新教材2024版高中數(shù)學(xué)第六章概率3離散型隨機(jī)變量的均值與方差3.1離散型隨機(jī)變量的均值學(xué)生用書北師大版選擇性必修第一冊(cè)

3.1離散型隨機(jī)變量的均值[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的均值(1)定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱EX＝________________________為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡(jiǎn)稱期望)．(2)特征：均值EX刻畫的是X取值的“中心位置”，反映了離散型隨機(jī)變量X取值的________．狀元隨筆1.均值是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均數(shù)．2．離散型隨機(jī)變量的均值EX是一個(gè)數(shù)值，是隨機(jī)變量X本身固有的一個(gè)數(shù)字特征，它不具有隨機(jī)性，反映的是隨機(jī)變量取值的平均水平．3．由離散型隨機(jī)變量的均值的定義可知，它與離散型隨機(jī)變量有相同的單位．要點(diǎn)二兩點(diǎn)分布的均值若X聽(tīng)從參數(shù)為P的兩點(diǎn)分布，則EX＝P.[基礎(chǔ)自測(cè)]1．思索辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)隨機(jī)變量X的均值EX是一個(gè)變量，它隨樣本的變更而變更．()(2)隨機(jī)變量的均值相同，則兩個(gè)分布也確定相同．()(3)常數(shù)的數(shù)學(xué)期望就是這個(gè)常數(shù)本身．()(4)若X聽(tīng)從兩點(diǎn)分布，則EX＝np.()2．已知隨機(jī)變量ξ滿意P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝0)＝0.7，則Eξ＝()A．0.3B．0.6C．0.7D．13．隨機(jī)拋擲一枚骰子，則所得骰子點(diǎn)數(shù)ξ的均值是()A．0.6B．1C．3.5D．24．已知某一隨機(jī)變量X的分布列如下表：X3b8P0.20.5a且EX＝6，則a＝________，b＝________．題型一利用分布列的性質(zhì)求均值例1設(shè)ξ是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列如下表，試求Eξξ－101P11－2qq2方法歸納依據(jù)分布列的性質(zhì)求參數(shù)，再由均值的定義求解．跟蹤訓(xùn)練1已知隨機(jī)變量X的分布列如表：X－2－1012P111m1求EX.題型二求離散型隨機(jī)變量的均值例2一個(gè)盒中裝有9張各寫有一個(gè)數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1，3張卡片上的數(shù)字是2，2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片．(1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率；(2)X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．(注：若三個(gè)數(shù)a，b，c滿意a≤b≤c，則稱b為這三個(gè)數(shù)的中位數(shù))方法歸納求離散型隨機(jī)變量X的均值的步驟：(1)理解X的實(shí)際意義，并寫出X全部可能的取值；(2)求出X取每個(gè)值時(shí)的概率；(3)寫出X的分布列(有時(shí)也可省略)；(4)利用定義公式EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn求出均值其中第1、2步是解答此類題目的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練2在一場(chǎng)消遣晚會(huì)上，有5名民間歌手(1至5號(hào))登臺(tái)演唱，由現(xiàn)場(chǎng)數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾必需獨(dú)立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號(hào)歌手的歌迷，他必選1號(hào)，不選2號(hào)，另在3至5號(hào)中隨機(jī)選2名．觀眾乙和丙對(duì)5名歌手的演唱沒(méi)有偏愛(ài)，因此在1至5號(hào)中隨機(jī)選3名歌手．(1)求觀眾甲選3號(hào)歌手且觀眾乙未選3號(hào)歌手的概率；(2)X表示3號(hào)歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．題型三實(shí)際應(yīng)用中的決策問(wèn)題例3某柑橘基地因冰雪災(zāi)難，使得果林嚴(yán)峻受損，為此有關(guān)專家提出兩種挽救果林的方案，每種方案都需分兩年實(shí)施．若實(shí)施方案一，預(yù)料當(dāng)年可以使柑橘產(chǎn)量復(fù)原到災(zāi)前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分別是0.3、0.3、0.4；其次年可以使柑橘產(chǎn)量為上一年產(chǎn)量的1.25倍、1.0倍的概率分別是0.5、0.5.