備考2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化訓(xùn)練第二章函數(shù)第3講函數(shù)的奇偶性周期性與對(duì)稱性抽象函數(shù)問題的解題策略

抽象函數(shù)問題的解題策略策略1賦值法例6[多選/2024新高考卷Ⅰ]已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（xy）＝y(tǒng)2f（x）＋x2f（y），則（ABC）A.f（0）＝0 B.f（1）＝0C.f（x）是偶函數(shù) D.x＝0為f（x）的微小值點(diǎn)解析解法一令x＝y(tǒng)，則有f（x2）＝2x2f（x）.當(dāng)x＝0時(shí)，可得f（0）＝0，A正確.當(dāng)x＝1時(shí)，可得f（1）＝2f（1），所以f（1）＝0，B正確.因?yàn)閒（（－x）2）＝2（－x）2·f（－x），即f（x2）＝2x2f（－x），所以f（－x）＝f（x），所以函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，C正確.因?yàn)闊o法推斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，所以無法確定f（x）的極值點(diǎn)，故D不正確，故選ABC.解法二取x＝y(tǒng)＝0，則f（0）＝0，故A正確；取x＝y(tǒng)＝1，則f（1）＝f（1）＋f（1），所以f（1）＝0，故B正確；取x＝y(tǒng)＝－1，則f（1）＝f（－1）＋f（－1），所以f（－1）＝0，取y＝－1，則f（－x）＝f（x）＋x2f（－1），所以f（－x）＝f（x），所以函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，故C正確；因?yàn)閒（0）＝0，且函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，所以函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以x＝0可能為函數(shù)f（x）的微小值點(diǎn)，也可能為函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，也可能不是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，故D不正確.綜上，選ABC.方法技巧賦值法是指利用已知條件，對(duì)變量賦值，從而得出抽象函數(shù)在某點(diǎn)處的函數(shù)值或抽象函數(shù)的性質(zhì).策略2性質(zhì)轉(zhuǎn)化法例7（1）[2024全國(guó)卷乙]已知函數(shù)f（x），g（x）的定義域均為R，且f（x）＋g（2－x）＝5，g（x）－f（x－4）＝7.若y＝g（x）的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，g（2）＝4，則∑22k=1f（k）＝（A.－21 B.－22 C.－23 D.－24解析由y＝g（x）的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，可得g（2＋x）＝g（2－x）.在f（x）＋g（2－x）＝5中，用－x替換x，可得f（－x）＋g（2＋x）＝5，可得f（－x）＝f（x）①，所以y＝f（x）為偶函數(shù).在g（x）－f（x－4）＝7中，用2－x替換x，得g（2－x）＝f（－x－2）＋7，代入f（x）＋g（2－x）＝5中，得f（x）＋f（－x－2）＝－2②，所以y＝f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（－1，－1）中心對(duì)稱，所以f（1）＝f（－1）＝－1.由①②可得f（x）＋f（x＋2）＝－2，所以f（x＋2）＋f（x＋4）＝－2，所以f（x＋4）＝f（x），所以函數(shù)f（x）是以4為周期的周期函數(shù).由f（x）＋g（2－x）＝5可得f（0）＋g（2）＝5，又g（2）＝4，所以可得f（0）＝1，又f（x）＋f（x＋2）＝－2，所以f（0）＋f（2）＝－2，得f（2）＝－3，又f（3）＝f（－1）＝－1，f（4）＝f（0）＝1，所以∑k=122f（k）＝5（f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4））＋f（1）＋f（2）＝－（2）[多選/2024新高考卷Ⅰ]已知函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f'（x）的定義域均為R，記g（x）＝f'（x）.若f（32－2x），g（2＋x）均為偶函數(shù)，則（BCA.f（0）＝0 B.g（－12）＝C.f（－1）＝f（4） D.g（－1）＝g（2）解析解法一（轉(zhuǎn)化法）因?yàn)閒（32－2x）為偶函數(shù)，所以f（32－2x）＝f（32＋2x），函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝32對(duì)稱，則f（－1）＝f（4），所以C正確；因?yàn)間（2＋x）為偶函數(shù)，所以g（2＋x）＝g（2－x），函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，因?yàn)間（x）＝f'（x），所以函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（32，0）對(duì)稱，（二級(jí)結(jié)論：若函數(shù)h（x）為偶函數(shù)，則其圖象上在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)處的切線的斜率互為相反數(shù)，即其導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.本題函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝32對(duì)稱，則其導(dǎo)函數(shù)g（因?yàn)間（x）的定義域?yàn)镽，所以g（32）＝0.由g（x）的圖象既關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)（32，0）對(duì)稱，知g（x）的周期T＝4×（2－32）＝2，所以g（－12）＝g（3g（－1）＝g（1）＝－g（2），所以B正確，D錯(cuò)誤；不妨取f（x）＝1（x∈R），閱歷證滿意題意，則f（0）＝1，所以選項(xiàng)A不正確.綜上，選BC.解法二（特例法）因?yàn)閒（32－2x），g（2＋x）均為偶函數(shù)，所以函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝32對(duì)稱，函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱.