高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：集合及其運(yùn)算

集合及其運(yùn)算高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)1.元素與集合2.集合間的基本關(guān)系3.集合的基本運(yùn)算教材研讀考點(diǎn)一集合的基本概念考點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系考點(diǎn)三集合的基本運(yùn)算考點(diǎn)突破1.元素與集合(1)集合中元素的特性:①

確定性

、互異性、無序性.(2)集合與元素的關(guān)系:若a屬于集合A,記作②

a∈A

;若b不屬于集合

A,記作③

b?A

.(3)集合的表示方法:④

列舉法

、描述法、圖示法.教材研讀(4)常見數(shù)集及其符號表示2.集合間的基本關(guān)系(2)?,{0}和{?}的區(qū)別,?是集合,不含有任何元素,{0}含有一個元素0;

{?}含有一個元素?,且?∈{?}和??{?}都正確.(3)在涉及集合之間的關(guān)系時,若未指明集合非空,則要考慮空集的可能

性,如:若A?B,則要考慮A=?和A≠?兩種情況.?提醒(1)“?”與“?”的區(qū)別:A?B?A=B或A?B,若A?B和A?

B同時成立,則A?B更準(zhǔn)確.3.集合的基本運(yùn)算知識拓展1.非常規(guī)性表示常用數(shù)集:如{x|x=2(n-1),n∈Z}為偶數(shù)集,{x|x=4n±1,n

∈Z}為奇數(shù)集等.2.(1)一個集合的真子集必是其子集,一個集合的子集不一定是其真子集.(2)任何一個集合是它本身的子集;(3)對于集合A,B,C,若A?B,B?C,則A?C(真子集也滿足).3.子集的個數(shù):集合A中有n個元素,則集合A有2n個子集、(2n-1)個真子

集、(2n-1)個非空子集、(2n-2)個非空真子集.4.(1)并集的性質(zhì):A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A;(2)交集的性質(zhì):A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B;(3)補(bǔ)集的性質(zhì):A∪(?UA)=U;A∩(?UA)=?;?U(?UA)=A;?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB);?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB).1.判斷正誤(正確的打“√”,錯誤的打“?”).(1){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.

(?)(2)若{x2,1}={0,1},則x=0,1.

(?)(3){x|x≤1}={t|t≤1}.

(√)(4)對于任意兩個集合A,B,(A∩B)?(A∪B)恒成立.

(√)(5)若A∩B=A∩C,則B=C.

(?)

答案(1)?(2)?(3)√(4)√(5)?2.若集合A={x∈N|x≤

},a=2

,則下面結(jié)論中正確的是

(D)A.{a}?A

B.a?A

C.{a}∈A

D.a?A答案

D因?yàn)閍=2

?N,A={x∈N|x≤

},所以a?A.

3.已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},則A∩B=(A)A.{0,2}

B.{1,2}C.{0}

D.{-2,-1,0,1,2}答案

A本題主要考查集合的基本運(yùn)算.∵A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},∴A∩B={0,2},故選A.

4.(教材習(xí)題改編)滿足{0,1}?A?{0,1,2,3}的集合A的個數(shù)為(D)A.1

B.2

C.3

D.4答案

D由題意得A可為{0,1},{0,1,2},{0,1,3},{0,1,2,3}.5.若全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2,3},B={2,3,4},則?U(A∩B)=

.答案{1,4,5}

6.(教材習(xí)題改編)已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},則A∩B中元素的個

數(shù)為

.答案2解析因?yàn)榧螦和集合B有共同元素2,4,所以A∩B={2,4},所以A∩B中

元素的個數(shù)為2.典例1(1)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈

Z},則A中元素的個數(shù)為

(A)A.9

B.8

C.5

D.4(2)已知a,b∈R,若

={a2,a+b,0},則a2018+b2018=(A)A.1

B.0

C.-1

D.±1集合的基本概念考點(diǎn)突破

答案(1)A(2)A解析(1)本題主要考查集合的含義與表示.由題意可知A={(-1,0),(0,0),(1,0),(0,-1),(0,1),(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)},故

集合A中共有9個元素,故選A.(2)由已知得a≠0,則

=0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根據(jù)集合中元素的互異性可知a=1應(yīng)舍去,因此a=-1,故a2018+b2018=(-1)2018+02018=1.方法技巧與集合中的元素有關(guān)的問題的求解策略(1)確定集合中的元素是什么,即集合是數(shù)集還是點(diǎn)集;(2)看這些元素滿足什么限制條件;(3)根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù).易錯警示要注意檢驗(yàn)集合中元素的互異性,如本例(2).1-1設(shè)集合A={0,1,2,3},B={x|-x∈A,1-x?A},則集合B中元素的個數(shù)為

(A)A.1

B.2

C.3

D.4答案

A若x∈B,則-x∈A,故x只可能是0,-1,-2,-3,當(dāng)0∈B時,1-0=1∈A;

當(dāng)-1∈B時,1-(-1)=2∈A;當(dāng)-2∈B時,1-(-2)=3∈A;當(dāng)-3∈B時,1-(-3)=4?A,

所以B={-3},故集合B中元素的個數(shù)為1.

1-2已知集合A={x∈N|1<x<log2k},集合A中至少有3個元素,則

(C)A.k>8

B.k≥8

C.k>16

D.k≥16答案

C因?yàn)榧螦中至少有3個元素,所以log2k>4,所以k>24=16,故選C.

