高三數(shù)學突破講義教學

杭州高考寒假精品數(shù)學專項突破班

高三下學期同學們在校復習期間通常會有二輪復習期，在這么緊湊的時間內(nèi)掌握好正確的復習方法才是

取得高分的關(guān)鍵！這個寒假要把知識的重難點，分專題講解，題型、解題方法、技巧，提高解題能力。

一、代數(shù)專題，包括函數(shù)與導數(shù)；三角函數(shù)，解三角形，平面向量；數(shù)列；不等式概率。

二、幾何專題，包括立體幾何，解析幾何。

假期學習的最大特點就是專題的學習集中性強，學習效率高。趁這個寒假，要充分利用時間，把這幾個

專題學透徹。形成完整的知識體系。待高三下學期復習就輕松多了，更能增強下學期學習的信心！

課程介紹

第一講集合的概念與運算，充要條件，邏輯聯(lián)結(jié)詞，全稱量詞與存在量詞。

第二講函數(shù)及其表示，基本性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與幕函數(shù)，函數(shù)與方程。

第三講導數(shù)的概念與導數(shù)的計算，導數(shù)的應用。

第四講三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系，誘導公式，三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，三角函數(shù)的恒等變

換，解三角形。

第五講平面向量的基本定理和向量的線性運算，向量與三角函數(shù)的綜合運用。

第六講數(shù)列的概念及其表示，等差數(shù)列，等比數(shù)列，數(shù)列的綜合應用。

第七講不等式的概念和性質(zhì)、基本不等式，不等式的解法，簡單線性規(guī)劃，不等式的綜合應用。

第八講空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖、直觀圖，空間幾何體的表面積和體積，直線與面、面與面平行性質(zhì)

與判定，直線與面垂直，面與面垂直的判定與性質(zhì)，空間中線面夾角，二面角的求法，用法向量解決空間立體

幾何問題。

第九講直線與圓的位置關(guān)系，橢圓的幾何性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系，雙曲線的幾何性質(zhì)及直線與雙

曲線位關(guān)系，拋物線的幾何性質(zhì)及直線與拋物線的關(guān)系，曲線的軌跡方程，解析幾何中的最值問題。

第十講計數(shù)原理，排列組合，概率與統(tǒng)計及期望方差的求法，二項式定理(理)。

第一講

1、集合

(1)一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)。

集合常用大寫字母A,B,C,D,…表示，元素常用小寫字母a,6,c,d,…表示.

(2)集合中元素的特性：確定性，互異性，無序性。

(3)元素與集合的關(guān)系：屬于(符號“e”)和不屬于(符號“金”)。

(4)常用的數(shù)集及其記法

非負整數(shù)集(或自然數(shù)集)記作正整數(shù)集，記作N*或4+；整數(shù)集，記作Z；

有理數(shù)集，記作0；實數(shù)集，記作用。

(5)集合的表示：

列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用花括號"｛｝“括起來。

描述法：將集合的所有元素都具有的性質(zhì)表示出來，并寫在大括號內(nèi)，一般形式為：｛x|p(x)｝。

當集合的元素不是實數(shù)或式子時，常采用自然語言表示，如｛東方汽車廠的汽車｝，｛直角三角形｝,...

符號描述法和自然語言描述法都叫做描述法。

圖示法：畫一條封閉的曲線，用它的內(nèi)部來表示一個集合。

(6)集合間的基本關(guān)系

①子集：對任意xeA,都有x&B,則力仁6。

子集的性質(zhì)：

(1)AA；(2)對于集合4,B,C,如果/匚B,B匚C,則4口C。

規(guī)定：空集是任何集合的子集。

②集合相等

③真子集

性質(zhì)：（1）空集是任何非空集合的真子集；（2）若A星3,8口，則4口。。

若集合/中含有〃個元素，則集合/有：2〃個子集，2”-1個真子集，2n-1個非空子集，2〃-2個

非空真子集。

（7）集合的基本運算

集合的交、并、補

定義符號表示Venn圖

由屬于集合4且屬于集合6的

交

所有元素組成的集合，稱為/與840刀={工入￡4且入￡6}

集

的交集，記作/nB.

