2024年高中數(shù)學(xué)同步高分突破講義(人教A版2019)2.5直線與圓的最值問(wèn)題-(選擇性必修第一冊(cè))(學(xué)生版+解析)

直線與圓的最值問(wèn)題1最值模型(1)(i)點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)，點(diǎn)P在直線l上，則AP+BPmin=AB'(當(dāng)點(diǎn)A、P、B'共線時(shí)取到)，點(diǎn)B'是點(diǎn)B關(guān)于直線(ii)點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)，點(diǎn)P在直線l上，則|AP?BP|max=AB(當(dāng)點(diǎn)(iii)點(diǎn)A、B在直線l異側(cè)，點(diǎn)P在直線l上，則|AP?BP|max=AB'(當(dāng)點(diǎn)A、P、B共線時(shí)取到)，點(diǎn)B'是點(diǎn)B關(guān)于直線(2)某點(diǎn)M到圓⊙O上點(diǎn)(i)若點(diǎn)M在圓內(nèi)，則MNmin=M(ii)若點(diǎn)M在圓外，則MNmin=M(3)若直線l與圓⊙O相離，圓上一點(diǎn)P到直線l的距離為PE，d為圓心O到直線l的距離，r為圓半徑，則PEmin=P2圓的參數(shù)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x?a2+y?b2=它對(duì)應(yīng)的圓的參數(shù)方程：x=rcosθ+ay=rsinθ+b(θ理解：如圖，易得rcosθ=有向線段HM=x?a?x=rcosθ+a，rsinθ=有向線段HP=y?b?y=rsinθ+b.Eg圓x+12+【題型一】幾何法處理最值問(wèn)題情況1三點(diǎn)共線模型【典題1】P是直線L：3x?y?1=0上一點(diǎn)，求(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距離之差的最大值；(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距離之和的最小值．情況2斜率型最值【典題1】如果實(shí)數(shù)x,y滿足條件：x?22+y2=3，那么情況3兩點(diǎn)距離型最值【典題1】已知點(diǎn)M(a,b)在直線l：3x+4y=25上，則a2+b2的最小值為【典題2】已知點(diǎn)P，Q分別在直線l1：x+y+2=0與直線l2：x+y?1=0上，且PQ⊥l1，點(diǎn)A(?3,?3)，B(32情況4圓外一定點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離最值【典題1】已知x、y滿足x?12+y2=1，則【典題2】已知點(diǎn)P(7,3)，圓M：x2+y2?2x?10y+25=0，點(diǎn)Q為在圓M上一點(diǎn)，點(diǎn)S在x軸上，則情況5圓上一點(diǎn)到圓外一定直線的距離最值【典題1】已知兩點(diǎn)A(?1,0)、B(0,2)，若點(diǎn)P是圓x?12+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，則鞏固練習(xí)1(★★)已知x2+y2=1，則y2(★★)已知點(diǎn)P(x,y)在圓x2+y2=1上，則(x?1)2+(y?13(★★)已知圓x2+y?22=1上一動(dòng)點(diǎn)A，定點(diǎn)B(6,1)；x軸上一點(diǎn)W4(★★)已知兩個(gè)同心圓的半徑分別為3和4，圓心為O．點(diǎn)P、Q分別是大圓、小圓上的任意一點(diǎn)，線段PQ的中垂線為l．若光線從點(diǎn)O射出，經(jīng)直線l(入射光線與直線l的公共點(diǎn)為A)反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q，則OA?