高中數(shù)學課時作業(yè)32基本不等式2新人教版必修5

（第二次作業(yè)）

1.下列函數(shù)中，最小值為4的是（）

4x+5

A.f（x）—x-\-B.f（x）=2X

xy]x+4

C.f^x）=3'+4X3VD.f^x）=lg^+log,10

答案C

2.在算式“30—A=4X口”中的4,□分別填入兩個正整數(shù)，使它們的倒數(shù)和最小，

則這兩個數(shù)構(gòu)成的數(shù)對（口，△）應為（）

A.（4,14）B.（6,6）

C.（3,18）D.（5,10）

答案D

3.（2012?陜西）小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b（a<6）,其全程的平均時速

為匕則（）

A.a<v<y[abB.v=y[ab

i-a+b_a+b

C.7axK——D.

答案A

因為

a+62y[aba+bda+ba+ba+b

以即v>a.故選A項.

a+b

14

4.已知兩個正變量x,y,滿足x+尸4,則使不等式一+-2〃，恒成立的實數(shù)"的取值范

xy

圍是.

9

答案（一8,-J

5.設正數(shù)x,y滿足恒成立,則a的最小值是.

答案鏡

6.設正數(shù)x,y滿足log2（x+y+3）=log2x+log2j,則x+y的取值范圍是.

答案[6,+8）

答案原式等價于x+y+3=xyW（乎）2（當且僅當彳=/時取等號），所以x+y+

即（x+y）‘一4（x+力—1220.

解得x+pN6或x+K—2（舍去）.

所以x+y的取值范圍是［6,+8）.

12

7.已知d>0,b>。,且3+，=1,則Tl+小的最大值為—

答案平

解析+=/xayj’.Xg［才+（41藍）2］

=￥（i+;）=，P，當且僅當a=乎，6=平時等號成立.

**?訕/1+4的最大值為丹

o2

8.已知才>0,y>0,且x+y=L求一+一的最小值.

xy

解析??3>0,y>0,且x+y=L

,卑=（平）（*+〃）

xyxy

=10+殳+絡10+2、叵E=18.

XP\\Xy

8P9x

當且僅當于=7,即x=2y時等號成立，

,當時,尸寺時,?有最小值18.

12

9.設在y都是正數(shù)且［+］=3,求2x+y的最小值;

x~\~V119

解析（1）2葉尸——七2—=1（一+-）（2葉力

33xy

=鼻1（上V+——\x+4）21鼻（2、r-〃+4）=8-

3xy3V3

當且僅當;時等號成立，即/=4/.?.y=2x.

1924

又丁,+；=3,得x=Q,尸子

xyoo

二當*=看尸:時，2升y取得最小值為.

10.設X>—1,求y=————的最小值.

XI1

解析'：X>-1,，x+l>0.

設x+l=力0,則x=t—1.

t~\~/+5t+4

于是有y='

t

4/4

=t+-+5^2yt?-+5=9,

4

當且僅當￡=?即￡=2時取等號，此時x=L

Y-\-V—I—

???當x=l時，函數(shù)y=-------匚------取得最小值為9.

x+1

11.求函數(shù)y=的最小值.

解析令則121,且/=1一1.

y+3%+3t—~+t—+3

,,尸）+1=；

d+z+1=t+^+1.

t

.：t2l,：.2yt?；=2,當且僅當t=[,即1=1時，等號成立，，當x=0時，

函數(shù)取得最小值3.

講評把已知函數(shù)解析式通過通分、拆項等方法，轉(zhuǎn)化成滿足基本不等式的條件的形式

再求最值，是常用的方法.

12.已知a,b,c是不全相等的三個正數(shù)，

6+c-aa+c-bIa+b-c

求證:>3.

abc

解析2g、a+c-bIa+b—c

卜-b-十一c-

b,c,a,c,atb八

=（"+令+（*+。+6+“）—3,

abacbc

a,b,。都是正數(shù),

ba

守產(chǎn)T7T2

同理卜注2,%92.

（泊）+（—+觸6.

：a,b,c不全相等，上述三式不能同時取等號,

；?4+尹總+>學+今電

.6+c-aa+c-b,a+6一

,'a

13.