由所有屬于集合/或?qū)儆诩?/p>

并AB={x\x^A,或％wB}.

8的元素組成的集合，稱為集合N

集

與6的并集，記作4UB.■

對于一個集合/,由全集〃中

不屬于集合/的所有元素組成的集

補CuA={x|xw〃，且x仁4}

合稱為集合/相對于全集〃的補

集

集，記作CuA.KJ

集合的運算性質(zhì)：

并集的性質(zhì)：//=三兒

交集的性質(zhì)：/口6之4A^AcB.

補集的性質(zhì)：Cu(AnB)=(CuA)U(CuB)；Cu(AUB)=(CdA)n(CuB).

③已知集合

例1、(1)已知U={y|y=log2X，x>l}，P=<yy=~,x>2>,則[0=()

X

1

A.—,+coC.(0,+oo)D.(-oo,0)U—,4-00

22

(2)若集合A={-1,1],B={0,2},則集合{z|z=x+y,xGA,ydB}中的元素的個數(shù)為()

A.5B.4C.3D.2

(3)設函數(shù)/(x)=f—4x+3,g(x)=3'—2,集合Af={xeR|/(g(x))>0},N={xeR|g(x)<2},

則MN為()

A.(l,+oo)B.(0,1)C.(-1,1)D.(-oo,l)

(4)設a、b&R,集合{1,a+6,a}={0,々"},則6-a=()

a

A.1B.-1C.2D.-2

2、四種條件：主考：充分、必要、充要等四種條件。

若PNQ,則P叫°的充分條件；若P<=g,則P叫°的必要條件；

若Poq,則。叫g(shù)的充要條件；

3、簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞：且、或、非；全稱量詞(任意V)和存在量詞(存在三)。

用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題夕和命題。連結(jié)起來，得到一個新命題，記作夕A0,讀作“0且《”；

用聯(lián)結(jié)詞“或”連結(jié)起來，得到一個新命題，記作“夕v，讀作“夕或q”。

對一個命題夕全盤否定，得到一個新命題，記作「夕，讀作“非夕”或“夕的否定”。若夕是真命題，則

B必是假命題；若夕是假命題，則「夕必是真命題。

短語“對所有的”“對任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“V”表示。含有全稱量詞的

命題，叫做全稱命題。例如，命題：對任意的AeZ2n+1是奇數(shù)；所有的正方形都是矩形；都是全稱命題。

通常，將含有變量x的語句用O(x),q(x),…表示，變量x的取值范圍用〃表示。那么，全稱命題“對

〃中任意一個X,有°(x)成立"可用符號簡記為：MxeM,p(x)。

短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“三”表示。含有存在量詞的命

題，叫做特稱命題。例如，存在一個/e7?,使2々+1=3,至少有一個々GZ,刈能被2和3整除。

特稱命題“存在〃中的一個入，使0(々)成立”可用符號簡記為：3^0eM,p(x0)o

全稱命題0：<xeM,p(x),它的否定一切：3x0e〃，一1p(x。)。全稱命題的否定是特稱命題。

特稱命題0：3XQeM,p(x0),它的否定-10,VxGM,—1P(x)。特稱命題的否定是全稱命題。

711

例2、(1)“a=—”是“cos2tz=—”的()

62

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

(2)若向量a=(x,3)(xwH),貝!|"x=4"是"|a|=5"的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

(3)設平面a與平面夕相交于直線“2,直線a在平面a內(nèi)，直線人在平面用內(nèi)，且6J_m，則“a_L〃

是“a，的()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.即不充分不必要條件

例3、下列命題中，真命題是()

A.玉°eR,ex°<0B.V%eR,2X>x2

C.a+b=0的充要條件是一=TD.a>l,b>l是ab>l的充分條件

b

例4、已知命題p：”,x2eR,M-7(X1))(X2-X1)^0,則一?p是()

