《高考數(shù)學(xué)壓軸題通法訓(xùn)練•高分必刷系列》專題01集合、常用邏輯用語、不等式（新定義高數(shù)觀點(diǎn)壓軸題）含答案及解析

專題01集合、常用邏輯用語、不等式（新定義，高數(shù)觀點(diǎn)，壓軸題）目錄TOC\o"1-2"\h\u一、集合的新定義（高數(shù)觀點(diǎn)）題 2①乘法運(yùn)算封閉 2②“群”運(yùn)算 2③“”運(yùn)算 3④“”運(yùn)算 4⑤戴德金分割 4⑥“類” 5⑦差集運(yùn)算 6⑧“勢(shì)” 7⑨“好集” 7二、邏輯推理 8①充分性必要性 8②邏輯推理 8三、不等式 9①作差法 9②基本不等式 9一、集合的新定義（高數(shù)觀點(diǎn)）題①乘法運(yùn)算封閉1．（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)⊕是R上的一個(gè)運(yùn)算，A是R的非空子集．若對(duì)于任意a，b∈A，有a⊕b∈A，則稱A對(duì)運(yùn)算⊕封閉．下列數(shù)集對(duì)加法、減法、乘法和除法(除數(shù)不等于零)四則運(yùn)算都封閉的是()A．自然數(shù)集 B．整數(shù)集C．有理數(shù)集 D．無理數(shù)集2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）非空集合關(guān)于運(yùn)算滿足：①對(duì)任意，都有；②存在使對(duì)一切都有，則稱是關(guān)于運(yùn)算的融洽集，現(xiàn)有下列集合及運(yùn)算：①是非負(fù)整數(shù)集，運(yùn)算：實(shí)數(shù)的加法；②是偶數(shù)集，運(yùn)算：實(shí)數(shù)的乘法；③是所有二次三項(xiàng)式組成的集合，運(yùn)算：多項(xiàng)式的乘法；④，運(yùn)算：實(shí)數(shù)的乘法；其中為融洽集的是②“群”運(yùn)算1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）“群”是代數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的概念，它的定義是：設(shè)為某種元素組成的一個(gè)非空集合，若在內(nèi)定義一個(gè)運(yùn)算“*”，滿足以下條件：①，，有②如，，，有；③在中有一個(gè)元素，對(duì)，都有，稱為的單位元；④，在中存在唯一確定的，使，稱為的逆元．此時(shí)稱（，*）為一個(gè)群．例如實(shí)數(shù)集和實(shí)數(shù)集上的加法運(yùn)算“”就構(gòu)成一個(gè)群，其單位元是，每一個(gè)數(shù)的逆元是其相反數(shù)，那么下列說法中，錯(cuò)誤的是（

）A．，則為一個(gè)群B．，則為一個(gè)群C．，則為一個(gè)群D．{平面向量}，則為一個(gè)群2．（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）若非空集合G和G上的二元運(yùn)算“”滿足：①，；②，對(duì)，：③，使，，有；④，，則稱構(gòu)成一個(gè)群.下列選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的構(gòu)成一個(gè)群的是（

）A．集合G為自然數(shù)集，“”為整數(shù)的加法運(yùn)算B．集合G為正有理數(shù)集，“”為有理數(shù)的乘法運(yùn)算C．集合(i為虛數(shù)單位)，“”為復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算D．集合，“”為求兩整數(shù)之和被7除的余數(shù)3．（2018·北京·高三開學(xué)考試）設(shè)是一個(gè)非空集合,是定義在上的一個(gè)運(yùn)算,如果同時(shí)滿足下述四個(gè)條件：（i）對(duì)于,都有;（ii）對(duì)于,都有;（iii）對(duì)于,使得;（iv）對(duì)于,使得（注：“”同（iii）中的“”）.則稱關(guān)于運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群,現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算：是整數(shù)集合,為加法;

是奇數(shù)集合,為乘法;是平面向量集合,為數(shù)量積運(yùn)算;

是非零復(fù)數(shù)集合,為乘法.其中關(guān)于運(yùn)算構(gòu)成群的序號(hào)是（將你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）.③“”運(yùn)算1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在上的定義運(yùn)算，則滿足的解集為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)U為全集，對(duì)集合X，Y，定義運(yùn)算“*”，．對(duì)于任意集合，，，則（

