高中數(shù)學必修二第八章《立體幾何初步》單元訓練題(高難度) (二)(含答案解析)

必修二第八章《立體幾何初步》單元訓練題（高難度）（2）

單項選擇題（本大題共9小題，共45.0分）

如圖，在單位正方體ABCD-aB1GD1中，點P在線段上運動，給出以下四個命題:

①異面直線4P與BCi間的距離為定值；

②三棱錐。-BPCi的體積為定值；

③異面直線GP與直線CBi所成的角為定值；

④二面角P-BG-。的大小為定值.

其中真命題有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.長方體4BCD-&BiGDi中,4B=力。=l,AAt=2,E為棱A①的中點，則直線C】E與平面CB/i

所成角的余弦值為（）

A.如B.延C.匹D.|

9933

3.球。的截面把垂直于截面的直徑分成1:3,若截面圓半徑為百，則球O的體積為

A.167rB.等C.4V3TTD.等

4.在棱長為1的正方體48。。-4a的。1中，E,F分別是棱

4道1，6。1的中點，N為線段BiC的中點，若點P,M分別為線段

DiB,EF上的動點，貝IJPM+PN的最小值為（）

A.1

B逑

4

C2V6+x^2

?4

D四

2

5.在正方形SGiG2G3中，E、尸分別是G1G2及G2G3的中點，。是EF的中點，

現(xiàn)在沿SE、SF及EF把這個正方形折成一個四面體，使G］、G2.G3三點

重合，重合后的點記為G,那么，在四面體S-EFG中必有（）

A.SG!△EFG所在平面

B.SD!△EFG所在平面

C.GF1ASEF所在平面

D.GD1ASEF所在平面

6.在梯形ABC。中，AB//CD,ADLAB,AB=4,AD=CD=2,將梯形ABC。沿對角線AC折

疊成三棱錐。一4BC,當二面角0-AC-B是直二面角時，三棱錐。-4BC的外接球的表面積

為（）

A.4兀B.87rC.127rD.16兀

7.設長方體的對角線長是4,過每一頂點有兩條棱與對角線的夾角都是60。，則此長方體的體積是

（）

A.fB.8V2C.86D.1673

8.己知三棱錐P-4BC的四個頂點均在某球面上，PC為該球的直徑，△ABC是邊長為4的等邊三

角形，三棱錐P-ABC的體積為竽，則此三棱錐的外接球的表面積為（）

A167rD407rc647r八807r

A?虧B?亍C.-D.—

9.已知正四面體ABC。，點P在線段CO上，且CP=2PD,二面角Z-BC-D,P-AB-D,C-

4P—B的平面角分別記為a,0,y,則（）

A.￡<a<yB./?<y<aC.a<p<yD.a<y<p

二、多項選擇題（本大題共2小題，共8.0分）

10.如圖四棱錐P-ABCD所有棱長均為4,點M是側棱PC上的一個動點（不與點P,C重合），若

過點M且垂直于PC的截面將該四棱錐分成兩部分，則下列結論正確的是

A.截面的形狀可能為三角形、四邊形、五邊形

B.截面和底面ABCC所成的銳二面角為3

C.當PM=1時，截面的面積為5a

D.當PM=2時，記被截面分成的兩個幾何體的體積分別為匕，匕（匕>眩），則匕=3%

11.如圖，在正四面體P-4BC中，D,E,F分別是AB,BC,C4的

中點，下面四個結論成立的是（）

A.8c〃平面PDFA<^ZZr7，'\/C

B.DF_L平面PAED\-

C,平面PDF_L平面PAEB

D.平面POE_L平面ABC

三、填空題（本大題共6小題，共30.0分）

12.在棱長為1的正方體48<70-&8道1。1中，點P是正方體棱上一點（不包括棱的端點），若滿足

\PA\+IPCJ=m點、P的個數(shù)為6,則m的取值范圍是.

13.在正四棱錐P-ABCD中，PA=2S，AB=4,若一個正方體在該正四棱錐內部可以任意轉動，

則正方體的最大棱長為.

14.設P、A、B、C、。是表面積為36兀的球的球面上五點，四邊形ABCD為正方形，則四棱錐P-ABCD

體積的最大值為.

15.已知球。與棱長為2/的正方體力BCD-48傳1。1的所有棱相切，點〃是球O上一點，點N是

△4CB］的外接圓上的一點，則線段的取值范圍是.

16.某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為./IT/

正（主）視圖愀左閥圖

俯視出

17.已知三棱錐P-ABC的四個頂點均在某球面上，PC為該球的直徑，團ABC是邊長為4的等邊三

角形，三棱錐P-4BC的體積為竽，則此三棱錐的外接球的表面積為.

