排列數(shù)高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修三

排列數(shù)（第一課時(shí)）

我們不妨先從一些特殊的問(wèn)題開始探究.請(qǐng)看問(wèn)題1問(wèn)題1：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，另1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？第1步：確定參加上午活動(dòng)的同學(xué)，從3人中任選1名，有3種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得N=3×2=6種.一、公式的引入上午下午3種第1位第2位3種2種假定有排好順序的2個(gè)空位，代表上午和下午第2步：確定參加下午活動(dòng)的同學(xué)，當(dāng)參加上午活動(dòng)的同學(xué)確定后，參加下午活動(dòng)的同學(xué)只能從剩下的2人中去選，有2種選法.2種一、公式的引入問(wèn)題2：從1，2，3，4這4個(gè)數(shù)字中，每次取出3個(gè)排成一個(gè)三位數(shù)，共可得到多少個(gè)不同的三位數(shù)？解:第1步：確定百位數(shù)，共有4種選法;

第2步:確定十位數(shù)，共有3種選法

第3步：確定個(gè)位數(shù)，共有2種選法

4種百位十位個(gè)位第1位第2位第3位4種3種2種假定有排好順序的3個(gè)空位,代表百位、十位、個(gè)位3種2種問(wèn)題3：以上涉及到的這些具體問(wèn)題有什么共同特征？一、公式的引入從3個(gè)不同的元素中任取2個(gè)元素的排列總數(shù)為6.從4個(gè)不同的元素中任取3個(gè)元素的排列總數(shù)為24.

排列數(shù)定義：排列數(shù)定義和表示：我們把從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示.符號(hào)中的A是英文arrangement(排列)的第一個(gè)字母追問(wèn)：排列數(shù)與排列的區(qū)別？一、公式的引入排列數(shù)是所有排列的個(gè)數(shù)，它是一個(gè)數(shù).排列：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，

并按照一定的順序排成一列，它不是數(shù).問(wèn)題4：一般地，從n個(gè)不同的元素中任取m個(gè)（m≤n）不同元素的排列數(shù)是多少呢？二、公式的推導(dǎo)2.從3個(gè)不同的元素中任取2個(gè)元素去填空，一個(gè)空位填上一個(gè)元素，同理：3.每一種填法就得到一個(gè)排列；第1位第2位

1.假定有排好順序的2個(gè)空位4.

反之，任何一種排列總可以由這種填法得到.因此，所有不同填法的總數(shù)就是排列數(shù)從特殊情況開始研究，請(qǐng)結(jié)合2個(gè)具體實(shí)例說(shuō)明你的研究思路和結(jié)果.問(wèn)題1：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，另1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？推廣二、公式的推導(dǎo)第1位第2位3種2種第1位第2位

1.假定有排好順序的2個(gè)空位問(wèn)題5：如何從兩個(gè)特殊的排列數(shù)推廣到？第1位第2位

...第1位

第2位第3位

？

二、公式的推導(dǎo)三、公式的辨析

問(wèn)題6：排列數(shù)公式有什么特點(diǎn)？（1）觀察公式的右側(cè)，共有幾個(gè)因數(shù)？各因數(shù)大小有什么規(guī)律？（2）比較n和m的大小關(guān)系，并說(shuō)明公式右邊的最后一個(gè)因數(shù)有什么特點(diǎn)？排列數(shù)公式的特點(diǎn)：1.公式中右側(cè)是m個(gè)連續(xù)正整數(shù)的連乘積；2.連乘積中最大因數(shù)為n，后面依次減1，最小因數(shù)是(n－m＋1).把n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列.全排列數(shù)為:排列數(shù)公式：正整數(shù)1到n的連乘積1×2×···×n稱為n的階乘用

表示,即m個(gè)數(shù)例如：三、公式的辨析3.全排列：4.階乘：四、公式的應(yīng)用解：

例3計(jì)算：什么關(guān)系？問(wèn)題7：由例3可以看到，觀察這兩個(gè)結(jié)果，從中你發(fā)現(xiàn)它們的共性了嗎？證明：排列數(shù)公式的連乘形式排列數(shù)公式的階乘形式四、公式的應(yīng)用能否將它進(jìn)行推廣?四、公式的應(yīng)用追問(wèn)：能否以現(xiàn)實(shí)生活為背景，以例3的或或?yàn)樗芯繂?wèn)題的方法數(shù)，編幾道應(yīng)用題？（分4個(gè)小組討論，每組一個(gè)代表發(fā)言）（1）從7

