新教材高中數(shù)學第2章平面解析幾何橢圓的標準方程導學案新人教B版選擇性必修第一冊

2.5橢圓及其方程

2.5.1橢圓的標準方程

固用附闌目國（教師獨具內容）

課程標準：1.經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過程.2.掌握橢圓的定義和標準方程.3.

能利用橢圓的定義和標準方程解決簡單的實際問題.

學法指導：學習本節(jié)內容時，應注意以下幾點：1.要通過實際操作理解并熟練掌握橢圓

的定義；2.利用圖形的形象直觀性，把握a,b,c的幾何意義；3.要通過范例的學習與適度

的練習，熟練掌握求橢圓標準方程的基本方法：待定系數(shù)法、定義法、直接法等.

教學重點：橢圓定義的應用及求橢圓的標準方程.

教學難點：橢圓標準方程的推導.

核心概念.掌握

HEXINGAINIANZHANGWO

1997年初，中國科學院紫金山天文臺發(fā)布了一條消息：從1997年2月中旬起，海爾波

普彗星將逐漸接近地球,4月以后又將漸漸離去，并預測3000年后,它還將光臨地球上空.1997

年2月至3月間許多人目睹了這一天文現(xiàn)象.你知道科學家是如何計算出彗星出現(xiàn)的準確時

間嗎？

1知識］導學

知識點一橢圓的定義

如果用是平面內的兩個定點，a是一個常數(shù),且2a回2出知，則平面內滿足畫㈤

+|必=2a的動點戶的軌跡稱為橢圓,其中，兩個定點■稱為橢圓的國焦點,兩個焦

點之間的距離出K|稱為橢圓的畫焦距.

知識點二橢圓的標準方程

焦點位置焦點在或軸上焦點在y軸上

2222

標準方程［號+方=1(眇6>0)102|-+*=1(H>6>0)

au

y

圖形1

焦距E&=畫“

焦點坐標畫（土c,0）[os]（0,+0

a,b,c的關系[06]a2=Z>2+c

'新知I

1.對橢圓定義的理解

設兩定點￡,左,點到凡用的距離之和為2a.

⑴當2a>㈤宿||時,點的軌跡是橢圓.

(2)當2a=出用時，點的軌跡是以用為端點的線段.

(3)當2a〈㈤周時，點的軌跡不存在.

2.用待定系數(shù)法求橢圓標準方程的步驟

(1)作判斷：依據(jù)條件判斷橢圓的焦點在x軸上還是在y軸上，還是兩個坐標軸上都有可

能；

(2)設方程：

Y2V2V2X2

①依據(jù)上述判斷設方程為=+0=1(a>?0)或=+/=1(a〉6>0)；

abab

②在不能確定焦點位置的情況下也可設i(4>0,n〉0且勿；

(3)找關系：依據(jù)已知條件，建立關于a,b,c或m,〃的方程組；

(4)得方程：解方程組，將a,b,c或以，〃代入所設方程即為所求.

溫評價自測

1.判一判(正確的打“，錯誤的打“X”)

(1)到平面內兩個定點的距離之和等于定長的點的軌跡稱為橢圓.()

(2)橢圓的標準方程只與橢圓的形狀、大小有關，與位置無關.()

(3)橢圓的兩種標準形式中，雖然焦點位置不同，但都具備廿=所+/()

4

(4)設定點內(0,-2),"(0,2),動點尸滿足條件由+必=必+-(必>2),則點尸的

m

軌跡是橢圓.()

答案⑴X(2)X(3)V(4)V

2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)

22

(1)設“是橢圓就X+5V=1的焦點，戶為橢圓上一點，則△陽石的周長為.

259--------

22

⑵已知幾凡為橢圓卷+5=1的兩個焦點，過E的直線交橢圓于46兩點，若

z)4

+出面=8,貝?。輡"而=.

22

⑶若橢圓志1的焦點分別為凡&橢圓上一點產(chǎn)滿足/月初=60°,則AF陽

的面積是.

答案⑴18(2)4⑶呼

核心素養(yǎng),形成

HEXINSUYANGXINGCHENG

題型一橢圓的定義

22

例1如圖所示，已知經(jīng)過橢圓宗Y+￡V=1的右焦點用的直線四垂直于X軸，交橢圓于

2516

A,8兩點,月是橢圓的左焦點.