四、解答題（本大題共13小題，共156.0分）

18.如圖，在三棱錐P-4BC中，/.APB=90°,/.PAB=60。，AB=BC=CA,平面PAB_L平面ABC。

（I）求直線PC與平面A8C所成角的正切值;

（口）求二面角B-AP-C的余弦值.

19.直角三角形ABC中，NC=90。,4。=4,8C=2,E是AC的中點，尸是線段AB上一個動點，且

AF=AAB（0<X<1},如圖所示，沿2E將ACEB翻折至AOEB,使得平面DEB_L平面ABE.

B

(1)當;I=：時，證明：8。_1_平面?！?；

(2)是否存在4,使得DF與平面AOE所成的角的正弦值是當？若存在，求出4的值，若不存在,

請說明理由.

20.如圖，在三棱錐P-4BC中，平面PAC_L平面ABC,P。_L4c于點￡>,5.DC=2AD=2E^JPC

上一點，PE:EC=1：2

(1)求證：OE〃平面PA8

(2)求證：平面PDBJ_平面ABC

(3)若PD=2,AB=V3.NABC=60°,求三棱錐P-力BC的體積.

21.四棱錐P-HBCD中，側面尸4。為等邊三角形且垂直于底面ABC￡),

AB=BC=\AD^BAD=AABC=^.

(1)證明：直線BC〃平面PAD;

(2)若4PCC面積為2?,求四棱錐P-ABCC的體積.

22.如圖，四棱錐P-ABCD中，側面為等邊三角形且垂直于底面ABC￡>,AB=BC=^AD,

ZBAD=4ABe=90°.

(1)證明：直線BC〃平面PAD：

(2)若4PCD的面積為2夕，求四棱錐P-ABCD的體積.

23.如圖，四棱錐P-ABCD中，四邊形4BCZ)是矩形，AB=痘,AD=2,△PAD為正三角形，且

平面2401平面4BCZ),E、F分別為PC、P8的中點.

(1)證明：EF〃平面PAQ；

(2)求幾何體ABCDEF的體積.

24.如圖，四棱錐P-4BCC中，4P4D為正三角形，AB//CO,AB=2CD,Z.BAD=90°,PA1CD,

￡為棱PB的中點.

(1)求證：平面PAB平面CDE；

(2)若直線PC與平面PA。所成角為45。，求二面角A-DE-C的余弦值.

25.在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。是邊長為2的菱形，/BAD=60°,PAiffiABCD,PA=遮,

E,尸分別為BC,PA的中點.

5

(I)求證：BF〃面PDE；

（n）求二面角。-PE一月的大小的正弦值;

（也）求點C到面PQE的距離.

26.如圖1,4ACB=45。,8。=3,過動點A作AD1BC,垂足。在線段BC上且異于點8,連接

AB,沿AO將折起，使乙8。。=90。（如圖2所示），

圖1圖2

（1）當BQ的長為多少時，三棱錐力-BCD的體積最大；

（2）當三棱錐4-BC。的體積最大時，設點E,M分別為棱8cde的中點，試在棱8上確定一點N,

使得EN1BM,并求EN與平面BMN所成角的大小.

27.如圖，在四邊形ABC。中，/.DAB=90°,^ADC=135°,AB=5,CD=2近,AD=2,求四

邊形ABCD繞AD旋轉一周所成幾何體的表面積及體積?

28.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PAJ"平面ABC。，AB1AD,AD//BC,AP=AB=AD=1.

(I)若直線與8所成角的大小為g，求BC的長;

(E)求二面角B-PD-4的余弦值.

29.如圖，在四棱錐P-ABC。中，PAABCD,AD//BC,AD1CD,HAD=CD=2VLBC=

(1)求證：AB1PC；

(2)在線段尸。上，是否存在一點M,使得二面角“一AC-D的大小為45。，如果存在，求

與平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，請說明理由.

30.如圖，扇形408的半徑為2,圓心角乙4OB=120。，點C為弧43上一點，P。，平面A08且P。=

花，點MePB且BM=2MP,P4〃平面MOC.

(：

(1)求證：平面MOC1平面POB；

(2)求平面尸OA和平面MOC所成二面角的正弦值的大小.

【答案與解析】

1.答案：D

解析：

本題重點考查了異面直線所成角的概念及求異面直線間的方法；三棱錐的體積計算可以進行頂點輪

換及線面平行時，直線上任意一點到平面的距離都行等這一結論；考查計算能力，空間想象能力.

對于①由題意及三棱錐的體積的算法中可以進行頂點輪換性求解體積，和點尸的位置及直線4%與

平面BOQ的位置即可判斷正誤；對于②三棱錐的底面0BQ為定值，判斷P到平面OBCi的距離是否

是定值，即可判斷正誤；對于③由題意及圖形利用異面直線所成角的概念及求異面直線間的方法及

可求解.

