正比例和反比例關(guān)系的特點(diǎn)總結(jié)

正比例和反比例關(guān)系的特點(diǎn)總結(jié)正比例和反比例關(guān)系的特點(diǎn)總結(jié)一、正比例關(guān)系1.定義：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。2.數(shù)學(xué)表達(dá)式：\(y=kx\)，其中\(zhòng)(k\)為比例常數(shù)，\(x\)和\(y\)分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量。-隨著一種量的增加，另一種量也增加；-隨著一種量的減少，另一種量也減少；-兩種量的比值始終保持不變。二、反比例關(guān)系1.定義：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量的乘積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。2.數(shù)學(xué)表達(dá)式：\(y=\frac{k}{x}\)，其中\(zhòng)(k\)為比例常數(shù)，\(x\)和\(y\)分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量。-隨著一種量的增加，另一種量減少；-隨著一種量的減少，另一種量增加；-兩種量的乘積始終保持不變。三、正比例關(guān)系和反比例關(guān)系的區(qū)別與聯(lián)系-正比例關(guān)系中，兩種量的比值一定；-反比例關(guān)系中，兩種量的乘積一定。-都是兩種相關(guān)聯(lián)的量之間的關(guān)系；-都是量變引起另一種量變的關(guān)系；-都是數(shù)學(xué)中的基本概念。四、正比例關(guān)系和反比例關(guān)系的應(yīng)用1.日常生活中的應(yīng)用：-購(gòu)物時(shí)，商品的價(jià)格和購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量成正比；-行駛中，汽車(chē)的速度和時(shí)間成反比。2.科學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用：-物理學(xué)中，電流和電壓成正比，電流和電阻成反比；-化學(xué)中，反應(yīng)物的摩爾比和生成物的摩爾比成正比。正比例關(guān)系和反比例關(guān)系是數(shù)學(xué)中的基本概念，理解它們的定義、特點(diǎn)及應(yīng)用對(duì)于中小學(xué)生的學(xué)習(xí)具有重要意義。通過(guò)掌握這兩種關(guān)系，學(xué)生能夠更好地解決實(shí)際問(wèn)題，提高解決問(wèn)題的能力。習(xí)題及方法：1.習(xí)題：小明的身高與他年齡的比值是2:1，現(xiàn)在他的年齡增加了3歲，他的身高增加了多少厘米？答案：小明的身高增加了6厘米。解題思路：設(shè)小明原來(lái)的年齡為x歲，身高為2x厘米。年齡增加3歲后，年齡為x+3歲，根據(jù)正比例關(guān)系，身高應(yīng)為2(x+3)厘米。所以身高增加2(x+3)-2x=6厘米。2.習(xí)題：某商品的原價(jià)與折扣后的價(jià)格之比是5:2，如果折扣為20%，求原價(jià)。答案：商品的原價(jià)為125元。解題思路：設(shè)原價(jià)為5x元，折扣后價(jià)格為2x元。根據(jù)題意，2x=5x×80%，解得x=125元，所以原價(jià)為5x=125元。3.習(xí)題：一輛汽車(chē)以60公里/小時(shí)的速度行駛，行駛2小時(shí)后，因故障停車(chē)修理了1小時(shí)，之后重新啟動(dòng)以80公里/小時(shí)的速度繼續(xù)行駛。求汽車(chē)總共行駛了多少公里？答案：汽車(chē)總共行駛了380公里。解題思路：前2小時(shí)行駛的距離為60×2=120公里，修理后的行駛時(shí)間為1小時(shí)，速度為80公里/小時(shí)，所以行駛距離為80×1=80公里?？偣残旭偩嚯x為120+80=380公里。4.習(xí)題：某藥劑的濃度與它的療效成正比，濃度為20%時(shí)，療效為80%。如果提高濃度到40%，求新的療效。答案：新的療效為160%。解題思路：設(shè)療效為y%，濃度為x%，根據(jù)題意有20%×80%=k，其中k為比例常數(shù)。所以當(dāng)濃度為40%時(shí)，療效為40%×y%=20%×80%×(40/20)，解得y=160%。5.習(xí)題：一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的比是2:1，如果長(zhǎng)方形的寬為10厘米，求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)。答案：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為20厘米。解題思路：設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為2x厘米，寬為x厘米。根據(jù)題意，x=10厘米，所以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為2×10=20厘米。