個(gè)同學(xué)中任選3個(gè)人站成一排拍照，有多少種不同的排法？（）（2）一個(gè)火車站有7股岔道，如果每股道只能停放1列火車，現(xiàn)要停放3列不同的火車，共有多少種不同停放方法？（）（3）7個(gè)同學(xué)排成一列，其中甲乙丙丁4人從矮到高順序不變，有多少種不同排法？（）（4）從7個(gè)同學(xué)中選出3個(gè)人排在第一排，剩下4個(gè)人排在第二排，有多少種不同的排法？

（）以數(shù)字為背景，編一道應(yīng)用題，請(qǐng)看例4例4

用0~9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？分析：在0~9這10個(gè)數(shù)字中，因?yàn)?不能在百位上，而其他9個(gè)數(shù)字可以在任意數(shù)位上，因此0是一個(gè)特殊的元素.一般地，我們可以從特殊元素的位置入手來(lái)考慮問(wèn)題.四、公式的應(yīng)用追問(wèn)：（1）這是不是一個(gè)排列問(wèn)題?解題思路：是②“0是否出現(xiàn)及出現(xiàn)的位置”③“用從10個(gè)數(shù)中取出3個(gè)數(shù)的排列數(shù)減去其中百位是0的排列數(shù)”①“百位數(shù)字不能是0”例4

用0~9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解法1：由于三位數(shù)的百位上的數(shù)字不能是0，所以可以分兩步完成：

第2步，確定十位和個(gè)位上的數(shù)字，可以從剩下的9個(gè)數(shù)字中取出2個(gè)，有種取法.百位十位個(gè)位

第1步，確定百位上的數(shù)字，可以從1~9這9個(gè)數(shù)字中取出1個(gè)，有種取法；

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為:四、公式的應(yīng)用解法2：符合條件的三位數(shù)可以分成三類：百位十位個(gè)位0百位十位個(gè)位0百位十位個(gè)位第3類,十位上的數(shù)字是0的三位數(shù),可以從剩下的9個(gè)數(shù)字中取出2個(gè)放在百位和個(gè)位,有種取法.第2類,個(gè)位上的數(shù)字是0的三位數(shù),可以從剩下的9個(gè)數(shù)字中取出2個(gè)放在百位和十位,有種取法；第1類,每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù),可以從1~9這9個(gè)數(shù)字中取出3個(gè),有種取法；根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，所求三位數(shù)的個(gè)數(shù)為例4

用0~9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？四、公式的應(yīng)用解法3:從0~9這10個(gè)數(shù)字中選取3個(gè)的排列數(shù)為即所求三位數(shù)的個(gè)數(shù)為它們的差就是用這10個(gè)數(shù)組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)其中0在百位上的排列數(shù)為例4

用0~9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？四、公式的應(yīng)用四、公式的應(yīng)用追問(wèn)：根據(jù)例4，你能歸納出求排列問(wèn)題的一般步驟嗎？2.根據(jù)計(jì)數(shù)原理給出用排列數(shù)符號(hào)表示的運(yùn)算式子；1.判斷排列問(wèn)題;3.利用排列數(shù)公式求出結(jié)果.例4

用0~9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？帶有限制條件的排列問(wèn)題：“特殊”優(yōu)先原則直接法間接法位置分析法元素分析法以位置為主，優(yōu)先考慮特殊位置以元素為主，優(yōu)先考慮特殊元素先不考慮限制條件，計(jì)算出來(lái)所有排列數(shù)，再?gòu)闹袦p去全部不符合條件的排列數(shù)，從而得出符合條件的排列數(shù)方法歸納四、公式的應(yīng)用追問(wèn)：根據(jù)例4，你能總結(jié)排列問(wèn)題的一般方法嗎？例4

用0~9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？四、公式的應(yīng)用(1)個(gè)位是0的有

個(gè)；變式1:用0~9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)且是偶數(shù)?解法一：元素分析法，考慮特殊元素0，可以分為三類：00(1)0在個(gè)位的有個(gè)；(2)0在十位的有個(gè)；(3)沒(méi)有0的有個(gè).∴共有解法二：位置分析法，先考慮個(gè)位，可以分為兩類：(2)個(gè)位不是0的有

個(gè)；

∴共有

四、公式的應(yīng)用變式2:用0~9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)且是奇數(shù)?解法一：元素分析法，考慮特殊元素0，可以分為兩類：(1)0在十位的有

個(gè)；(2)沒(méi)有0的有個(gè).∴共有0解法二：位置分析法：先考慮個(gè)位

五、課堂小結(jié)2.排列數(shù)公式