè)條件矛盾。故

若%=1，則有/(》)-f+x=i,即/(x)=x2-x+]易驗證該函數(shù)滿足題設(shè)條件。

綜上，所求函數(shù)為〃x)=x2_x+](xeR)

★搶分頻道

基礎(chǔ)鞏固訓練:

1.(09年廣州高三年級第一學期中段考)函數(shù)y=/(x)的圖象如圖2所示.觀察圖象可知

函數(shù)y=/(x)的定義域、值域分別是()

A.[-5,0]o[2,6),[0,5]；B.[-5,6),[0,+8)

C.[-5,0]u[2,6),[0,+8)；D.[-5,+a)),[2,5]

[解析]c；由圖象可以看出，應(yīng)選擇c

2.(09年惠州第一次調(diào)研考)某工廠從2000年開始，近八年以來窗產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：

前四年年產(chǎn)量的增長速度越來越慢，后四年年產(chǎn)量的增長速度保持不變，則該廠這種產(chǎn)品的

產(chǎn)量y與時間，的函數(shù)圖像可能是()

量的增長速度保持不變，知圖象的斜率不變，.?.選B.

3.(2004?湖南改編)設(shè)函數(shù)/(幻=[；2+"+。，》"。,若/(_3)=/(0),/(_1)=—2,則關(guān)于

IZ,X>U.

X的方程f(x)=X的解的個數(shù)為

［解析］3；由/(-3)=/(0),/(—1)=-2可得b=3,c=O,從而方程/(x)=x等價于

x>0x<0x<0

V或V2，解41得到1=0或%=—2,從而得方程/(x)=x

X=f(x)=2x+3x=xx~+3x=x

的解的個數(shù)為3

4.(05江蘇)已知。涉為常數(shù)，若/(X)=》2+4X+3,

f(ax+b)-x2+1Ox+24,則5a-b=

[解析]2；因為_/(》)=爐+4》+3,所以

f(ax+b)=(ax+b)2+4(ax+b)+3=a2x2+(2ab+4a)x+(b2+4Z?+3)

a2=1

又f(ax+h)=x2+\Ox+24,所以，《2ab+4a=10

b2+4b+3=24

a=\[a=-1

解得1或4，所以5〃一〃二2

b=3b=—7

a,a>b()

5.對。、AwR,記mar{。，b}=<,函數(shù)f(x)=ma￥(sinx,cosx)(xGR)

bya<h

的最小值是()

V2,V2

A.-1；—；c.---1

2

［解析］C；作出/(x)=sinx和g(x)=cosx的圖象即可得到函數(shù)

/(x)=niar{sinx,cosx}(xGR)的最小值是——

7,(x)xe[(),/)

6.(中山市09屆高三統(tǒng)測)已知函數(shù)/(x)=<其中

力(%)=一2。一/)2+1,%(x)=—2x+2。作出函數(shù)/(x)的圖象;

［解析］函數(shù)f(x)圖象如下:

說明：圖象過尾)、k(1,0)點：在區(qū)間0日上的圖象為上凸的曲線段；在區(qū)間

-,1上的圖象為直線段.

2

綜合提高訓練：

7.(09年惠州第二次調(diào)研考)如圖，動點P在正方體ABCO—AgG。的對角線上.過

點戶作垂直于平面§4的直線，與正方體表面相交于“，N.設(shè)BP=x,MN=y,

則函數(shù)y=/(x)的圖象大致是(

Di

A

［解析］B；過點尸作垂直于平面84。。的直線，當點尸運動時，線與正方體表面相交于

M,N兩點形成的軌跡為平行四邊形，可以看出x與y的變化趨勢是先

遞增再遞減，并且在x的中點值時y取最大

8.(06重慶)如圖所示，單位圓中A臺的長為x,7(x)表示弧AB與弦

AB所圍成的弓形面積的2倍，則函數(shù)y=/(x)的圖像是()

示,

單位圓中的長為X,/(x)表示弧AB與弦AB所圍成的弓形面積的2倍，當AB的長小

于半圓時，函數(shù)y=/(x)的值增加的越來越快，當A3的長大于半圓時，函數(shù)y=/(x)的值

增加的越來越慢，所以函數(shù)y=/(x)的圖像是D.