(1)求的周長；

(2)如果26不垂直于x軸，△力￡6的周長有變化嗎？為什么？

一系或

［解］(1)如題圖，由題意知，A,8在橢圓前+e=1上，故有|/知+|/川=2a=10,

U10

M+|g=2a=10,AF21+|BF21=|AB\,

所以的周長+|班|+|初=|/川+|班|+|/￡|+|期|=(|裕|+|/知)

+(|班|+|/|)=2a+2a=4a=4X5=20.

所以△加肥的周長為20.

(2)如果/夕不垂直于x軸，△":方的周長仍為20不變，因為|/川+|班|+|四|=|/川

+|明|+|/川+|昭|=(|/川+|四|)+(|班|+|破|)=42與48和x軸是否垂直無關.

一［思碓國皮條成反思感悟］-------------------

1.橢圓定義的應用技巧

⑴橢圓的定義具有雙向作用，即若|姐|十|炳卜=2a(2,再創(chuàng)),則點〃的軌跡是橢圓；

反之，橢圓上任意一點〃到兩焦點的距離之和必為2a.

(2)橢圓的定義能夠對一些距離問題進行轉化，簡化解題過程.因此，解題過程中遇到涉

及曲線上的點到焦點的距離問題時，應先考慮是否能夠利用橢圓的定義求解.

2.橢圓中的焦點三角形

橢圓上一點尸與橢圓的兩個焦點E,K構成的△陽稱為焦點三角形，解關于橢圓的

焦點三角形的問題，通常要利用橢圓的定義，結合正弦定理、余弦定理等知識求解.

3.橢圓的標準方程中應注意的幾個問題

(9一二犬+3，a>6〉0,a最大，其中a,Ac構成如圖的直角三角形，我們把它稱為“特

征三角形”.

(2)方程中的兩個參數(shù)a與6,確定橢圓的形狀和大?。唤裹c內，月的位置，是橢圓的定

位條件，它決定橢圓標準方程的類型.

(3)方程力/+即表示橢圓的充要條件：ABC^O,且4B,。同號，方時，焦

點在y軸上；水方時，焦點在x軸上.

［跟蹤訓練1］已知E為橢圓5/+9/=45的左焦點，戶為橢圓上半部分上任意一點，

/(I,1)為橢圓內一點，求|朋卜+|川的最小值.

解由橢圓的方程5系+9爐=45可知J=9,Z?2=5,c=4,左焦點式(一2,0),右焦點

月(2,0),如圖所示.尸為橢圓上半部分上一點，由橢圓的定義有|所|+|必1=6.

而|陽|+|川=|陽|+|川+|陽1—1必|=6一(1必1—1朋).

在中，因為||用IT朋|<|/網(wǎng)，當且僅當P,A,K三點共線時，|必|一|加

=|四|=*.所以當一，A,K三點共線時，|陽|十|川有最小值為6一鏡.

題型二橢圓的標準方程

例2求經(jīng)過0,20,一f兩點的橢圓的標準方程.

22

［解］解法一：①當橢圓的焦點在X軸上時，設橢圓的標準方程為2+V=l(a>6〉0),

ab

r1

22±

a-一

lL

O

得

解i

依題意，知<1

021

l^--

4

A

?.?』=:4=次.?.焦點在入軸上的橢圓不存在.

54

②當橢圓的焦點在y軸上時，設橢圓的標準方程為

y2x2

=+0=1(a>b>0).

ab

"

解得v

由題意，得4

-

V2X2

故所求橢圓的標準方程為:+T=1.

45

解法二：設所求橢圓的方程為//+皮=1(給0,B>0,樣曲.

2=5,

解得

6=4,

；?所求的橢圓方程為5/+4/=1,其標準方程為彳+：=1.

45

一［思碓區(qū)皮茶成反思感悟］-----------------

1.橢圓標準方程的兩種求法

(1)定義法：定義是研究橢圓問題的基礎，先根據(jù)橢圓的定義得到相應的a,b,c,再寫

出橢圓的標準方程.

