貴州省貴陽市南明區(qū)部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期6月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年貴州省貴陽市南明區(qū)部分學(xué)校高一（下）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（6月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)，則(

)A.2 B. C.5 D.2.設(shè)是平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下面的四組向量不能構(gòu)成基底的是(

)A.和 B.和

C.和 D.和3.已知是平面向量，是單位向量，若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是(

)A. B. C. D.4.a，b為不重合的直線，，為互不相同的平面，下列說法正確的是(

)A.若，，，則 B.若，，，則

C.若，，則 D.若，，則或a與b異面5.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，若，則的形狀一定(

)A.等腰三角形 B.銳角三角形 C.直角三角形 D.鈍角三角形6.下列說法不正確的是(

)A.正棱錐的底面是正多邊形，側(cè)面都是等腰三角形

B.棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)線必交于一點(diǎn)

C.用一個(gè)平面去截棱錐，底面與截面之間的部分是棱臺(tái)

D.棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形7.人臉識(shí)別就是利用計(jì)算機(jī)檢測(cè)樣本之間的相似度，余弦距離是檢測(cè)相似度的常用方法.假設(shè)二維空間中有兩個(gè)點(diǎn)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定義余弦相似度為，余弦距離為已知，，若P，Q的余弦距離為則(

)A. B. C. D.8.如圖，在正方體中，，E在線段上，則的最小值是(

)A.

B.

C.

D.

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.下列命題中，真命題為(

)A.復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是

B.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為

C.復(fù)數(shù)的虛部為

D.復(fù)數(shù)，則10.已知，，是平面上三個(gè)非零向量，下列說法正確的是(

)A.一定存在實(shí)數(shù)x，y使得成立

B.若且，那么一定有

C.若，那么

D.若，那么，，一定相互平行11.已知某市2017年到2022年常住人口單位：萬變化圖如圖所示，則(

)

A.該市2017年到2022年這6年的常住人口的極差約為38萬

B.該市2017年到2022年這6年的常住人口呈遞增趨勢(shì)

C.該市2017年到2022年這6年的常住人口的第60百分位數(shù)為萬

D.該市2017年到2022年這6年的常住人口的平均數(shù)大于718萬三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若，，平面內(nèi)一點(diǎn)P，滿足，的最大值是______.13.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，則的取值范圍是__________.14.已知甲、乙、丙、丁四人各自獨(dú)立解決某一問題的概率分別是，，，a，如果甲、乙、丙至少有一人解決該問題的概率不小于丁獨(dú)立解決這一問題的概率，則a的最大值是______.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題13分

已知盒中有大小、質(zhì)地相同的紅球、黃球、藍(lán)球共4個(gè)，從中任取一球，得到紅球或黃球的概率是，得到黃球或藍(lán)球的概率是

求盒中紅球、黃球、藍(lán)球的個(gè)數(shù)；

隨機(jī)試驗(yàn)：從盒中有放回的取球兩次，每次任取一球記下顏色.

寫出該試驗(yàn)的樣本空間；

設(shè)置游戲規(guī)則如下：若取到兩個(gè)球顏色相同則甲勝，否則乙勝.從概率的角度，判斷這個(gè)游戲是否公平，請(qǐng)說明理由.16.本小題15分

為提倡節(jié)約用水，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)家庭用水情況進(jìn)行了調(diào)查，通過簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽取2023年500個(gè)家庭的月均用水量單位：，將數(shù)據(jù)按照分成6組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示，已知這500個(gè)家庭的月均用水量的第27百分位數(shù)為

在這500個(gè)家庭中月均用水量在內(nèi)的家庭有多少戶？

求a，b的值；

估計(jì)這500個(gè)家庭的月均用水量的平均值同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表17.本小題15分

已知向量

若，且，求向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)；

若向量，且，求向量夾角的余弦值.18.本小題17分

在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，已知，

求角B；

若M是內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值及取最大值的條件；若不存在，請(qǐng)說明理由；

若D是中AC上的一點(diǎn)，且滿足，求的取值范圍.19.本小題17分

如圖，在正三棱柱中，，D為AB的中點(diǎn).

證明：平面

求異面直線與CD所成角的余弦值.

在上是否存在點(diǎn)E，使得平面平面？若存在，求的值；若不存出在，說明理由.

