四川省眉山市2025屆高三數(shù)學(xué)一輪講義7函數(shù)的周期性

Page12函數(shù)的周期性：學(xué)問(wèn)梳理一周期函數(shù)的定義：1.函數(shù)對(duì)定義域中的隨意都滿(mǎn)意函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)例.設(shè)函數(shù)則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.的值域?yàn)锽.是偶函數(shù)C.不是周期函數(shù)D.不是單調(diào)函數(shù)2.由周期函數(shù)的定義獲得的小性質(zhì)：（1）若是函數(shù)的周期，則也是函數(shù)的周期，若函數(shù)的定義域?yàn)?，則也是函數(shù)的周期（2）周期函數(shù)的定義域不行能為閉區(qū)間3.最小正周期：假如在周期函數(shù)f(x)的全部周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．留意：不是全部的周期函數(shù)都有最小正周期，如：；二周期函數(shù)的性質(zhì)1.的周期為的周期為例：若存在常數(shù)，使得函數(shù)滿(mǎn)意：，則的一個(gè)正周期為。2.若函數(shù)滿(mǎn)意：；；；；則函數(shù)是周期函數(shù)；3.函數(shù)的周期性、對(duì)稱(chēng)性的區(qū)分：(1)，這是周期問(wèn)題；周期為；，這是對(duì)稱(chēng)軸問(wèn)題；對(duì)稱(chēng)軸為。(2)，這是周期問(wèn)題；周期為；，這是對(duì)稱(chēng)軸中心問(wèn)題；對(duì)稱(chēng)軸中心為。4.為奇函數(shù)（或偶函數(shù)），且有對(duì)稱(chēng)軸（或?qū)ΨQ(chēng)中心），則為周期函數(shù)；（駕馭周期的推法）例1.1.(2024·全國(guó)Ⅱ卷)已知f(x)是定義域?yàn)?－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿(mǎn)意f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A.－50 B.0 C.2 D.502.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且g(x)＝f(x－1)，則f(2017)＋f(2019)的值為()A．－1B．1C．0D．無(wú)法計(jì)算3.函數(shù)y＝f(x)對(duì)隨意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱(chēng)，f(1)＝4，則f(2016)＋f(2017)＋f(2018)的值為_(kāi)_______.5.為奇函數(shù)，且是以為周期的周期函數(shù)，則有對(duì)稱(chēng)中心；6.為偶函數(shù)，且是以為周期的周期函數(shù)，則有對(duì)稱(chēng)軸；7.為奇函數(shù)且滿(mǎn)意，則①關(guān)于對(duì)稱(chēng)；②關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；③的周期為。例題分析：例1：求周期函數(shù)的表達(dá)式1.設(shè)f(x)是定義在R上以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)，則當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f(x)＝________.2．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)隨意實(shí)數(shù)x恒有f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)＝2x－x2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)x∈[2,4]時(shí)，求f(x)的解析式；(3)計(jì)算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)．例2.求周期函數(shù)的值1.(2024·江蘇卷)函數(shù)f(x)滿(mǎn)意f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在區(qū)間(－2，2]上，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cos\f(πx,2)，0<x≤2，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，－2<x≤0，))則f[f(15)]的值為_(kāi)_______.2.定義在上的函數(shù)滿(mǎn)意.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（）A.335B.338C.1678D.20123.設(shè)函數(shù)f（x）（x∈R）為奇函數(shù)，f（1）＝，f（x＋2）＝f（x）＋f（2），則f（5）＝（）A．0B．1C．D．54.設(shè)是定義在上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間上，其中，若，則的值為.例3.求函數(shù)的周期1．已知函數(shù)滿(mǎn)意，當(dāng)0<x<時(shí)，，則=__________.2.定義在R上的偶函數(shù)滿(mǎn)意，且在上單調(diào)遞增，設(shè)，，，則大小關(guān)系是 ()A．B．C．D．3.若定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)f(x)滿(mǎn)意f(x)>0，，對(duì)隨意x∈R恒成立，則f(2019)等于()A．4B．3C．2D．14．設(shè)f(x)是(－∞，+∞)上的奇函數(shù)，f(x+2)=－f(x)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)=x，則f(7.5)等于（） A．1.5 B．－0.5 C．0.5 D．－1.55.已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，有f(x＋3)＝－f(x)，且當(dāng)x∈(0，3)時(shí)，f(x)＝x＋1，則f(－2017)＋f(2018)＝()A.3 B.2 C.1 D.0例4.畫(huà)周期函數(shù)的圖像1．若定義在上的函數(shù)滿(mǎn)意且時(shí)，，則方程的根的個(gè)數(shù)是A．4 B．5C．6 D．72.已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0≤x<2時(shí)，f(x)＝x3－x，則函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0，6]上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.A．