）A． B．C． D．3．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“*”，具有以下三條性質(zhì)：（1）對(duì)任意，；（2）對(duì)任意a，，；（3）對(duì)任意a，b，，.給出下列三個(gè)結(jié)論：①；②對(duì)任意a，b，，；③存在a，b，，；其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．② B．①③ C．②③ D．①②③④“”運(yùn)算1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）對(duì)于任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)和,規(guī)定當(dāng)且僅當(dāng),；運(yùn)算“”為：，運(yùn)算“”為：，設(shè)，若則A． B． C． D．2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）定義集合運(yùn)算：A⊙B＝﹛z|z=xy(x+y)，x∈A,y∈B﹜.設(shè)集合A=﹛0，1﹜，B=﹛2，3﹜，則集合A⊙B的所有元素之和為（）A．0 B．6 C．12 D．183．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù)，，定義運(yùn)算⊕如下：①當(dāng)，奇偶性相同時(shí)，；②當(dāng)，奇偶性不同時(shí)，．若集合，則的元素個(gè)數(shù)為．4．（2023·全國·高三對(duì)口高考）非空集合G關(guān)于運(yùn)算滿足：（1）對(duì)任意，都有；（2）存在，使得對(duì)一切，都有，則稱G關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”．現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算：①{非負(fù)整數(shù)}，為整數(shù)的加法；②{偶數(shù)}，為整數(shù)的乘法：③{平面向量}，為平面向量的加法；④{二次三項(xiàng)式}，為多項(xiàng)式的加法；⑤{虛數(shù)}，為復(fù)數(shù)的乘法其中G關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”的是．（寫出所有“融洽集”的序號(hào)）⑤戴德金分割1．（多選）（2022秋·山西運(yùn)城·高一山西省運(yùn)城中學(xué)校期中）1872年德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱“戴德金分割”），并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，從而結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時(shí)代，也結(jié)束了數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī).將有理數(shù)集劃分為兩個(gè)非空的子集M與N，且滿足，，M中的每一個(gè)元素都小于N中的每一個(gè)元素，則稱為戴德金分割.試判斷下列選項(xiàng)中，可能成立的是（

）A．滿足戴德金分割B．M沒有最大元素，N有一個(gè)最小元素C．M沒有最大元素，N沒有最小元素D．M有一個(gè)最大元素，N有一個(gè)最小元素2．（多選）（2023春·浙江寧波·高一寧波市北侖中學(xué)校考開學(xué)考試）19世紀(jì)戴德金利用他提出的分割理論，從對(duì)有理數(shù)集的分割精確地給出了實(shí)數(shù)的定義，并且該定義作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)實(shí)數(shù)理論的基礎(chǔ)之一可以推出實(shí)數(shù)理論中的六大基本定理.若集合A、B滿足：，，則稱為的二劃分，例如，則就是的一個(gè)二劃分，則下列說法正確的是（

）A．設(shè)，，則為的二劃分B．設(shè)，，則為的二劃分C．存在一個(gè)的二劃分，使得對(duì)于，，，對(duì)于，，D．存在一個(gè)的二劃分，使得對(duì)于，，，則，，，，則3．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·高一揚(yáng)州中學(xué)校考階段練習(xí)）1872年德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱“戴德金分割”），并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，從而結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時(shí)代，也結(jié)束了數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)．將有理數(shù)集劃分為兩個(gè)非空的子集與，且滿足，，中的每一個(gè)元素都小于中的每一個(gè)元素，則稱為戴德金分割．則下列關(guān)于戴德金分割的說法一定不成立的是（

）A．中有最大元素，中有最小元素B．中沒有最大元素，中有最小元素C．中有最大元素，中沒有最小元素D．中沒有最大元素，中沒有最小元素4．（2022秋·高一課時(shí)練習(xí)）戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個(gè)非空子集A與B，且滿足Q，，A中的每一個(gè)元素都小于B中的每一個(gè)元素．請(qǐng)給出一組滿足A中無最大元素且B中無最小元素的戴德金分割．⑥“類”1．（多選）（2023秋·吉林·高一長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為，即，其中．以下判斷正確的是（

）A． B．C． D．若，則整數(shù)，屬同一類2．（2021秋·高一課時(shí)練習(xí)）在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成的一個(gè)集合稱為“類”，記為[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4．給出如下四個(gè)結(jié)論：①2013∈[3];②-2∈[2];③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④若整數(shù)a，b屬于同一“類”，則a-b∈[0]．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2022秋·廣東汕頭·高一汕頭市第一中學(xué)校考期中）在整數(shù)集Z中，被4除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為[k]，即[k]={4n+k︱n∈Z}，k=0，1，2，3.給出下列四個(gè)論①2025∈[1]；②2025∈[1]；③若a∈[1]，b∈[2]，則3a+b∈[3]；④若a∈[1]，b∈[3]，則a3b∈[0].其中正確的結(jié)論是.⑦差集運(yùn)算1．（多選）（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）我們知道，如果集合，那么S的子集A的補(bǔ)集為且，類似地，對(duì)于集合A、B我們把集合且，叫做集合A和B的差集，記作，例如：，，則有，，下列解析正確的是（

）A．已知，，則B．如果，那么C．已知全集、集合A、集合B關(guān)系如上圖中所示，則D．已知或，，則或2．（多選）（2022秋·貴州銅仁·高一校考階段練習(xí)）我們已經(jīng)學(xué)過了集合的并、交、補(bǔ)等幾種基本運(yùn)算，而集合還有很多其他的基本運(yùn)算．設(shè)，為兩個(gè)集合，稱由所有屬于集合但不屬于集合的元素組成的集合為集合與集合的差集，記為，即．下列表達(dá)式一定正確的是（