圍建一個面積為360m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻(利用舊墻需維修)，

其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，如圖所示.已

知舊墻的維修費用為45元/m,新墻的造價為180元/m.設利用的舊墻的長度為x(單位m)，修

建此矩形場地圍墻的總費用為y(單位：元).

(D將y表示為“的函數(shù)；

(2)試確定x,使修建此矩形場地的圍墻的總費用最少，并求出最少總費用.

解析(1)設矩形的另一邊長為am,

貝1Jy=45x+180(*—2)+180?2a=225x+360a—360.

2

Am360,360,、

由己知ax=360,得a=---.；.y=225x+----360(x>0).

xx

36()2,

(2)；x>0,225葉子》24255X360，=10800.

Ay=225^+--36010440,當且令當225%=3?時，等號成立.

XX

即當x=24m時，修建圍墻的總費用最少，最少總費用是10440元.

14.

如右圖所示，動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各

面用鋼筋網(wǎng)圍成.

(1)現(xiàn)有可圍36m長的鋼筋網(wǎng)材料，每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使每間虎籠

面積最大?

(2)若使每間虎籠面積為24m2,則每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使圍成四間虎

籠的鋼筋網(wǎng)總長最??？

解析(1)設每間虎籠長xm,寬為ym,則由條件得

4x+6尸36,即2x+3y=18.

設每間虎籠面積為5,則5=%%

方法一由于2x+3y-2#2x?3y=246燈,

___27

2yj6xy^18,得xy^.—.

即SW萬，當且僅當2x=3y時，等號成立.

2x+3y=18x=4.5

由解得

2x=3y,J=3.

故每間虎籠長為4.5ni,寬為3m時，可使面積最大.

3

方法二由2x+3y=18,W%=9--y.

Vx>0,/>0,：.0<y<6.

33

/.S=xy=(9—-y)y=^(6—y)?y.

V0<y<6,A6-y>0.

.一3「6-y+427

當且僅當6—y=y,即y=3時，等號成立，此時x=4.5.

故每間虎籠長為4.5m,寬為3m時，可使面積最大.

⑵由條件知S=xy=24.

設鋼筋網(wǎng)總長為則1=4x+6卜

方法一?:2牙+3212x?3尸2y)6xy=24,

???/=4x+6y=2(2x+3)y》48,當且僅當2x=3y時，等號成立.

2x=3px=6

由解得

xy=24.y=4.

故每間虎籠長為6m,寬為4m時、可使鋼筋網(wǎng)總長最小.

24

方法二由燈=24,得x=一.

y

961646

???/=4x+6y=7+6y=6(丁+力26X2,—?尸48.

當且僅當,=y,即y=4時，等號成立，此時x=6.

故每間虎籠長為6m,寬為4m時、可使鋼筋網(wǎng)總長最小.

備選題

BEIXUANTI新課標版

x

1.若對任意x>0,f+3x+lWa恒成立時,則a的取值范圍是

答案+8）

x]

解析V^>0,

**/+3x+1

A-+3+-

X

2

-已知”￡求〃的最大值.

解析方法一：匕+6》六

且a>b>c9

nW

a-bb~ca—bb~c'

?.,對a、b、c上式都成立,

.弋a(chǎn)-c；]

??LI]Jmin?

a-bb-c

2a-c2

又???----------------------2一-=4.

a-bb~c[a~b+b—c

-]2

2

??.〃<4,???〃的最大值為4.

方法二"：a>b>c,：.

a—bb-c

a~b+b~ca—b+b—c

a-bb-c

,b—c,a—b、,

=2+力+或22+2=4.

???〃<4,???〃的最大值為4.

3.某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少10層，每層2000

平方米的建房.經(jīng)測算，若將樓房建為x（x210）層，則每平方米的平均建筑費用為560+

48x（單位：元）.為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為多少層？（注：平

均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用=髓髓卷）

解析設將樓房建為X層，則每平方米的平均購地費用為21鼠1°：=2迎

，每平方米的平均綜合費用

,,10800,/I225、

y=560+48^+---=560+48U+-).

99R

當x+T取最小值時，y有最小值?

?225、225

???x〉0,A^+—^2-x,-=30.

225

當且僅當萬=—,即x=15時、上式等號成立.

x

所以當x=15時，y有最小值2000元.