A.3xi,xzeR,(/'(苞)一f(xj)(至-xi)WO

B.Vxi,JseR,(/'(X2)-f(xi))(xz-xi)WO

C.3xi,XZGR,(/'(X2)-f(xj)(乃一荀)〈0

D.Vxi,jaeR,(f(x2)-f(xj)(xz-荀)〈0

第二講

1、函數(shù)

定義：設A,B是非空數(shù)集，若按某種確定的對應關(guān)系￡對于集合A中的任意一個數(shù)x,集合B中都有唯

一確定的數(shù)/1(x)和它對應，就稱『：A-B為集合A到集合B的一個函數(shù)，記作尸f(x)。

函數(shù)的三要素：定義域，值域，對應法則。

(1)求定義域的一般方法：①分式：分母力0；②0次累：底數(shù)H0；

③偶次根式：被開方式20；④對數(shù)：真數(shù)〉0.

r-7

例1、(1)函數(shù)y=——的定義域為；

x

(2)函數(shù)/'(x)=Jl-210g6工的定義域為-

(3)函數(shù)F(x)=——-——+,4-犬的定義域為()

ln(x+1)

A.[-2,0)(0,2]B.(-1,0)(0,2]C.[-2,2]D.(-1,2]

例2、將邊長為1m正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記

(梯形的周長沖

則S的最小值是

梯形的面積

1一x1-/

例3、已知-----)=------則/'(x)的解析式為___________________0

1+x1+/

2.分段函數(shù)

分段函數(shù)是指在定義域的不同部分，有著不同對應關(guān)系的函數(shù)。

分段函數(shù)是一個函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集。

求分段函數(shù)的有關(guān)函數(shù)值的關(guān)鍵是自變量的取值屬于哪一段，就用哪一段的解析式去求值。

作分段函數(shù)的圖象時，應分別作出其每一段的圖象。

(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值

%2+1X<1

例4、(1)設函數(shù)/(x)=]2，則f(f(3))=。

—x>l

log,(4-x),尤〈0

(2)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=&2，則f(3)的值為()

1-2),x>0

A.-1B.-2C.1D.2

(2)解分段函數(shù)的方程、不等式

例5、設函數(shù)/(%)=尸8,”,則滿足方程/(x)」的％的值為__________

10g81xxe(l,+00)4

21-x<i

例6、設函數(shù)f(x)=1'x—'則滿足f(x)W2的x的取值范圍是()

l-log2x,X>1,

A.[-1,2]B.[0,2]C.[1,+oo)D.[0,+oo)

3、函數(shù)的性質(zhì)

(1)函數(shù)的單調(diào)性

①定義：區(qū)間D上任意兩個值X],須，若X]<々時有廣(毛)<廣(才2)(或廣(的)>f(xj,稱/"(X)

為D上增函數(shù)(或減函數(shù))。(一致為增，不同為減)

②復合函數(shù)y=九力(x)]的單調(diào)性：同增異減.

③函數(shù)單調(diào)性的應用：

比較大小:例如：已知f(X)在區(qū)間D上為增函數(shù):

若XiGD,X2￡D,xi<x2,則f(XI)<f(X2)；若XIGD,X2￡D,f(xi)<f(x2)則Xi<Xz。

求參數(shù)的取值范圍

根據(jù)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間上的單調(diào)性及函數(shù)值的大小，已知函數(shù)y=f(x)在定義域的某個區(qū)間上為增函數(shù),

若f(Xi)<f(X2),則Xi<X2,也可以確定自變量的大小，類似地，減函數(shù)也有這樣的性質(zhì)。

/

例7、己知函數(shù)，(x)為R上的減函數(shù)，則滿足了!

</(1)的實數(shù)％的取值范圍是()

7

A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,0)U(0,1)D.(一8,-1)u(1,+8)

J5-1

例8、已知a=——,函數(shù)f(x)=ax,若實數(shù)根、〃滿足/(m)>/(n)，則相、〃的大小關(guān)系為.