）A． B．C． D．3．（2022秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）定義差集且，已知集合，，則（

）A． B． C． D．4．（2022秋·江蘇常州·高一統(tǒng)考期中）對(duì)于集合A，B，我們把集合且叫做集合A與B的差集，記作．若集合，集合，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．⑧“勢(shì)”1．（2022秋·上海浦東新·高一上海市進(jìn)才中學(xué)?？计谥校┰O(shè)全集，對(duì)其子集引進(jìn)“勢(shì)”的概念：①空集的“勢(shì)”最?。虎诜强兆蛹脑卦蕉?，其“勢(shì)”越大；③若兩個(gè)子集的元素個(gè)數(shù)相同，則子集中最大的元素越大，子集的“勢(shì)”就越大，最大的元素相同，則第二大的元素越大，子集的“勢(shì)”就越大，依次類推．若將全部的子集按“勢(shì)”從小到大的順序排列，則排在第12位的子集是．2．（2022秋·高一單元測(cè)試）設(shè)全集，對(duì)其子集引進(jìn)“勢(shì)”的概念：①空集的“勢(shì)”最?。虎诜强兆蛹脑卦蕉?，其“勢(shì)”越大；③若兩個(gè)子集的元素個(gè)數(shù)相同，則子集中最大的元素越大，子集的“勢(shì)”就越大，最大的元素相同，則第二大的元素越大，子集的“勢(shì)”就越大，依次類推.若將全部的子集按“勢(shì)”從小到大的順序排列，則排在第位的子集是.⑨“好集”1．（2016秋·山西·高一階段練習(xí)）如果集合，同時(shí)滿足,就稱有序集對(duì)為“好集對(duì)”.這里有序集對(duì)是指當(dāng)時(shí)，和是不同的集對(duì)，那么“好集對(duì)”一共有個(gè)A．個(gè) B．個(gè)C．個(gè) D．個(gè)2．（2023秋·陜西西安·高一西安市鐵一中學(xué)?？计谀┒x：實(shí)數(shù)a，b，c，若滿足，則稱a，b，c是等差的，若滿足，則稱a，b，c是調(diào)和的．已知集合，集合P是集合M的三元子集，即，若集合P中的元素a，b，c既是等差的，又是調(diào)和的，稱集合P為“好集”，則集合P為“好集”的個(gè)數(shù)是．3．（2016·浙江嘉興·高三階段練習(xí)）若三個(gè)非零且互不相等的實(shí)數(shù)，，滿足，則稱，，是調(diào)和的；若滿足，則稱，，是等差的，若集合中元素，，既是調(diào)和的，又是等差的，則稱集合為“好集”，若集合，集合，則（1）“好集”中的元素最大值為；（2）“好集”的個(gè)數(shù)為．二、邏輯推理①充分性必要性1．（2023春·黑龍江佳木斯·高二富錦市第一中學(xué)校考期末）若、為實(shí)數(shù)，則“”是“或”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2023春·遼寧·高二校聯(lián)考期末）“”是“方程有實(shí)數(shù)解”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知“”是“”成立的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．4．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知不等式成立的充分條件是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．5．（2023春·上海黃浦·高一上海市大同中學(xué)?？计谀┮阎堑某浞址潜匾獥l件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．②邏輯推理1．（2023春·天津·高二天津市寧河區(qū)蘆臺(tái)第一中學(xué)校聯(lián)考期末）定義，設(shè)函數(shù)，若使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）．A． B．C． D．2．（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期末）已知“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．3．（2023·全國·高三對(duì)口高考）已知命題，使得“成立”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．4．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知命題”的否定為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.5．（2023·全國·高三對(duì)口高考）已知，若同時(shí)滿足條件：①或；②.則m的取值范圍是.三、不等式①作差法1．（多選）（2023春·河南商丘·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，則（

）A． B．C． D．2．（2023春·遼寧鐵嶺·高二昌圖縣第一高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考期中）已知，，，則（

）A． B．C． D．3．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）比較大小：(1)和；(2)和，其中．②基本不等式1．（多選）（2023春·福建福州·高一福州三中?？计谀┮阎?，且，則（

）A．的最大值為B．的最小值為C．的最小值為D．的最小值為162．（2023春·貴州安順·高二統(tǒng)考期末）已知，，則的最小值為（

）A．16 B．13 C．9 D．63．（2023春·浙江杭州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若正數(shù)滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．4．（2023春·遼寧葫蘆島·高二統(tǒng)考期末）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為．5．（2023春·河北保定·高二校聯(lián)考期末）若，且，則的最小值為．6．（2023春·福建福州·高二福州三中校考期末）已知，其中，，，則的最小值為．7．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）正實(shí)數(shù)滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.8．（2023春·天津·高二天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知，則的最小值為.9．（2023春·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）已知，，，則的最小值為．10．（2023春·河北石家莊·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則的最小值為.