解：對于①因為P64D1，而力DJ/BG，易證BG〃平面40。遇1，

所以異面直線為P與BG間的距離即為BQ到該平面的距離，

所以所求的距離為定值，所以①正確；

對于②三棱錐的底面DBG為定值，因為4DJ/BG，

所以g〃平面DBG，PeADr,

所以P到平面DBG的距離是定值，

所以三棱錐。-BPCi的體積為定值；

故②正確；

對于③因為在棱長為1的正方體力BCD-&B1QD1中，點尸在線段AD】上運動，

有正方體及題意易有反。1平面4BC1A，而C/u平面4BC1A，

所以當C1C】P,故這兩個異面直線所成的角為定值90。，

故③正確.

對于④：二面角P-BG-。的大小，是平面4BC15與平面BDG所成的二面角，

這兩個平面為固定的平面，它們的夾角為定值，④正確；

故選。.

2.答案：A

解析:

本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，

考查運算求解能力，是中檔題.

以。為原點，D4為x軸，CC為y軸，0劣為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面

直線OE與占&所成角的余弦值.

解：以。為原點，04為x軸，0c為y軸，DO1為z軸，建立空間直角坐標系，

則。(0,0,0),C(0,l,0),Di(0,0,2),EQO,1),。式0,1,2),8式1,1,2),

函=(1,0，2),=(1,1,0),

設平面CB1。1的法向量為元={x,y,z),

則(五?CB1=x+2z=0

(n-=x+y=o'

取z=l,得記=(-2,2,1),

設直線GE與平面CBiDi所成角的余弦值為8,

則$譏9=蠢孺=熹=善'

???COS。="l-S*=Jl_島)2=焉=當

???異面直線GE與平面CB1A所成角的余弦值為當，

故選A.

3.答案：D

解析：

本題考查的知識點是球的結構特征及其體積公式，屬于基礎題.根據(jù)若球的截面圓半徑為r,球心距

為4球半徑為R,則球心距、截面圓半徑、球半徑構成直角三角形，滿足勾股定理，求出求半徑,

即可求出結果.

解：設球的半徑為R,

??,球O的截面把垂直于截面的直徑分成1：3,

???平面a與球心的距離為《R,

???截面圓半徑為遙，

=(V3)2+(|/?)2,

R2=4,即R=2,

[

???球的體積為V=t7TX^

<5<5

故選D.

4.答案:B

解析：

本題考查多面體和旋轉體表面上的最短距離問題，連接&Di交EF于G,連接PG,則EF，平面

故￡72PG,從而PM的最小值PG,可知G為EF的中點，為的四分之一.其次，連接BD,

設其中點為H，連接尸”，BJ,則AOiOB三ADiGB,從而PN=PH,最后，連接G"交8名于K,

則當P為K時，PM+PN取得最小值，所求最小值為G”,即可得出結論.

,/H'W

LR

如圖，首先PM的最小值就是P到EF的距離.連接當歷交EF于G,連接PG,貝懷尸_L平面口避過氏

故EELPG,從而PM的最小值PG,

可知G為E尸的中點，。母為D$i的四分之一.

其次，連接BQ,設其中點為“，連接P”，BCr則ADiOB三△/QB,從而PN=PH.

最后，連接G/Z交BO】于K,則當尸為K時，PM+PN取得最小值，所求最小值為GH.

?.?正方體4BCD-4當6。1的棱長為1,

故選8.

5.答案:A

解析：

本題考查線面垂直的判定定理及空間想象能力，屬于基礎題.

根據(jù)題意，在折疊過程中，始終有SGi_LGiE,SG31G3F,BPSG1GE,SG1GF,由線面垂直的判

定定理，即可給出正確的選擇.

解：???在折疊過程中，

始終有SGi1GyE,SG31G3F,

即SGIGE,SG1GF,又GECGF=G

所以SG，平面EFG.

故選A.

6.答案：D

解析：

本題考查折疊問題，三棱錐的外接球的表面積的求法，考查空間想象能力以及計算能力.畫出圖形,

確定三棱錐外接球的半徑，然后求解外接球的表面積即可.

解：???在梯形ABC。中，AB//CD,AD1.AB,AB=4,AD=CD=2,

：.AC=2V2,BC=2V2,???AC1.BC.

取AB的中點O,AC的中點E,連接￡>E,OE.

當二面角。-AC-B是直二面角時，DELOE,可得。4=。8=OC=。。=2,

???。為三棱錐。-ABC的外接球的球心，半徑r=2,

球的表面積為47rx22=167r.

故選。.

7.答案：B

解析：

本題主要考查幾何體的體積，考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，屬基礎題.