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：，

故選：

由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后直接利用復(fù)數(shù)模的公式求復(fù)數(shù)z的模．

本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．2.【答案】B

【解析】解：對(duì)于A，可設(shè)，可知且，顯然不成立，所以這兩個(gè)向量可作為基底，

同理可知，C，D選項(xiàng)中的兩個(gè)向量都可構(gòu)成基底；

對(duì)于B，，所以這兩個(gè)向量不構(gòu)成基底．

故選：

當(dāng)兩向量不共線時(shí)，可作為基底，據(jù)此判斷即可．

本題考查平面向量基本定理與向量共線的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題．3.【答案】A

【解析】解：已知是平面向量，是單位向量，若非零向量與的夾角為，

不妨設(shè)，，

又非零向量與的夾角為，

則，

設(shè)，

又向量滿足，

則

即，

又到直線的距離為，

則的最小值是

故選：

由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合圓的性質(zhì)及點(diǎn)到直線的距離公式求解．

本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了圓的性質(zhì)及點(diǎn)到直線的距離公式，屬中檔題．4.【答案】D

【解析】解：a，b為不重合的直線，，為互不相同的平面，

對(duì)于A，若，，，則a與b平行或異面，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，若，，，則與相交或平行，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，若，，則或，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，若，，則由線面平行的性質(zhì)得或a與b異面，故D正確．

故選：

對(duì)于A，a與b平行或異面；對(duì)于B，與相交或平行；對(duì)于C，或；對(duì)于D，由線面平行的性質(zhì)得或a與b異面．

本題考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．5.【答案】A

【解析】解：，

由正弦定理得，

即，

又A，B為的內(nèi)角，

所以

故選：

結(jié)合正弦定理，以及三角形內(nèi)角和定理，即可求解．

本題主要考查三角形的形狀判斷，屬于基礎(chǔ)題．6.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A，由正棱錐的定義，正棱錐的底面是正多邊形，側(cè)面都是等腰三角形，A正確；

對(duì)于B，棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)線必交于一點(diǎn)，B正確；

對(duì)于C，用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分是棱臺(tái)，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，由棱柱的定義，棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形，D正確．

故選：

根據(jù)題意，由棱錐、棱柱、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征依次分析選項(xiàng)，綜合可得答案．

本題考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，涉及棱錐的定義，屬于基礎(chǔ)題．7.【答案】C

【解析】解：由，可得，

所以，

則，

所以，

故

故選：

由已知定義，結(jié)合同角基本關(guān)系先求出，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解．

本題以新定義為載體，主要考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8.【答案】C

【解析】解：如圖，連接AC，，，，將平面和平面展開到同一平面，

連接，交于點(diǎn)M，

則，

因?yàn)椋裕?/p>

所以四邊形為菱形，，

則

故選：

連接AC，，，，將平面和平面展開到同一平面，連接求解即可．

本題考查利用展開法求線段和的最值問題，屬于中檔題．9.【答案】BCD

【解析】【分析】本題考查復(fù)數(shù)的概念與分類，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的乘法與除法，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)純虛數(shù)的定義判斷A，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義判斷B，根據(jù)虛部的定義判斷C，根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法與除法判斷【解答】

解：復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是且，故A錯(cuò)誤，

復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，故B正確，

復(fù)數(shù)的虛部為，故C正確，

復(fù)數(shù)，則，故，故D正確，

故選：10.【答案】BC

【解析】【分析】本題主要考查向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．

對(duì)于選項(xiàng)A，沒有聲明和不共線；

對(duì)于選項(xiàng)B，利用向量垂直的定義即可判斷；

對(duì)于選項(xiàng)C，將變形成，再平方后變形即可判斷；

對(duì)于選項(xiàng)D，利用兩向量垂直，則數(shù)量積等于零，可令與垂直，與垂直，即得到反例．【解答】

解：對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)與共線，與不共線時(shí)，不存在x、y使得成立，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以，即?/p>

所以，故B選項(xiàng)正確；

對(duì)于選項(xiàng)C，若，則，

因?yàn)椋?/p>

所以，

因?yàn)?，所以，即，則，

又因?yàn)椋裕?/p>

所以，故C選項(xiàng)正確；

對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)與垂直，與垂直時(shí)，成立，但是，，不相互平行，

故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．

故選11.【答案】AC

【解析】解：對(duì)于A，該市2017年到2022年這6年的常住人口按照從小到大的順序排列為：

，，，，，，

則極差為萬，故A正確；

對(duì)于B，由圖可知該市2017年到2022年這6年的常住人口有增有減，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，，第60百分?jǐn)?shù)位為萬，故C正確；

對(duì)于D，平均數(shù)為萬，故D錯(cuò)誤．

故選：

由百分位數(shù)，極差和平均數(shù)的定義對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案．

本題考查百分位數(shù)、極差、平均數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．12.【答案】

【解析】解：如圖，由向量的數(shù)量積定義和可得，

，

所以，由角平分線定理可得：，

設(shè)，則，由，，可得，

由余弦定理：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，

因?yàn)椋瑒t，所以，

所以的最大值是

故答案為：

由向量的數(shù)量積定義和條件易得，利用三角形的角平分線定理可得，設(shè)，求出x的取值范圍，借助于余弦定理得到的解析式，由基本不等式求得的范圍，由正弦函數(shù)的圖象即得的最大值．

本題主要考查向量的數(shù)量積定義和余弦定理、基本不等式的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．13.【答案】