專題01集合、常用邏輯用語、不等式（新定義，高數(shù)觀點(diǎn)，壓軸題）目錄TOC\o"1-2"\h\u一、集合的新定義（高數(shù)觀點(diǎn)）題 2①乘法運(yùn)算封閉 2②“群”運(yùn)算 2③“”運(yùn)算 4④“”運(yùn)算 5⑤戴德金分割 7⑥“類” 9⑦差集運(yùn)算 10⑧“勢(shì)” 12⑨“好集” 13二、邏輯推理 15①充分性必要性 15②邏輯推理 17三、不等式 19①作差法 19②基本不等式 20一、集合的新定義（高數(shù)觀點(diǎn)）題①乘法運(yùn)算封閉1．（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)⊕是R上的一個(gè)運(yùn)算，A是R的非空子集．若對(duì)于任意a，b∈A，有a⊕b∈A，則稱A對(duì)運(yùn)算⊕封閉．下列數(shù)集對(duì)加法、減法、乘法和除法(除數(shù)不等于零)四則運(yùn)算都封閉的是()A．自然數(shù)集 B．整數(shù)集C．有理數(shù)集 D．無理數(shù)集【答案】C【詳解】因?yàn)橛欣頂?shù)集中元素加減乘除四則運(yùn)算后的結(jié)果還是有理數(shù)，因而有理數(shù)集是封閉的.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）非空集合關(guān)于運(yùn)算滿足：①對(duì)任意，都有；②存在使對(duì)一切都有，則稱是關(guān)于運(yùn)算的融洽集，現(xiàn)有下列集合及運(yùn)算：①是非負(fù)整數(shù)集，運(yùn)算：實(shí)數(shù)的加法；②是偶數(shù)集，運(yùn)算：實(shí)數(shù)的乘法；③是所有二次三項(xiàng)式組成的集合，運(yùn)算：多項(xiàng)式的乘法；④，運(yùn)算：實(shí)數(shù)的乘法；其中為融洽集的是【答案】①④【詳解】①對(duì)于任意非負(fù)整數(shù),則仍為非負(fù)整數(shù),即；取,則,故①符合題意；②對(duì)于任意偶數(shù),則仍為偶數(shù),即；但是不存在,使對(duì)一切都有,故②不符合題意；③對(duì)于是所有二次三項(xiàng)式組成的集合,若,不再是二次三項(xiàng)式,故③不符合題意；④對(duì)于,設(shè),,則,即；取,則,故④符合題意,故答案為:①④②“群”運(yùn)算1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）“群”是代數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的概念，它的定義是：設(shè)為某種元素組成的一個(gè)非空集合，若在內(nèi)定義一個(gè)運(yùn)算“*”，滿足以下條件：①，，有②如，，，有；③在中有一個(gè)元素，對(duì)，都有，稱為的單位元；④，在中存在唯一確定的，使，稱為的逆元．此時(shí)稱（，*）為一個(gè)群．例如實(shí)數(shù)集和實(shí)數(shù)集上的加法運(yùn)算“”就構(gòu)成一個(gè)群，其單位元是，每一個(gè)數(shù)的逆元是其相反數(shù)，那么下列說法中，錯(cuò)誤的是（

）A．，則為一個(gè)群B．，則為一個(gè)群C．，則為一個(gè)群D．{平面向量}，則為一個(gè)群【答案】B【詳解】A.，兩個(gè)有理數(shù)的和是有理數(shù)，有理數(shù)加法運(yùn)算滿足結(jié)合律，為的單位元，逆元為它的相反數(shù)，滿足群的定義，則為一個(gè)群，所以該選項(xiàng)正確；B.，為的單位元，但是，當(dāng)時(shí)，不存在唯一確定的，所以不滿足④，則不為一個(gè)群，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.，滿足①②，為的單位元滿足③，是-1的逆元，1是1的逆元，滿足④，則為一個(gè)群，所以該選項(xiàng)正確；D.{平面向量}，滿足①②，為的單位元，逆元為其相反向量，則為一個(gè)群，所以該選項(xiàng)正確.故選：B2．（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）若非空集合G和G上的二元運(yùn)算“”滿足：①，；②，對(duì)，：③，使，，有；④，，則稱構(gòu)成一個(gè)群.下列選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的構(gòu)成一個(gè)群的是（