|AQ|5(★★)已知點(diǎn)A(?2,0),B(0,2)，若點(diǎn)P在圓x?32+y+12=26(★★)過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作圓：x?32+y?42=1的切線PQ，其中Q為切點(diǎn)，若|PQ|=|PO|(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則|PQ|7(★★)已知直線l：x?y+4=0與x軸相交于點(diǎn)A，過(guò)直線l上的動(dòng)點(diǎn)P作圓x2+y2=4的兩條切線，切點(diǎn)分別為C，D兩點(diǎn)，記M是CD的中點(diǎn)，則|AM|8(★★)已知圓x?a2+y?b2=19(★★★)如圖，設(shè)圓C1：x?52+y+22=4，圓C2：x?72+y+12=25，點(diǎn)A、B分別是圓C1【題型二】代數(shù)法處理最值問(wèn)題【典題1】已知圓C的圓心在直線x?2y=0上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(0,?1)，N(1,6)．(1)求圓C的方程；(2)已知點(diǎn)A(1,1)，B(7,4)，若P為圓C上的一動(dòng)點(diǎn)，求PA2【典題2】已知直線l：y=x，圓C：x2+y2?4x+3=0，在l上任意取一點(diǎn)A，向圓C作切線，切點(diǎn)分別為M,N，則原點(diǎn)O到直線MN的距離d【典題3】已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2+(1)求y?x的最大值和最小值；(2)求x2+y2的最大值和最小值；【典題4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OABC的邊長(zhǎng)為4，E(0,1)，點(diǎn)F是正方形邊OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)O關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為G點(diǎn)，當(dāng)|GA+3GB|取得最小值時(shí)，直線GF的方程為鞏固練習(xí)1(★★)若實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2+4x－2y－4=0，則xA．5+3 B．65+14 C．?52(★★★)[多選題]若實(shí)數(shù)x,y滿足條件x2A．x+y的范圍是[0,2] B．x2C．xy的最大值為1D．y?2x+1的范圍是3(★★★)[多選題]已知點(diǎn)P(2,4)，若過(guò)點(diǎn)Q(4,0)的直線l交圓C：x?62+y2=9于A,BA．|AB|的最小值為25 B．P到l的距離的最大值為2C．PQ?PR的最小值為12－25 D．4(★★)已知點(diǎn)A(1,1),B(2,2)，點(diǎn)P在直線y=12x上，求PA2+5(★★★)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x?22+y2=1，M為圓C的圓心，過(guò)原點(diǎn)O的直線l與圓C相交于A,B兩點(diǎn)(6(★★★)已知直線l過(guò)定點(diǎn)P(?2,1)，且交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A、交y軸正半軸于點(diǎn)B，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)若△AOB的面積為4，求直線l的方程；(2)求|OA|+|OB|的最小值，并求此時(shí)直線l的方程；(3)求|PA|?|PB|的最小值，并求此時(shí)直線l的方程．7(★★★)在平面直角坐標(biāo)系xOy中．已知圓C經(jīng)過(guò)A(0,2)，O(0,0)，D(t,0)(t>0)三點(diǎn)，M是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，l1,l2是過(guò)點(diǎn)B(1,0)且互相垂直的兩條直線，其中l(wèi)1交y軸于點(diǎn)E，l(1)若t=PQ=6，求直線l2的方程；(2)若t是使AM≤2BM恒成立的最小正整數(shù)，求△EPQ的面積的最小值．