高中數(shù)學(xué)第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題 (26)(含答案解析)

第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題（26）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共11小題，共55.（）分）

1.己知一個(gè)球的半輕為3。則該球內(nèi)接正六校錐的體積的最大值為（）

A.10V3C.16行

2.已知正方體ABCD-4記傳1。1的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)---~G~/

F,G在平面4B1GD1內(nèi)，若|EF|=Z，CES.BG,則|FG|的最小值|y6:

為（）

A.V2-1r-——R

3.在正方體ZBCD-A'B'C'D'中，ZB=3,點(diǎn)M是側(cè)面BCC'B'內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足4M1B。'，設(shè)AM

與平面BCC'B'所成角為氏則tan。的最大值為（）

B.V2

4.在長(zhǎng)方體4BCD-AiBiGDi中，AB=AD=6,AAr=2,M為棱BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在面。。的。1

內(nèi)，滿足ZAP。=NCPM,則點(diǎn)P的軌跡與長(zhǎng)方體的面DCCiA的交線長(zhǎng)等于（）

5.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中，最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為灰不一

二、個(gè)

B.2V2

D.2V3

俯視圖

6.三棱錐。一ABC中，ADABC,/.ABC=120",AB=BC=AD=2,則該棱錐外接球的

表面積為（）

A.8兀B.127rC.167rD.20兀

7,中國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典仇章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就，書中將底面為長(zhǎng)

方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為

鱉幅如圖為一個(gè)陽(yáng)馬與一個(gè)鱉般的組合體，已知PA_L平面ABCE,四邊形力BCD為正方形,力。=

2,ED=1,若鱉腌P-4DE的外接球的體積為學(xué),則陽(yáng)馬P-4BCD的外接球的表面積等于

()

A.18nB.17TTD.15n

8.下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（

①若三個(gè)平面兩兩相交有三條交線，則三交線相互平行

②三個(gè)平面最多將空間分為8個(gè)部分

③一平面截一正方體，則截面不可能為五邊形

④過(guò)空間任意一點(diǎn)有且只有一條直線與兩異面直線垂直

A.1B.2C.3D.4

9.已知四棱錐S-ABCD中，四邊形ABCD為等腰梯形，AD//BC,Z.BAD=120°,△S4D是等邊

三角形，且SA=AB=2b，若點(diǎn)P在四棱錐S-4BCC的外接球面上運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn)尸到平面ABCD

的距離為"，若平面S4D1平面ABC，則”的最大值為（）

A.V15+2B.715+1C.V13+2D.V13+1

10.設(shè)正方體4BCD-4B1GD1內(nèi)部有兩個(gè)球01和。2，已知球3與正方體的三個(gè)面相切，球。2與正

方體的六個(gè)面均相切，且球。1與球。2也相切.設(shè)球。2的半徑分別為巳，r2,則￡=（）

A.V3-V2B.2-V3C.D.1-y

11.在三棱錐S-ABC中，SB=SC=AB=BC=AC=2,二面角5-BC-4的大小為60。，則三棱

錐S—ABC外接球的表面積是（）

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共7小題，共28.0分）

12.對(duì)于四面體A-BCD,以下命題中正確的命題是（）

A.若4B=AC=4。，則A8,AC,A￡＞與底面所成的角相等

B.若ABLCD,AC1BD,則點(diǎn)A在底面BCD內(nèi)的射影是4BCD的內(nèi)心

C.四面體4-BCD的四個(gè)面中最多有四個(gè)直角三角形

D.若四面體A-BCD的6條棱長(zhǎng)都為1,則它的內(nèi)切球的表面積為？

13.已知正方體48CD—4B1C1D1中，P為正方形ABCO內(nèi)任意一點(diǎn)，/為平面ABCD內(nèi)任意一條直

線，AiP與△4當(dāng)5相交于。點(diǎn).若直線4P與/所成角中最小角為會(huì)則下列說(shuō)法正確的有（）

A.直線為P與/所成角中最大角為早

B.直線4C1平面ZBiDi

C.點(diǎn)P的軌跡是圓的一部分

D.點(diǎn)Q的軌跡是橢圓的一部分

14..在直三棱柱4BC-aBiCi中，^ABC=90°,AB=BC=2,AAt=2

M是BC的中點(diǎn)，N是41cl的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段/N上，點(diǎn)。在線段AM

上，且AQ=|AM,S是AC1與41c的交點(diǎn)，若PS〃面為4“，則

A.PS//BXQ

B.P為BiN的中點(diǎn)