若實(shí)施方案二，預(yù)料當(dāng)年可以使柑橘產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分別是0.2、0.3、0.5；其次年可以使柑橘產(chǎn)量為上一年產(chǎn)量的1.2倍、1.0倍的概率分別是0.4、0.6.實(shí)施每種方案時(shí)，其次年與第一年相互獨(dú)立．記ξi(i＝1，2)表示方案i實(shí)施兩年后柑橘產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量的倍數(shù)．(1)寫出ξ1，ξ2的分布列；(2)實(shí)施哪種方案，兩年后柑橘產(chǎn)量超過(guò)災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大？(3)不管哪種方案，假照實(shí)施兩年后柑橘產(chǎn)量達(dá)不到災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)料可帶來(lái)效益10萬(wàn)元；兩年后柑橘產(chǎn)量恰好達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)料可帶來(lái)效益15萬(wàn)元；兩年后柑橘產(chǎn)量超過(guò)災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)料可帶來(lái)效益20萬(wàn)元．問(wèn)：實(shí)施哪種方案所帶來(lái)的平均效益更大？方法歸納解決實(shí)際問(wèn)題的三個(gè)步驟(1)審題，確定實(shí)際問(wèn)題是哪一種概率模型，可能用到的事務(wù)類型，所用的公式有哪些．(2)確定隨機(jī)變量的分布列，計(jì)算隨機(jī)變量的均值．(3)比照實(shí)際意義，回答概率、均值等所表示的結(jié)論．跟蹤訓(xùn)練3某聯(lián)歡晚會(huì)實(shí)行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案，方案甲的中獎(jiǎng)率為23，中獎(jiǎng)可以獲得2分；方案乙的中獎(jiǎng)率為2(1)若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng)，小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng)，記他們的累計(jì)得分為X，求X≤3的概率；(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，問(wèn)：他們選擇何種方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大？易錯(cuò)辨析求均值時(shí)因求錯(cuò)分布列致誤例4一射手對(duì)靶射擊，直到第一次命中為止，每次命中的概率為0.6，現(xiàn)有4顆子彈，則剩余子彈數(shù)目X的期望為_(kāi)_______．解析：X的可能取值為3，2，1，0.P(X＝3)＝0.6P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24P(X＝1)＝0.42×0.6＝0.096P(X＝0)＝0.43＝0.064所以EX＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.答案：2.376【易錯(cuò)警示】易錯(cuò)緣由糾錯(cuò)心得解答本題易得期望值2.28或2.4的錯(cuò)誤結(jié)論，錯(cuò)因是審題不細(xì)，導(dǎo)致在解題時(shí)誤認(rèn)為是求“命中子彈數(shù)目X的期望”而不是剩余子彈數(shù)目的期望或根本沒(méi)有留意到條件“直到第一次命中為止”合理分析題設(shè)信息可以避開(kāi)因?qū)忣}不清帶來(lái)的不必要的失誤．如本例中的條件及待求問(wèn)題都須要細(xì)致研讀．[課堂特殊鐘]1．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列P(x＝k)＝14，k＝1，2，3，4，則EXA．2.5B．3.5C．0.25D．22．已知隨機(jī)變量X的分布如表所示，則EX等于()X－101P0.50.2pA.0B．－0.2C．－1D．－0.33．若離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01Paa則X的數(shù)學(xué)期望EX＝()A．2B．2或1C．124．同學(xué)用身體語(yǔ)言把成語(yǔ)的意思傳遞給本組其他同學(xué)．若小組內(nèi)同學(xué)甲猜對(duì)成語(yǔ)的概率是0.4，同學(xué)乙猜對(duì)成語(yǔ)的概率是0.5，且規(guī)定猜對(duì)得1分，猜不對(duì)得0分，則這兩個(gè)同學(xué)各猜1次，得分之和X(單位：分)的數(shù)學(xué)期望為_(kāi)_______．5．某探討機(jī)構(gòu)打算實(shí)行一次數(shù)學(xué)新課程研討會(huì)，共邀請(qǐng)50名一線老師參與，運(yùn)用不同版本教材的老師人數(shù)如表所示：版本人教A版人教B版蘇教版北師大版人數(shù)2015510若隨機(jī)選出2名運(yùn)用人教版的老師發(fā)言，設(shè)運(yùn)用人教A版的老師人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．3．1離散型隨機(jī)變量的均值新知初探·課前預(yù)習(xí)要點(diǎn)一(1)x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn(2)平均水平[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(1)×(2)×(3)√(4)×2．