設長方體的過一頂點的三條棱長為。，b,c,并且長為a,b的兩條棱與對角線的夾角都是60。，求出

a,b,c,從而可出長方體的體積.

解：設長方體的過一頂點的三條棱長為a,b,c,并且長為a,b的兩條棱與對角線的夾角都是60。,

則a=4cos60°=2,b=4cos600=2,

根據(jù)長方體的對角線性質，有。2+/)2+。2=42,

即2?+22+c2=42,c=2A/2.

因此長方體的體積U=abc=2x2x2或=8a.

故選8.

8.答案：D

解析：

本題主要考查了棱錐的體積，考查球內接多面體，解題的關鍵是確定點P到面ABC的距離.

根據(jù)三棱錐P-ABC的體積可得點尸到平面ABC的距離為白，從而得到球心0到平面ABC的距離為

%正AABC的外接圓半徑為，一于端；=T，因此R2=N+（2）2=個，從而求出外接球的表

V32sin（）0-J3V33

面積.

解：依題意，記三棱錐P-ABC的外接球的球心為0,半徑為R,點尸到平面ABC的距離為兒

則由0-ABC=3sAABCh=5X4X42）Xh=?得h=親.

又PC為球0的直徑，因此球心0到平面ABC的距離等于：八=套.

又正△ABC的外接圓半徑為r=又念=白，因此R2=產+（急2=等

zsinouVJv-53

三棱錐P-ABC的外接球的表面積等于4兀/?2=?兀

故選D.

9.答案：A

解析：

本題考查簡單多面體（棱柱、棱錐、棱臺）及其結構特征，二面角的概念，考查空間想象能力與邏輯

推理能力，屬于綜合題.

先作出二面角a—BC—D，P-AB-D,C—AP—B的平面角，再比較大小即可.

解：如圖，

A

正四面體ABC。，取8C的中點F,連接AF,DF,取AB的中點E,連接CE,ED,EP,

貝ijAFIBC,DF1BC,CELAB,ED14B,EPLAB,

二面角4—BC—D的平面角為乙4FD=a,

又?.,正四面體相鄰兩面所成角相等，NCE。=Z.AFD=a,

二面角P-48-。的平面角為"ED="由圖可知NCE。>KPED,

???1>/?,

又過點B向平面ACD作垂線B0,則垂足0為正ZL4CD的中心，

過。分別作4。，AP的垂線，則0Q1AP,易知。H>OQ,

二二面角C—AP—B的平面角為4BQ。=y,乙BHO=Z.AFD=a,

t;ury=>tana=tanNBHO=,

\_yfl

tairy>tann,y>a,

綜上，<a<Y-

故選A.

10.答案：BCD

解析：

本題主要考查二面角，空間幾何體的截面問題，以及棱錐的體積.屬于難題.

利用二面角，空間幾何體的截面問題，以及棱錐的體積的有關知識，對每個選項進行判斷，即可得.

解：4選項中，如圖，連接B。，

當M是PC中點時，MC=2,

由題意知三角形尸。C與三角形P8C都是邊長為4的正三角形，所以DM工PC,BMLBC,又DM,

8例在面MB。內，且相交，所以PC1平面PB。，三角形MB。即為過點“且垂直于PC的截面，此

時是三角形，點"向下移動時，MC<2,如圖，仍是三角形；

若點M由中點位置向上移動，MO2,在平面POC內作EMJ.PC,交PD于E,

在平面尸8c內作FM1PC交PB于F,平面MEF交平面PAD于EG,交PAB于FH,即交平面ABCD

于GH,則五邊形MEGHF即為過點M且垂直于PC的截面，此時是五邊形；

故截面的形狀可能為三角形、五邊形，A錯誤；

8選項中，因為截面總與PC垂直，所以不同位置的截面均平行，截面與平面A8CZ)所成的銳角為定

值，不妨取M是中點，連接AC,BD,MB,MD,設AC,BD交點是N,連接PN,由題意知，四邊

形ABC。是邊長為4的菱形，BD1AC,因為MB=MZ),所以MN1BD,故4MNC是截面與平面

ABC。所成的銳角，過點M作MQL4C,垂足Q.在三角形P4C中，MN=2,NQ=或，故在直角

三角形MNQ中，cos乙MNC=阻=出，故NMNC=￡,故B正確；

C選項中，當PM=1時，M是PC中點，如圖，五邊形MEG/Z/即為過點M且垂直于PC的截面，

依題意，直角三角形PME中，PE=P：“=2,故E為P￡>的中點，同理，F(xiàn)是尸2的中點，則

cosZEPDM

EF是三角形尸8。的中位線，EF=池=2近,G,"分別在40,48的中點上，

證明如下，當G,H,也是中點時，GH//BD.GH=^BD,有GH"EF,GH=EF=2近，四邊形EFHG

是平行四邊形.依題意，三角形PAC中P4=PC=4,4C=4VL故P41PC,故PC1GE,易見，

正四棱錐中BD_L平面PAC,故BD1PC,GH_LPC,因為GE,GH均在平面EF”G內，且相交，所

以PC，平面EFHG,故此時平面E/7/G和平面MEF即同一平面.又BO_L平面PAC,有GH_L面平面

PAC,GHLGM,根據(jù)對稱性有GH1GE,四邊形EFHG是矩形.