6 B．7C．8 D．93.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)意f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則()A．f(－25)<f(11)<f(80)B．f(80)<f(11)<f(－25)C．f(11)<f(80)<f(－25) D．f(－25)<f(80)<f(11)4.已知定義在R上的偶函數(shù)滿(mǎn)意：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，y＝f(x)單調(diào)遞減，給出以下四個(gè)命題：①f(2)＝0；②x＝－4為函數(shù)y＝f(x)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸；③函數(shù)y＝f(x)在[8,10]上單調(diào)遞增；④若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的兩根為x1，x2則x1＋x2＝－8.以上命題中全部正確命題的序號(hào)為_(kāi)_______．函數(shù)的周期性：學(xué)問(wèn)梳理一周期函數(shù)的定義：1.函數(shù)對(duì)定義域中的隨意都滿(mǎn)意函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)例.設(shè)函數(shù)則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.的值域?yàn)锽.是偶函數(shù)C.不是周期函數(shù)D.不是單調(diào)函數(shù)答案:C.2.由周期函數(shù)的定義獲得的小性質(zhì)：（1）若是函數(shù)的周期，則也是函數(shù)的周期，若函數(shù)的定義域?yàn)?，則也是函數(shù)的周期（2）周期函數(shù)的定義域不行能為閉區(qū)間3.最小正周期：假如在周期函數(shù)f(x)的全部周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．留意：不是全部的周期函數(shù)都有最小正周期，如：；二周期函數(shù)的性質(zhì)1.的周期為的周期為例：若存在常數(shù)，使得函數(shù)滿(mǎn)意：，則的一個(gè)正周期為。答案：的正整數(shù)倍都是答案。2.若函數(shù)滿(mǎn)意：；；；；則函數(shù)是周期函數(shù)；3.函數(shù)的周期性、對(duì)稱(chēng)性的區(qū)分：(1)，這是周期問(wèn)題；周期為；，這是對(duì)稱(chēng)軸問(wèn)題；對(duì)稱(chēng)軸為。(2)，這是周期問(wèn)題；周期為；，這是對(duì)稱(chēng)軸中心問(wèn)題；對(duì)稱(chēng)軸中心為。4.為奇函數(shù)（或偶函數(shù)），且有對(duì)稱(chēng)軸（或?qū)ΨQ(chēng)中心），則為周期函數(shù)；（駕馭周期的推法）例1.1.(2024·全國(guó)Ⅱ卷)已知f(x)是定義域?yàn)?－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿(mǎn)意f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A.－50 B.0 C.2 D.50答案：C解析：法一∵f(x)在R上是奇函數(shù)，且f(1－x)＝f(1＋x).∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x).因此f(x＋4)＝f(x)，則函數(shù)f(x)是周期為4的函數(shù)，由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.法二取一個(gè)符合題意的函數(shù)f(x)＝2sineq\f(πx,2)，則結(jié)合該函數(shù)的圖象易知數(shù)列{f(n)}(n∈N*)是以4為周期的周期數(shù)列.故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.2.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且g(x)＝f(x－1)，則f(2017)＋f(2019)的值為()A．－1B．1C．0D．無(wú)法計(jì)算答案：C解析：由題意，得g(－x)＝f(－x－1)，又∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，∴f(x)的周期為4，∴f(2017)＝f(1)，f(2019)＝f(3)＝f(－1)，又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0，∴f(2017)＋f(2019)＝0.3.函數(shù)y＝f(x)對(duì)隨意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱(chēng)，f(1)＝4，則f(2016)＋f(2017)＋f(2018)的值為_(kāi)_______.答案：4解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以f(x)是R上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期為4.所以f(2017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，所以f(2016)＋f(2018)＝－f(2014)＋f(2014＋4)＝－f(2014)＋f(2014)＝0，所以f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＝4.5.為奇函數(shù)，且是以為周期的周期函數(shù)，則有對(duì)稱(chēng)中心；6.為偶函數(shù)，且是以為周期的周期函數(shù)，則有對(duì)稱(chēng)軸；7.為奇函數(shù)且滿(mǎn)意，則①關(guān)于對(duì)稱(chēng)；②關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；③的周期為。例題分析：例1：求周期函數(shù)的表達(dá)式1.設(shè)f(x)是定義在R上以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)，則當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f(x)＝________.答案log2(3－x)解析當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，x－2∈[－1，0]，2－x∈[0，1]，又f(x)在R上是以2為周期的偶函數(shù)，∴f(x)＝f(x－2)＝f(2－x)＝log2(2－x＋1)＝log2(3－x).2．