(2)待定系數(shù)法

2222

①先設出橢圓的標準方程當+卷=1或親+4=l(a〉垃0),然后求出待定的系數(shù)代入方程

abba

即可.

②若橢圓的焦點位置不確定，需要分焦點在x軸上和在y軸上兩種情況討論，也可設橢

圓的方程為加7Z?>0,72>0).

③與橢圓芻+看=l(a>b>0)有公共焦點的橢圓方程為dr+TTr=1匕>6>。，仃

ab3十人Z?十a(chǎn)

2222

>-X),與橢圓0+*=l(a>6>0)有公共焦點的橢圓方程為T萬+/J=l(a>6>0,

aba十人右十乂

1J>—兒).

2.求橢圓標準方程的關注點

確定橢圓的方程包括“定位”和“定量”兩個方面.

(1)“定位”是指確定與坐標系的相對位置，在中心為

原點的前提下，確定焦點位于哪條坐標軸上，以判斷方程的形式；

(2)“定量”是指確定a?,N的具體數(shù)值，常根據(jù)條件列方程求解.

［跟蹤訓練2:求滿足下列條件的橢圓的標準方程.

1，-1);

(1)兩個焦點坐標分別是(一2,0),(2,0),并且經(jīng)過點

22

(2)過點0(2,1),且與橢圓^X+!V=1有公共的焦點.

22

解(1)易知橢圓的焦點在X軸上，所以設橢圓的標準方程為FX+6V=l(a>￡>0).

ab

所以

又c—2,所以9=才一/=10—4=6.

22

故所求橢圓的標準方程為親+!=1.

100

xy

(2)設所求橢圓的標準方程為F+￡=1(a>6>0),

ab

22

由已_+3=1,得，=5,則才一9=5.①

41

又點。(2,1)在所求橢圓上,所以了+了=1,②

由①②得3=4+5,8=3,

2

Xy

故所求橢圓的標準方程為1.

題型三利用橢圓的定義求軌跡方程

例3已知A。是兩個定點，|a1=8,且的周長等于20,求這個三角形的頂點Z

的軌跡方程.

［解］以過8。兩點的直線為x軸，線段隙的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標

系xOy.如圖所示.

由⑻=8,可知點庾一4,0),C(4,0),c=4.

由|/6|+|/。+|6。=20,\BC\=S,

得|您+］附=12,

因此點4的軌跡是以6,。為焦點的橢圓，這個橢圓上的點與兩焦點的距離之和2a=12；

x

但點/不在X軸上.由3=6,c=4,得62=才一/=36—16=20.所以點/的軌跡方程為二葭十

V

而=lgo).

一［思推品質條成反思感悟］-----------------

利用橢圓的定義求動點的軌跡方程，應先根據(jù)動點具有的特點，驗證是否符合橢圓的定

義，即動點到兩定點距離之和是否是一常數(shù)，且該常數(shù)(定值)大于兩點的距離，若符合，則

動點的軌跡為橢圓，然后確定橢圓的方程，這就是利用定義求橢圓標準方程的方法，但注意

檢驗.

［跟蹤訓練3］已知兩圓G：(x—4)2+步=169,圓G：(x+4)2+/=9,動圓在圓G內

部和圓G相內切，和圓G相外切，求動圓圓心的軌跡曲線的形狀及方程.

解如圖所示，由已知可得圓G與G的圓心坐標分別為G(4,0),G(—4,0),其半徑分

別為公=13,12=3.

設動圓的圓心為G其坐標為(x,力，動圓的半徑為工

由于圓G與圓，相內切，依據(jù)兩圓內切的充要條件可得I=ri—工①

由于圓G與圓C相外切，依據(jù)兩圓外切的充要條件可得|無|=々+工②

由①十②可得ICGI+IC、GI=方+勿=13+3=16,即點。到兩定點G與G的距離之和為

16,且|GG|=8,可知動點。的軌跡為橢圓，且以G與G為焦點.

由題意，得c=4,a=8,

所以Z?*2=*67a2—c2=64—16=48.

22

所以橢圓的方程為京X+￡V=1,

6448

22

所以動圓圓心的軌跡為焦點在X軸上的橢圓，其方程為4X+*V=1.