例9、函數(shù)f(x)的定義域為A,若XpxeAJLf(x；)=f(x?)時總有x,=x則稱f(X)為單函數(shù)。

22:'

例如，函數(shù)f(x)=2x+l(xeR)是單函數(shù)，下列命題:

①函數(shù)f(x)=x2(xeR)是單函數(shù);

②若f(X)為單函數(shù)，X],X2eA且X產(chǎn)X2，貝亞(X])7f(X2)；

③若f：AfB為單函數(shù)，則對于任意beB,它至多有一個原象;

④函數(shù)f(x)在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則f(x)一定是單函數(shù)。

其中的真命題是.(寫出所有真命題的編號)

2

例10、函數(shù)廣(x)=loga(^+2x—3),f(2)>0,則f(x)的單調(diào)增區(qū)間為()

A.(—co,—1)B.(1,+oo)C.(—1,0)D.(—oo,—1)U(0,+oo)

logx

2x>0,

例11、設函數(shù)f(x)='log](-X)若f(a)>f(-a),則實數(shù)a的取值范圍是()

x<0

2

A.(-1,0)U(0,1)B.(一8,-1)u(1,+oo)

C.(-1,0)U(1,+8)D.(—8,-1)U(0,1)

例12、函數(shù)f(X)的定義域為R,f(-1)=2,對任意XGR,f'(x)>2,貝|Jf(x)>2x+4的解集為()

A.(-1,1)B.(-1，+oo)C.(-oo,)D.(-oo,+oo)

(2)函數(shù)的奇偶性

對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),那么函數(shù)f(x)就叫做奇(偶)

函數(shù)。

圖象描述

奇函數(shù)與偶函數(shù)的性質(zhì)：

奇函數(shù)在對稱區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在對稱區(qū)間上具有相反的單調(diào)性。

在公共定義域內(nèi)：兩個奇函數(shù)(或偶函數(shù))的和(或差)仍是奇(或偶)函數(shù)；

兩奇(或偶)函數(shù)之積(商)為偶函數(shù)；一奇一偶函數(shù)的積(商)為奇函數(shù)。

在x=0處有意義的奇函數(shù)f(x),使得f(0)=0恒成立。

奇函數(shù)、偶函數(shù)圖象的特征：

奇函數(shù)的圖象關(guān)于坐標原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；反之也成立。

例13、(1)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為()

,1

Ay=x+\By=-x~Cy=—Dy=x\x\

x

(2)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(1,2)內(nèi)是增函數(shù)的為()

3

A.y=cos2x,xeRB.y=log21x|,xeR且xNOC.y=-~,xeRD.y=x+l,xeR

2

(3)若函數(shù)f(x)=343、與g(x)=3'-3一"的定義域均為R,則()

A.f(x)與g(x)均為偶函數(shù)B.f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)

C.f(x)與g(x)均為奇函數(shù)D.f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)

例14、若/(%)=一一+。是奇函數(shù)，則。=____________o

2-1

例15、設函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，當xe[0,1]時，f(x)=x+l,則f把)=

2

1、設函數(shù)/(x)和g(x.)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是()

A./(x)+1g(x)|是偶函數(shù)B.7(x)-|g(x)|是奇函數(shù)

C.+g(x)是偶函數(shù)D.|/(x)-g(x)是奇函數(shù)

2、己知y=/(x)是奇函數(shù)，若g(x)=/(x)+2且g⑴=1,貝Ug(—1)=.