C.AC1PS

D.三棱錐P—的體積為|

15.如圖，在正方體4BC0-418道1。1中，必，_L平面4B15，垂足為H,則下面結(jié)論正確的是（）

A.直線與該正方體各棱所成角相等

B.直線為〃與該正方體各面所成角相等

C.垂直于直線的平面截該正方體，所得截面可能為五邊形

D.過(guò)直線的平面截該正方體所得截面為平行四邊形

16..在直三棱柱4BC-4BiCi中，AABC=90°,AB=BC=2,AAr=2,

M是2C的中點(diǎn)，N是&G的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段/N上，點(diǎn)。在線段AM

上，且4Q=：4M,S是AG與4C的交點(diǎn)，若PS〃面B遇M,則

A.PS//B0

B.尸為&N的中點(diǎn)

C.AC1PS

D.三棱錐P-的體積為|

17.在正方體4BCD-4B1GD1中，AB=4,E,尸分別為BBi，CD的中點(diǎn)，尸是BG上的動(dòng)點(diǎn)，則（）

FC

A.A.F1平面4"北

B.平面力D1E截正方體ABC。-4/165的截面面積為18

C.三棱錐P-的體積與P點(diǎn)的位置有關(guān)

D.過(guò)AE作正方體ABC。-A/iGDi的外接球的截面，所得截面圓的面積的最小值為5兀

18.將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCO沿對(duì)角線8。翻折，使得二面角4-BD-C的平面角的大小為泰則

下列結(jié)論正確的是（）

AB

—>

DC

A.AC1BD

B.A3與C。所成的角是60°

C。點(diǎn)到面ABC的距離為恒

7

D.三棱錐4—BCD的外接球半徑是坦

2

三、填空題（本大題共11小題，共55.0分）

19.如圖所示，正方體4BCD-41B1GD1的棱長(zhǎng)為。，點(diǎn)E,F,G分別為棱AB,BC,G。1的中點(diǎn),

下列結(jié)論中，正確的是.

①過(guò)E,F,G三點(diǎn)作正方體的截面，所得截面為正六邊形

②AB1〃平面EFG

③異面直線FG與CD1所成角的正切值為1

④四面體4CBW1的體積為：a3

20.已知菱形ABC。邊長(zhǎng)為32BAD=60。,點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，

AC=64立將4ABD沿BO翻折到△A'BD的位置，E記為E',且二面

角ABDC的大小為120。，則三棱錐ABCD的外接球的半徑為

；過(guò)口作平面a與該外接球相交，所得截面面積的最小值

為_(kāi)_______

21.三棱錐P-ABC^,PA=PB=PC=AB=BC=1,且平面PAC1平面ABC,則AC=

若球O與該三棱錐除PB以外的5條棱均相切，則球0的半徑為.

22.如圖所示，正方體ABCC-A/iC也的棱長(zhǎng)為a,點(diǎn)E,F,G分別為棱A8,BC,。也的中點(diǎn),

下列結(jié)論中，正確的是.

①過(guò)E,F,G三點(diǎn)作正方體的截面，所得截面為正六邊形

②〃平面EFG

③異面直線FG與CD1所成角的正切值為1

④四面體ACBiDi的體積為

23.已知正方體力BCO-&當(dāng)口劣的棱長(zhǎng)為2,M為CQ的中點(diǎn)，若AM_L平面a,且Be平面a,則平

面a截正方體所得截面的周長(zhǎng)為.

24.已知點(diǎn)P,A,B,C均在表面積為81兀的球面上，其中PA，平面ABC,zBAC=30°,AC=遮AB，

則三棱錐P-'B「的體積的最大值為.

25.下列命題中正確的是—.（填序號(hào)）

①已知空間中三個(gè)平面a,0,y,若al./?,/?1y,則戊〃y;

②球O與棱長(zhǎng)為a的正四面體各面都相切，則該球的表面積為1a?；

③三棱錐P—ABC中，PA1BC,PBLAC,則PCIAB.

26.如圖所示，在長(zhǎng)方體4BCD中,BE】=B^i，點(diǎn)E是棱CC】上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面BE/

交棱4公于點(diǎn)F,給出下列命題：

①四棱錐4-BEDiF的體積恒為定值；

②存在點(diǎn)E,使得&D1平面BDiE；

③對(duì)于棱CC1上任意一點(diǎn)E,在棱A。上均有相應(yīng)的點(diǎn)G,使得CG〃平面EBDi；

④存在唯一的點(diǎn)E,使得截面四邊形的周長(zhǎng)取得最小值.

其中真命題的是.（填寫所有正確答案的序號(hào)）

27.如圖已知圓錐SO的母線SA的長(zhǎng)度為2,一只螞蟻從B點(diǎn)沿著圓錐側(cè)面

爬回點(diǎn)B的最短距離為2,則圓錐SO的底面半徑為一.