直線與圓的最值問(wèn)題1最值模型(1)(i)點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)，點(diǎn)P在直線l上，則AP+BPmin=AB'(當(dāng)點(diǎn)A、P、B'共線時(shí)取到)，點(diǎn)B'是點(diǎn)B關(guān)于直線(ii)點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)，點(diǎn)P在直線l上，則|AP?BP|max=AB(當(dāng)點(diǎn)(iii)點(diǎn)A、B在直線l異側(cè)，點(diǎn)P在直線l上，則|AP?BP|max=AB'(當(dāng)點(diǎn)A、P、B共線時(shí)取到)，點(diǎn)B'是點(diǎn)B關(guān)于直線(2)某點(diǎn)M到圓⊙O上點(diǎn)(i)若點(diǎn)M在圓內(nèi)，則MNmin=M(ii)若點(diǎn)M在圓外，則MNmin=M(3)若直線l與圓⊙O相離，圓上一點(diǎn)P到直線l的距離為PE，d為圓心O到直線l的距離，r為圓半徑，則PEmin=P2圓的參數(shù)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x?a2+y?b2=它對(duì)應(yīng)的圓的參數(shù)方程：x=rcosθ+ay=rsinθ+b(θ理解：如圖，易得rcosθ=有向線段HM=x?a?x=rcosθ+a，rsinθ=有向線段HP=y?b?y=rsinθ+b.Eg圓x+12+【題型一】幾何法處理最值問(wèn)題情況1三點(diǎn)共線模型【典題1】P是直線L：3x?y?1=0上一點(diǎn)，求(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距離之差的最大值；(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距離之和的最小值．【解析】(1)顯然A、B位于直線L兩側(cè)，作B關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接B'A，B'A所在直線與直線L交點(diǎn)為P1此時(shí)PA?PB的差值最大，最大值就是B'設(shè)B點(diǎn)關(guān)于L對(duì)稱點(diǎn)B'(a,b)，則b?4a?0×3=?1，(kBB'?kl=?1，得a=3，b=3，∴B'(3,3)，∴B即P到A(4,1)和B(0,4)的距離之差最大值為5；(2)顯然A、C位于直線L同側(cè)，(將軍飲馬模型)作點(diǎn)C關(guān)于直線L對(duì)稱點(diǎn)C'，連接C'A，C'A所在直線與直線L的交點(diǎn)為P2此時(shí)PA+PB之和最小，最小值為C'A，設(shè)C關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為C'(m,n)，可得n?4m?3=?1解得m=35，n=245∴C即P到A(4,1)和C(3,4)的距離之和最小值為26.【點(diǎn)撥】三點(diǎn)共線模型，主要是利用三角形三邊共線(任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取到最值，熟悉模型快速判斷模型是關(guān)鍵.情況2斜率型最值【典題1】如果實(shí)數(shù)x,y滿足條件：x?22+y2=3，那么【解析】滿足方程x?22+yyx=y?0x?0表示圓上動(dòng)點(diǎn)由圖可得動(dòng)點(diǎn)與B重合時(shí)，此時(shí)OB與圓相切，yx連接BC，在Rt△OBC中，BC=3，OC=2∵sin∠BOC=BCOC=此時(shí)yx【點(diǎn)撥】①本題很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合，把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題處理；②直線斜率公式是k=y1?y2x情況3兩點(diǎn)距離型最值【典題1】已知點(diǎn)M(a,b)在直線l：3x+4y=25上，則a2+b【解析】∵a2+b2(而a2又點(diǎn)M在直線l上，∴a2+b2的最小值為點(diǎn)O到直線l又d=2532+42【點(diǎn)撥】①本題解法中很好利用兩點(diǎn)距離公式AB=x(以下x、y是變量，它們滿足某些限制條件，a,b是常數(shù)求形如x?a2+y?b2或x?a2②本題用代數(shù)的方法求解與之比較下，體會(huì)下兩種方法的不同.