【解析】解：由余弦定理可得，

可得，

由正弦定理可得：，又因?yàn)椋?/p>

整理可得：，

即：，即，又因?yàn)椋?/p>

可得，，

所以；

由余弦定理可得，，

所以，

解得，三角形中，任意兩邊之和大于第三邊可得，

所以的范圍為

故答案為：

由題意及余弦定理，正弦定理可得，再由，可得角A的大小，由余弦定理及基本不等式可得的最大值，再由三角形中，任意兩邊之和大于第三邊可得，可得的范圍．

本題考查余弦定理，正弦定理，基本不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．14.【答案】

【解析】解：甲、乙、丙、丁四人各自獨(dú)立解決某一問題的概率分別是，，，a，

甲、乙、丙至少有一人解決該問題的概率不小于丁獨(dú)立解決這一問題的概率，

，

解得

的最大值是

故答案為：

由甲、乙、丙至少有一人解決該問題的概率不小于丁獨(dú)立解決這一問題的概率，利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式列出方程，由此能求出a的最大值．

本題考查概率的求法，考查對(duì)立事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．15.【答案】解：從中任取一球，分別記得到紅球、黃球、藍(lán)球?yàn)槭录嗀，B，C，

因?yàn)锳，B，C為兩兩互斥事件，

由已知得，

解得，

盒中紅球、黃球、藍(lán)球的個(gè)數(shù)分別是2，1，1；

由知紅球、黃球、藍(lán)球個(gè)數(shù)分別為2，1，1，用1，2表示紅球，用a表示黃球，用b表示藍(lán)球，m表示第一次取出的球，n表示第二次取出的球，表示試驗(yàn)的樣本點(diǎn)，

則樣本空間；

由得，記“取到兩個(gè)球顏色相同”為事件M，“取到兩個(gè)球顏色不相同”為事件N，

則，

所以，

所以，

因?yàn)?，所以此游戲不公平?/p>

【解析】從中任取一球，分別記得到紅球、黃球、藍(lán)球?yàn)槭录嗀，B，C，根據(jù)A，B，C為兩兩互斥事件，由求解．

根據(jù)紅球、黃球、藍(lán)球個(gè)數(shù)分別為2，1，1，用1，2表示紅球，用a表示黃球，用b表示藍(lán)球，m表示第一次取出的球，n表示第二次取出的球，表示試驗(yàn)的樣本點(diǎn)，列舉出來；由利用古典概型的概率求解．

本題主要考查了樣本空間的定義，考查了古典概型的概率公式，屬于中檔題．16.【答案】解：由頻率分布直方圖可知，月均用水量在內(nèi)的家庭的頻率為，

則在這500個(gè)家庭中月均用水量在內(nèi)的家庭有戶．

由頻率分布直方圖，可得，

則，

因?yàn)檫@500個(gè)家庭的月均用水量的第27百分位數(shù)為，

所以在，

則，

解得，

估計(jì)這500個(gè)家庭的月均用水量的平均值為：

【解析】求得月均用水量在內(nèi)的頻率，根據(jù)頻數(shù)公式求解即可；

根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)和月均用水量的第27百分位數(shù)為，列方程求解即可；

根據(jù)平均數(shù)公式列式計(jì)算即可求解．

本題考查由頻率分布直方圖求頻數(shù)、頻率，考查頻率公式，頻率分布直方圖坐標(biāo)軸的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．17.【答案】解：因?yàn)椋?/p>

所以，

因?yàn)?，所?/p>

即，因?yàn)?，解得?/p>

所以，，

所以，，

則向量在向量上的投影向量為，其坐標(biāo)為；

因?yàn)椋裕?/p>

因?yàn)?，所以，解得?/p>

所以，則，

因?yàn)椋?/p>

所以

【解析】由建立方程即可求出x，再由投影向量的定義計(jì)算即可；

由建立方程求得x，由平面向量數(shù)量積與夾角計(jì)算即可．

本題考查平面向量垂直與平行的應(yīng)用，平面向量的數(shù)量積與夾角求法，屬于中檔題．18.【答案】解：已知，

則，

則，

又，

則，

則，

又，

即；

已知點(diǎn)M是內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，

則，

則，

則，

又，

由余弦定理可得：，

即，

又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

即，

即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

即；

因?yàn)椋?/p>

所以，

所以，

即BD平分，

所以，

所以，

又，

所以，

所以，

所以，

所以，

即，

故的取值范圍為

【解析】由正弦定理及兩角和的正弦公式求解；

由向量的線性運(yùn)算，結(jié)合余弦定理及基本不等式求解；

由正弦定理，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解．

本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了正弦定理及余弦定理，屬中檔題．19.【答案】證明：正三棱柱中，則為等邊三角形，D為AB的中點(diǎn)，

所以，而平面ABC，平面ABC，

所以，又因?yàn)椋?/p>

所以平面平面；

解：取到的中點(diǎn)，連接，，，

由題意可得，

所以或其補(bǔ)角為異面直線與CD所成的角，

因?yàn)椋?/p>

由題意可得，，

，