取符合題意的一個(gè)函數(shù)f（x）＝1（x∈R），則f（0）＝1，解除A；取符合題意的一個(gè)函數(shù)f（x）＝sinπx，則f'（x）＝πcosπx，即g（x）＝πcosπx，所以g（－1）＝πcos（－π）＝－π，g（2）＝πcos2π＝π，所以g（－1）≠g（2），解除D.方法技巧1.思路：利用題設(shè)中的條件等式，將其變形為滿意函數(shù)某些性質(zhì)的定義表達(dá)式，從而利用這些性質(zhì)轉(zhuǎn)化求解.2.設(shè)函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f'（x）的定義域均為R.（1）若f（x）的圖象關(guān)于x＝a對(duì)稱，則f'（x）的圖象關(guān)于（a，0）對(duì)稱；（2）若f（x）的圖象關(guān)于（a，b）對(duì)稱，則f'（x）的圖象關(guān)于x＝a對(duì)稱；（3）若f（x）是以T為周期的函數(shù)，則f'（x）也是以T為周期的函數(shù).留意利用函數(shù)圖象的平移變換解決抽象函數(shù)性質(zhì)問題時(shí)，留意在進(jìn)行圖象變換的同時(shí)，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸或者對(duì)稱中心也進(jìn)行了相應(yīng)的變換.策略3特別函數(shù)模型法例8定義在R上的函數(shù)f（x）滿意f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy（x，y∈R），f（1）＝2，則f（－3）＝（C）A.2 B.3 C.6 D.9解析解法一由函數(shù)f（x）滿意f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy（x，y∈R），聯(lián)想到函數(shù)模型f（x）＝x2＋bx，由f（1）＝2，可得b＝1，則f（x）＝x2＋x，所以f（－3）＝（－3）2＋（－3）＝6.解法二f（1）＝f（1＋0）＝f（1）＋f（0）＋2×1×0＝f（1）＋f（0），得f（0）＝0；f（0）＝f（－1＋1）＝f（－1）＋f（1）＋2×（－1）×1＝f（－1）＋2－2＝f（－1），得f（－1）＝0；f（－2）＝f（－1－1）＝f（－1）＋f（－1）＋2×（－1）×（－1）＝2f（－1）＋2＝2；f（－3）＝f（－2－1）＝f（－2）＋f（－1）＋2×（－2）×（－1）＝2＋0＋4＝6.故選C.方法技巧常用函數(shù)模型抽象函數(shù)性質(zhì)基本函數(shù)模型f（x±y）＝f（x）±f（y）?b一次函數(shù)f（x）＝kx＋b（k≠0）f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy二次函數(shù)f（x）＝x2＋bxf（xy）＝f（x）f（y）或f（xy）＝冪函數(shù)f（x）＝xαf（x＋y）＝f（x）f（y）或f（x－y）＝f指數(shù)函數(shù)f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）f（xy）＝f（x）＋f（y）或f（xy）＝f（x）－f（y對(duì)數(shù)函數(shù)f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）f（y）余弦函數(shù)f（x）＝cosωx（ω一般取滿意要求的最小正數(shù)）留意應(yīng)用特別函數(shù)模型法解題時(shí)，要留意檢驗(yàn)所選模型是否滿意已知條件.訓(xùn)練5（1）[新高考卷Ⅰ]若定義在R上的奇函數(shù)f（x）在（－∞，0）上單調(diào)遞減，且f（2）＝0，則滿意xf（x－1）≥0的x的取值范圍是（D）A.[－1，1]∪[3，＋∞） B.[－3，－1]∪[0，1]C.[－1，0]∪[1，＋∞） D.[－1，0]∪[1，3]解析由題意知f（x）在（－∞，0），（0，＋∞）上單調(diào)遞減，且f（－2）＝f（2）＝f（0）＝0.當(dāng)x＞0時(shí)，令f（x－1）≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；當(dāng)x＜0時(shí)，令f（x－1）≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1，又x＜0，∴－1≤x＜0；當(dāng)x＝0時(shí)，明顯符合題意.綜上，原不等式的解集為[－1，0]∪[1，3]，故選D.（2）[多選/2024安徽省阜陽市模擬]已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，對(duì)隨意實(shí)數(shù)x，y滿意f（x－y）＝f（x）－f（y）＋1，且f（1）＝0，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜1.則下列選項(xiàng)正確的是（ACD）A.f（0）＝1 B.f（2）＝－2C.f（x）－1為奇函數(shù) D.f（x）為R上的減函數(shù)解析解法一設(shè)f（x）＝kx＋1，因?yàn)閒（1）＝0，所以k＝－1，所以f（x）＝－x＋1，滿意x＞0時(shí)，f（x）＜1，則易得A，C，D均正確，故選ACD.解法二對(duì)于A，取x＝y(tǒng)＝0，則f（0）＝f（0）－f（0）＋1，故f（0）＝1，A正確；對(duì)于B，取x＝0，y＝1，則f（－1）＝f（0）－f（1）＋1＝2，取x＝1，y＝－1，則f（2）＝f（1）－f（－1）＋1＝－1，B錯(cuò)誤﹔對(duì)于C，取x＝0，則f（－y）＝f（0）－f（y）＋1＝2－f（y），f（－y）－1＝－[f（y）－1]，則f（y）－1為奇函數(shù)，所以f（x）－1為奇函數(shù)，C正確；對(duì)于D，當(dāng)x1＞x2時(shí)，x1－x2＞0，f（x1－x2）＜1，則f（x1）－f（x2）＝f（x1－x2）－1＜0，故f（x）是R上的減函數(shù)，D正確，故選ACD.（3）已知函數(shù)f（x）滿意f（1）＝14，且4f（x）f（y）＝f（x＋y）＋f（x－y）（x，y∈R），則f（2024）＝－14解析解法一令y＝1，得4f（x）f（1）＝f（x＋1）＋f（x－1），即f（x＋1）＝f（x）－f（x－1），f（x＋2）＝f（x＋1）－f（x）＝－f（x－1），即f（x＋3）＝－f（x），所以函數(shù)f（x）的周期為6，則f（2024）＝f（2）.令x＝1，y＝0，得f（0）＝12，由f（x＋1）＝f（x）－f（x－1），可得f（2）＝f（1）－f（0）＝－14，所以f（2024）＝－解法二因?yàn)閒（x＋y）＋f（x－y）＝4