研究生入學(xué)考試線性代數(shù)5

定義1:

設(shè)有n維向量[x,y]

=

x1y1+x2y2+···+xn

yn,稱[x,y]為向量x與y的內(nèi)積.

說明1.

n(n

4)維向量的內(nèi)積是3維向量數(shù)量積的推廣.但n維向量沒有3維向量直觀的幾何意義.

說明2.內(nèi)積是向量的一種運(yùn)算,如果都是列向量,內(nèi)積可用矩陣記號表示為:[x,y]

=xTy.我們把兩向量的數(shù)量積的概念向n維向量推廣:記內(nèi)積的運(yùn)算性質(zhì)設(shè)x,y,z為n維向量,

為實(shí)數(shù),則(1)[x,y]

=

[y,x];(2)[

x,y]

=

[x,y];(3)[x+y,z]

=

[x,z]

+[y,z];(4)[x,x]

0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時有[x,x]=0.二、向量的長度及性質(zhì)稱||

x

||為n維向量

x

的長度(或范數(shù)).定義:

令向量的長度具有下述性質(zhì):(1)非負(fù)性:||

x

||

0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時有||

x

||

=

0;(2)齊次性:||

x||

=

|

|||

x

||;(3)三角不等式:||x+y||

||x||

+

||y||.單位向量及n維向量間的夾角(1)當(dāng)||

x

||=1時,稱x為單位向量.(2)當(dāng)||

x

||

0,||

y

||

0時,稱為n維向量x與y的夾角,規(guī)定0

.例1:

求向量x=(1,2,2,3)與y=(3,1,5,1)的夾角.解:

[x,y]=13+21+25+31=18,

所以故,向量x與y的夾角為:三、正交向量組的概念及求法1.正交的概念2.正交向量組的概念若一非零向量組中的向量兩兩正交,則稱該向量組為正交向量組.當(dāng)[x,y]=0時,稱向量x與y正交.由定義知,若x=0,則x與任何向量都正交.3.正交向量組的性質(zhì)

定理1:

若向量組

1,

2,···,

r是n維正交向量組,則

1,

2,···,

r線性無關(guān).證明:

設(shè)有數(shù)

1,

2,···,

r,使得:

1

1+

2

2+···+

r

r=0向量的正交是幾何空間中向量垂直概念的推廣.由于

1,

2,···,

r是兩兩正交的非零向量組,當(dāng)

i

j時,[

i,

j]=

iT

j=

0,當(dāng)

i

=

j時,[

i,

i]=

iT

i

0,則有用

iT(i

=1,2,···,r

)左乘上式得,

1

iT

1+···+

i

iT

i

+···+

r

iT

r=

iT0

=

0,

i

iT

i

=

0.即從而得,

1=

2=···=

r=0,所以

1,

2,···,

r線性無關(guān).4.向量空間的正交基

定義:若正交向量組

1,

2,···,

r是向量空間V的一組基,則稱

1,

2,···,

r是向量空間V的一組正交基.例2:

已知三維向量空間中兩個向量正交.試求

3使

1,

2,

3構(gòu)成三維空間的一組正交基.

1=(1,1,1)T,

2=(1,–2,1)T即解之得解:

設(shè)

3=(x1,

x2,

x3)T0,且分別與

1,

2正交.則有[

1,

3]=[

2,

3]=0,x1=

–x3,x2=

0.若令x3=

1,則有構(gòu)成三維空間的一組正交基.則5.規(guī)范正交基例如

定義:

設(shè)n維向量組e1,e2,···,er是向量空間V

Rn的一組正交基,且都是單位向量,則稱e1,e2,···,er是向量空間V的一組規(guī)范(單位)正交基.由于所以,e1,e2,e3,e4為R4的一組規(guī)范正交基.同理可知也為R4的一組規(guī)范正交基(即單位坐標(biāo)向量組).