6.習(xí)題：某班級(jí)男生與女生的比例是3:2，如果增加5名女生，男生與女生的比例變?yōu)?:3，求原來(lái)班級(jí)中男生的數(shù)量。答案：原來(lái)班級(jí)中男生有15人。解題思路：設(shè)原來(lái)班級(jí)中男生為3x人，女生為2x人。增加5名女生后，男生為3x人，女生為2x+5人。根據(jù)題意有3x/(2x+5)=3/3，解得x=5，所以原來(lái)班級(jí)中男生有3×5=15人。7.習(xí)題：一個(gè)工廠的產(chǎn)量與工人數(shù)的比值是2:1，如果每增加一名工人，產(chǎn)量增加10件，求工廠原來(lái)的工人數(shù)。答案：工廠原來(lái)的工人數(shù)為10人。解題思路：設(shè)工廠原來(lái)的工人數(shù)為x人，產(chǎn)量為2x件。每增加一名工人，產(chǎn)量增加10件，所以新的產(chǎn)量為2x+10件，新的工人數(shù)為x+1人。根據(jù)題意有(2x+10)/(x+1)=2，解得x=9，所以工廠原來(lái)的工人數(shù)為10人。8.習(xí)題：某商品的售價(jià)與成本價(jià)的比值是3:2，如果售價(jià)提高10%，求新的利潤(rùn)率。答案：新的利潤(rùn)率為25%。解題思路：設(shè)商品的成本價(jià)為2x元，售價(jià)為3x元。售價(jià)提高10%后，新的售價(jià)為3x×110%=3.3x元。利潤(rùn)為售價(jià)減去成本價(jià)，所以原來(lái)的利潤(rùn)為3x-2x=x元。新的利潤(rùn)為3.3x-2x=0.3x元。利潤(rùn)率為新利潤(rùn)除以新成本價(jià)，即0.3x/2x=30%=25%。其他相關(guān)知識(shí)及習(xí)題：一、比例的性質(zhì)1.習(xí)題：已知兩個(gè)數(shù)的和為12，它們的比值為3:4，求這兩個(gè)數(shù)。答案：第一個(gè)數(shù)為6，第二個(gè)數(shù)為12。解題思路：設(shè)兩個(gè)數(shù)分別為3x和4x，根據(jù)題意有3x+4x=12，解得x=2，所以第一個(gè)數(shù)為3x=6，第二個(gè)數(shù)為4x=8。2.習(xí)題：一個(gè)班級(jí)中，男生與女生的比例是5:7，如果增加5名男生，男生的比例變?yōu)?:6，求原來(lái)班級(jí)中男生的數(shù)量。答案：原來(lái)班級(jí)中男生有25人。解題思路：設(shè)原來(lái)班級(jí)中男生為5x人，女生為7x人，增加5名男生后，男生為5x+5人，女生為7x人。根據(jù)題意有(5x+5)/7x=5/6，解得x=5，所以原來(lái)班級(jí)中男生有5×5=25人。二、函數(shù)的性質(zhì)1.習(xí)題：已知函數(shù)\(f(x)=ax^2+bx+c\)，其中\(zhòng)(a\neq0\)，且\(f(1)=4\)，\(f(2)=8\)，求\(f(x)\)的表達(dá)式。答案：\(f(x)=2x^2+2x+2\)。解題思路：根據(jù)題意，列出方程組\(\begin{cases}a+b+c=4\\4a+2b+c=8\end{cases}\)，解得\(a=2\)，\(b=2\)，\(c=2\)，所以\(f(x)=2x^2+2x+2\)。2.習(xí)題：已知函數(shù)\(g(x)=kx+m\)，其中\(zhòng)(k\neq0\)，且\(g(2)=6\)，\(g(3)=10\)，求\(g(x)\)的表達(dá)式。答案：\(g(x)=2x+2\)。解題思路：根據(jù)題意，列出方程組\(\begin{cases}2k+m=6\\3k+m=10\end{cases}\)，解得\(k=2\)，\(m=2\)，所以\(g(x)=2x+2\)。三、百分比的應(yīng)用1.習(xí)題：一件商品打8折后，售價(jià)為120元，求原價(jià)。答案：原價(jià)為150元。解題思路：打8折即打0.8折，所以原價(jià)乘以0.8等于120元，即原價(jià)=120/0.8=150元。2.習(xí)題：一個(gè)班級(jí)有40名學(xué)生，其中75%的學(xué)生參加了數(shù)學(xué)競(jìng)賽，求參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的學(xué)生人數(shù)。答案：參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的學(xué)生人數(shù)為30人。解題思路：75%的學(xué)生參加了數(shù)學(xué)競(jìng)賽，即75%×40=30人。四、相似三角形的性質(zhì)1.習(xí)題：已知兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)之比為3:4，求這兩個(gè)三角形的面積比。答案：面積比為9:16。解題思路：相似三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)比的平方，即(3:4)^2=9:16。2.習(xí)題：兩個(gè)三角形的相似比為2:3，求這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比。答案：周長(zhǎng)比為2:3。解題思路