【典題2】已知點(diǎn)P，Q分別在直線l1：x+y+2=0與直線l2：x+y?1=0上，且PQ⊥l1，點(diǎn)A(?3,?3)，B(32【解析】方法1由平行線距離公式得|PQ|=32設(shè)P(a,?a?2)，由圖可知kPQ=1，即傾斜角為∴2則Q(a+3所以AP=(a+3=(a+3)(利用兩點(diǎn)距離公式把所求的用a表示處理，此時(shí)若想用函數(shù)最值的方法求解較難)設(shè)點(diǎn)M(a,a)，C(1,?3)，D(?1,0)，如圖：則有(a+3=(即當(dāng)D、M、C三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立)，(此時(shí)巧妙的用兩點(diǎn)距離公式把式子(a+3)2綜上，|AP|+|PQ|+|QB|≥13方法2(把點(diǎn)A向PQ方向移動(dòng)|PQ|長(zhǎng)度單位到A1，則問(wèn)題“|AP|+|PQ|+|QB|的最小值”轉(zhuǎn)化為求在l2上找點(diǎn)Q使得A1Q+BQ最小，顯然是如圖，如方法1易得kPQ=1，PQ=取點(diǎn)A1m,n，使得k則n+3m+3=1解得m=?32，n此時(shí)四邊形AA則AP+顯然A1Q+QBmin【點(diǎn)撥】求形如x?a2可理解為動(dòng)點(diǎn)x,y與定點(diǎn)a,b、這充分把代數(shù)問(wèn)題幾何化，與斜率型的題型一樣，我們要充分理解，比如求式子|3x?4y+1|5情況4圓外一定點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離最值【典題1】已知x、y滿足x?12+y2=1，則【解析】方程x?12+y2=1而S=可理解為點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)N(?1,1)的距離平方，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓外一定點(diǎn)N(?1,1)到圓上點(diǎn)P(x,y)距離最小值，點(diǎn)N(?1,1)到圓x?12+P1則Smin【點(diǎn)撥】①本題把方程x?12+y②注意點(diǎn)N在圓內(nèi)還是圓外.【典題2】已知點(diǎn)P(7,3)，圓M：x2+y2?2x?10y+25=0，點(diǎn)Q為在圓M上一點(diǎn)，點(diǎn)S在x軸上，則【解析】由題意知，圓的方程化為x?12+(y?5)2=1，(本題是雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，它們之間沒(méi)有聯(lián)系，可采取先“固定”一動(dòng)點(diǎn)Q的方法)分兩步：第一步假設(shè)圓上點(diǎn)Q不動(dòng)，此時(shí)點(diǎn)S在x軸上運(yùn)動(dòng)，求|SP|+|SQ|的最小值，這就是“將軍飲馬問(wèn)題”，如圖所示，作點(diǎn)P(7,3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P'(7,?3)；此時(shí)|SP|+|SQ|的最小值為|P(即說(shuō)不管點(diǎn)Q在什么位置，最小值都是|P'第二步再把動(dòng)點(diǎn)Q動(dòng)起來(lái)，此時(shí)是圓外一定點(diǎn)P'到圓上一點(diǎn)的距離最值問(wèn)題了，顯然P==(1?7故|SP|+|SQ|的最小值為9.【點(diǎn)撥】?jī)蓜?dòng)點(diǎn)(A,B)問(wèn)題，若兩動(dòng)點(diǎn)沒(méi)內(nèi)在聯(lián)系的，可先“固定”一動(dòng)點(diǎn)A，思考點(diǎn)情況5圓上一點(diǎn)到圓外一定直線的距離最值【典題1】已知兩點(diǎn)A(?1,0)、B(0,2)，若點(diǎn)P是圓x?12+y2=1【解析】(S△ABP以AB為底，求其最值，即求點(diǎn)P到直線AB由兩點(diǎn)A(?1,0)、B(0,2)，∴|AB|=(?1直線AB的方程為x?1+y2由圓x?12+y2=1則圓心C到直線AB的距離d=|2?0+2|∵點(diǎn)P是圓x?12∴點(diǎn)P到直線AB的最大距離dmax=d+r；點(diǎn)P到直線AB的最小距離∴△ABP面積的最大值和最小值之和等于12【點(diǎn)撥】圓上一點(diǎn)P到圓外一直線l距離d與圓心O到直線l的距離d1和圓的半徑r即dmin=d鞏固練習(xí)1(★★)已知x2+y2=1，則y【答案】[?3【解析】yx+2的幾何意義是(x,y)與(－2,0)設(shè)過(guò)(－2,0)的直線方程為y=k(x+2)，即kx－y+2k=0∵x2+y2=12(★★)已知點(diǎn)P(x,y)在圓x2+y2=1上，則(x?1【答案】2+1【解析】(x?1)2+(y?1)2∵點(diǎn)P(x,y)在圓x2∴(x?1)23(★★)已知圓x2+y?22=1上一動(dòng)點(diǎn)A，定點(diǎn)B(6,1)；x軸上一點(diǎn)W【答案】35【解析】根據(jù)題意畫(huà)出圓x2+y－2作B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接圓心與B'，則與圓的交點(diǎn)A，|AB|即為|AW|+|BW|的最小值，|AB|為點(diǎn)(0,2)到點(diǎn)B'(6,－1)的距離減圓的半徑，即|AB|=(6?0故答案為：35?14(★★)已知兩個(gè)同心圓的半徑分別為3和4，圓心為O．