3、設函數(shù)￡&)=*(6>!+0丁)&61?)是偶函數(shù)，則實數(shù)a=o

4、設函數(shù)F(x)=G+l)2：sinx的最大值為容最小值為以，則M+廳

x+1

(3)函數(shù)的周期性

對于函數(shù)/'(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有+7)=f(x),

那么函數(shù)F(Z)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。

對于非零常數(shù)a,若函數(shù)y=f(x)滿足/1(x)=-f(x+a)(或/1(x+a)=f(x-a)),則函數(shù)

y=f(x)為周期函數(shù)，2a是它的一個周期。

(4)函數(shù)圖像的變換

一個函數(shù)的圖象經(jīng)過適當?shù)淖儞Q，得到另一個與之有關(guān)的函數(shù)圖象，在高考中要求掌握四種變換：平移

變換、對稱變換、翻折變換、伸縮變換。

①平移變換：y=f(x)-y=f(x+a),y=f(x)+b,法則：左加右減，上加下減

②對稱變換

y=f(x)——旦邈避―>y=—f(x)；y=f(x)——紅邈遒―>y=fjx)；

③翻折變換

y=?(X)保留涮右邊圖象，去掉鏈由左邊圖象,并作其關(guān)于游山對稱的圖象)y=?(|*

y=f(x)保留斕I上方圖就象，將，軸下方圖象翻折上去=1f(x)I

例16、對于函數(shù)y="y="(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱”是“y=/(x)是奇函數(shù)”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要

例17、設/(x)是周期為2的奇函數(shù)，當OWxWl時，/(x)=2x(l—x),則/(—二)=()

例18、已知定義在區(qū)間(0,2)上的函數(shù)y=f(x)的圖像如圖所示，則y=-f(2-x)的圖像為()

例19、設函數(shù)/(x)(xeR)滿足/(—%)=/(x),/(x+2)=/(x),則y=/(x)的圖像可能是()

1、已知函數(shù)/(X)是定義在實數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù),且對任意實數(shù)x都有W(x+1)=(1+%)/(%),

則/(/(1))的值是()

15

A.0B.—C.1D.一

22

2、已知是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當0Vx<2時，/(x)=V—x,則函數(shù)丁=/(九)的

圖象在區(qū)間［0,6］上與x軸的交點的個數(shù)為()

A.6B.7C.8D.9

3、已知定義在R上的奇函數(shù)F(x)和偶函數(shù)g(x)滿足F(x)+g(x)=^—，'+2(眇0,且^1).若g(2)

=a,則H2)=()

15172

A.2B.-C.-D.a

44

4、對于函數(shù)f(x)=asinx+bx+c(其中，a,beR,CGZ)，選取a,b,c的一組值計算f(1)和f(-1),所

得出的正確結(jié)果一定不可能是()

A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2

〃c

-x<A,

5、根據(jù)統(tǒng)計，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時間(單位：分鐘)為(4c

c、

〔小一,x^A

為常數(shù)).已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時30分鐘,組裝第2件產(chǎn)品用時15分鐘，那么。和A的值分別是()

A.75,25B.75,16C.60,25D.60,16

6、設g。)是定義在R上，以1為周期的函數(shù)，若"幻二1十雙幻在⑶句上的值域為一2》，則/(九)

在區(qū)間［-10,10］上的值域為o

cix+1,—lWx<0,

7、設/(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間［-1,1］上，f(x)=\bx+2八其中

-----，0WxW1,

、x+1

a，bwR-若=/］［］，則0+36的值為________。

x2-l

8、已知函數(shù)y=-----的圖像與函數(shù)丫=kx的圖像恰有兩個交點，則實數(shù)上的取值范圍是________二

x-1

2

9、在平面直角坐標系xOy中，過坐標原點的一條直線與函數(shù)/(x)=—的圖象交于P、Q兩點，則線段

X

PQ長的最小值是

4、基本初等函數(shù)主考：1)指、對數(shù)的定義及運算，2)指數(shù)、對數(shù)、幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)。

(1)指數(shù)

根式：x”=anx=［嗚"是奇數(shù)：負數(shù)沒有偶次方根，零的〃次方根是零。

土>0)〃是］

a〃為奇數(shù)

兩個重要公式：①(痛)"=a,②"=1.

a（a>°)、〃為偶數(shù);