設(shè)e1,e2,···,er是向量空間V的一組規(guī)范正交基,則V中的任一向量a可由e1,e2,···,er線性表示,設(shè)表示式為:a=

1e1+

2e2+···+

rer,用eiT左乘上式,有eiTa

=

ieiTei=

i,即

i=

eiTa

=

[a,ei],這就是向量在規(guī)范正交基中的坐標(biāo)(即線性表示系數(shù))的計(jì)算公式.利用該公式可方便地計(jì)算向量在規(guī)范正交基中的坐標(biāo),因此我們常取向量空間的規(guī)范正交基.6.求規(guī)范正交基的方法

已知

1,

2,···,

r是向量空間V的一組基,求V的一組規(guī)范正交基,就是要找一組兩兩正交的單位向量e1,e2,···,er,使e1,e2,···,er與

1,

2,···,

r等價,這樣一個問題稱為把基

1,

2,···,

r

規(guī)范正交化.(1)正交化設(shè)a1,a2,···,ar是向量空間V的一組基.··················取b1=

a1,

則b1,b2,···,br兩兩正交,且b1,b2,···,br與a1,a2,···,ar等價.(2)單位化,取則e1,e2,···,en是向量空間V的一組規(guī)范正交基.

上述由線性無關(guān)向量組a1,a2,···,ar構(gòu)造出正交向量組b1,b2,···,br的過程稱為施密特(Schimidt)正交化過程.

例3:

用施密特正交化方法,將向量組a1=(1,1,1,1),a2=(1,-1,0,4),a3=(3,5,1,-1)正交規(guī)范化.解:

先正交化.取b1=a1=(1,1,1,1),再單位化.得規(guī)范正交向量組如下:例4:

設(shè)試用施密特正交化過程把這組向量規(guī)范正交化.解:

先正交化.取b1=a1再單位化.得規(guī)范正交向量組如下:故,e1,e2,e3即為所求.例5:已知求一組非零向量a2,a3,使a1,a2,a3兩兩正交.解:

非零向量a2,a3應(yīng)滿足方程a1Tx

=

0,即x1+x2+x3=0.它的基礎(chǔ)解系為:把基礎(chǔ)解系正交化,即為所求.亦即取其中[

1,

2]=1,[

1,

1]=2,于是得例4的幾何解釋b2=a2–c2,c2為a2在b1上的投影向量,即b1=a1,

b3=a3–c3,c3為a3在b1,b2所確定的平面上的投影向量,

由于b1

b2,故c3等于a3分別在b1,b2上的投影向量c31及c32之和,即四、正交矩陣與正交變換

定理:

A為正交矩陣的充要條件是A的列向量都是單位向量且兩兩正交.

若n階方陣A滿足ATA

=

E,即A-1=AT,

則稱A為正交矩陣.證明:由于ATA

=

E性質(zhì)1:正交變換保持向量的長度不變.

定義:

若P為正交陣,則線性變換y

=

Px稱為正交變換.證明:

設(shè)線性變換y

=

Px為正交變換.則有

性質(zhì)2:設(shè)A為正交矩陣,則A-1=AT也為正交矩陣,且|A|=1或–1.

性質(zhì)3:設(shè)A,B都是正交矩陣,則AB也為正交矩陣.例6:

判別下列矩陣是否為正交陣.解(1):

考察矩陣的第一列和第二列.所以(1)不是正交矩陣.由于解(2):注意到,該矩陣為對稱矩陣,則有所以(2)是正交矩陣.例7:

驗(yàn)證矩陣

解:

P的每個列(行)向量都是單位向量,且兩兩正交,所以P是正交矩陣.是正交矩陣.五、小結(jié)1.將一組基規(guī)范正交化的方法:先用施密特正交化方法將基正交化,然后再將其單位化.2.A為正交矩陣的充要條件是下列條件之一成立:(1)A-1=AT;(2)ATA=E;(3)A的列向量是兩兩正交的單位向量;(4)A的行向量是兩兩正交的單位向量.§5.2方陣的特征值與特征向量一、特征值與特征向量的概念

定義:設(shè)A是n階方陣,如果數(shù)

和n維非零列向量x使關(guān)系式Ax

=

x成立,那末這樣的數(shù)

稱為方陣A的特征值,非零向量x稱為A的對應(yīng)于特征值

的特征向量.說明1:特征向量x

0,特征值問題是對方陣而言的;

說明2:n階方陣A的特征值,就是使齊次線性方程組(A–

E)x

=

0有非零解的值

,即滿足方程|A–

E|

=

0的

都是矩陣A的特征值.說明3:方程|A–

E|

=

0

稱以

為未知數(shù)的一元n次方程|A–

E|

=

0為方陣A的特征方程.