解析：因?yàn)殡S機(jī)變量ξ聽(tīng)從兩點(diǎn)分布，且P(ξ＝1)＝0.3，所以Eξ＝0.3.故選A.答案：A3．解析：拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)ξ的分布列為ξ123456P111111所以Eξ＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×答案：C4．解析：由0.2＋0.5＋a＝1，得a＝0.3.又由EX＝3×0.2＋b×0.5＋8×a＝6，得b＝6.答案：0.36題型探究·課堂解透例1解析：因?yàn)殡S機(jī)變量的概率非負(fù)且變量取遍全部可能值時(shí)相應(yīng)的概率之和等于1，所以1解得q＝1－22.于是，ξξ－101P12－13所以Eξ＝(－1)×12＋0×(2－1)＋1×32-跟蹤訓(xùn)練1解析：由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，得14+13+15＋m∴EX＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×例2解析：(1)由古典概型的概率計(jì)算公式知，所求概率P＝C43+(2)X的全部可能取值為1，2，3，且由題意知P(X＝1)＝C42C51+C43C93＝1742，P(X故X的分布列為X123P17431所以EX＝1×1742＋2×4384＋3×112跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)設(shè)A表示事務(wù)“觀眾甲選3號(hào)歌手”，B表示事務(wù)“觀眾乙選3號(hào)歌手”，則P(A)＝C21C32＝23，P(∵事務(wù)A與B相互獨(dú)立，∴觀眾甲選3號(hào)歌手且觀眾乙未選3號(hào)歌手的概率為P(AB)＝P(A)·P(B)＝P(A)·[1－P(B)]＝23×25＝415(或P(AB(2)設(shè)C表示事務(wù)“觀眾丙選3號(hào)歌手”，則P(C)＝C42C∵X的全部可能取值為0，1，2，3，且取這些值的概率分別為P(X＝0)＝P(ABC)＝13P(X＝1)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝23×2P(X＝2)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝23×35×P(X＝3)＝P(ABC)＝23×35×∴X的分布列為X0123P44116∴X的數(shù)學(xué)期望EX＝0×475＋1×415＋2×1125＋3×6例3解析：(1)ξ1全部可能的取值為0.8，0.9，1.0，1.125，1.25；ξ2全部可能的取值為0.8，0.96，1.0，1.2，1.44.ξ1，ξ2的分布列分別為ξ10.80.91.01.1251.25P0.20.150.350.150.15ξ20.80.961.01.21.44P0.30.20.180.240.08(2)令事務(wù)A、B分別表示方案一、方案二兩年后柑橘產(chǎn)量超過(guò)災(zāi)前產(chǎn)量，由(1)可得，P(A)＝0.15＋0.15＝0.3，P(B)＝0.24＋0.08＝0.32.可見(jiàn)，方案二兩年后柑橘產(chǎn)量超過(guò)災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大．(3)令ηi(i＝1，2)表示方案i所帶來(lái)的效益，由題意及(1)易得η1，η2的分布列分別為η1101520P0.350.350.3η2101520P0.50.180.32所以Eη1＝10×0.35＋15×0.35＋20×0.3＝14.75(萬(wàn)元)，Eη2＝10×0.5＋15×0.18＋20×0.32＝14.1(萬(wàn)元)．可見(jiàn)，方案一所帶來(lái)的平均效益更大．跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)由已知得，小明中獎(jiǎng)的概率為23，小紅中獎(jiǎng)的概率為2記“這兩人的累計(jì)得分X≤3”為事務(wù)A，則事務(wù)A包含“X＝0”“X＝2”“X＝3”三個(gè)兩兩互斥的事務(wù)，因?yàn)镻(X＝0)＝1-23×1-25＝15，P(X＝2)＝23×所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1115即這兩人的累計(jì)得分X≤3的概率為1115(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計(jì)得分為X1，都選擇方案乙所獲得的累計(jì)得分為X2，則X1，X2的分布列如下．X1024P144X2036P9124所以EX1＝0×19＋2×49＋4×49＝83，EX2＝0×925＋3×12因?yàn)镋X1>EX2，所以他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大．[課堂特殊鐘]1．解析：EX＝1×14＋2×14＋3×14＋答案：A2．解析：由題可得0.5＋0.2＋p＝1，解得p＝0.3，則由離散型隨機(jī)變量的均值公式得EX＝－1×0.5＋0×0.2＋0.3＝－0.2.答案：B3．解析：因?yàn)榉植剂兄懈怕屎蜑?，所以a2+a22＝1，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2(舍去)或a答案：C4．解析：依題意得，得分之和X的可能取值分別是0，1，2，