28.已知球。與棱長(zhǎng)為2企的正方體ABCD-ABiGDi的所有棱相切，點(diǎn)M是球O上一點(diǎn)，點(diǎn)N是

△4CB］的外接圓上的一點(diǎn)，則線段MN的取值范圍是.

29.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)A,8距離之比為常數(shù);1（4>0且;I#1）的點(diǎn)

的軌跡是一個(gè)圓心在直線AB上的圓，該圓簡(jiǎn)稱為阿氏圓。根據(jù)以上信息，解決下面的問(wèn)題：如

圖，在長(zhǎng)方體4BCC—48修1。1中，4B=24D=244i=6,點(diǎn)E在棱AB上，BE=2AE,動(dòng)

點(diǎn)P滿足BP=gPE。當(dāng)點(diǎn)尸在底面4BCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)尸所形成的阿氏圓的半徑為_(kāi);當(dāng)

點(diǎn)尸在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)且到A3邊距離最大時(shí)，則三棱錐P-［外接球的表面積為

阿波羅尼奧斯

四、解答題（本大題共1小題，共12.0分）

30.在四棱錐P-4BC。中，底面A8C。是邊長(zhǎng)為2的菱形,/.BAD=60°,

PA_L面ABC。，PA=?E,F分別為BC,PA的中點(diǎn).

CEB

(1)求證：BF〃面PDE；

(2)求二面角D-PE-4的大小的正弦值;

(3)求點(diǎn)C到面PDE的距離.

【答案與解析】

1.答案：C

解析:

本題考查球的內(nèi)接多面體、棱錐的體積計(jì)算，解題的關(guān)鍵是利用位置關(guān)系求得相關(guān)的幾何量，屬于

中檔題.

由題意知棱錐的高經(jīng)過(guò)球心，設(shè)高為上通過(guò)已知條件把正六棱錐的體積用含有人的代數(shù)式表示,

得到V=再由基本不等式求得最值.

解：設(shè)正六棱錐為P-4BCDEF,其底面A8CDEF的中心為0',易知P。'是正六棱錐的高，

因?yàn)檎忮F各頂點(diǎn)都在球面上，可知棱錐的高P。'經(jīng)過(guò)球心O,設(shè)P0'=/i(0</i<6),

則底面六角形所在的圓的半徑0，B=Q_(h_3產(chǎn)=V6/1-/12.

正六棱錐的底面積S=6x^O'B2'sin60°=芋(6八一/)，

正六棱錐體積V=[sh=1x^(6h-h2)xh=手(12—2帥?h《手產(chǎn)智幺邛=16次，

當(dāng)且僅當(dāng)12—2八=八，即八=4時(shí)，正六棱錐體積有最大值分3=16百.

故選C.

2.答案：B

解析：

本題考查線段長(zhǎng)的最小值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推

理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬于較難題.

取4D1中點(diǎn)。，則4Di1面力/iGDi，即0F,可得點(diǎn)尸在以。為圓心，I以半徑的位于平

面占B1GD1內(nèi)的半圓上，再根據(jù)已知及線面垂直的判定定理及性質(zhì)證得。Q1B]G,即OG減去半徑

即為尸G長(zhǎng)度的最小值.

解：如圖，取4山1中點(diǎn)。，EO//AAr,則EO_L面4曲(?也,即E。1OF,

因?yàn)閨EF|=V5-貝i」OF=1,

所以點(diǎn)尸在以。為圓心，1以半徑的位于平面&B1GD1內(nèi)的半圓上,

因?yàn)镃EJ.BG,又CEIBBI，所以CE1平面&BG,

因?yàn)锽]Gu平面&BG,

則CE1BXG,

連接OCi，因?yàn)镺CJ/EC,所以。G1B1G,

0G=V5)

由—4clB]G,

所以簫=符即容=會(huì)則GG=等，

所以。G=而一等=言，

可得0G減去半徑即為FG長(zhǎng)度的最小值，

所以FG長(zhǎng)度的最小值為/-1.

5

故選&

3.答案：B

解析:

本題考查線面角的正切值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)

算求解能力，是中檔題.

如圖，連接4B',B'C,AC,BM,易得BD'l平面4CB',從而可推出。=￡.AMB,在Rt△AMB中,tan6=

—＞當(dāng)8M最小時(shí)，tanJ最大，進(jìn)一步求解即可.

解：如圖，連接49，B'C,AC,BM,易得BD'1?平面4CB',

D'

■■AM1BD',AMu平面ACB

又???M€平面BCC'B',且平面平面BC,

M在B'C上移動(dòng).

vAB_L平面BCC'B',9=LAMB,

在中，9=—,當(dāng)最小時(shí)，最大.

RtAAMBtanBMBMtcmO

即當(dāng)時(shí)，BM最小，

此時(shí)8M的值為這，

2

???(tan0)max=金=僅

2

故選8.