記f(

)

=

|A–

E|,它是

的n次多項(xiàng)式,稱其為方陣A的特征多項(xiàng)式.

n次代數(shù)方程有n個根(復(fù)根和實(shí)根,重根按重數(shù)計(jì)算).說明4:設(shè)n階方陣A=(aij)的特征值為

1,

2,···,

n,則有:(1)

1+

2+···+

n=

a11+a22+···+ann;

(2)

1

2···

n=

|

A

|.例1:

求的特征值和特征向量.解:

A的特征多項(xiàng)式為:=

(3–

)2–1所以,該方陣A的特征值為:

1=2,

2

=4.當(dāng)

1=2時,對應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足:即解得x1=x2,故特征值

1=2對應(yīng)的特征向量為:x=c當(dāng)

1=

4

時,對應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足:=8

–

6

+

2=(4–

)(2–

)(c

0).即解得x1=-x2,故特征值

2=4對應(yīng)的特征向量為:x=c

由于特征方程|A–

E|

=

0,故齊次方程組(A–

E)x

=

0有非零解.因此,求出特征值

i對應(yīng)的基礎(chǔ)解系即可求出所有特征向量.例2:

求矩陣A

=的特征值和特征向量.解:

矩陣A的特征多項(xiàng)式為:|A–

E|==

(2–

)(1–

)2,所以A的特征值為:

1=2,

2=

3=1.(c

0).當(dāng)

1=2時,解方程組(

A–2E

)x

=

0.由得基礎(chǔ)解系當(dāng)

2=

3=1時,解方程組(

A–E

)x

=

0.由故對應(yīng)特征值

1=2的所有特征向量為kp1(k

0).得基礎(chǔ)解系故對應(yīng)特征值

2=

3=1的所有特征向量為kp2(k

0).例3:

求矩陣A

=的特征值和特征向量.解:

矩陣A的特征多項(xiàng)式為:|A–

E|==

–(1+

)(2–

)2,所以A的特征值為:

1=–1,

2=

3=2.當(dāng)

1=–1時,解方程組(

A+E

)x

=

0.由得基礎(chǔ)解系故對應(yīng)特征值

1=–1的所有特征向量為kp1(k

0).當(dāng)

2=

3=2時,解方程組(

A–2E

)x

=

0.由得基礎(chǔ)解系故對應(yīng)特征值

2=

3=2的所有特征向量為k2p2+k3p3(k2,k3不同時為零).例4:

證明:若

是矩陣A的特征值,則(1)

m是矩陣Am的特征值(m為正整數(shù));(2)當(dāng)A可逆時,則

-1是逆陣A-1的特征值.

證明(1):

由于

是矩陣A的特征值,設(shè)x是A的對應(yīng)特征值

的特征向量,則Ax=

x.所以,A2x

=

A(Ax)

=

A(

x)

=

(Ax)

=

2x.即,

2是矩陣A2的特征值.依此遞推得,

m是矩陣Am的特征值(m為正整數(shù)).

由此我們還證明了:若x是A的屬于特征值

的特征向量,則x也是矩陣Am的屬于特征值

m的特征向量.證明(2):當(dāng)A可逆時,則

0,則由Ax=

x

可得,x=A-1(Ax)

=

A-1(

x)

=

(A-1x).所以,A-1x=

-1x

由此我們還證明了:若x是A的屬于特征值

的特征向量,則x也是矩陣A-1的屬于特征值

-1的特征向量.