即五邊形MEGHF即為過點M且垂直于PC的截面,

平面圖如下:

依題意，GH=EF=2岳EG=FG=2,三角形高為九=冏-(5=1-

面積是［x2V2xl=V2,四邊形面積是2或x2=4/，故截面面積是5V2.

故C正確；

。選項中，若PM=2,看B選項中的圖可知，憶=VM-BCD="P-BCD="PTBCD，故剩余部分匕=

O

4^P-ABCD，所以匕=3%，

故。正確.

故選BCD.

11.答案：ABC

解析：

本題考查線面平行、線面垂直以及面面垂直的判定，屬于中檔題.

由DF〃8C,能證明BC〃平面PDF；由已知推導出4E1BC,PE1BC,從而BC1平面PAE,進而DF1

平面「AE；由CF_L平面PAE,推導出平面PDF_L平面PAE；由已知得平面P4E_L平面ABC,從而平

面POE與平面A8C不垂直.

解：4因為在正四面體P-ABC中，D,E,尸分別是AB,BC,C4的中點，所以DF〃BC,因為DFu平

面PDF,BC仁平面PDF,所以BC〃平面PDF,故A正確；

8.因為4B=AC=PB=PC,E為BC的中點，所以4E1BC,PE1BC,因為4EnPE=E,AE,PEu

平面PAE,所以BC_L平面PAE,因為DF〃BC,所以DF1平面PAE,故B正確；

C.因為OF1平面P4E,且。Fu平面PDF,所以平面PDFJ■平面PAE,故C正確；

D因為DF1平面PAE,DFu平面ABC,所以平面P4EJL平面ABC,因為平面PAEn平面PDE=PE,

且PE與平面ABC不垂直，所以平面PQE與平面ABC不垂直，故。不正確.

故選ABC.

12.答案：（V3,V5）

解析：

【試題解析】

本題主要考查了正方體的結構特征，立體幾何中的探索性問題，屬于難題.

分析點尸在B或5為端點的棱和不是8或A為端點的棱上時m的取值范圍，再根據(jù)滿足條件的點P

的個數(shù)進行判斷.

解：如圖，PB+\PD[\^m,

當P在B或％為端點的棱（共6條）上時，如點尸在4。1上,

此時舊<77l<V2+1,

當P在不是B或5為端點的棱（共6條）上時，如點尸在CQ上,

將平面CDDiG翻折到和平面BCG為同一平面，如圖，

則|P￡)il+\PB\>V12+22=4,

此時遍<m<V2+1，

若滿足PB\+PEM,〃的點尸的個數(shù)為6,

分析可得，有且僅有B或5為端點的每條棱上存在一個點P,

故，"的取值范圍為me（8,通）.

故答案為：（百,石）.

13.答案：|

解析：解：正四棱錐P—ABC。中，P4=2近，4B=4,

可得P-4BCD的高為h=JPA2一弓AB?=y/20-8=2y/3>

設正四棱錐的內切球的半徑為「，

Vp-ABCD=]SABC。八=IX16X2遍—

由正四棱錐的斜高為"=JPA2—（"）2=回』=4,

可得正四棱錐的表面積為S全=42+ix4x4x4=48,

?32怖-

即有內切球的半徑為r="泮里=二=這，

露483

由正方體為球的內接幾何體可得：

正方體的對角線即為球的直徑，

設正方體的邊長為?,可得2r=aa,

可得a=p

即有正方體的最大棱長為右

故答案為：

運用正棱錐的性質，求得正四棱錐的高和斜高，設正四棱錐的內切球的半徑為廠，運用等積法，結合

棱錐的體積公式，可得r,再由球的直徑即為正方體的對角線，即可得到所求最大值.

本題考查正四棱錐的性質和內接正方體的棱長問題，運用正四棱錐的內切球和正方體的關系是解題

的關鍵，屬于中檔題.

14.答案：y

解析:

本題考查棱錐結構特征、棱錐體積公式、球表面積公式及利用基本不等式求最值，屬于基礎題.

設球心到四棱錐底面的距離為X,可得底面邊長為近x停』，代入棱錐體積公式，再利用基本

不等式可得最大值.