4.答案：C

解析：

【試題解析】

本題考查了長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征、軌跡方程的求法以及弧長(zhǎng)公式的運(yùn)用，考查了學(xué)生的空間想象能力

和思維能力，是較難題.

由題意畫出圖形，由角的關(guān)系得到邊的關(guān)系，建系后由求軌跡方程的方法求得P的軌跡.進(jìn)而求出

點(diǎn)尸的軌跡與長(zhǎng)方體的面DCG2的交線長(zhǎng).

解：因?yàn)槭乔簏c(diǎn)P的軌跡與長(zhǎng)方體的面DCG5的交線，所以不妨設(shè)尸在平面DCG4內(nèi)，

如圖，Z.APD=Z.MPC,

^ERt△PDA^Rt△PCM^P，設(shè)4D=6,則MC=3,

???tanAPD,則三=—,PD=2PC.

PDPCPDPC

在平面。CGD1中，以。C所在直線為x軸，以O(shè)C的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,

則。(一3,0),C(3,0),

設(shè)P(x,y),

由PD=2PC,得：J(x+3尸+y2=2^/(x-3)z+y2>

整理得：x2+y2-10x+9=0,即(x-5)2+y2=16,

二點(diǎn)尸的軌跡是圓，圓心為(5,0),半徑為4,如圖所示，

點(diǎn)P的軌跡與長(zhǎng)方體的面DCG5的交線為弧例，

因?yàn)閟in/OQ"=魯=也則ZCQH,

HQ2()

?yr

所以交線長(zhǎng)為］x4

63

故選C.

5.答案：C

解析：

本題考查幾何體的三視圖，考查學(xué)生空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

由三視圖可知該幾何體嵌入棱長(zhǎng)為2的正方體，即四面體4-BCD,易知A。為最長(zhǎng)棱，求解即可.

解：該幾何體嵌入棱長(zhǎng)為2的正方體，即四面體A-BCD,

計(jì)算得：AB=V5-AC=2?AD=3,BD=瓜,CD=V5.

故最長(zhǎng)的棱為4。=3.

故選C.

6.答案：D

解析：

本題考查了棱錐與外接球的位置關(guān)系，確定球心是關(guān)鍵，屬于中檔題.

根據(jù)三棱錐的結(jié)構(gòu)特征確定球心位置，從而得出球的半徑和表面積.

解：???在△ABC中，AB=BC=2,/.ABC=12（）.

根據(jù)余弦定理求得4c=2V3,

48c外接圓的半徑為』金2-2,

2smi2110

設(shè)44BC外接圓的圓心為M,外接球的球心為O,

MOM1平面ABC,

又ZM_L平面ABC,AD=2,得。M=1,

>所以外接球的半徑為R=y/OM2+AM2=Vlz+22=>/5?

S球=4nR2=207r.

故選O.

7.答案：B

解析：

本題考查幾何體的外接球，幾何體的表面積的求法，直線與平面的垂直關(guān)系的應(yīng)用，考查空間想象

能力以及計(jì)算能力，利用已知條件畫出圖形，在三棱錐P-4DE（鱉膈）中，2r=PE,四棱錐P—4BCD

中2R=PC,設(shè)PA=/i,求出外接球的高和半徑，然后求解球的表面積.

解：由題意，在三棱錐P-40E（鱉席）中，ED1DA,P4_L平面ABCE,

所以其外接球的直徑2r=PE.

設(shè)PA=h,則2r=y/PA2+AD2+DE2=V/i2+224-l2=Vh^+S，

所以其外接球的體積卜=吧=生（餐尸=①，解得九=3.

33v273

設(shè)四棱錐P-4BCD（陽(yáng)馬）的外接球半徑為R,

則2R=PC=y/PA2+AD2+AB2=V32+22+22=V17,

所以該球的表面積S=4n/?2=17Tt.

故選B.

8.答案：B

解析：

本題考查空間中線線之間的關(guān)系，平面的概念，幾何體的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題.

由空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，平面之間的關(guān)系，逐個(gè)進(jìn)行判斷.

解：①三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線，三條交線兩兩平行或交于一點(diǎn)，如三棱柱的三個(gè)側(cè)面兩兩

相交，

交線是三棱柱的三條側(cè)棱，這三條側(cè)棱是相互平行的；

但有時(shí)三條交線交于一點(diǎn)，如長(zhǎng)方體的三個(gè)相鄰的表面兩兩相交，

交線交于一點(diǎn)，此點(diǎn)就是長(zhǎng)方體的頂點(diǎn).故錯(cuò)誤；

②若三個(gè)平面兩兩平行，則把空間分成4部分；

若三個(gè)平面兩兩相交，且共線，則把空間分成6部分；

若三個(gè)平面兩兩相交，且有三條交線，則把空間分成7部分；

當(dāng)兩個(gè)平面相交，第三個(gè)平面同時(shí)與兩個(gè)平面相交時(shí)，把空間分成8部分，

故錯(cuò)誤；

③畫出截面圖形如圖，下圖中截面為五邊形但不是正五邊形：

④兩條異面直線的公垂線是唯一的，所以過(guò)空間任一點(diǎn)與兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條;

故正確；

故選

9.答案：D

解析：

本題考查組合體、球，考查空間想象能力以及空間想象能力.屬于較難題.

