高中數(shù)學(xué)-高中數(shù)學(xué)必修四12

1.2.1正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)（第一課時）

一、教學(xué)具準備

直尺、圓規(guī)、投影儀

二、教學(xué)目標

1.借助單位圓理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義；

2.在定義的學(xué)習(xí)過程中滲透數(shù)形結(jié)合的思想；

3.能初步應(yīng)用定義分析和解決與三角函數(shù)有關(guān)的一些簡單問題；

三、教學(xué)過程（課件輔助教學(xué)）

1.理解銳角三角函數(shù)

要理解任意角三角函數(shù)首先要理解銳角三角函數(shù).銳角三角函數(shù)是任意角三

角函數(shù)的先行組織者.

問題1任意畫一個銳角a,借助三角板，找出sina,cosa,tana的近

似值.

教師用幾何畫板任意畫一個銳角.要求學(xué)生自己任意也畫一個銳角，利用手

中的三角板畫直角三角形，度量角a的對邊長、斜邊長，計算比值.

意圖：復(fù)習(xí)初中所學(xué)習(xí)過的銳角三角函數(shù)，加深對銳角三角函數(shù)概念的理解,

它是學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)的基礎(chǔ).突出：

（1）與點的位置的選取無關(guān)；（2）是直角三角形中線段長度的比值.

問題2能否把某條線段畫成單位長，有些三角函數(shù)值不用計算就可以得

到？

意圖：學(xué)生根據(jù)自己實際畫圖操作，以及計算比值的體驗，會很快認為把斜

邊畫成單位長比較方便，為后續(xù)任意角三角函數(shù)的“單位圓定義法”做鋪墊.

問題3銳角三角函數(shù)sina作為一個函數(shù)，自變量以及與之對應(yīng)的函數(shù)值分

別是什么？

意圖：以便與后面的任意角三角函數(shù)的自變量是角（的弧度，對應(yīng)一個實數(shù)）,

對應(yīng)的函數(shù)值是a的終邊與單位圓交點的縱坐標比較.

銳角三角函數(shù)sina作為一個函數(shù)，自變量是銳角.由于角的弧度值與實數(shù)

兀

可以一一對應(yīng)，所以，a是（0,T）上的實數(shù).而與之對應(yīng)的函數(shù)值sina是

線段長度的比值，是區(qū)間（0,1）上的實數(shù).

問題4你產(chǎn)生過這個疑問嗎：“三角函數(shù)只有這三個？”

意圖：這個問題具有元認知提示的特點，引導(dǎo)學(xué)生勤于思考，逐步學(xué)會發(fā)現(xiàn)

問題、提出問題、研究問題.

三條邊相互比，可以產(chǎn)生六個比.還有哪三個呢？再把已知的三個倒過來.

2.任意角三角函數(shù)定義的“再創(chuàng)造”

教師利用幾何畫板，把角a的頂點定義為原點，一邊與x軸的正半軸重合,

轉(zhuǎn)動另一條邊，表現(xiàn)任意角.

問題5現(xiàn)在，角的范圍擴大了.在直角坐標系中，使得角的頂點在原點，

始邊與x軸的正半軸重合.在這樣的環(huán)境下，你認為，對于任意角a,sina,

cosa,tana怎樣來定義好呢？

意圖：可以打破知識結(jié)構(gòu)的平衡，感受到學(xué)習(xí)新知識的必要性一一角的范圍

擴大了，銳角三角函數(shù)也應(yīng)該“與時俱進”，并不顯得突然.把定義的主動權(quán)交

給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生參與定義過程，發(fā)展思維.

有兩種可能的回答.

可能一：在a的終邊上任意畫一點P(x,y),|0P|=r.

sin<7=^-,coso=-?tano

rrx

可能二：設(shè)角a的終邊與單位圓的交點為P(x,y).

sina—y,cosa=r,tana=^.

，x

不論出現(xiàn)可能一還是可能二，都再問：“都是這樣的嗎？”

引導(dǎo)學(xué)生議論，以確認兩種定義方法的一致性、各自特點.再問“你贊成哪

一種？”，統(tǒng)一認識，建立任意角三角函數(shù)的定義.(板書)

因為前面已經(jīng)有引導(dǎo)，學(xué)生可能很快接受“可能二”.

3.任意角三角函數(shù)的認識(對定義的體驗)

問題6(1)求下列三角函數(shù)值：

7無

o-

sin270,cos無>tan-7.

6

問題6(2)說出幾個使得cosa=1的a的值.

意圖：通過定義的簡單應(yīng)用，把握定義的內(nèi)涵.

逐題給出，對于每一個答案，都要求學(xué)生說出“你是怎樣得到的.”突出“畫

終邊，找交點坐標，算比值(對正切函數(shù))”的步驟.

問題6(3)指出下列函數(shù)值：

.兀,1331..11%.

"

sin-7；sin-7—；sin(T~).

666

意圖：角的終邊位置決定了三角函數(shù)值的大小.終邊位置相同的角同一三角

函數(shù)值相等.