點(diǎn)P、Q分別是大圓、小圓上的任意一點(diǎn)，線段PQ的中垂線為l．若光線從點(diǎn)O射出，經(jīng)直線l(入射光線與直線l的公共點(diǎn)為A)反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q，則OA?|AQ|【答案】?4,3【解析】線段PQ的中垂線為l，可得|AP|=|AQ|，且Q關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為P，可得|OA|+|AQ|≥|OP|=4，即有||OA|－|AQ||=|OA|－|AP|<|OP|=4，則－4≤|OA|－|AQ|<4，但|OA|－|AQ|≤|OQ|=3，故答案為：[－4,3]．5(★★)已知點(diǎn)A(?2,0),B(0,2)，若點(diǎn)P在圓x?32+y+12=2【答案】4【解析】∵點(diǎn)A(－2,0),B(0,2)，若點(diǎn)P在圓x－32∴AB的直線方程為x?2+y圓心C(3,－1)到直線AB的距離為d=|3+1+2|則△ABP面積的最小值為12故答案為：4．6(★★)過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作圓：x?32+y?42=1的切線PQ，其中Q為切點(diǎn)，若|PQ|=|PO|(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則|PQ|【答案】125【解析】根據(jù)題意，設(shè)P的坐標(biāo)為(m,n)，圓x－32+y－4則N(3,4)PQ為圓x－32+y－4又由|PQ|=|PO|，則有PN2即m－32+n－4即P在直線6x+8y=24上，則|PQ|的最小值即點(diǎn)O到直線6x+8y=24的距離，且d=|6×0+8×0?24|62即|PQ|的最小值是125.7(★★)已知直線l：x?y+4=0與x軸相交于點(diǎn)A，過(guò)直線l上的動(dòng)點(diǎn)P作圓x2+y2=4的兩條切線，切點(diǎn)分別為C，D兩點(diǎn)，記M是CD的中點(diǎn)，則|AM|【答案】22【解析】由題意設(shè)點(diǎn)P(t,t+4)，C(x1,因?yàn)镻D，PC是圓的切線，所以O(shè)D⊥PD，OC⊥PC，所以C,D在以O(shè)P為直徑的圓上，其圓的方程為(x?t又C,D在圓x2將兩個(gè)圓的方程作差得直線CD的方程為：tx+(t+4)y－4=0，即t(x+y)+4(y－1)=0，所以直線CD恒過(guò)定點(diǎn)Q(－1,1)，又因?yàn)镺M⊥CD，M，Q，C，D四點(diǎn)共線，所以O(shè)M⊥MQ，即M在以O(shè)Q為直徑的圓(x+1其圓心為O'(?12,如圖所示所以AMmin所以|AM|的最小值為228(★★)已知圓x?a2+y?b2=1【答案】2+2【解析】∵圓x－a2∴a2+b2如圖：原點(diǎn)O到直線y=x+2的距離d=|2|則圓上的點(diǎn)到直線y=x+2距離的最大值為2+29(★★★)如圖，設(shè)圓C1：x?52+y+22=4，圓C2：x?72+y+12=25，點(diǎn)A、B分別是圓C1【答案】3【解析】依題意可知圓C1的圓心(5,－2)，r=2，圓C2的圓心(7,－1)，對(duì)于直線y=x上的任一點(diǎn)P，由圖象可知，要使|PA|+|PB|的得最小值，則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求|PC即可看作直線y=x上一點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和的最小值減去7，由平面幾何的知識(shí)易知當(dāng)C1關(guān)于直線y=x對(duì)稱的點(diǎn)為C1′與P、C2共線時(shí)，取得最小值，即直線y=x上一點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和取得最小值為|C∴|PA|+|PB|的最小值=|PC【題型二】代數(shù)法處理最值問(wèn)題【典題1】已知圓C的圓心在直線x?2y=0上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(0,?1)，N(1,6)．