\a\=<

-a（a<0)

m__

正分數(shù)指數(shù)募：/=疔

(2)對數(shù)及其運算性質(zhì)

①若a，=N(a>0,且aw1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=log；,其中a叫做對數(shù)

的底數(shù)，N叫做真數(shù)。

以10為底叫常用對數(shù)，記為/就以e=2.7182828…為底叫自然對數(shù)，記為力或。

②性質(zhì)：負數(shù)和零沒有對數(shù)；1的對數(shù)等于0,即log,1=0；底的對數(shù)等于1,即log,a=1。

③運算性質(zhì)：積的對數(shù)log式加)=logaM+logaN商的對數(shù)10ga—=10ga"-10gaN

方根的對數(shù)：

塞的對數(shù)：10gaMn="logaM10ga07=-logaM

n

④對數(shù)的換底公式：log：=竺紅（a>0且aw1；c>0且cw1,6>0）

log：

log*=或log〉log；=1;log*=log：：；log：：=3log〉log：：=3（特例）

log：aamaam

在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)

(4)幕函數(shù)

①概念：一般地，函數(shù)y=x0叫做塞函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù)。

幕函數(shù)只討論。=1,2,3,3,—1時的情形。

②要注意募函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別：

指數(shù)函數(shù)：形如y=a\a>0,aw1),x為自變量，自變量在指數(shù)位置，底數(shù)為常數(shù)且為正值;

塞函數(shù)：形如丁=/\x為自變量，a為常數(shù)，自變量在底數(shù)位置，常數(shù)在指數(shù)位置，常數(shù)可正可負。

③幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1

在同一?坐標系內(nèi)作出塞函數(shù)y=x,y-x2,y=x，,y=x2,

=的圖象。

說明：①所有圖象都經(jīng)過點(1,1),這五個函數(shù)在第一象限內(nèi)均有圖象；

1

②在第一象限內(nèi)，函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=x?是增函數(shù),

=x-i是減函數(shù)；

③函數(shù)y=x,y-x3,y-x一】是奇函數(shù)，函數(shù)y=/是偶函數(shù)；

1

④幕函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=均過原點，塞函數(shù)y=x"4不過原點。

塞函數(shù)的性質(zhì)可歸納如下：

①當a〉0時，圖象都通過點(0,0),(1,1)；在第一象限內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增。

a<0時，圖象都通過點(1,1),在第一象限內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞減，圖象向上與y軸無限接近，向右與x

軸無限接近。

②哥函數(shù)的圖象最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi)，必出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會在第四象限內(nèi)。

③若幕函數(shù)圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點。

1-1

2

例20、(1)(log29)?(log34)=；(2)(lg--lg25)^100=。

例21、(1)已知a=log23+log2百，8=log29-log2A，c=log32則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a=b<cB.a=b>cC.a<b<cD.a>b>c

(2)設a>b>\,c<0,給出下列三個結(jié)論：

cc

①上〉：；②a<b-,③logfe(a-c)>logfl0-c),其中所有的正確結(jié)論的序號是__。

ab

A.①B.①②C.②③D.①②③

(A)(B)(C)(P)

(2)函數(shù)丁="—。(。>0,。#1)的圖象可能是()

例23、方程4'-2*+i—3=0的解是.

1、若點(a,b)在y=lgx圖像上，。W1,則下列點也在此圖像上的是()

A.(-,b)B.(10a,1-b)C.(—,b+l)D.(a2,2b)

aa

2、當0〈后;時，4ylogaX,則a的取值范圍是()

A.(0,除B.(乎，1)C.(1,?D.(4，2)

3、已知函數(shù)F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),則a+2b的取值范圍是()

A.(2^/2,+00)B.［2^/2,+00)C.(3,+00)D.［3,+00)

4、若函數(shù)/(x)=|2x+aI的單調(diào)遞增區(qū)間是［3,+00),則。=.