由題意畫圖，圖中找出關(guān)于外接球半徑關(guān)系式，即可求解.

解析：

解：由題意可畫下圖：

依題意乙430，取8c的中點(diǎn)E,

?)

由SA=AB=2百，得BC=4V3.AE=DE=2A/3,

則E是等腰梯形ABC。外接圓的圓心，

設(shè)。是四棱錐S—ABCO的外接球球心，OE=x,

過(guò)點(diǎn)。作。尸垂直平面必。于點(diǎn)F,

則OF=ABsin60°=3,

又S到平面ABCD距離為S4sin60。=3,

???SF=3-x；

設(shè)四棱錐S-ABCD的外接球半徑為R,

則R2=0E2+BE2=SF2+OF2,

即(2次)2+x2=(3—x)2+32：

解得x=1,R=V13;

當(dāng)P,O,E在同一條直線上時(shí)，取得最大或最小值;

故dmax=R+0E=V13+1>

故選。.

10.答案：B

解析：

本題考查本題考查內(nèi)切球的問(wèn)題.屬于中檔題.

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,由題可知，兩個(gè)球心0「。2和兩球的切點(diǎn)均在體對(duì)角線4cl上，作出兩個(gè)球在

平面處的截面圖，可得。2尸=「2=1，(V3+l)r1=V3-1,即可得出.

解：不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,球0］同時(shí)與以A為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面相切.

由題可知，兩個(gè)球心。i，。2和兩球的切點(diǎn)均在體對(duì)角線AG上,

兩個(gè)球在平面4B1GD處的截面如圖所示.

則。2p=「2=1,A02—苧=V3,

所以AF=A02-02F=V3-1.

又因?yàn)锳F=力。1+OiF=痘X+rt,

因此(b+1)^=V3-1>得萬(wàn)=2-V3.

所以?=2一舊.

故選8.

11.答案：D

解析：

本題考查二面角，考查球的表面積，解題的關(guān)鍵是確定外接球的半徑，屬于中檔題.

審題后，二面角S-BC-4的大小為60。是重要條件，根據(jù)定義，先作出它的平面角，如圖所示.進(jìn)

一步分析此三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，找出其外接球半徑的幾何或數(shù)量表示，再進(jìn)行計(jì)算.

解：如圖所示：

過(guò)S作S。IBC=D,連接AD,分別取44BC,ASBC的外心E,F.

則由條件可得NSD4就是S-BC-4的二面角的平面角，且BE型士OE—.AODE:對(duì).則

33

OEDEIHUZODE=^-x—=--

333

設(shè)外接球的半徑R,則R2=OB2=0E2+BE2=(1)2+(^)2=學(xué)

1Q”宣

所以外接球的表面積為垢R277rxi.

故選。.

12.答案：ACD

解析：

本題考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，球的表面積，空間中線線，線面的位置關(guān)系，屬于中檔題.

對(duì)于A,根據(jù)線面角的定義即可判斷；

對(duì)于8，根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)可知，。是△BCD的垂心；

對(duì)于C在正方體中，找出滿足題意的四面體，即可得到直角三角形的個(gè)數(shù)；

對(duì)于。作出正四面體的圖形，找到球的球心位置，說(shuō)明。E是內(nèi)切球的半徑，利用直角三角形，逐

步求出內(nèi)切球的表面積.

解：對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)榱=ZC=4。，設(shè)點(diǎn)A在平面8。內(nèi)的射影是0,

因?yàn)閟in/4B。=—,sin/ACO=—,sinz.ADO=—,

ABACAD

所以sinz>18。=sm/-ACO—sinz.ADO,

則A8,AC,AC與底面所成的角相等，故A正確；

對(duì)于8選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)4在平面BCC內(nèi)的射影是0,

則4。，平面BCD,CDu平面BCD,

故A。_LCD,

又4B1C0,AOC\AB=A,AO,48u平面A80,

故CDL平面ABO,

又OBu平面AB。，

則CD1OB,

同理可證BO1OC,

所以。是△BCD的垂心，故8不正確；

如圖：將四面體4-BCD置于正方體中，直角三角形的直角頂點(diǎn)已經(jīng)標(biāo)出，直角三角形的個(gè)數(shù)是4.