1-3已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,則m的值為

.答案-

解析因?yàn)?∈A,所以m+2=3或2m2+m=3.當(dāng)m+2=3,即m=1時,2m2+m=3,此時集合A中有重復(fù)元素3,所以m=1不符合題意,舍去;當(dāng)2m2+m=3時,解得m=-

或m=1(舍去),此時m+2=

≠3符合題意.所以m=-

.典例2(1)已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈N},則集合A的真子集的個數(shù)為

(C)A.7

B.8

C.15

D.16(2)已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},則

(

B

)A.A?B

B.B?A

C.A=B

D.A∩B=?(3)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B?A,則實(shí)數(shù)m的

取值范圍是

.集合間的基本關(guān)系

答案(1)C(2)B(3)(-∞,3]解析(1)由題意得A={0,1,2,3},則集合A的真子集的個數(shù)為24-1=15.(2)因?yàn)锳={x|x2-x-2<0}={x|-1<x<2},B={x|-1<x<1},所以B?A,故選B.(3)當(dāng)B=?時,有2m-1<m+1,此時m<2;當(dāng)B≠?時,有

解得2≤m≤3.綜上可得,實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,3].◆探究

(變條件)若將本例(3)中的“A={x|-2≤x≤5}”改為“A={x|x<-

2或x>5}”,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解析當(dāng)B=?時,有2m-1<m+1,∴m<2,符合題意;當(dāng)B≠?時,有

或

解得

或

即m>4.綜上可知,實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,2)∪(4,+∞).方法技巧1.判斷兩集合間的關(guān)系的方法(1)對描述法表示的集合,把集合化簡后,從表達(dá)式中尋找兩集合間的關(guān)系.(2)對于用列舉法表示的集合,從元素中尋找關(guān)系.2.根據(jù)兩集合間的關(guān)系求參數(shù)的方法已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時,關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的條件,常用數(shù)軸、Venn圖等來解決這類問題.2-1已知集合A={x|y=

,x∈R},B={x|x=m2,m∈A},則

(B)A.A?B

B.B?A

C.A?B

D.A=B答案

B由題意知A={x|-1≤x≤1},∴B={x|x=m2,m∈A}={x|0≤x≤1},∴B?A,故選B.

2-2已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},則滿足條件A

?C?B的集合C的個數(shù)為

(D)A.1

B.2

C.3

D.4答案

D由x2-3x+2=0得x=1或x=2,∴A={1,2}.由題意知B={1,2,3,4},∴滿足條件的C為{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.

2-3若集合A={1,2},B={x|x2+mx+1=0,x∈R},且B?A,則實(shí)數(shù)m的取值范

圍是

.答案[-2,2)解析若B=?,則Δ=m2-4<0,解得-2<m<2;若1∈B,則12+m+1=0,解得m=-2,此時B={1},符合題意;若2∈B,則22+2m+1=0,解得m=-

,此時B=

,不合題意.綜上所述,實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-2,2).典例3(1)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},則

A∩B=

(C)A.{0}

B.{1}

C.{1,2}

D.{0,1,2}(2)(2018天津,1,5分)設(shè)集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},

則(A∪B)∩C=

(C)A.{-1,1}

B.{0,1}

C.{-1,0,1}

D.{2,3,4}集合的基本運(yùn)算命題方向一集合的運(yùn)算

(3)已知集合A={x|x2-x-2>0},則?RA=

(B)A.{x|-1<x<2}B.{x|-1≤x≤2}

C.{x|x<-1}∪{x|x>2}

D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}答案(1)C(2)C(3)B解析(1)∵A={x|x-1≥0}={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2},故選C.(2)由題意得A∪B={1,2,3,4,-1,0},∴(A∪B)∩C={1,2,3,4,-1,0}∩{x∈R|-1

≤x<2}={-1,0,1}.故選C.(3)化簡A={x|x<-1或x>2},∴?RA={x|-1≤x≤2}.故選B.

命題方向二利用集合的運(yùn)算求參數(shù)典例4(1)已知x∈R,集合A={0,1,2,4,5},集合B={x-2,x,x

+2},若A∩B={0,2},則x=

(

B

)A.-2

B.0

C.1

D.2(2)已知集合A={x|x2-x-12>0},B={x|x≥m}.若A∩B={x|x>4},則實(shí)數(shù)m的取

值范圍是

(

B

)A.(-4,3)

B.[-3,4]C.(-3,4)

D.(-∞,4]

解析(1)因?yàn)锳={0,1,2,4,5},B={x-2,x,x+2},且A∩B={0,2},所以

或

當(dāng)x=2時,B={0,2,4},A∩B={0,2,4}(舍);當(dāng)x=0時,B={-2,0,2},A∩B={0,2},符合題意.綜上,x=0.故選B.(2)集合A={x|x<-3或x>4},∵A∩B={x|x>4},∴-3≤m≤4,故選B.答案(1)B(2)B規(guī)律總結(jié)1.集合運(yùn)算的常用方法(1)若集合中的元素是離散的,則常用Venn圖求解.(2)若集合中的元素是連續(xù)的實(shí)數(shù),則用數(shù)軸表示,此時要注意端點(diǎn)的情況.2.利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的值或取值范圍的方法(1)與不等式有關(guān)的集合,一般利用數(shù)軸解決,要注意端點(diǎn)值的取舍.(2)若集合能一一列舉,則一般先用觀察法得到集合中元素之間的關(guān)系,

再列方程(組)求解.在求出參數(shù)后,注意結(jié)果的驗(yàn)證(滿足集