5、里氏震級M的計算公式為：八金電"^令，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A。是相應

的標準地震的振幅，假設在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1000,此時標準地震的振幅為0.001,則此

次地震的震級為級；9級地震的最大的振幅是5級地震最大振幅的倍。

6、若函數(shù)f(x)=aA-x-a(a>0且aWl)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是—

7、若函數(shù)/(x)=，(a>0,awl)在［-1,2］上的最大值為4,最小值為加且函數(shù)g(x)=(1-4附?在曲+⑹

上是增函數(shù)，則3=。

x>2

8、已知函數(shù);?(;<)=x若關(guān)于x的方程f(x)=k有兩個不同的實根，則數(shù)k的取值范圍是

(1)3,x<2

9、已知函數(shù)/(x)=lg無，若/(a份=1,則/(〃)+/32)=。

5、方程的根與函數(shù)的零點。主考：1)存在零點，用零點存在性定理來分析；2)零點個數(shù)問題，用轉(zhuǎn)化的思

想，借助圖像來分析。

(1)函數(shù)的零點對于函數(shù)y=f(x),把使/'(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=/'(x)的零點。

(2)函數(shù)零點的判定如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有

/(a)-f⑻<0,那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,6)內(nèi)有零點，即存在ce(a"),使得f(c)=0。

Aa)-<0是函數(shù)f(x)在(a,6)上有零點的充分不必要條件，一個函數(shù)的零點可能只有一個，也

可能有兩個、三個，也可能沒有。

(3)方程近似解的求法一一二分法

對于在區(qū)間［a,6］上連續(xù)不斷且『(a)-/S)<0的函數(shù)y=/'(x),通過不斷地把函數(shù)/'(x)的零點所

在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法。

在一定精確度的要求下，通過取區(qū)間的中點，有限次重復相同步驟，借助函數(shù)零點的判定方法，將零點

所在區(qū)間縮小，此最小區(qū)間內(nèi)的任意一點作為函數(shù)零點的近似值,特別地，可將區(qū)間的端點作為零點的近似值。

二分法求函數(shù)/(X)零點近似值的步驟：

1.確定區(qū)間［a,6］,驗證/'(a)-f⑻<0,給定精確度/2.求區(qū)間(a,6)的中點c；

3.計算f(c)；

①若/'(c)=0,則。就是函數(shù)的零點；

②若廣(a)-/(c)<0,則令人=c,(此時零點G(a,c))；

③若廣(c)-f⑻<0,則令a=。(此時零點x()e(c,6))。

4.判斷是否達到精確度￡：即若|a-b\<￡,則得到零點近似值a(或6)；否則重復2?4。

(4)判定函數(shù)零點的個數(shù)

①仔細觀察函數(shù)的特征,如定義域、單調(diào)性等可以幫助我們判斷零點的大致區(qū)間和零點的個數(shù)；

②解方程/'(x)=0,所得實根是/'(x)的零點，有幾個實根就有幾個零點。

例24、函數(shù)/(x)=2，+3x的零點所在的一個區(qū)間是()

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)

11

例25、函數(shù)/'(X)=X2—(―尸的零點個數(shù)為()

2

A.0B.1C.2D.3

例26、函數(shù)f(x)=:xcos2x在區(qū)間［0,2■上的零點個數(shù)為(、,)

A.2B.3C.4D.5

例27、函數(shù)/(x)=6-85%在［0,+8)內(nèi)()

A.沒有零點B.有且僅有一個零點C.有且僅有兩一個零點D.有無窮個零點

第三講導數(shù)