9.(06福建)已知/(x)是二次函數(shù)，不等式/(x)<0的解集是(0,5),且/(x)在區(qū)間［一1,4］

上的最大值是12。

⑴求/(x)的解析式；

(II)是否存在實數(shù)內(nèi)使得方程/(刈+3二7=0在區(qū)間(加,加+1)內(nèi)有且只有兩個不等的

x

實數(shù)根？若存在，求出，〃的取值范圍；若不存在，說明理由。

［解析］(I)/(x)是二次函數(shù)，且/(%)<()的解集是(0,5),

可設(shè)f(x)=ax(x—5)(。>0).

.?./(x)在區(qū)間［―1,4］上的最大值是/(一1)=6〃，由已知，得6。=12,

CL=2,

/(%)=2x(%-5)=2x2-10x(xeR).

37

(ID方程/(%)+—=0等價于方程2X3-10X2+37=0.

x

設(shè)/i(x)=2x3—10x2+37,則/z'(x)=6x2—20x=2x(3x—10).

當xe(0,5)時，"(x)<0M(x)是減函數(shù)；

當X€(5,+8)時，/f(x)>O,/z(x)是增函數(shù)。

加3)=1>0,*)=-MQ爪4)=5>0,

方程/z(x)=0在區(qū)間(3,號),(號,4)內(nèi)分別有惟一實數(shù)根，而在區(qū)間(0,3),(4,+00)內(nèi)沒有

實數(shù)根，

所以存在惟一的自然數(shù)m=3,使得方程/(%)+=37=0在區(qū)間(私加+1)內(nèi)有且只有兩個不同

x

的實數(shù)根。

第4講函數(shù)的單調(diào)性與最值

★知識梳理

函數(shù)的單調(diào)性定義：

設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為A,區(qū)間/qA

如果對于區(qū)間/內(nèi)的任意兩個值占，/，當?shù)?lt;當時，都有/(的)</(々)，那么就說

y=/(x)在區(qū)間/上是單調(diào)增函數(shù),/稱為y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間

如果對于區(qū)間/內(nèi)的任意兩個值的，々，當?shù)?lt;當時，都有/(為)〉/12)，那么就說

y=/(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減函數(shù),/稱為y=f{x)的單調(diào)減區(qū)間

如果用導數(shù)的語言來，那就是：

設(shè)函數(shù)y=/(x),如果在某區(qū)間/上尸(x)>0,那么設(shè)函為區(qū)間/上的增函數(shù);

如果在某區(qū)間I上f'(x)<0,那么/(%)為區(qū)間/上的減函數(shù);

1.函數(shù)的最大(小)值

設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為A

如果存在定值/eA，使得對于任意xeA,有/(x)W)(Xo)恒成立，那么稱/(X。)為

y=的最大值;

如果存在定值x°eA,使得對于任意xeA,有f(x)>/(%)恒成立，那么稱/(%)為

y=f(x)的最小值。

★重、難點突破

重點：掌握求函數(shù)的單調(diào)性與最值的方法

難點：函數(shù)單調(diào)性的理解，尤其用導數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性與最值

重難點：1.對函數(shù)單調(diào)性的理解

(1)函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來討論，所以求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須

先求函數(shù)的定義域；

(2)函數(shù)單調(diào)性定義中的匹，占有三個特征：一是任意性；二是大小，即

X,<x2(xi<x2);三是同屬于一個單調(diào)區(qū)間，三者缺一不可；

(3)若用導數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性，則在某區(qū)間/上/'(x)>0(/'(x)<0)僅是/(x)為

區(qū)間/上的增函數(shù)(減函數(shù))的充分不必要條件。

(4)關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性的證明，如果用定義證明y=/(x)在某區(qū)間/上的單

調(diào)性，那么就要用嚴格的四個步驟，即①取值；②作差；③判號；④下結(jié)論。但是要注意，

不能用區(qū)間/上的兩個特殊值來代替。而要證明y=/(x)在某區(qū)間/上不是單調(diào)遞增的，只

要舉出反例就可以了，即只要找到區(qū)間/上兩個特殊的不，%，若不(尤2,有/小)2/5)

即可。如果用導數(shù)證明y=/(x)在某區(qū)間/上遞增或遞減，那么就證明在某區(qū)間/上

八X)>0或/'(幻<0。

(5)函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，所以受到區(qū)間的限制，如函數(shù)y=,分別在(-oo,0)