(1)求圓C的方程；(2)已知點(diǎn)A(1,1)，B(7,4)，若P為圓C上的一動(dòng)點(diǎn)，求PA2【解析】(1)設(shè)圓心C(a,b)，則a?2b=0，由|MC|=|NC|得(a解得b=2，a=4，∴圓的半徑r=MC=5，所以圓C的方程為x?4(2)方法1設(shè)P(x,y)，(設(shè)元，引入變量x,y則x?42則PA2+PB2(利用兩點(diǎn)距離公式用=x?12+(問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求式子(?)的取值范圍，但是存在兩個(gè)變量，故想到消元)=2=10+16x+8y?16x－10y+67(消元)=77?2y，∵?3≤y≤7，(注意定義域的范圍)∴63≤77?2y≤83故PA2+PB方法2點(diǎn)P為x?42設(shè)P(4+5cosα,2+5sinα)，(利用圓的參數(shù)方程，引入三角函數(shù))則PA=73?10sinα所以63≤PA即PA2+PB【點(diǎn)撥】本題注意是利用函數(shù)思想求解，把所求幾何量用某個(gè)(或某些)變量表示，故設(shè)元引入變量很重要，本題是設(shè)P(x,y)或P(4+5cosα,2+5sinα)，最后達(dá)到幾何問(wèn)題代數(shù)化.【典題2】已知直線l：y=x，圓C：x2+y2?4x+3=0，在l上任意取一點(diǎn)A，向圓C作切線，切點(diǎn)分別為M,N，則原點(diǎn)O到直線MN的距離d【解析】(代數(shù)法思路：要求d的最大值，則把直線MN的方程求出，再用點(diǎn)到直線距離公式把d用某個(gè)或某些變量表示出來(lái)，那點(diǎn)M,N是怎么產(chǎn)生的呢？是由點(diǎn)A確定的，故設(shè)元A(a,a))由題可得圓C的圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑為1．∵A在直線l上，設(shè)A(a,a)，又M、N為過(guò)A點(diǎn)的圓的切線的切點(diǎn)，故有AM∴以A為圓心，AM為半徑的圓方程為x?a2化簡(jiǎn)得x2(把MN看成圓C與圓A的公共弦，可求出直線MN的直線方程)∴MN所在直線方程為2?ax?ay+2a?3=0，(圓A方程減去圓C方程便是∴O到MN的距離d=|2a?3|(2?a)∴d令1?4a=t，得d2由不等式t+25t≥10，當(dāng)且僅當(dāng)t=5∴d≤102，即原點(diǎn)O到直線MN的距離d的最大值為【點(diǎn)撥】①代數(shù)法設(shè)元很重要，那我們首先要理解題意，明白幾何問(wèn)題中各量之間的“因果關(guān)系”方能找到“源頭”；②過(guò)兩圓C1：x2(λ≠?1，特別地，當(dāng)λ=?1時(shí)，上述方程為一次方程；兩圓相交時(shí)，表示公共弦方程③本題最后涉及到的函數(shù)是fx【典題3】已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2(1)求y?x的最大值和最小值；(2)求x2+y2的最大值和最小值；【解析】實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2+y它表示一個(gè)圓，其參數(shù)方程為x=2+(1)y?x=∵?1≤sin∴y?x的最小值為?2?6，最大值為?2+(2)x2∴x2+y2(3)yx+1令t=sinα∴t則sin(α?φ)=3tt2則yx+1的最大值為22，最小值為【點(diǎn)撥】①圓x?a2+y?b②本題方法是三角變換；③這三個(gè)問(wèn)題在前面也有所涉及，可以用幾何方法求解，我們要比較下它們的優(yōu)劣性.【典題4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OABC的邊長(zhǎng)為4，E(0,1)，點(diǎn)F是正方形邊OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)O關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為G點(diǎn)，當(dāng)|GA+3GB|取得最小值時(shí)，直線GF的方程為【解析】方法一函數(shù)法(利用對(duì)稱性求點(diǎn)G坐標(biāo)，進(jìn)而求|GA+3GB|的表達(dá)式，其運(yùn)動(dòng)“源頭”是點(diǎn)F(t,0)設(shè)F(t,0)，(0<t≤4)．