還可以類推:若

是矩陣A的特征值,則

(

)是矩陣多項(xiàng)式

(A)的特征值,其中

(

)=a0+a1

+···+am

m,

(A)=a0E+a1A+···+amAm.二、特征值和特征向量的性質(zhì)證明:設(shè)有常數(shù)x1,x2,···,xm,使則在上式左乘A得,即類推之,有

定理2:

設(shè)

1,

2,···,

m是方陣A的m個特征值,p1,p2,···,pm是與之對應(yīng)的特征向量，如果

1,

2,···,

m互不相等，則p1,p2,···,pm線性無關(guān).x1p1+x2p2+···+xmpm=0,A(x1p1+x2p2+···+xmpm)=0,

1x1p1+

2x2p2+···+

mxmpm=0,(0)(1)(k)(k=0,1,

2,

···,

m–1)把上面m個向量方程合寫成矩陣形式,得

上式等號左端第二個矩陣的行列式為范德蒙行列式,當(dāng)

1,

2,···,

m各不相等時,該行列式不等于0,從而該矩陣可逆.(x1p1,x2p2,···,xmpm)

=

(0,0,···,0)于是有=(0,0,···,0)即xjpj

=

0(j=1,

2,

···,

m).但pj

0(j=0,1,

2,

···,

m).(x1p1,x2p2,···,xmpm)故xj=

0(j=1,

2,

···,

m).所以,向量組p1,p2,···,pm線性無關(guān).

注1:屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的;

注2:屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個特征值的特征向量;

注意3:矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征值而言的,一個特征值具有的特征向量不唯一,但一個特征向量不能屬于不同的特征值.

因?yàn)?假設(shè)向量x同時是A的屬于不同的特征值

1,

2(

1

2)的特征向量,即有Ax=

1x,Ax=

2x,則有,

1x=

2x.即(

1–

2)x=0.由于(

1–

2)0,則

x

=

0,這與x是特征向量矛盾.例5:

設(shè)n階方陣A的特征多項(xiàng)式為解:求AT的特征多項(xiàng)式.例6:

設(shè)

1和

2是矩陣A的兩個不同的特征值,對應(yīng)的特征向量依次為p1和p2,證明p1+p2不是A的特征向量.證明:按題設(shè),有Ap1=

1p1,Ap2=

2p2,故A(p1+p2)=

1p1+

2p2.用反證法,假設(shè)p1+p2是A的特征向量,則應(yīng)存在數(shù)

,使A(p1+p2)=

(p1+p2),于是

(p1+p2)=

1p1+

2p2,即(

1－

)p1+(

2－

)p2=0,因

1

2,按定理2知p1,p2線性無關(guān),故由上式得

1－

=

2－

=0,即

1=

2,與題設(shè)矛盾.因此p1+p2不是A的特征向量.三、小結(jié)

求矩陣特征值與特征向量的步驟：

1.計(jì)算A的特征多項(xiàng)式|A–

E|;2.求特征方程|

A–

E

|

=

0的全部根

1,

2,···,

n,也就是A的全部特征值;3.對于特征值

i,求齊次方程組(A–

iE

)x

=

0的非零解,也就是對應(yīng)于

i的特征向量.§5.3相似矩陣一、相似矩陣(變換)的概念與性質(zhì)

定義:設(shè)A,B都是n階矩陣,若有可逆矩陣P,使P-1AP

=

B

,則稱B是A的相似矩陣,或說矩陣A與B相似,對A進(jìn)行運(yùn)算P-1AP,稱為對A進(jìn)行相似變換,可逆矩陣P稱為把A變成B的相似變換矩陣.

定理3:若n階矩陣A與B相似,則A與B的特征多項(xiàng)式相同,從而A與B的特征值亦相同.證明:由于矩陣A與B相似,則存在可逆矩陣P,使P-1AP

=

B|

B–

E

|

=

|

P-1AP–

E

|

=

|

P-1AP–

P-1EP

|

所以,=

|

P-1(A–

E)P

|=|

A–

E

|=

|

P-1|

|

A–

E

|

|

P

|相似矩陣的性質(zhì):1.