因此該樓房建為15層時，每平方米的平均綜合費用最少.

?>自助餐?走向高考《<

…ziz'HUCAN……zo'uXIANGGAOKAO"

1.（2013?北京）設&b,ceR,且分4則（）

A.ac>6cB.

C.a>Z>2D.a>l）

答案D

解析A項中，若。小于等于0則不成立；B項中，若a為正數(shù)6為負數(shù)則不成立；C項

中，若a,人均為負數(shù)則不成立.故選D項.

2.（2013?福建）若2'+2'=1,則x+y的取值范圍是（）

A.[0,2]B.[-2,0]

C.[-2,+°°）D.（-8,-2]

答案D

解析?.?2"+2'=122收"”，

（$222'+‘，即2-W27

3.（2013?安徽）已知一元二次不等式f（x）<0的解集為3水-1或x>/，則f（10'）〉0

的解集為（）

A.{x|水一1或x>—lg2}B.[x\—1<X—lg2}

C.{x\x>—lg2}D.{x\X-lg2}

答案D

解析由題意知一1<104，所以Klg|=-lg2,故選D項.

4.（2013?江西）下列選項中，使不等式求4f成立的X的取值范圍是（）

A.（-8,-1）B.（-1,0）

C.（0,1）D.（1,+8）

答案A

[%>0①味K＞01＞咒②

解析原不等式等價于2/3

①無解，解②得木一1.故選A項.

(x+y^8

2y—xW4

5.（2013?四川）若變量x,y滿足約束條件〈、八且z=5y-x的最大值為a,

最小值為則a一8的值是（）

A.48B.30

C.24D.16

答案C

由線性規(guī)劃可知，Zmax=5X4—4=16,Zmin=0—8=—8,即@=16,。=-8,?,.a—6=24.

故選C項.

6.（2013?湖北）某旅行社租用48兩種型號的客車安排900名客人旅行，月，6兩種車

輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1600元/輛和2400元/輛，旅行社要求租車

總數(shù)不超過21輛，且6型車不多于/型車7輛，則租金最少為（）

A.31200元B.36000元

C.36800元D.38400元

答案C

’36x+60y2900

y-xW7

解析設需46型車分別為x,y輛（必y￡N）,則x,y需滿足〈,

x+

收N,yeN,

設租金為z,則z=1600x+2400y,畫出可行域如圖陰影部分所示，根據(jù)線性規(guī)劃中截距問

題，可求得最優(yōu)解為x=5,y=12,此時z最小等于36800,故選C項.

C.5D.6

答案C

13

解析Vx+3y=5xy=1.

95y5x

.?.3x+4尸（3x+4y）X1=（3x+V）（^+￡）嗡卷譚+2求,詈5,

當且僅當普=等，即x=l,尸;時等號成立.

5y5x2

8.（2012?福建）下列不等式一定成立的是（）

A.ig（y+1）>igx（^>o）

B-sinx+*;》2(xWC,A6Z)

C.V+I22|x|(x￡R)

D.了不Y>1(X￡R)

答案C

解析*.*y+1^21x\<^x—21x\+120,

???當x20時，x—2\x\+1=>—2x+l=(x—I)?當0成立；

當x<0時，/—2|x|+1=f+2入+1=(x+l)220成立.

故一+122|x|(x￡R)一定成立.

V-1

9.(2012?重慶)不等式二7這0的解集為()

/1r

A.(—5,1]

1r

B.r[—5,1]

C.(-8,—1)u[1,+8)

D.(-8,—U[1,+8)

答案A

解析不等式可化為｛X-x+,x+lWO.解不等式組得一/xWl,

故選A項.

10.(2012?新課標全國)已知正三角形Z優(yōu)的頂點J(l,1),5(1,3),頂點。在第一象限，

若點(x,。在△?!回內(nèi)部，則z=—x+p的取值范圍是()

A.(1-^/3,2)B.(0,2)

C.(#—1,2)D.(0,1+4)

答案A

解析由頂點。在第一象限且與46構(gòu)成正三角形可求得點C坐標為(1+小，2),將

目標函數(shù)化為斜截式為y=x+z,結(jié)合圖形可知當y=x+z經(jīng)過點C時z取最小值，此時批

=1一m，當尸x+z過點夕時z取到最大值，此時d=2,綜合可知z的取值范圍為(1一鎘,

2).

x+y—3W0

11.(2012?福建)若函數(shù)y=2'圖像上存在點(必y)滿足約束條件Jx—2y—3W0則

實數(shù)"的最大值為（）

1

A.-B.1

3

C.-D.2

答案B

解析由約束條件作出其可行域如圖所示.