解：由已知可得球的半徑r=3,

設球心到四棱錐底面的距離為x,棱錐的高為九=3+，

底面邊長為疙xV32-%2.

P-4BCD的體積V=|x2X(9-x2)(3+%)

=|(3+x)(3+x)(6—2x)

1「(3+%)+(3+M)+(6-2,3_竺

―3L3」—"P

當且僅當％=1時等號成立.

故答案為

15.答案：解：由題意得棱切球的半徑為2,且球心。與正方體的中心重合，

所以0M=2,

易知44cBi為正三角形，且球心。到A點的距離［0*=76,

所以球心。到AACBi的外接圓上任意一點的距離均為遙，

于是ON=V6，OM=2,

因為|0N-0M\《MN4\0M+0N\,

所以線段MN長度的取值范圍是［逐-2,遍+2］.

故答案為：［乃―2,通+2］.

解析：本題考查幾何體與球的問題，屬于較難題.

由得棱切球的半徑為2,球心。到的外接圓上任意一點的距離都相等，可得。M=2,0N=

V6.結合|OM-ON||OM+ON|,

即可求出線段長度的取值范圍.

16.答案：3

解析:

本題考查幾何體三視圖的應用，由三視圖正確復原幾何體是解題的關鍵，考查空間想象能力.由三

視圖知該幾何體是一個四棱錐，由三視圖求出幾何元素的長度、判斷出位置關系，由直觀圖求出該

四棱錐最長棱的棱長.

解：根據(jù)三視圖可知幾何體是一個四棱錐，

底面A8CZ）是一個正方形，PB1底面ABC￡>、PB=1,AD=AB=BC=1,

二該四棱錐最長棱的棱長為PD=>JPB2+BA2+AD2=Vl2+12+12=遍,

故答案為V5.

17.答案：等

解析:

根據(jù)題意作出圖形，欲求球0的表面積，只須求球的半徑兀利用截面圓的性質即可求出。01，進而求

出底面ABC上的高PC,即可計算出三棱錐的體積，從而建立關于r的方程，即可求出r,從而解決

問題.

解：根據(jù)題意作出圖形,

設球心為0,球的半徑兀過ABC三點的小圓的圓心為01，

則。01_L平面ABC,延長CO】交球于點D,則PD平面ABC.

???△ABC是邊長為4的等邊三角形，CO】=g=警

???。。1=

??^]PD=2001=

???△ABC是邊長為4正三角形,

/.=—x4x4xsiu60"=4v砥,

'1616

,e*V三棱解-ABC=9X4V3~x22r4--------=—

33

20

???r7=―

3

則球。的表面積為4?！?詈,

故答案為等.

18.答案：解：(1)過點尸作「。148于0,連接。C.

由平面P4B_L平面ABC,知P。J_平面ABC,

即NOCP為直線PC與平面A8C所成的角.

因為乙4PB=90°,Z.PAB=60°,

不妨設P4=2,則。。=6，AO=1,AB=4.

因為4B=BC=CA,所以4C4B=60°,

所以。C=J4z+l2-2x4xlxi=V13.

在RtAOCP中，tan〃)PC=竺=再="

OCV1313

即直線尸C與平面48c所成的角的正切值為等.

O

(〃)過C作CD_LAB于O,由平面1平面A8C,知CD1平面PA8.

過點。作DE1P4于E,連接CE,據(jù)三垂線定理可知CEJ.P4

所以，NCE。為二面角的平面角.

由（I）知4B=4,又4APB=90。，Z.PAB=60°,

所以CD=2>/5，DE=V3，CE=715.

在RtACDE中，cosZ.CED=—=-^=——.

CEV155

故二面角B-AP-C的余弦值為

解析：本題考查線面角，考查面面角，考查面面垂直的性質，考查學生分析解決問題的能力，考查

學生的計算能力，屬于中檔題.

(1)過點/5作「。_1_48于0,連接OC,可得4OCP為直線PC與平面A8C所成的角，從而可求直線

PC與平面ABC所成的角的正切值；

(1I)過C作C。14B于。，過點。作DE1PA于E,連接CE,/CED為二面角B---AP--C的平面角，

則可求二面角8-AP-C的余弦值.

19.答案：解：(1)在44BC中，ZC=90°,即ACJ.BC,

則BO1DE,

取BF的中點N,連接CN交BE于M,

當4=9時，F(xiàn)是AN的中點，而E是4c的中點，

EF是2L4NC的中位線，EF//CN.

在ABEF中，N是BF的中點,

??.M是BE的中點.

在RMBCE中，EC=BC=2,

???CM1BE,則EF1BE.

又平面DBE_L平面ABC,平面DBEn平面4BC=BE,

EF1平面DBE.