相似矩陣是等價的:(1)

自反性:

A與A本身相似;(2)

對稱性:若A與B相似,則B與A相似;(3)傳遞性:若A與B相似,

B與C相似,則A與C相似.

=

diag(

1,

2,···,

n)

=其中

若n階方陣A與對角陣

=diag(

1,

2,···,

n)相似,則稱方陣A可(相似)對角化.

推論:

若n階方陣A與對角陣

=diag(

1,

2,···,

n)相似,則

1,

2,···,

n即是A的n個特征值.證明:因?yàn)?/p>

1,

2,···,

n即是

的n個特征值，由定理3知

1,

2,···,

n

也就是A的n個特征值.3.

P-1(A1A2)P

=

(P-1A1P)(P-1A2P).4.

若A與B相似,則Am與Bm相似(m為正整數(shù)).2.

P-1(k1A1+k2A2)P

=

k1P-1A1P+k2P-1A2P.其中k1,k2是任意常數(shù)由于矩陣A與B相似,則存在可逆矩陣P,使P-1AP

=

B,亦即A

=

PBP-1,所以,Am

=

(PBP-1)m=PBP-1PBP-1

···

PBP-1=

PBmP-1.進(jìn)一步有,若

(A)=a0E+a1A+···+amAm,則

(A)=a0PP-1+a1PBP-1+···+amPBmP-1

=P(a0E+a1B+···+amBm)P-1=P

(B)P-1.即相似矩陣的多項(xiàng)式,有相同的相似變換矩陣.Am

=P

mP-1;

(A)=P

(

)P-1.特別當(dāng)矩陣A與對角陣

=diag(

1,

2,···,

n)相似時,則而對于對角陣

,有

k=

(

)=

利用上述結(jié)論可以很方便地計(jì)算矩陣A的多項(xiàng)式

(A).

結(jié)論:

若f(

)為矩陣A的特征多項(xiàng)式,則矩陣A的多項(xiàng)式f(A)=O.

此結(jié)論的一般性證明較困難,但當(dāng)矩陣A與對角陣

相似時很容易證明.即=POP-1=O.f(A)=Pf(

)P-1=二、利用相似變換將方陣對角化

n階方陣A是否與對角陣

=diag(

1,

2,···,

n)相似,則我們需要解決如下兩個問題:1.方陣A滿足什么條件與對角陣

相似;2.如何求相似變換矩陣P.

以下定理及其證明過程回答了以上兩個問題.

定理4:

n階矩陣A與對角矩陣

相似(即A能對角化)的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量.證明:

假設(shè)存在可逆陣P,使P-1AP

=

為對角陣,把P用其列向量表示為P=(p1,p2,···,pn).由P-1AP

=

,得AP

=P

,A(p1,p2,···,pn)

=(p1,p2,···,pn)(Ap1,Ap2,···,Apn)

=(

1p1,

2p2,···,

npn),即因而有,Api

=

ipi(i=1,2,···,n

).

可見,

i是A的特征值,而P的列向量pi就是A對應(yīng)于特征值

i的特征向量.再由P的可逆性知,p1,p2,···,pn線性無關(guān).

由于A有n個線性無關(guān)的特征向量p1,p2,···,pn,設(shè)它們對應(yīng)的個特征值分別為

1,

2,···,

n,

Api=

ipi(i=1,2,···,n)

這n個特征向量即可構(gòu)成可逆矩陣P=(p1,p2,···,pn),使AP=(Ap1,Ap2,···,Apn)=(

1p1,

2p2,···,

npn)即=P.=(p1,p2,···,pn)因此有,P-1AP

=

,即矩陣A與對角矩陣

相似.命題得證.

推論:如果n階矩陣A有n個互不相等的特征值,則A與對角陣相似.