）A．集合G為自然數(shù)集，“”為整數(shù)的加法運(yùn)算B．集合G為正有理數(shù)集，“”為有理數(shù)的乘法運(yùn)算C．集合(i為虛數(shù)單位)，“”為復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算D．集合，“”為求兩整數(shù)之和被7除的余數(shù)【答案】BCD【詳解】A．時(shí)，不滿足③，若，則由得，若，則在中設(shè)，由得，所以不能構(gòu)成群；B．G為正有理數(shù)集，①任意兩個(gè)正有理數(shù)的積仍然為正有理數(shù)，②顯然，對(duì)任意，，③對(duì)任意正有理數(shù)，也是正有理數(shù)，且，即，④有理數(shù)的乘數(shù)滿足結(jié)合律，B中可構(gòu)造群；C．(i為虛數(shù)單位)，①可驗(yàn)證中任意兩數(shù)（可相等）的乘積仍然屬于；②，滿足任意，有；③，滿足任意，存在，有，實(shí)質(zhì)上有；④復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算滿足結(jié)合律，C中可構(gòu)造群；D．，①任意兩個(gè)整數(shù)的和不是整數(shù)，它除以7的余數(shù)一定屬于，②，滿足對(duì)任意，，③，，，除以7余數(shù)為0；④加法滿足交換律，又除以7的余數(shù)等于除以7的余數(shù)加除以7的余數(shù)的和再除以7所得余數(shù)，因此，，D中可構(gòu)造群；故選：BCD．3．（2018·北京·高三開學(xué)考試）設(shè)是一個(gè)非空集合,是定義在上的一個(gè)運(yùn)算,如果同時(shí)滿足下述四個(gè)條件：（i）對(duì)于,都有;（ii）對(duì)于,都有;（iii）對(duì)于,使得;（iv）對(duì)于,使得（注：“”同（iii）中的“”）.則稱關(guān)于運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群,現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算：是整數(shù)集合,為加法;

是奇數(shù)集合,為乘法;是平面向量集合,為數(shù)量積運(yùn)算;

是非零復(fù)數(shù)集合,為乘法.其中關(guān)于運(yùn)算構(gòu)成群的序號(hào)是（將你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）.【答案】【詳解】若是整數(shù)集合，則兩個(gè)整數(shù)相加仍為整數(shù)，整數(shù)加法滿足結(jié)合律；，則；在整數(shù)集合中存在唯一一個(gè)，使，故整數(shù)集合關(guān)于運(yùn)算*構(gòu)成一個(gè)群；是奇數(shù)集合，為乘法，則，不滿足；是平面向量集合，為數(shù)量積運(yùn)算，則不滿足；是非零復(fù)數(shù)集合，為乘法，則兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相乘仍為非零復(fù)數(shù)；非零復(fù)數(shù)相乘符合結(jié)合律；，則）；在中存在唯一一個(gè)，使．故答案為③“”運(yùn)算1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在上的定義運(yùn)算，則滿足的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)椋杂?，故選：B2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)U為全集，對(duì)集合X，Y，定義運(yùn)算“*”，．對(duì)于任意集合，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意知：∵．∴對(duì)于任意集合，，，則．故選：．3．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“*”，具有以下三條性質(zhì)：（1）對(duì)任意，；（2）對(duì)任意a，，；（3）對(duì)任意a，b，，.給出下列三個(gè)結(jié)論：①；②對(duì)任意a，b，，；③存在a，b，，；其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】C【詳解】①，錯(cuò)誤；②，而，故，正確；③當(dāng)且時(shí)，，而，顯然成立，正確.故選：C④“”運(yùn)算1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）對(duì)于任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)和,規(guī)定當(dāng)且僅當(dāng),；運(yùn)算“”為：，運(yùn)算“”為：，設(shè)，若則A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：由（1，2）?（p，q）＝（5，0）得，所以（1，2）⊕（p，q）＝（1，2）⊕（1，﹣2）＝（2，0），故選D．2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）定義集合運(yùn)算：A⊙B＝﹛z|z=xy(x+y)，x∈A,y∈B﹜.設(shè)集合A=﹛0，1﹜，B=﹛2，3﹜，則集合A⊙B的所有元素之和為（）A．0 B．6 C．12 D．18【答案】D【詳解】，選D.3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù)，，定義運(yùn)算⊕如下：①當(dāng)，奇偶性相同時(shí)，；②當(dāng)，奇偶性不同時(shí)，．若集合，則的元素個(gè)數(shù)為．【答案】【詳解】因?yàn)椋?dāng)、都是正偶數(shù)時(shí)，則集合中含有，，，，共個(gè)元素；當(dāng)、都是正奇數(shù)時(shí)，則集合中含有，，，，，共個(gè)元素；當(dāng)、一個(gè)為正偶數(shù)，一個(gè)為正奇數(shù)，則集合中含有，，，共個(gè)元素；所以的元素共有個(gè).故答案為：4．（2023·全國·高三對(duì)口高考）非空集合G關(guān)于運(yùn)算滿足：（1）對(duì)任意，都有；（2）存在，使得對(duì)一切，都有，則稱G關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”．現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算：①{非負(fù)整數(shù)}，為整數(shù)的加法；②{偶數(shù)}，為整數(shù)的乘法：③{平面向量}，為平面向量的加法；④{二次三項(xiàng)式}，為多項(xiàng)式的加法；⑤{虛數(shù)}，為復(fù)數(shù)的乘法其中G關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”的是．（寫出所有“融洽集”的序號(hào)）【答案】①③【詳解】對(duì)于①，{非負(fù)整數(shù)}，為整數(shù)的加法；當(dāng)，都為非負(fù)整數(shù)時(shí)，，通過加法運(yùn)算還是非負(fù)整數(shù)，且存在一整數(shù)有，所以①為“融洽集”；對(duì)于②，{偶數(shù)}，為整數(shù)的乘法，由于任意兩個(gè)偶數(shù)的積仍是偶數(shù)，故滿足條件（1),但不存在偶數(shù),使得一個(gè)偶數(shù)與的積仍是此偶數(shù)，故不滿足條件（2),故不滿足“融洽集”的定義；對(duì)于③，{平面向量}，為平面向量的加法；若，為平面向量，兩平面向量相加仍然為平面向量，且存在零向量通過向量加法滿足條件（2）；所以③為“融洽集”；對(duì)于④，{二次三項(xiàng)式}，為多項(xiàng)式的加法；由于兩個(gè)二次三項(xiàng)式的和不一定是二次三項(xiàng)式，如與的和為,不滿足條件（1),故不滿足“融洽集”的定義；對(duì)于⑤，{虛數(shù)}，為復(fù)數(shù)的乘法；兩個(gè)虛數(shù)相乘得到的可能不是虛數(shù)，例如：，故不滿足“融洽集”的定義；故答案為：①③⑤戴德金分割1．（多選）（2022秋·山西運(yùn)城·高一山西省運(yùn)城中學(xué)校期中）1872年德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱“戴德金分割”），并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，從而結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時(shí)代，也結(jié)束了數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī).將有理數(shù)集劃分為兩個(gè)非空的子集M與N，且滿足，，M中的每一個(gè)元素都小于N中的每一個(gè)元素，則稱為戴德金分割.試判斷下列選項(xiàng)中，可能成立的是（