則直線EF的方程為xt+y=1，可得設(shè)G(a,b)，(a,b>0)．則ba×?1t=?1，∴G(∵GA∴=(12?4a=2(3?a=2(3?=213?12?t?1令m=t?1∈(?1,3]，則GA易得fm在m=2，即t=2+1時(shí)取到，此時(shí)G易得直線GF方程為y=?x+1+2方法二幾何法設(shè)點(diǎn)G(a,b)，∵點(diǎn)O關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為G點(diǎn)，∴EG=OE=1，∴點(diǎn)G的軌跡是以E為圓心，半徑為1的圓?E：∵GA∴|GA設(shè)點(diǎn)P(3,4)，(利用圓外一定點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最值模型)則|GA+3GB|取到最小值時(shí)，即點(diǎn)P此時(shí)點(diǎn)G為直線EP:y=x+1與圓?E的交點(diǎn)，由y=x+1x2+y－12=1解得此時(shí)GF⊥EP，故直線GF的斜率為?1，故直線GF方程為y=?x+1+2方法三三角代換如方法二，得到a2+b?1則GA==2=219?6當(dāng)α=π4，即G(2設(shè)點(diǎn)F(t,0)，由GF=OF得t?222易得直線GF方程為y=?x+1+2【點(diǎn)撥】①題中GA+3②細(xì)品三種方法，各有千秋，(i)函數(shù)法思路樸素，易入手，要求出GA+3GB，則設(shè)元G(a,b)，而點(diǎn)G是由點(diǎn)F確定的，轉(zhuǎn)而設(shè)元F(t,0)，從而易得a、b用t表示，從而GA+3GB用(ii)幾何法，重在發(fā)現(xiàn)圖中幾何變量?jī)?nèi)在關(guān)系，需要認(rèn)真觀察圖象，有一定思考難度，若想到計(jì)算量上較函數(shù)法小不少；本題是確定了動(dòng)點(diǎn)G的軌跡是圓，相當(dāng)找到a,b(iii)鞏固練習(xí)1(★★)若實(shí)數(shù)x,y滿足x2+yA．5+3 B．65+14 C．?5【答案】A【解析】方法一幾何法x2+y它表示一個(gè)圓心M(－2,1)，半徑r=3的圓⊙M，而x2+y2=(則本題就是求原點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離的最小值)結(jié)合圖形知，O即x2+y故選：A．方法二三角代換法x2+y設(shè)x=3sinα?2,y=3cosα+1，則x而?5∴14?6(2sinα+cosα)的最小值為14+62(★★★)[多選題]若實(shí)數(shù)x,y滿足條件x2A．x+y的范圍是[0,2] B．x2C．xy的最大值為1D．y?2x+1的范圍是【答案】BD【解析】令x=cosα,y=sinα，則x+y=sinα+cosα=2sin(α+πx2+yxy=sinαcosα=12sin2α∈[?令y?2x+1=sinα?2cosα+1=t，得則sin(φ－α)=?2?tt2+1，由|t+2|t故選：BD．3(★★★)[多選題]已知點(diǎn)P(2,4)，若過(guò)點(diǎn)Q(4,0)的直線l交圓C：x?62+y2=9于A,BA．|AB|的最小值為25 B．P到l的距離的最大值為2C．PQ?PR的最小值為12－25 D．【答案】ABD【解析】如圖，當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，|AB|有最小值，且最小值為25，故A當(dāng)直線l與PQ垂直時(shí)，P到l的距離有最大值，且最大值為|PQ|=25，故B設(shè)R(6+3cosθ,3sinθ)，則PQ→∴PQ→?PR→=65當(dāng)P,C,R三點(diǎn)共線時(shí)，|PR|最大，且最大值為|PC|+r=42+3，所以故選：ABD．4(★★)已知點(diǎn)A(1,1),B(2,2)，點(diǎn)P在直線y=12x上，求PA【答案】(95【解析】設(shè)P(2t,t)，則PA當(dāng)t=910時(shí)，PAPA2+PB25(★★★)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x?22+y2=1，M為圓C的圓心，過(guò)原點(diǎn)O的直線l與圓C相交