問題7做了這么多題，要反思.你是否發(fā)現(xiàn)了任意角三角函數(shù)的一些性質(zhì)？

還有些什么體會？

意圖：體驗以后的概括，階段小結(jié).

(1)抓住各三角函數(shù)的定義不放；(2)各象限中三角函數(shù)的符號特點，等.

教師板書學(xué)生獲得的成果、感受.

4.練習(xí)

(1)確定下列三角函數(shù)值的符號，并借助計算器計算：

%

cos260°；sin(一?不)；tan(5%).

(2)求下列三角函數(shù)值：

17%23%

cos4；tan(^―)；sin(1140°).

問題8下課后，你走出教室，如果有人問你：“過去你就學(xué)習(xí)過銳角三角函

數(shù)，今天又學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)，它們的差別在哪里呢？"你怎么回答他？

意圖：通過問題小結(jié).不追求面面俱到，突出銳角三角函數(shù)是三角形中，邊

長的比值，而任意角的三角函數(shù)是直角坐標系中角的終邊與單位圓交點的坐標,

或者是坐標的比值.

若時間允許，再問：“還有其他收獲嗎？”比如，終邊相同的角的同一三角

函數(shù)相等；各象限三角函數(shù)的符號；任意角三角函數(shù)的定義域，等.

5、課堂小結(jié)：(1)三個三角函數(shù)的定義式；

(2)掌握特殊角的三角函數(shù)值。

6、作業(yè)：(1)、閱讀本節(jié)教材內(nèi)容

(2)、整理筆記

(3)、教材七練習(xí)A1、2

6、板書設(shè)計

課題正割=演練反饋（變式1）

1定義余割=

推導(dǎo)：余切=

正弦=例1總結(jié)提煉

余弦=

正切=

學(xué)情分析

角的概念已經(jīng)由銳角擴展到0°~360。內(nèi)的角，再擴充到任意角，相應(yīng)地，銳角三角函

數(shù)概念也必須有所擴充。任意角三角函數(shù)概念的出現(xiàn)是角的概念擴充的必然結(jié)果。在此基礎(chǔ)

上學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)定義。

效果分析：

學(xué)生通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，了解了任意角的三角函數(shù)的定義式。并重點訓(xùn)練了

含參數(shù)問題，很好的達到了本節(jié)課的目標要求。

教材分析

1、教材的地位與作用

《三角函數(shù)的定義》是普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學(xué)4》（人教版）

第一章第二節(jié)的內(nèi)容，其主要內(nèi)容是研究任意角的三角函數(shù)。三角函數(shù)是一個重

要的基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型。它的基礎(chǔ)主要是幾何中

的相似形和圓，研究方法主要是代數(shù)中的圖象分析和式子變形，三角函數(shù)的研究

已經(jīng)初步把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來。它在物理學(xué)、天文學(xué)、測量學(xué)等學(xué)科中都有重

要的應(yīng)用，它是解決實際問題的重要工具，它是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中其他學(xué)科的基礎(chǔ)。

任意角三角函數(shù)概念是核心概念，它是解決一切三角函數(shù)問題的基點。無論

是研究三角函數(shù)在各象限中的符號、特殊角的三角函數(shù)值，還是同角三角函數(shù)間

的關(guān)系，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，等等，都具有基本的重要的意義。

本課為第一課時，主要是類比銳角三角函數(shù)的概念建立起任意角三角函數(shù)的

概念。

2、教學(xué)重點和難點

教學(xué)重點：任意角的正弦、余弦、正切的定義；

教學(xué)難點：理解角的三角函數(shù)值與角終邊上點的位置無關(guān);

評測練習(xí)：

(1)哼57r，寫出a的終邊與單位圓交點的橫坐標，并寫出tana的

值.

(2)求下列三角函數(shù)的值：

(3)角a的終邊與單位圓的交點是Q,點Q的縱坐標是1/2,說出

幾個滿足條件的角a.

(4)點P(3,—4)在角a終邊上，說出sina,cosa,tana分別

是多少？

課后反思：

本節(jié)課內(nèi)容較少，對三角函數(shù)的定義式的理解和運用還需進一步加強，先使學(xué)生對這

些知識有一定的理解，接下來逐漸加深，這也符合學(xué)生的認知規(guī)律。在課堂上還應(yīng)該進一步

加強學(xué)生的主體地位，使他們更進一步的參與，調(diào)動他們主動學(xué)習(xí)的積極性。

課標分析：

三角函數(shù)在高考中一直都占據(jù)著重要的地位，在學(xué)習(xí)當(dāng)中也不例外，特別是

目前新課標下的學(xué)習(xí)更顯得重要。新課標的課程改革從理念、內(nèi)容到實施都有較

大的變化，要實現(xiàn)教學(xué)課程改革的目標，教師是關(guān)鍵主導(dǎo)。在新課程標準中明確

提出教師要積極倡導(dǎo)和鼓勵多種形式的教學(xué)模式，學(xué)生的學(xué)習(xí)模式。引導(dǎo)學(xué)生積

極主動地學(xué)習(xí)，掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能以及他們所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，

發(fā)展應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，形成積極的情感態(tài)度，為未來的發(fā)展

和進一步學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。