）A．滿足戴德金分割B．M沒有最大元素，N有一個(gè)最小元素C．M沒有最大元素，N沒有最小元素D．M有一個(gè)最大元素，N有一個(gè)最小元素【答案】ABC【詳解】對(duì)于A，滿足戴德金分割的定義，A正確；對(duì)于B,取，符合戴德金分割，M沒有最大元素，N有一個(gè)最小元素，B正確；對(duì)于C，取滿足戴德金分割的定義，M沒有最大元素，N沒有最小元素，C正確；對(duì)于D，假設(shè)M有一個(gè)最大元素m，N有一個(gè)最小元素n,根據(jù)戴德金分割定義，必有，則無法滿足，D錯(cuò)誤，故選：.2．（多選）（2023春·浙江寧波·高一寧波市北侖中學(xué)?？奸_學(xué)考試）19世紀(jì)戴德金利用他提出的分割理論，從對(duì)有理數(shù)集的分割精確地給出了實(shí)數(shù)的定義，并且該定義作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)實(shí)數(shù)理論的基礎(chǔ)之一可以推出實(shí)數(shù)理論中的六大基本定理.若集合A、B滿足：，，則稱為的二劃分，例如，則就是的一個(gè)二劃分，則下列說法正確的是（

）A．設(shè)，，則為的二劃分B．設(shè)，，則為的二劃分C．存在一個(gè)的二劃分，使得對(duì)于，，，對(duì)于，，D．存在一個(gè)的二劃分，使得對(duì)于，，，則，，，，則【答案】BCD【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以，則不為的二劃分，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，由于，所以，，則為的二劃分，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，存在，，使得對(duì)于，，，對(duì)于，，，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，存在，或，使得對(duì)于，，，則，，，，則，故D正確.故選：BCD.3．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·高一揚(yáng)州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）1872年德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱“戴德金分割”），并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，從而結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時(shí)代，也結(jié)束了數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)．將有理數(shù)集劃分為兩個(gè)非空的子集與，且滿足，，中的每一個(gè)元素都小于中的每一個(gè)元素，則稱為戴德金分割．則下列關(guān)于戴德金分割的說法一定不成立的是（

）A．中有最大元素，中有最小元素B．中沒有最大元素，中有最小元素C．中有最大元素，中沒有最小元素D．中沒有最大元素，中沒有最小元素【答案】A【詳解】設(shè)，，滿足戴德金分割，此時(shí)M沒有最大元素，N也沒有最小元素，所以滿足D選項(xiàng)，設(shè)，，則滿足B選項(xiàng)；設(shè)，，則滿足C選項(xiàng)；故A選項(xiàng)一定不成立，其他三個(gè)選項(xiàng)可能成立.故選：A4．（2022秋·高一課時(shí)練習(xí)）戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個(gè)非空子集A與B，且滿足Q，，A中的每一個(gè)元素都小于B中的每一個(gè)元素．請(qǐng)給出一組滿足A中無最大元素且B中無最小元素的戴德金分割．【答案】，（答案不唯一）【詳解】解：以無理數(shù)分界寫出一組即可，如，．（答案不唯一）；故答案為：，．（答案不唯一）⑥“類”1．（多選）（2023秋·吉林·高一長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為，即，其中．以下判斷正確的是（