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)隨意實(shí)數(shù)x恒有f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)＝2x－x2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)x∈[2,4]時(shí)，求f(x)的解析式；(3)計(jì)算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)．(1)證明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)．(2)解∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8，又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．(3)解∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1.又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2012)＋f(2013)＋f(2014)＋f(2015)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)＝f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.例2.求周期函數(shù)的值1.(2024·江蘇卷)函數(shù)f(x)滿(mǎn)意f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在區(qū)間(－2，2]上，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cos\f(πx,2)，0<x≤2，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，－2<x≤0，))則f[f(15)]的值為_(kāi)_______.答案eq\f(\r(2),2)解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿(mǎn)意f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函數(shù)f(x)的最小正周期是4.因?yàn)樵趨^(qū)間(－2，2]上，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cos\f(πx,2)，0<x≤2，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，－2<x≤0，))所以f(15)＝f(－1)＝eq\f(1,2)，因此f[f(15)]＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).2.定義在上的函數(shù)滿(mǎn)意.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（）A.335B.338C.1678D.2012答案：B解析：定義在上的函數(shù)滿(mǎn)意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=.3.設(shè)函數(shù)f（x）（x∈R）為奇函數(shù)，f（1）＝，f（x＋2）＝f（x）＋f（2），則f（5）＝（）A．0B．1C．D．5答案:C解析：提示：把代入4.設(shè)是定義在上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間上，其中，若，則的值為.答案：解析：由題意，所以又②，解①②得例3.求函數(shù)的周期1．已知函數(shù)滿(mǎn)意，當(dāng)0<x<時(shí)，，則=__________.答案：2.定義在R上的偶函數(shù)滿(mǎn)意，且在上單調(diào)遞增，設(shè)，，，則大小關(guān)系是 ()A．B．C．D．答案：D3.若定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)f(x)滿(mǎn)意f(x)>0，，對(duì)隨意x∈R恒成立，則f(2019)等于()A．4B．3C．2D．1答案：D解析因?yàn)閒(x)>0，f(x＋2)＝eq\f(1,fx)，所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝eq\f(1,fx＋2)＝eq\f(1,\f(1,fx))＝f(x)，即函數(shù)f(x)的周期是4，所以f(2019)＝f(505×4－1)＝f(－1)．因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為偶函數(shù)，所以f(2019)＝f(－1)＝f(1)．當(dāng)x＝－1時(shí)，f(－1＋2)＝eq\f(1,f－1)，得f(1)＝eq\f(1,f1).即f(1)＝1，所以f(2019)＝f(1)＝1.4．設(shè)f(x)是(－∞，+∞)上的奇函數(shù)，f(x+2)=－f(x)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)=x，則f(7.5)等于（） A．1.5 B．－0.5 C．0.5 D．－1.5答案：B5.已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，有f(x＋3)＝－f(x)，且當(dāng)x∈(0，3)時(shí)，f(x)＝x＋1，則f(－2017)＋f(2018)＝()A.3 B.2 C.1 D.0答案C解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(－2017)＝－f(2017)，因?yàn)楫?dāng)x≥0時(shí)，有f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即當(dāng)x≥0時(shí)，自變量的值每增加6，對(duì)應(yīng)函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)一次.又當(dāng)x∈(0，3)時(shí)，f(x)＝x＋1，∴f(2017)＝f(336×6＋1)＝f(1)＝2，f(2018)＝f(336×6＋2)＝f(2)＝3.故f(－2017)＋f(2018)＝－f(2017)＋3＝1.例4.畫(huà)周期函數(shù)的圖像1．若定義在上的函數(shù)滿(mǎn)意且時(shí)，，則方程的根的個(gè)數(shù)是A．4 B．5C．6 D．7答案：A解析：因?yàn)楹瘮?shù)滿(mǎn)意，所以函數(shù)是周期為的周期函數(shù).又時(shí)，，所以函數(shù)的圖象如圖所示.再作出的圖象，如圖，易得兩函數(shù)的圖象有個(gè)交點(diǎn)，所以方程有個(gè)根．故選A．2.已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0≤x<2時(shí)，f(x)＝x3－x，則函數(shù)y