2024年高考指導(dǎo)數(shù)學(xué)(人教A版理科第一輪復(fù)習(xí))解答題專項(xiàng)5　第3課時(shí)　圓錐曲線中的存在性(或證明)問題

第3課時(shí)圓錐曲線中的存在性(或證明)問題1.(2022河南濮陽一模)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e=32,且圓(1)求橢圓C的方程;(2)若直線l的斜率為12,且直線l與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn),P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為E,A(-2,1)是橢圓C上一點(diǎn),直線AE與AQ的斜率分別為kAE,kAQ,證明:kAE·kAQ≤02.(2022陜西咸陽一模)如圖,已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),A1,A2分別是長軸的左、右兩個(gè)端點(diǎn),F2是右焦點(diǎn)(1)求橢圓C的方程.(2)若直線x=4上有兩個(gè)點(diǎn)M,N,且MF2·①求△MNF2面積的最小值;②連接MA1交橢圓C于另一點(diǎn)P(不同于點(diǎn)A1),證明:P,A2,N三點(diǎn)共線.3.如圖,A,B,M,N為拋物線y2=2x上四個(gè)不同的點(diǎn),直線AB與直線MN相交于點(diǎn)(1,0),直線AN過點(diǎn)(2,0).(1)記A,B的縱坐標(biāo)分別為yA,yB,求yA·yB的值;(2)記直線AN,BM的斜率分別為k1,k2,是否存在實(shí)數(shù)λ,使得k2=λk1?若存在,求出λ的值;若不存在,說明理由.4.給定橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),稱圓心在原點(diǎn)O,半徑為a2+b2的圓是橢圓C的“衛(wèi)星圓”.若橢圓C(1)求橢圓C的方程和其“衛(wèi)星圓”方程;(2)點(diǎn)P是橢圓C的“衛(wèi)星圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P的直線l1,l2與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn),且l1,l2分別交“衛(wèi)星圓”于點(diǎn)M,N.試探究:|MN|的長是否為定值?若為定值,寫出證明過程;若不是,說明理由.答案：1.(1)解由題可知b解得a∴橢圓C的方程為x28+(2)證明設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),E(-x1,-y1),直線l:y=12x+t,將y=12x+t代入橢圓方程得x2+2tx+2t2-4Δ=4t2-4(2t2-4)>0,即-2<t<2,x1+x2=-2t,x1x2=2t2-4,則kAE+kAQ=y又y1=12x1+t,y2=12x2∴(2-x1)(y2-1)-(2+x2)(y1+1)=2(y2-y1)-(x1y2+x2y1)+x1-x2-4=x2-x1-(x1x2+tx1+tx2)+x1-x2-4=-x1x2-t(x1+x2)-4=-(2t2-4)-t(-2t)-4=0,即kAE+kAQ=0,∴kAE=-kAQ.于是kAE·kAQ=-kAQ22.(1)解將點(diǎn)(0,3)代入橢圓方程,得b=3,由e=1-(ba)

∴橢圓C的方程為x24+(2)①解設(shè)M(4,yM),N(4,yN),由于F2(1,0),因此MF2=(-3,-yM),NF2=(-3,∵M(jìn)F2·NF2=0,∴yS△=1=1≥1=12當(dāng)且僅當(dāng)|yM|=|yN|,且yMyN+9=0,即yM=3,yN=-3時(shí),等號(hào)成立.故△MNF2面積的最小值為9.②證明∵A1(-2,0),∴直線A1M的方程為y=yM6(x+由y=yM6(x+2),x24+y23=1,得(27+設(shè)P(x1,y1),∴x1+(-2)=-4yM227+yM2代入直線A1M的方程得y1=18y∴P54-2y∵A2(2,0),∴直線PA2的斜率為kPA直線NA2的斜率為k∵yMyN+9=0,kNA2故P,A2,N三點(diǎn)共線.3.解(1)設(shè)直線AB的方程為x=my+1,代入y2=2x,得y2-2my-2=0,Δ=4m2+8>0,所以yA·yB=-2.(2)設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(xM,yM),(xN,yN),點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)分別為xA,xB.由(1)同理可得yM·yN=-2,設(shè)直線AN的方程為x=ny+2,代入y2=2x,得y2-2ny-4=0,Δ=4n2+16>0,所以yA·yN=-4.又k1=yN同理得k2=2y所以λ=k2k所以存在實(shí)數(shù)λ=2,使得k2=2k1.4.解(1)由題知c=2,4a2+2所以橢圓的方程為x28+y24=1,其“衛(wèi)星圓”的方程為x(2)|MN|的長為定值.證明如下:①若直線l1,l2中有一條直線的斜率不存在,不妨設(shè)直線l1的斜率不存在,因?yàn)橹本€l1與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn),所以直線l1的方程為x=22或x=-22,當(dāng)直線l1的方程為x=22時(shí),l1與“衛(wèi)星圓”交于點(diǎn)(22,2)和(22,-2),因?yàn)閎=2,過點(diǎn)(22,2)或(22,-2)且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線分別是y=2或y=-2,即直線l2的方程為y=2或y=-2,所以l1⊥l2,所以線段MN應(yīng)為“衛(wèi)星圓”的直徑,所以|MN|=43②若直線l1,l2的斜率都存在,設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),則x02設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P(x0,y0)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為y=t(x-x0)+y0,聯(lián)立y整理得(1+2t2)x2+4t(y0-tx0)x+2(y0