又BOu平面BDE，:.EF1BD.

而EFCtDE=E,：.BD_L平面DEF.

(2)

則C(0,0,0),4(4,0,0),B(0,2,0),E(2,0,0),

由(1)知M是BE中點，DM1BE,而平面DBE1平面ABC.

DM_L平面ABC,

則。(Li,VI).

假設存在滿足題意的；l,則由我?=4/.

可得產(4—4尢2A.0),

則DF=(3-4A,24-1,-72)-

設平面AOE的一個法向量為i=(x,y,z)，

則｛展”=0，即｛-2X=)

n-AD=0,-3x+y+V2z=0,

令7=或，可得x=0,z=-1,即￡=(0,企,一1).

DF與平面ADE所成的角的正弦值

TT

DF-n

sin。=|cos(DFn)|=|

,

\DF\\n\

|在(22-1)+6|=V2

V3-J(3-4A)2+(21-l)2+(-V2)2—3?

解得2=:(2=3舍去).

綜上，存在"玄使得”與平面做所成的角的正弦值釁

解析：(1)由NC=90。得BOJ.DE,取BF的中點N,連接CN交BE于M,可得到CM1BE,

EF18E.利用平面。BE_L平面ABC,由面面垂直的性質得到EF_L平面OBE.得到EF1BD.再由直線

與平面垂直的判定定理得到BC工平面OEF.

(2)以C為原點，CA所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，建立如圖所示空間直角坐標系.設存在

滿足題意的九*=Z/而.求出后的坐標，設平面AOE的一個法向量為￡=(x,y,z)，利用

T—>

{71,竺=°，求出骨的坐標，再由sinO=|cos(而，為|=|.|列等式，解出;I的值.

n-AD=0,|DF||n|

20.答案：解：(1)???登=號=2,二DE//PA,

■：DE仁平面PAB,PAu平面PAB,：.DE//平面PAB-,

(2)因為平面R4CJL平面ABC,

且平面P4CCI平面4BC=AC,PDu平面PAC,PDLAC,

所以P。，平面ABC,

又PDu平面PDB,

所以平面PDBJ■平面ABC.

(3)由(2)可知PO，平面48c.

△ABC中，AB=V3./-ABC=60%4C=3,由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cos600,

所以SC?一百BC-6=0，

所以BC=2如或一B(舍去).

△ABC的面積SMBC=\AB-BC-s譏60。=1-V3-2V3-y=^.

所以三棱錐P-ABC的體積/TBC=：XShABCxPD=V3.

解析：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查三棱錐體積的求法.解

題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化.

(1)利用線段成比例，直線平行；

(2)PD_L平面ABC,從而平面PAC_L平面ABC；

(3)用余弦定理得AC長，求得△ABC的面積，從而由三棱錐體積公式得到答案.

21.答案：解：(1)證明：四棱錐P-ABCD中，???ZB4D=44BC=90。.

BC//AD,mu平面PAD,BC<t￥?PAD,

直線BC〃平面PAD：

(2)解：四棱錐P—ABC。中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABC。,4B=BC=^AD,^BAD=

/.ABC=90。.設AD=2x,

則AB=BC=x,CD=V2x.。是A。的中點，

連接PO,OC,C￡>的中點為：E,連接OE,

則OE=—%,PO=V3x-PE=VPO2+OE2=隼,

△PCD面積為2位，可得：\PE-CD=247,

即：3*芻沙近刀=2夕，解得x=2,PO=2V3.

則%-4BCD=gX：(BC+4。)x48xPO

=ix1x(2+4)x2x2V3=44

解析：本題考查直線與平面平行的判定定理的應用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及

計算能力.

(1)利用直線與平面平行的判定定理證明即可.

(2)利用已知條件轉化求解幾何體的線段長，然后求解幾何體的體積即可.

22.答案：解：(1)證明：四棱錐P-ABCO中，

因為NB/W=/.ABC=90°,

所以，BC//AD,

因為ADu平面PAD,BC不在平面上，

所以，直線BC〃平面PAD；

(2)解：四棱錐P-ABCD中，側面PA。為等邊三角形且垂直于底面A8CQ,

。是AO的中點，連接尸O,則P014。，

???POJ"面ABCD,

AB=BC=-AD,乙BAD=/.ABC=90°,

2

設AD=2%,則ZB=BC=%,CD=V2x,

CO的中點為E,連接OCOE,

則OE=yx，PO=V3x.PE=VPO2+OE2=筌，

/PCD面積為2，，可得：三PE.CD=2小,

即：如浜,缶=2夕，解得x=2,PO=2V3.

則％-48CD=gX3(BC+40)X48x尸。=4A/3.

解析：本題考查棱錐的結構特征，考查線面平行的判定，面面垂直的性質.屬于中檔題.