故C正確;

如圖，。為正四面體A8CQ的內(nèi)切球的球心，正四面體的棱長(zhǎng)為1；

所以於右=手

因?yàn)锽02-0E2=BE2,

所以?！?E）2—0盾=（苧）2,

所以。E=漁，

12

所以球的表面積為4兀-0E2=￡故。正確.

6

故選：ACD.

13.答案：BCD

解析：

本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征、異面直線的夾角、線面角、線面垂直和軌跡問(wèn)題，屬于難題.

根據(jù)已知對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可.

解：對(duì)于A、當(dāng)。與4重合時(shí)，由正方體的結(jié)構(gòu)特征易知4遇1面ABC。，c?ABCD,

所以此時(shí)直線與/所成角為:，故4錯(cuò)誤；

對(duì)于8、連接&C],由正方體的結(jié)構(gòu)特征易知41cliD/i，CG1面4B1GD1，

乂u而所以CC].LDIB1,

又cCiC&G=m，41clu面GGC,故i面GQC,

又acU面&C1C,故。出1AXC,

同理可證4B1J.41C,又4B1nD/i=B1，故41cl平面人當(dāng)名，故B正確；

對(duì)于C、因?yàn)橹本€&P與/所成角的最小值是直線&P與面ABC。所成角，

延長(zhǎng)&Q交面ABCD于點(diǎn)P,因?yàn)?/1面ABCD,

所以乙41P4就是直線4P與面ABCD所成角，

^-APA=彳=Z.AAP--'73nPA=—AAf

X3r64P3r1

則P在面ABCD內(nèi)的軌跡為以A為圓心，為半徑的圓的一部分，故C正確；

對(duì)于。、由選項(xiàng)C可知，41P的軌跡是以Aa為軸的圓錐面的一部分，

???點(diǎn)Q是-4B15內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，其在面4814內(nèi)的軌跡，等價(jià)于平面截圓錐面所得的曲線,

取8也的中點(diǎn)。，連接占0,AO,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,4。=卯也=亨

,:tan乙41Ao=y>tan乙4Alp=爭(zhēng)

：.^>^AO>^AAXP,即圓錐的軸與截面所成的角大于軸與母線的夾角，小于直角，

???平面ABiDi截圓錐面所得的曲線為橢圓的一部分，即點(diǎn)。的軌跡是橢圓的一部分，故。正確,

故選BCD.

14.答案：ACD

解析：

本題考查了簡(jiǎn)單多面體（棱柱、棱錐、棱臺(tái)）及其結(jié)構(gòu)特征，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積、表面積和

體積，平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用，線面平行的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)和空間中的距離，屬于較難題.

利用直三棱柱的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)建一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方體ABCC-4/165，連接當(dāng)心，

連接利用正方體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合平面幾何知識(shí)得點(diǎn)P在線段Bi。1上，連接BD,交AC于O,

利用平面幾何知識(shí)得點(diǎn)Q在8。上且BQ=|B。，連接BDI，利用平面幾何知識(shí)得點(diǎn)S在BO】上，且

是BA的中點(diǎn)，利用平面的基本性質(zhì)得PSu平面DQB1B,再利用線面平行的性質(zhì)對(duì)A進(jìn)行判斷，在

平面。。1當(dāng)8中，利用平面幾何知識(shí)對(duì)B進(jìn)行判斷，利用正方體的結(jié)構(gòu)特征得4s_L平面。。/道，再

利用線面垂直的性質(zhì)對(duì)C進(jìn)行判斷，利用點(diǎn)到面的距離和線到面的距離得點(diǎn)尸到平面的距離

等于點(diǎn)S到平面&AM的距離，再利用三棱錐的體積公式得5-B^M=Vs-BiAM>再結(jié)合題目條件得

%-Bl4M=（憶-8遇M，即Up-JAM=1憶-B14M，再利用二棱錐體積等量得k-B/M=匕-BiQM，再

利用三棱錐的體積公式計(jì)算以.BIGM對(duì)。進(jìn)行判斷，從而得結(jié)論.

解：因?yàn)樵谥比庵?8c-力iBiG中，LABC=90°,AB=BC=2,AAY=2,

所以構(gòu)建一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方體4BCD-&B1C1D1如下圖：

連接當(dāng)。1，因?yàn)镹是2Ci的中點(diǎn),

所以N是Bi。1與4cl的交點(diǎn)，且N是&Di的中點(diǎn),

而點(diǎn)P在線段&N上，因此點(diǎn)P在線段位。1上.

又因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AM上，且力Q=|4W,

所以點(diǎn)。是A4BC的重心.

連接8。，交AC于0,則。是4c的中點(diǎn)，也是8。的中點(diǎn).