由圖可知當直線x=/〃經(jīng)過函數(shù)尸2'的圖像與直線x+y—3=0的交點〃時取得最大值,

即得2'=3—x,即x=1=m.

x—y^lO

12.（2012?遼寧）設變量x,y滿足<0<X+j<20則2x+3y的最大值為（）

.0WK15,

A.20B.35

C.45D.55

答案D

解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，

則2x+3y在力（5,15）處取得最大值，故選D項.

13.（2012?江西）某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過

54萬元，假設種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表

年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價

黃瓜4噸1.2萬元0.55萬元

韭菜6噸0.9萬元0.3萬元

為使一年的種植總利潤（總利潤=總銷售收入一總種植成本）最大，那么黃瓜和韭菜的種

植面積（單位：畝）分別為（）

A.50,0B.30,20

C.20,30D.0,50

答案B

解析設黃瓜、韭菜的種植面積分別為x畝、y畝，則總利潤為z萬元，

則z關(guān)于x,y的關(guān)系式為z=4xX0.55—1.2x+6yX0.3—0.9y=x+0.9y,且x,y滿

「GO,

介0,

足的約束條件為〈

x+y<50,

ll.2x+0.9j<54.

畫出行域，如圖所示:

L2x+0.9y=54

[%+y-50=0,

當直線2=才+0.9曠過點水30,20）（注：可聯(lián)立方程組,人解得點力

[1.2x+0.9y—54=0,

的坐標）時，z取得大值，因此當總利潤z最大時，x=30,y=20,即黃瓜的種植面積為30

畝，韭菜的種植面積為20畝.

‘X21,

14.（2012?福建）設不等式組，x-2y+320,所表示的平面區(qū)域是小，平面區(qū)域

Q與化關(guān)于直線3*—4了-9=0對稱.對于0中的任意點4與Q中的任意點6,1A?|的

最小值等于（）

28

A-TB-4

12

C-TD-2

答案B

解析畫出不等式組所表示的平面區(qū)域0如圖所示，觀察圖形可知，4（1,1）到直線3x

—4y—9=0的距離最小，故〃關(guān)于直線3x—4廠9=0對稱的點〃'⑺'在G內(nèi)）的距離

I3—4—91

如'：最小，〃到直線3x+4y—9=0的距離為--------^2,故|/血曄=|加'1=4.

5

15.（2013?四川）已知函數(shù)4）=4葉衿。/>。）在戶3時取得最小值，則a=

答案36

解析由基本不等式可得4x+江2、j4x?。=4事,當且僅當4x=：即彳=小時等號成

立，，乎=3,a=36.

16.（2013?廣東）不等式x+x-2<0的解集為.

答案3-2<水1}

解析X2+X-2<0即（X+2）（x—l）<0,解得一2<X<1,故原不等式的解集為{x|—2<X<1}.

17.（2013?江蘇）已知/'（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，f{x）=X-4X9則不等

式f（x）>x的解集用區(qū)間表示為.

答案（一5,0）U（5,+oo）

x—4x,x>0,

解析???函數(shù)/'（入）為奇函數(shù),且萬>0時，/1（力=/一4%則/1（才）=<筋x=0,

—X—\XyXO,

x>0,K0,

???原不等式等價于或

X-4X>X9-x-\x>x.

由此可解得x>5或一5<x<0.

故應填（一5,0）U（5,+8）.

昨后3,

18.（2013?新課標全國）設x,y滿足約束條件-八則z=2x-y的最大

【一1Wx—ySO，

值為

答案3

解析畫出可行域如圖陰影部分所示.

畫出直線2*—y=0,并平移，當直線經(jīng)過點4(3,3)時，z取最大值，且最大值為z=2X3

—3=3.

x+y-220,

19.(2013?浙江)設z=M+y,其中實數(shù)*,y滿足＜x-2y+4