X

和(0,+8)內(nèi)都是單調(diào)遞減的，但是不能說它在整個定義域即(-8,0)U(0,+8)內(nèi)是單調(diào)遞減

的，只能說函數(shù)y=-的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,0)和(0,+8)

x

(6)一些單調(diào)性的判斷規(guī)則：①若/(X)與g(x)在定義域內(nèi)都是增函數(shù)(減函數(shù))，那么

/(x)+g(x)在其公共定義域內(nèi)是增函數(shù)(減函數(shù))。②復合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)則是“異減同增”

2.函數(shù)的最值的求法

(1)若函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)型的函數(shù)，常用配方法。

(2)利用函數(shù)的單調(diào)性求最值：先判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，然后利用函數(shù)的單調(diào)性

求最值。

(3)基本不等式法：當函數(shù)是分式形式且分子分母不同次時常用此法(但有注意等號是否取

得)。

(4)導數(shù)法：當函數(shù)比較復雜時，一般采用此法

(5)數(shù)形結(jié)合法：畫出函數(shù)圖象，找出坐標的范圍或分析條件的幾何意義，在圖上找其變化

范圍。

★熱點考點題型探析

考點1函數(shù)的單調(diào)性

題型1：討論函數(shù)的單調(diào)性

----，x<1,

[例1](2008廣東)設(shè)&eR,函數(shù)/(X)={1—xF(x)=f(x)—kx,xeR.

—Jx—l,xNl

試討論函數(shù)尸(x)的單調(diào)性.

［解題思路］分段函數(shù)要分段處理，由于每一段都是基本初等函數(shù)的復合函數(shù)，所以應(yīng)該用導

數(shù)來研究。

1f1

［解析］:因為/(x)=<1-x''，所以F(x)=/(x)-依=1l-x,xeR.

-Jx-l,X>1-^Jx-\-kx

⑴當x<l時，l-x>0,尸(x)=--------k,(x<1)

(I-%)2

①當上《O時，F(xiàn)(x)>0在(一8,1)上恒成立，故F(x)在區(qū)間(一8,1)上單調(diào)遞增;

Ia

②當%>0時，令F'(x)=------7―女=0,(%<1),解得x=l—J,

(1-x)k

且當x<l-二時.，F(xiàn)\x)<0；當1一二<彳<1時，F(xiàn)\x)>0

kk

Jk

故F(x)在區(qū)間(-oo,l-")上單調(diào)遞減,在區(qū)間(1—"』)上單調(diào)遞增；

kk

⑵當x>l時，x-l>0,F'(x)-----,—k,(x>1)

①當女NO時，E'(x)<0在(l,+oo)上恒成立，故F(x)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞減；

②當k<0時，令尸'(幻=一一—A=解得x=l+二y,

且當l<x<l+_v時，F(xiàn)\x)<0；當x>l+」v時，F(xiàn)'(x)>0

4k24k2

故F(X)在區(qū)間(1,1+—］)上單調(diào)遞減,在區(qū)間a+—1，+?)上單調(diào)遞增；

4k4k'

綜上得，①當k=0時，F(xiàn)(x)在區(qū)間(-8,1)上單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞減;

②當k<0時，F(xiàn)(x)在區(qū)間(-8,1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,1+上單調(diào)遞減,在區(qū)間

1

(1+—\,+8)上單調(diào)遞增；③當上〉0時，F(xiàn)(x)在區(qū)間(—8,1—絲)上單調(diào)遞減,在區(qū)間

4Hk

五

(1-—,1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(L+00)上單調(diào)遞減.

【名師指引】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或研究函數(shù)的單調(diào)性是高考的一個熱點，分段落函數(shù)用注意

分段處理.

題型2：研究抽象函數(shù)的單調(diào)性

［例2］定義在R上的函數(shù)y=/(x),/(0)/0,當x>0時，/(x)>1,且對任意的a、bGR,

有/(a+h)=f(a)-fCh).

(1)求證：/(0)=1；

(2)求證：對任意的xWR,恒有f(x)>0；

(3)求證：/(x)是R上的增函數(shù)；

(4)若/(x)■/(2x—A2)>1,求x的取值范圍.

［解題思路］抽象函數(shù)問題要充分利用“恒成立'’進行"賦值”，從關(guān)鍵等式和不等式的特點入手。

［解析］(1)證明：令a=b=O,則/XO)=f2(0).

又/(0)#0,：.f(0)=1.

(2)證明：當x<0時，-x>0,

'.f(0)=f(x)-f(一x)=1.

:.f(—%)=—-—>0.又時f(x)>1>0,

fM

.?.xCR時，恒有/(x)>0.

(3)證明：設(shè)X［<X2，則X2—為>0.

.,.f(X2