6448

隨堂水平.達標

SUITANGSHUIPINGDABIAO

X2V2

1.已知橢圓F+《=1的一個焦點為（2,0）,則橢圓的方程是（）

a2

x2,y2x2,y2

A.彳+萬=1B.y+y=l

2x2y2

C.f+m=lD.

62

答案D

解析由題意知，橢圓的焦點在x軸上，且c=2,所以J=2+4=6,因此橢圓的方程

X2V2

為工+3=1.故選D.

62

22

2.“2CK5”是“方程1X+產(chǎn)V7=1表示的曲線是橢圓”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

答案B

>-2>0,

解析由方x程茨y7=1表示的曲線是橢圓，可得<5—左>0,解得2〈人5

k~251攵

2W5一￡

777

且k飛所以2〈衣5且AW]=2<4<5,而2<4<5推不出2<衣5且所以“2<衣5”是“方

程—+匕=1”表示橢圓的必要不充分條件.

3.（多選）與橢圓白+￡=1有公共焦點的橢圓是（）

X2,V2

C.—十—D.-+—=1

3021167

答案BCD

解析與橢圓X亡+￡V=1有公共焦點的橢圓系方程為立匚x萬+壯V彳=1（兒>—16）.對

251625十乂16+1

2222

XVXV

比各選項可知，當幾=-2時，得=+方=1；當4=5時，得證十方=1；當4=—9時，

乙。J.i.JU乙1.

22

XV

得生+亍=L故選BCD.

167

4.橢圓§+：=1的焦點為A,￡，點尸在橢圓上，若|依|=4,則|%|=,

/FlPF2=.

答案2120°

22_______

解析由橢圓g+今=1知a=3,c=-\]a-/f^y[7,

：|陽+|附=2a=6,|附=6—|閡=2.

在△月附中，由余弦定理，

HZ，-2小1

2-

2X4X2

又0°〈/E上〈180°,陽=120°.

5.如圖，已知定點4（—2,0）,動點8是圓戶：（x—2）4/=64上一點，線段48的垂直

平分線交班于點P,求動點尸的軌跡方程.

解連接用，圓戶：（x—2尸+/=64的圓心為9（2,0）,半徑仁8.

??,線段AB的垂直平分線交班于點P,

：.\PA\=\PB\,

|川+|陽=|陽+|即=|即=仁8>|明=4.由橢圓的定義，知點尸的軌跡是橢

圓.

依題意，有2a=8,c=2,

22

XV

???動點尸的軌跡方程為77+行=1?

1612

課后課時,精練

KEHOUKESHIJINGLIAN

A級：“四基”鞏固訓練

一、選擇題

V2

1.已知△/比的頂點A。在橢圓可+/=1上，頂點力是橢圓的一個焦點，且橢圓的另

O

一個焦點廠在以上，則的周長是()

A.2mB.6

C.4小D.12

答案C

解析由題可知a=/,由橢圓的定義得|即+|朋=|m+|a|=2a=2*,即

+\CF\)+\BA\+\CA\=\BA\+\CA\+\BC\=4小,即△/比'的周長為4事.故選C.

X2V2

2.如果方程F+±=1表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)a的取值范圍是()

aa十b

A.(3,+8)B.(—8,-2)

C.(-8,-2)U(3,+°°)D.(-6,-2)U(3,+°0)

答案D

xy(a2>a+6,

解析由橢圓F+—=1的焦點在x軸上，可得，解得

aa+6[a+6>0.

fa>3或a<—2,..

i所以a>3或一6<a<—2.故選D.

[a>—6.

3.已知動點〃(x,力滿足1~x+2~~x—2~2+y=4,則動點〃的軌跡曲線的

形狀為()

A.橢圓B.直線

C.圓D.線段

答案D

解析設￡(一2,0),用(2,0).由題意知動點〃滿足|姐|+|腿|=4=出網(wǎng)，故動點〃

的軌跡是線段F\&.

X2V2

4.已知橢圓前十大=1上一點〃到焦點￡的距離為2,N是蛇的中點，。為坐標原點，

259

則I測=()

A.2B.4

C.6

答案B

解析設￡為橢圓的左焦點，K為橢圓的右焦點，連接磔，由N是姐的中點，。是

的中點可知I掰磔|.又|M^|=2a—|如|=10—2=8,所以|皿=4.