(1)利用線面平行的判定定理得到證明；

(2)首先利用面面垂直的性質得到P。，面A8C。，再借助條件求出四邊形A8CC的面積，最后利用

體積公式得解.

23.答案：證明：(1)-E,F分別為尸C,尸8的中點，???EF〃BC.

?:4BC。是矩形，AADHBC,：.EF//AD,

■■■ADu平面PAD,EF仁平面PA。，二EF〃平面PAO.

取AO,BC的中點。，M,連接PO,OE,OM,ME,則P0J.4D,

4BF-0ME為三棱柱，E-OMCD為四棱錐.

???平面P40JL平面ABCD,：.P0，平面ABCD,

由己知可求得P。=V3.E到平面ABCD的距離為立，

2

V-\SABMO?y+^SOMCD.'=：?

解析：本題考查了空間直線，平面的垂直，平行問題，求解幾何體的體積，屬于中檔題，關鍵是運

用好定理，抓住條件.

(1)要證EF〃平面，由線面平行的判定定理，既要證EF平行于平面尸4。內的一條直線，通

過分析，證明EF〃4D即可；

(2)取AD,BC的中點0,M,連接PO,OE,OM,ME,確定尸0為四棱錐P-ABC。的高，求出P。=回

運用體積公式.日日求解即可.

U=\SABMO+IS0MCD-

24.答案：(I)證明：取AP的中點凡連結EEDF,

???E是PB中點，EF//\AB,ACD//EF,

四邊形CDE尸為平行四邊形，

???DF//CE,

又△PAD為正三角形，

PA1DF,從而P41CE,

又P41CD,CDCtCE=C,

PA1平面CDE,

又PAu平面PAB,???平面P4B1平面CDE.

(II)解：vAB//CD,PA1CD,

PA1AB,

又AB1AD,PA(\AD=A,

AB1平面PAD,CD1平面PAD,

：.MPD為PC與平面PAD所成角，

即NCPO=45。，從而CO=AD,

以A為原點，建立空間直角坐標系4-孫z,如圖所示,

Dy

設力￡>=2,則4(0,0,0),B(4,0,0),

P(0/，①。(0,2,0),E(2,1,y).

???族=(2《凈，而=(02，0)，

設平面ADE的法向量五=(x,?z),

，1\[3

則2%+/+32=0,取z=-4,翩=(70,-4)，

2y=o

由(I)知PA_L平面CDE,...&=(o,l,遮)是平面COE的一個法向量,

TT—4-^32局

???cos<AP,n>=―

2xV1919

??二面角A-DE-C的余弦值為一醇

解析：本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注

意向量法的合理運用.

(1)取4P的中點尸，連結EF,。凡推導出四邊形C￡>EF為平行四邊形，從而DF//CE,由此能證明

平面P4B1平面CDE-,

(2)以A為原點，建立空間直角坐標系4-xyz,利用向量法能求出二面角4一DE-C的余弦值.

25.答案：(I)證明：

取P0中點G,連結GF,

,:E,尸分別為BC,PA的中點，底面ABC。是邊長為2的菱形,

GF//BES.GF=BE,.?.四邊形BEGF是平行四邊形，

???BF//EG,

vBF<4平面PDE,EGu平面PDE,

BF〃面PDE.

(U)解：作DHJ.4E于4點，作H/J.PE于/點，連￡>/.

可得DHJ_平面PAB,PEu平面P4B,DHJ.PE,

又PEJ.HI,HICDH=H,HIDIH,DHu平面C/HPE_L平面。田,

又。/u平面。/H,PEJ.O/,

即4D/H是二面角。-PE一4的平面角，

AE=\/AB-+BE2—2AEBE-(MS12VP

=j4+l-2x2xlx(-i)=V7.

DE=x/DC2+CE1-2DC-CE-m.s6(r

=j4+l-2x2xlx(-1)=V3-

y4r?n7+3-4y[3

??cosZ-AED=—左—尸=-p,

2x6x77y/7

32

???sinZ-AED=1一片廳

*e,^Ai4ED=5XV3Xy/7X萬=V3,

??施嗤審,

PD=>JPA2+AD2=VT+4=V7.

PE=y/PA2+AE2=VT+7=VTO,

3+10-7V3

cosZz-nPrE7Dn=——-p-==-f=，

2xV3xV10V10

sin^PED=1--=^=,

'ioVio

S〉PED=1XV3XV10X福=亨,

V2ir-

D]_工_叵

一回一m

2

?DH273Vio2V10

DiV7V217

???二面角D-PE一4的大小的正弦值為出.

7

(也)解：設點C到平面PDE的距離為h,

??,Vp-CDE=^C-PDE9

**,]S&CDExP4=~