）A． B．C． D．若，則整數(shù)，屬同一類【答案】ACD【詳解】A選項(xiàng)，，故，A正確；B選項(xiàng)，，故，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，全體整數(shù)被5除的余數(shù)只能是0,1,2,3,4，故，C正確；D選項(xiàng)，由題意可知能被5整除，故分別被5除的余數(shù)相同，故整數(shù)，屬同一類，D正確.故選：ACD2．（2021秋·高一課時(shí)練習(xí)）在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成的一個(gè)集合稱為“類”，記為[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4．給出如下四個(gè)結(jié)論：①2013∈[3];②-2∈[2];③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④若整數(shù)a，b屬于同一“類”，則a-b∈[0]．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】對(duì)于①，，結(jié)論①正確；對(duì)于②，，結(jié)論②錯(cuò)誤;對(duì)于③，對(duì)于任意一個(gè)整數(shù)，它除以5的余數(shù)可能是0，1，2，3，4，，結(jié)論③正確;對(duì)于④，整數(shù)a，b屬于同一“類”，設(shè)，，則存在，使得，，結(jié)論④正確；故選：C．3．（2022秋·廣東汕頭·高一汕頭市第一中學(xué)校考期中）在整數(shù)集Z中，被4除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為[k]，即[k]={4n+k︱n∈Z}，k=0，1，2，3.給出下列四個(gè)論①2025∈[1]；②2025∈[1]；③若a∈[1]，b∈[2]，則3a+b∈[3]；④若a∈[1]，b∈[3]，則a3b∈[0].其中正確的結(jié)論是.【答案】①④【詳解】因?yàn)?025被4除所得余數(shù)為1，所以①正確；因?yàn)?，所以，所以②不正確；因?yàn)閍∈[1]，b∈[2]，設(shè)，，則，且，所以，所以③不正確；因?yàn)閍∈[1]，b∈[3]，設(shè)，，則，且，所以，所以④正確.故答案為：①④⑦差集運(yùn)算1．（多選）（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）我們知道，如果集合，那么S的子集A的補(bǔ)集為且，類似地，對(duì)于集合A、B我們把集合且，叫做集合A和B的差集，記作，例如：，，則有，，下列解析正確的是（