22

5.(多選)橢圓前X十5V=1上一點尸到兩焦點的距離之積為見則必取最大值時，戶點坐

259

標可以是()

C.(0,3)D.［―耳1)

答案AC

解析記￡(—4,0),兆(4,0),|圖|?一W1')=尚2=25,當且僅當|歷

=|必|時，等號成立...，應在橢圓與y軸的交點處，

...2(0,3)或(0,-3).

二、填空題

22

XV

6.橢圓石+豆=1的兩個焦點為否，點尸在橢圓上.如果線段跖的中點在p軸上,

［乙O

那么IPF、|是|PR2|的倍.

答案7

解析由已知橢圓的方程得a=215,b=小,c=3,不妨設￡(—3,0),4(3,0).由于

焦點月和后關于y軸對稱，,行必垂直于x軸.二43,由或彳3,—乎］，坐，

二|陽|=2@—|〃|=乎.|如

22

7.已知產(chǎn)為橢圓自+導1上的一點，〃"分別為圓(葉獷+/=1和圓(x—獷+/

=4上的點，則|掰+|朋的最小值為.

答案7

解析由題意知橢圓的兩個焦點八月分別是兩圓的圓心，且|附|+|居|=10,從而|掰

+1加的最小值為|4|+|抬|T—2=7.

22

8.已知凡K分別為橢圓X/+5V=1的左、右焦點，〃是橢圓上的一點，且在y軸的左

168

側，過點內作NA覘的角平分線的垂線，垂足為兒若|3|=2(。為坐標原點)，貝H晚|一

\MK\=,\OM\=

答案42乖

解析延長姐并相交于0點，由題知，MNLFzQ,且仞V平分NE順，所以|磔|=

\MQ\,N為K0的中點，又因為。為的中點，所以^0,因為|郵=2,所以出0

=4,|腿|一|姐|=4,因為|感|+|姐|=8,所以|啰|=6,|姐|=2,所以|啰「=|姐『

+出用「，所以姐，如，所以|掰=[|如「+|如」=2山.

三、解答題

9.已知橢圓^+0=1殳>6〉0)的焦點分別是月(0,—1),7^(0,1),且3a'=462.

ab

(1)求橢圓的標準方程；

⑵設點尸在這個橢圓上，且|萬|—|分1=1,求/月陽的余弦值.

解⑴依題意，知c=l,又舌=百一6,且3a2=4況

31

即22

4-4-司-

所以a—4,Z?—3,

yx

故橢圓的標準方程為3+可=L

4u

⑵由于點尸在橢圓上，

所以|陽|十|必|=2a=2X2=4.

又I陽IT皮1=1,

A3

所以]兩卜=5，I91=].

又㈤知=2c=2,

所以由余弦定理得

3

cos/FiP&=

5,

3

故//行的余弦值為m

5

10.已知圓4f+(y+6)2=400,圓/內一定點6(0,6),圓。過6點且與圓/內切,

求圓心C的軌跡方程.

解設動圓。的半徑為r,則|四=工

?.?圓。與圓/內切，A\CA\=2Q~r.

：.\CA\+\CB\=2Q.

又|/"=12,：.\CA\+\CB\=2Q>\AB\.

?,?點。的軌跡是以48兩點為焦點的橢圓.

???243=20,2c=12,

.?.3=10,c=6,8=64.

y2x2

又46在y軸上，...C點的軌跡方程為舌+肅=1.

1UU04

B級：“四能”提升訓練

1.求適合下列條件的橢圓的標準方程.

(1)焦點在x軸上，且經(jīng)過點⑵0)和點(0,1)；

⑵與橢圓點+/=1有相同的焦點，且經(jīng)過點(1,1)；

(3)焦點在y軸上，且與y軸的一個交點為戶(0,-10),戶到它較近的一個焦點的距離等

于2.

解(D：橢圓的焦點在x軸上，

X2V2

???可設它的標準方程為1(a〉6>0).

ab

?.?橢圓經(jīng)過點⑵0