由。是4c的中點(diǎn)知：8。是△ABC在AC邊上的中線，

因此點(diǎn)。在8。上，即點(diǎn)。在B。上，且BQ=|B。.

又因?yàn)镾是4cl與4C的交點(diǎn)，連接

所以點(diǎn)S在上，且是的中點(diǎn).

對(duì)于4因?yàn)辄c(diǎn)P在線段反。1上，點(diǎn)S在BO】上，所以PSu平面DQBiB.

又因?yàn)辄c(diǎn)。在8。上，所以&Qu平面DDiBiB,

而平面DD/iBn平面=BiQ,PS〃面8通“，

因此PS〃/Q,所以A正確；

對(duì)于8、如圖：

在平面。。避避中，設(shè)BiQnD[B=H.

因?yàn)?Q=|80,。是5。的中點(diǎn)，

所以BQ=：BD=[BI5，

因此即=

所以霽=1=黑，即8"=汕當(dāng)=|&N,

因此8不正確；

對(duì)于C、在正方體力BCD-力避iCiDi中，

因?yàn)锳CJ■平面DDiBiB,PSu平面DDiBiB,

所以AC_LPS,因此C正確；

對(duì)于。、因?yàn)镻S〃平面

所以點(diǎn)尸到平面Bp4M的距離等于點(diǎn)S到平面&4M的距離,

因此4M=^S-BrAM-

又因?yàn)镾是4cl的中點(diǎn)，所以%一馬力M=

即4-Bi4M=4M.

又因?yàn)樨?1-8］幺時(shí)=%-BCM='SABRIM

=-1x2rxl-xe2xc2=-4,

323

所以Up-BM時(shí)=5UCI-BIAM=］，因此。正確.

故選ACD.

15.答案：ABD

解析:

本題考查棱柱及其結(jié)構(gòu)特征，考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，空間中直線與平面的位置關(guān)系，

考查兒何體中的截面問(wèn)題，考查空間思維能力與邏輯推理能力，屬于較難題.

利用空間中直線與直線的位置關(guān)系，直線與平面的位置關(guān)系，逐一對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，判斷其正確性

即可求解.

解：如圖所示，連接&C,

根據(jù)正方體中面對(duì)角線與體對(duì)角線垂直，

所以4iC-LABi，ArClADr,QADr=A,

即41c1平面4g,

又因?yàn)?，平面AB/i，垂足為H,

所以直線與直線&C重合，

A項(xiàng)，因?yàn)橹本€4C與正方體ABCD-AiBiGDi各棱所成角都相等，設(shè)該角為0,均滿足tan8=夜，

即直線41H與正方體ABCD-41B1G2各棱所成角也相等，故A項(xiàng)符合題意；

8項(xiàng)，因?yàn)橹本€&C與正方體4BCD-&B1C1D1各面所成角都相等，設(shè)該角為a,均滿足tana=當(dāng),

即直線41H與正方體4BC。-&當(dāng)加。1各面所成角也相等，故B項(xiàng)符合題意：

C項(xiàng)，垂直于直線的平面與平面4殳￡)1平行，

截正方體力BCD-41&GD1所得截面為三角形或六邊形，故C項(xiàng)不符合題意，

。項(xiàng)，設(shè)過(guò)直線的平面截該正方體與前后兩個(gè)面相交所得的截面為&ECF,如圖，

???平面ABB/]〃平面OCqOi，

平面ABBiAin平面41ECF=ArE,平面DCCi￡)in平面AiECF=CF,

：.AXE//CF,同理可得4F〃CE,

???四邊形&ECF為平行四邊形，

同理可得過(guò)直線公，的平面截該正方體與上下兩個(gè)面相交所得的截面也為平行四邊形,

即過(guò)直線4"的平面截該正方體所得截面為平行四邊形，故。項(xiàng)符合題意；

綜上所述，符合題意的序號(hào)為ABD,

故選ABD.

16.答案：ACD

解析：

本題考查了簡(jiǎn)單多面體(棱柱、棱錐、棱臺(tái))及其結(jié)構(gòu)特征，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積、表面積和

體積，平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用，線面平行的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)和空間中的距離，屬于較難題.