說明:

如果A的特征方程有重根,此時不一定有n個線性無關(guān)的特征向量,從而矩陣A不一定能對角化.但如果能找到n個線性無關(guān)的特征向量,則A還是能對角化.證明:由的定理2

,n個互不相等的特征值對應(yīng)的n個特征向量線性無關(guān)，再由定理3就可以得到結(jié)論.例1:

判斷下列實(shí)矩陣能否化為對角陣:解:|

A–

E

|

==(

–2)2(

+7)=0得A的特征值:

1=

2=2,

3=–7.將

1=

2=2代入(

A–

E

)x

=0,得解之得基礎(chǔ)解系:將

3=–7代入(

A–

E

)x

=0,得解之得基礎(chǔ)解系:A有3個線性無關(guān)的特征向量,因而A可對角化.|

B–

E

|

==–(

+1)3=0得B的特征值:

1=

2=

3=–1.將

1=

2=

3=–1

代入(

B–

E

)x

=0,得故B不能對角化.解之得基礎(chǔ)解系:角化,求出可逆矩陣P,使P-1AP

=

為對角陣.例2:

設(shè)A=A能否對角化?若能對解:|

A–

E

|

==–(

–1)2(

+2)=0得A的特征值:

1=

2=1,

3=–2.將

1=

2=1代入(

A–

E

)x

=0,得解之得基礎(chǔ)解系:將

3=–2代入(

A–

E

)x

=0,得解之得基礎(chǔ)解系:令則有注意:

若令矩陣P的列向量和對角矩陣中特征值的位置要相互對應(yīng).則有例3:

設(shè)問x為何值時,矩陣A能對角化?解:得

1=－1,2=3=1.對應(yīng)單根

1=－1,可求得線性無關(guān)的特征向量恰好1個,故矩陣A可對角化的充分必要條件是對應(yīng)重根

2=3=

1,有2個線性無關(guān)的特征向量,即方程(A－E)x=0有2個線性無關(guān)的解,亦即系數(shù)矩陣A－E的秩R(A－E)=1.由要R(A－E)=1,得x+1=0,即x=－1.因此，當(dāng)x=－1時,矩陣A能對角化.三、小結(jié)

1.相似矩陣相似是矩陣之間的一種關(guān)系,它具有很多良好的性質(zhì),除了課堂內(nèi)介紹的以外,還有:(1)若A與B相似,則det(A)=det(B);(2)若A與B相似,f(x)為多項(xiàng)式,則f(A)與f(B)相似;(3)若A與B相似,且A可逆,則B也可逆,且A-1與B-1相似.2.相似變換與相似變換矩陣

相似變換是對方陣進(jìn)行的一種運(yùn)算,它把A變成P-1AP,可逆矩陣P稱為進(jìn)行這一變換的相似變換矩陣.

這種變換的重要意義在于簡化對矩陣的各種運(yùn)算,其方法是先通過相似變換,將矩陣變成對角矩陣,再對對角矩陣進(jìn)行運(yùn)算,從而將比較復(fù)雜的矩陣的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為比較簡單的對角矩陣的運(yùn)算.

定理5的意義:

由于實(shí)對稱矩陣A的特征值

i為實(shí)數(shù),所以齊次線性方程組(

A–

iE

)

x

=

0是實(shí)系數(shù)方程組,由|

A–

iE

|

=

0知,必有實(shí)的基礎(chǔ)解系,從而對應(yīng)的特征向量可以取實(shí)向量.

定理6:

設(shè)

1,

2是對稱矩陣A的兩個特征值,p1,p2是對應(yīng)的特征向量,若

1

2,則p1與p2正交.證明:由條件知,

Api=

ipi(i=1,2),A

=

AT.所以,

1

p1T=

(

1

p1)T=

(Ap1)T=p1TAT=p1TA,§5.4實(shí)對稱矩陣的對角化一、實(shí)對稱矩陣的性質(zhì)說明:本節(jié)所提到的對稱矩陣,除非特別說明,均指實(shí)對稱矩陣.定理5:實(shí)對稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).

1

p1Tp2

=(

1

p1T)p2于是=p1T(Ap2)=(p1TA)

p2=p1T(

2

p2)=

2p1Tp2,則(

1

–

2)

p1Tp2=

0.再由

1

2得,p1Tp2=[p1,p2]

=

0,即p1與p2正交.

定理7:

設(shè)A為n階對稱矩陣,則必有正交矩陣P,使P-1AP

=

,