1、導數(shù)的概念

一般地，函數(shù)y=f(x)在x=不處的瞬時變化率是lim—=lim——'”。),稱它

AxfO\xAx-。Nx

為函數(shù)y=/'(x)在x=/處的導數(shù)，記作，(/)或_/1=與，即

，/、.Ayf(x0+Ax)-f(xo)

f\Xr.)=lim——=lim------------------

AxfONxAxf01x

概念理解：

(1)導數(shù)/(就是函數(shù)/(X)在點劉處的瞬時變化率，它反映的是函數(shù)/(X)在點劉處變化的快慢程度。

(2)在定義導數(shù)的極限式中，Ax-O,Ax可正、可負，但不為0,而Ay可能為0。

(3)導數(shù)/(就是一個局部概念，它只與函數(shù)f(x)在劉及其附近的函數(shù)值有關(guān)，而與Ax無關(guān)。

2、導函數(shù)的概念

F(x)對于區(qū)間(a,6)內(nèi)任一點都可導，則/'(x)在各點的導數(shù)也隨著自變量X的變化而變化,因而也是自

變量x的函數(shù),該函數(shù)稱為/'(x)的導函數(shù),記作，(x)。

在不致發(fā)生混淆時，導函數(shù)也簡稱導數(shù)，函數(shù)/'(x)在點/處的導數(shù)/'(%)等于Ax)的導(函)數(shù)廣‘(X)

在點七處的函數(shù)值。

3、導數(shù)的幾何意義

函數(shù)/'(x)在x=/處的導數(shù)就是切線的斜率A.即A=lim------°=/(X。)

A—0Ax

理解：①切線斜率的本質(zhì)一函數(shù)在X=X。處的導數(shù)，概念提供了一種求曲線上某點切線的斜率的方法。

②廣’(入0)>0,切線的斜率為正，切線與X軸正方向夾角為銳角；廣’(才0)<0,切線的斜率為負，切線

與X軸正方向夾角為鈍角。

③若曲線y=/"(X)在點夕(/，廣(/))處的導數(shù)廣'(々)不存在，就是切線與y軸平行。

利用導數(shù)求曲線的切線方程步驟：

①求出y=r(x)在點尤0處的導數(shù)，(X。)；

②利用直線方程的點斜式得切線方程為y—兀=廣'(才0)(X—演)。

4、導數(shù)的計算

(1)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式

①c=0(c為常數(shù))；②(X11)'=nxn~x(n￡Q*)；③(sinx)=cosx；④(cosx)=—sinx；

xx

⑤(，)=aIna,特殊地，(e“)=e；@(logax)=——-——；特殊地(Inx)'=—o

xInax

(2)導數(shù)運算法則

"(x)±g(x)]'=f\x)±g'(x)；

"(x)?g(x)]'=廣'(x)g(x)+f(x)g'(x),特殊地，[cf(x)]=cf\x),

=『a—f(x)g(x)豐0),

g(x)[g(x)]2

5、復合函數(shù)的導數(shù)

設函數(shù)M="(x)在點x處有導數(shù)“；="(%),函數(shù)y=/(M)在點x的對應點u處有導數(shù)y'u=7'(a),則

復合函數(shù)y=fM(x)］在點x處有導數(shù),且y：=y：.

運用復合函數(shù)的求導法則乂=立?M，應注意以下幾點：

(1)利用復合函數(shù)求導法則求導后，要把中間變量換成自變量的函數(shù)，層層求導.

(2)要分清每一步的求導是哪個變量對哪個變量求導，不能混淆，一直計算到最后，常出現(xiàn)如下錯誤,

如(cos2x)'=-sin2x實際上應是-2sin2x.

(3)求復合函數(shù)的導數(shù)，關(guān)鍵在于分清楚函數(shù)的復合關(guān)系，選好中間變量.

如丁=------選成y=—,“=/,v=i—w,w=3x計算起來就復雜了.

(1—3%)u

例1、曲線尸x(31nx+l)在點(1,1)處的切線方程為

sinx1IT

例2、曲線丁=二-----------彳在點M(t,0)處的切線的斜率為____________o

smx+cosx24

_i(j.、

例3、若曲線>二%一萬在點a,a3處的切線與兩個坐標圍成的三角形的面積為18,則。=()

I

A.64B.32C.16D.8

4

例4、已知點P在曲線y=1一上，4為曲線在點P處的切線的傾斜角，則〃的取值范圍是(