）A．已知，，則B．如果，那么C．已知全集、集合A、集合B關(guān)系如上圖中所示，則D．已知或，，則或【答案】BD【詳解】對(duì)于A：由且，故，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由且，則，故，故B正確；對(duì)于C：由韋恩圖知：如下圖陰影部分，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：或，則或，故D正確.故選：BD.2．（多選）（2022秋·貴州銅仁·高一?？茧A段練習(xí)）我們已經(jīng)學(xué)過了集合的并、交、補(bǔ)等幾種基本運(yùn)算，而集合還有很多其他的基本運(yùn)算．設(shè)，為兩個(gè)集合，稱由所有屬于集合但不屬于集合的元素組成的集合為集合與集合的差集，記為，即．下列表達(dá)式一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B不正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以，故D正確.故選：3．（2022秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）定義差集且，已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以．故選：B4．（2022秋·江蘇常州·高一統(tǒng)考期中）對(duì)于集合A，B，我們把集合且叫做集合A與B的差集，記作．若集合，集合，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)差集的定義，由可得，因?yàn)?，，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即，故，由得，令，得或，當(dāng)，即時(shí)，上述不等式解得，即，顯然此時(shí)集合沒有任何包含關(guān)系，不滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，上述不等式化為，顯然無解，即，顯然不成立，不滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，上述不等式解得，因?yàn)?，所以由?shù)軸法可得，故；綜上：，即.故選：A.⑧“勢(shì)”1．（2022秋·上海浦東新·高一上海市進(jìn)才中學(xué)校考期中）設(shè)全集，對(duì)其子集引進(jìn)“勢(shì)”的概念：①空集的“勢(shì)”最小；②非空子集的元素越多，其“勢(shì)”越大；③若兩個(gè)子集的元素個(gè)數(shù)相同，則子集中最大的元素越大，子集的“勢(shì)”就越大，最大的元素相同，則第二大的元素越大，子集的“勢(shì)”就越大，依次類推．若將全部的子集按“勢(shì)”從小到大的順序排列，則排在第12位的子集是．【答案】/【詳解】元素個(gè)數(shù)為0的1個(gè)，；元素個(gè)數(shù)為1的5個(gè)，，，，，；元素個(gè)數(shù)為2的10個(gè)，，，，，，，，，，.所以，排在第12位的子集是.故答案為：.2．（2022秋·高一單元測(cè)試）設(shè)全集，對(duì)其子集引進(jìn)“勢(shì)”的概念：①空集的“勢(shì)”最?。虎诜强兆蛹脑卦蕉?，其“勢(shì)”越大；③若兩個(gè)子集的元素個(gè)數(shù)相同，則子集中最大的元素越大，子集的“勢(shì)”就越大，最大的元素相同，則第二大的元素越大，子集的“勢(shì)”就越大，依次類推.若將全部的子集按“勢(shì)”從小到大的順序排列，則排在第位的子集是.【答案】【詳解】不含任何元素的子集個(gè)數(shù)有1個(gè)，含有一個(gè)元素的子集個(gè)數(shù)有5個(gè)，含有兩個(gè)元素的子集個(gè)數(shù)有10個(gè)，含有3個(gè)元素的子集個(gè)數(shù)有10個(gè)，因?yàn)?+5+10+10=26>23，故排在第位的子集在含有3個(gè)元素的子集中，第26位的子集為，第25位的子集為，第24位的子集為，第23位的子集為故答案為：⑨“好集”1．（2016秋·山西·高一階段練習(xí)）如果集合，同時(shí)滿足,就稱有序集對(duì)為“好集對(duì)”.這里有序集對(duì)是指當(dāng)時(shí)，和是不同的集對(duì)，那么“好集對(duì)”一共有個(gè)A．個(gè) B．個(gè)C．個(gè) D．個(gè)【答案】B【詳解】試題分析：因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以滿足條件的“好集對(duì)”一共有個(gè)，故選B.2．（2023秋·陜西西安·高一西安市鐵一中學(xué)校考期末）定義：實(shí)數(shù)a，b，c，若滿足，則稱a，b，c是等差的，若滿足，則稱a，b，c是調(diào)和的．已知集合，集合P是集合M的三元子集，即，若集合P中的元素a，b，c既是等差的，又是調(diào)和的，稱集合P為“好集”，則集合P為“好集”的個(gè)數(shù)是．【答案】1010【詳解】由好集的定義得且，則有，化簡(jiǎn)得，故或，由得，故，，∴，且.∵，∴且，得，故集合P為“好集”的個(gè)數(shù)為.故答案為：10103．（2016·浙江嘉興·高三階段練習(xí)）若三個(gè)非零且互不相等的實(shí)數(shù)，，滿足，則稱，，是調(diào)和的；若滿足，則稱，，是等差的，若集合中元素，，既是調(diào)和的，又是等差的，則稱集合為“好集”，若集合，集合，則（1）“好集”中的元素最大值為；（2）“好集”的個(gè)數(shù)為．【答案】2012；1006.【詳解】解：由題意得，，∵，∴，，∴時(shí)，好集中的元素的最大值為，的所有可能值為，，……，，……，，共個(gè)，即好集的個(gè)數(shù)為．故答案為：2012,1006.二、邏輯推理①充分性必要性1．（2023春·黑龍江佳木斯·高二富錦市第一中學(xué)?？计谀┤簟閷?shí)數(shù)，則“”是“或”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】若，若，則，此時(shí)有，若，則，此時(shí)有，所以，若，則“或”，即“”“或”；若“或”，若，不妨取，，則；若，不妨取，，則.所以，“”“或”.因此，“”是“或”的充分不必要條件.故選：A.2．（2023春·遼寧·高二校聯(lián)考期末）“”是“方程有實(shí)數(shù)解”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】當(dāng)時(shí)，此時(shí)的方程為，即無解，所以有實(shí)數(shù)解；因?yàn)?，所以，即，所以方程有?shí)數(shù)解；所以“”是“方程有實(shí)數(shù)解”的必要不充分條件．故選：B.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知“”是“”成立的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由得：或，所以或；由得：，所以.因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，即且，所以是或的真子集，所以或，解得或.故選：B4．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知不等式成立的充分條件是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．【答案】D【詳解】由題意得，所以，且等號(hào)不能同時(shí)成立，解得.故選：D.5．（2023春·上海黃浦·高一上海市大同中學(xué)校考期末）已知是的充分非必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【詳解】由，解得，記，由，解得，記，∵“”是“”的充分非必要條件，∴真包含于，即，解得.故答案為：②邏輯推理1．（2023春·天津·高二天津市寧河區(qū)蘆臺(tái)第一中學(xué)校聯(lián)考期末）定義，設(shè)函數(shù)，若使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）．A． B．C． D．【答案】A【詳解】命題使得成立的否定為對(duì)，，因?yàn)楫?dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，，若命題，為真命題，則當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，其中，設(shè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，所以，所以，矛盾；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，所以，所以，矛盾；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，函數(shù)取最小值，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，命題，為真命題，所以若使得成立，則a的取值范圍為.故選：A.2．（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期末）已知“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【詳解】由“，”為假命題，可知“，”為真命題，設(shè)，則有在上恒成立，則須滿足：，解得：，故答案為：.3．（2023·全國·高三對(duì)口高考）已知命題，使得“成立”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【詳解】因?yàn)槊}，使得“成立”為真命題，當(dāng)時(shí)，，則，故成立；當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，總存在；綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：4．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知命題”的否定為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】已知問題等價(jià)于有解，即或，解得.故答案為：5．（2023·全國·高三對(duì)口高考）已知，若同時(shí)滿足條件：①或；②.則m的取值范圍是