高中數(shù)學(xué)提分復(fù)習(xí)：利用正余弦定理和三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系解決圓錐曲線問(wèn)題專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)含答案

第5講利用正余弦定理和三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系解決圓錐曲線問(wèn)題一．選擇題（共9小題）1．設(shè)雙曲線的方程為，若雙曲線的漸近線被圓所截得的兩條弦長(zhǎng)之和為12，已知的頂點(diǎn)，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)在雙曲線上，則的值等于A． B． C． D．2．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是雙曲線右支上一點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．3．已知，為雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，交左支于點(diǎn)，△是等腰直角三角形，，則雙曲線的離心率為A．4 B． C．2 D．4．已知，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，的右支上的一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是A． B．， C．， D．，5．已知雙曲線的一條漸近線方程，且點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，且，為雙曲線左右焦點(diǎn)，△的面積為，且，則雙曲線的實(shí)軸的長(zhǎng)為A．1 B．2 C．4 D．6．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是雙曲線右支上一點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為A． B． C． D．7．已知點(diǎn)和是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值A(chǔ)． B． C． D．8．已知為經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦，為拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，若弦的斜率為，則的正切值為A． B． C．1 D．不存在9．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，，則與的面積之比A． B． C． D．二．填空題（共8小題）10．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率的取值范圍為．11．設(shè)，分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為，最小值為．12．設(shè)、分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值為．13．已知點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線左支上一點(diǎn)，線段與圓相切于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為．14．拋物線的過(guò)焦點(diǎn)的弦，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以為直徑的圓與軸有個(gè)公共點(diǎn)；拋物線準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，若，．15．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于，，則與的面積之比．16．已知點(diǎn)和拋物線，過(guò)的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)．若，則．17．已知點(diǎn)和拋物線，過(guò)的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于、兩點(diǎn)，若以為直徑的圓過(guò)，則三．解答題（共1小題）18．設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，其中為原點(diǎn)，為橢圓的離心率．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，且，求直線的斜率的取值范圍．第5講利用正余弦定理和三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系解決圓錐曲線問(wèn)題參考答案與試題解析一．選擇題（共9小題）1．設(shè)雙曲線的方程為，若雙曲線的漸近線被圓所截得的兩條弦長(zhǎng)之和為12，已知的頂點(diǎn)，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)在雙曲線上，則的值等于A． B． C． D．【解答】解：雙曲線的一條漸近線方程為，雙曲線的漸近線被圓，即所截得的兩條弦長(zhǎng)之和為12，設(shè)圓心到直線的距離為，則，，即，即，，，由正弦定理可得，，，，，故選：．2．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是雙曲線右支上一點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．【解答】解：在等腰三角形中，，，可得，由雙曲線的定義可得，即有．故選：．3．已知，為雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，交左支于點(diǎn)，△是等腰直角三角形，，則雙曲線的離心率為A．4 B． C．2 D．【解答】解：設(shè)，，△是等腰直角三角形，，，，由，，①由，，②由①②可得，，由余弦定理可得，，，故選：．4．已知，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，的右支上的一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是A． B．， C．， D．，【解答】解：，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，，，得，雙曲線的焦距為，，，點(diǎn)在雙曲線上運(yùn)動(dòng)，，，，，，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，，的取值范圍是，．故選：．5．已知雙曲線的一條漸近線方程，且點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，且，為雙曲線左右焦點(diǎn)，△的面積為，且，則雙曲線的實(shí)軸的長(zhǎng)為A．1 B．2 C．4 D．【解答】解：雙曲線的漸近線方程為，由一條漸近線方程為，可得，由雙曲線定義有，兩邊平方得①由余弦定理，有，即為②由①②可得，△的面積為，可得，解得，，故選：．6．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是雙曲線右支上一點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為A． B． C． D．【解答】解：雙曲線的，在等腰三角形中，，，可得，由雙曲線的定義可得，解得，則，故選：．7．已知點(diǎn)和是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值A(chǔ)． B． C． D．【解答】解：為橢圓左焦點(diǎn)，設(shè)右焦點(diǎn)為，則由橢圓定義，于是．當(dāng)不在直線與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，、、三點(diǎn)構(gòu)成三角形，于是，而當(dāng)在直線與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，在第三象限交點(diǎn)時(shí)有，在第一象限交點(diǎn)時(shí)有．顯然當(dāng)在直線與橢圓第一象限交點(diǎn)時(shí)有最大值，其最大值為．故選：．8．已知為經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦，為拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，若弦的斜率為，則的正切值為A． B． C．1 D．不存在【解答】解：拋物線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，準(zhǔn)線方程為點(diǎn)坐標(biāo)為，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，的斜率為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，代入拋物線方程可得，，可以解得，或（舍去），，同理，可以解得，，．故選：．9．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，，則與的面積之比A． B． C． D．【解答】解：拋物線方程為，焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，，準(zhǔn)線方程為，如圖，設(shè)，，，，過(guò)，分別向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為，，則，，把代入拋物線，得，，直線過(guò)點(diǎn)與方程為，代入拋物線方程，解得，，，在中，，，故選：．二．填空題（共8小題）10．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率的取值范圍為，．【解答】解：法一：，，，，，，設(shè)，則，，，．法二：，，令，，，，，，，，，．故答案為：，．11．設(shè)，分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為15，最小值為．【解答】解：將的坐標(biāo)代入橢圓方程可得，即在橢圓外，連結(jié)、，橢圓的，，，，，由橢圓的定義可得，，，由，，，的最大值和最小值分別為15和故答案為：15，．12．設(shè)、分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值為．【解答】解：．，．，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)，，共線時(shí)取等號(hào)．故答案為：．13．已知點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線左支上一點(diǎn)，線段與圓相切于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，設(shè)圓的圓心為，圓的方程為的圓心為，，半徑，則有，若，則，，；線段與圓相切于點(diǎn)，則以及，則有，即，即，由雙曲線的性質(zhì)有，則雙曲線的離心率；故答案為：．14．拋物線的過(guò)焦點(diǎn)的弦，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以為直徑的圓與軸有1個(gè)公共點(diǎn)；拋物線準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，若，．【解答】解：拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，由拋物線的定義可得，設(shè)的中點(diǎn)為，可得到準(zhǔn)線的距離為，即有到軸的距離為，則以為直徑的圓與軸相切，可得與軸有1個(gè)交點(diǎn)；由，可得直線的斜率為，即有直線的方程為，代入拋物線的方程，可得，解得，即有，，，，，可得直線的斜率為，直線的斜率為，則，，由，，解得，則．故答案為：1，．15．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于，，則與的面積之比．【解答】解：拋物線方程為，焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，，準(zhǔn)線方程為如圖，設(shè)，，，，過(guò)，分別向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為，，則，，把代入拋物線，得，，直線過(guò)點(diǎn)與，方程為，代入拋物線方程，解得，，在中，，，故答案為16．已知點(diǎn)和拋物線，過(guò)的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)．若，則2．【解答】解：拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)，兩點(diǎn)的直線方程為，聯(lián)立可得，，設(shè)，，，，則，，，，，，，，，，，整理可得，，，即，．故答案為：217．已知點(diǎn)和拋物線，過(guò)的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于、兩點(diǎn)，若以為直徑的圓過(guò)，則2【解答】解：拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)，兩點(diǎn)的直線方程為，聯(lián)立，可得，設(shè)，，，，則，，，，，，，，，以為直徑的圓過(guò)，，，整理可得，，，即，解得．故答案為：2三．解答題（共1小題）18．設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，其中為原點(diǎn)，為橢圓的離心率．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于