利用直三棱柱4BC-的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)建一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方體力BCD-A^C^,連接劣義,

連接&D1，利用正方體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合平面幾何知識(shí)得點(diǎn)P在線段B】Di上，連接8D,交AC于O,

利用平面幾何知識(shí)得點(diǎn)Q在8。上且BQ=|B。，連接BDI，利用平面幾何知識(shí)得點(diǎn)S在BDi上，且

是BDi的中點(diǎn)，利用平面的基本性質(zhì)得PSu平面DD1&B,再利用線面平行的性質(zhì)對(duì)4進(jìn)行判斷，在

平面CDiBiB中，利用平面幾何知識(shí)對(duì)8進(jìn)行判斷，利用正方體的結(jié)構(gòu)特征得AS_L平面再

利用線面垂直的性質(zhì)對(duì)C進(jìn)行判斷，利用點(diǎn)到面的距離和線到面的距離得點(diǎn)尸到平面8遇M的距離

等于點(diǎn)S到平面314M的距離，再利用三棱錐的體積公式得那時(shí)=外一8遇“，再結(jié)合題目條件得

匕-B14M=即，P-BiAM=再利用三棱錐體積等量得UQ-BIAM=%-3遙小，再

利用三棱錐的體積公式計(jì)算以-BCM對(duì)。進(jìn)行判斷，從而得結(jié)論.

解：因?yàn)樵谥比庵?〃。一必當(dāng)?shù)闹?，?BC=90。，AB=BC=2,AAr=2,

所以構(gòu)建一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方體4BCD-如下圖：

連接當(dāng)5，因?yàn)镹是&G的中點(diǎn)，

所以N是當(dāng)么與&G的交點(diǎn)，且N是劣名的中點(diǎn)，

而點(diǎn)P在線段&N上，因此點(diǎn)P在線段&以上.

又因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)。在線段4M上，且4Q=|AM,

所以點(diǎn)。是AABC的重心.

連接8。，交AC于。，則。是AC的中點(diǎn)，也是BQ的中點(diǎn).

由。是AC的中點(diǎn)知：80是△ABC在AC邊上的中線，

因此點(diǎn)。在8。上，即點(diǎn)。在80上，且BQ=：B0.

又因?yàn)镾是4cl與&C的交點(diǎn)，連接BC】，

所以點(diǎn)S在BDi上，且是BDi的中點(diǎn).

對(duì)于A、因?yàn)辄c(diǎn)尸在線段當(dāng)久上，點(diǎn)S在BO】上，所以PSu平面CD/iB.

又因?yàn)辄c(diǎn)。在8。上，所以&Qu平面DDiaB,

而平面DD/iBn平面=BiQ,PS〃面8通”,

因此PS〃/Q,所以A正確；

對(duì)于B、如圖：

在平面。。避避中，設(shè)BiQnD[B=H.

因?yàn)?Q=：80,。是5。的中點(diǎn)，

所以BQ=：BD=

因此即=

所以券=|=篙，即&P=汕當(dāng)=|BiN,

因此8不正確；

對(duì)于C、在正方體力BCD-aaGDi中，

因?yàn)锳CJ■平面DDiBiB,PSu平面。。祖8,

所以4C1PS,因此C正確；

對(duì)于。、因?yàn)镻S〃平面BiAM,

所以點(diǎn)P到平面814M的距離等于點(diǎn)S到平面以4M的距離,

因此%-814M=%-8遇”.

又因?yàn)镾是4cl的中點(diǎn)，所以%-/AM=2,

即Vp-Bi/l財(cái)=鼻%-%%”-

又因?yàn)樨埃篿-Bv4M=以-BiGM=gAB?S^BRIM

1clec4

=-3x2x-2x2x2=-,3

所以4.BIAM=4M=|，因此力正確.

故選ACD

17.答案：AB

解析：

此題主要考查立體幾何的線面垂直的判定，線面平行的判定，截面的找法及面積計(jì)算，屬于較難題.

建立坐標(biāo)系，利用向量法可判斷A；取BiG中點(diǎn)G,連接D】G,GE,利用平面性質(zhì)可知等腰梯形AD】GE

即為截面，求出其面積即可判斷;根據(jù)平行間的距離不變可判斷C；設(shè)外接球心為。，過(guò)。作。0'，AE,

垂足為0',則以。'為圓心，o,為半徑的圓是過(guò)AE面積最小的截面圓，求出其面積即可判斷。.

對(duì)于A,如圖，以A為原點(diǎn)，4D,48,4冬為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0),E(0,4,2),4(0,0,4),尸(4,2,0),(4,0,4),

AE=(0,4,2),41=(4,2,-4),力方1=(4,0,4)，

?.?盛?=0x4+4x2+2x(-4)=0>：?公F,AE，

???力方1?A1尸=4x4+0x2+4x(-4)=0>4尸1ADi>

???4EC4D1=4;平面故A正確；

對(duì)于8,如圖，取BiG中點(diǎn)G,連接D]G,GE,則GE〃C$且GE=初道=2魚(yú)，可知GB〃4Di，所

以4Di，G,E共面，則等腰梯形ADiGE即為截面，可求得其面積為18,故B正確;

，置E

道位A

。的過(guò)

4點(diǎn)是

面P圓

平與的

〃徑

Q積

B體半

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