適用于新教材強(qiáng)基版2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案第十章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布10.2排列與組合新人教A版

§10.2排列與組合考試要求1.理解排列、組合的概念.2.能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.3.能利用排列、組合解決簡潔的實(shí)際問題．學(xué)問梳理1．排列與組合的概念名稱定義排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素依據(jù)確定的依次排成一列組合作為一組2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的全部不同排列的個(gè)數(shù)，用符號(hào)Aeq\o\al(m,n)表示．(2)組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的全部不同組合的個(gè)數(shù)，用符號(hào)Ceq\o\al(m,n)表示．3．排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)(n，m∈N*，且m≤n)．(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(n！,m！n－m！)(n，m∈N*，且m≤n)．特殊地，Ceq\o\al(0,n)＝1性質(zhì)(1)0?。?；Aeq\o\al(n,n)＝n！.(2)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)常用結(jié)論1．排列數(shù)、組合數(shù)常用公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝(n－m＋1)Aeq\o\al(m－1,n).(2)Aeq\o\al(m,n)＝nAeq\o\al(m－1,n－1).(3)(n＋1)！－n?。絥·n！.(4)kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1).(5)Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m,n－1)＋…＋Ceq\o\al(m,m＋1)＋Ceq\o\al(m,m)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1).2．解決排列、組合問題的十種技巧(1)特殊元素優(yōu)先支配．(2)合理分類與精確分步．(3)排列、組合混合問題要先選后排．(4)相鄰問題捆綁處理．(5)不相鄰問題插空處理．(6)定序問題倍縮法處理．(7)分排問題直排處理．(8)“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部．(9)構(gòu)造模型．(10)正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化．思索辨析推斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)全部元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列．(×)(2)兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同．(√)(3)若組合式Ceq\o\al(x,n)＝Ceq\o\al(m,n)，則x＝m成立．(×)(4)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．(×)教材改編題1．Aeq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(3,7)等于()A．35B．47C．45D．57答案B解析Aeq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(3,7)＝4×3＋eq\f(7×6×5,3×2×1)＝47.2．從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中選出3名參與某項(xiàng)活動(dòng)，則男、女生都有的選法種數(shù)是()A．18B．24C．30D．36答案C解析選出的3人中有2名男同學(xué)1名女同學(xué)的方法有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,3)＝18(種)，選出的3人中有1名男同學(xué)2名女同學(xué)的方法有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,3)＝12(種)，故3名學(xué)生中男、女生都有的選法有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,3)＝30(種)．3．將4名學(xué)生分別支配到甲、乙、丙三地參與社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)地方至少支配一名學(xué)生參與，則不同的支配方案共有________種．答案36解析第一步，先從4名學(xué)生中任取兩人組成一組，與剩下2人分成三組，有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)不同的方法；其次步，將分成的三組支配到甲、乙、丙三地，則有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)不同的方法．故共有6×6＝36(種)不同的支配方案.題型一排列問題例1(1)中國國家滑雪隊(duì)將開展自由式滑雪項(xiàng)目中的空中技巧、雪上技巧、障礙追逐和U型場(chǎng)地技巧四個(gè)項(xiàng)目表演，現(xiàn)支配兩名男隊(duì)員和兩名女隊(duì)員組隊(duì)參演，參演選手每人展示其中一個(gè)不同的項(xiàng)目，雪上技巧項(xiàng)目必需由女隊(duì)員展示，則全部不同出場(chǎng)依次與項(xiàng)目展示方案種數(shù)為()A．576B．288C．144D．48答案B解析依據(jù)題意，雪上技巧項(xiàng)目必需由女隊(duì)員展示，有2種狀況，剩下3人表演其他3個(gè)項(xiàng)目，有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)狀況，而4個(gè)項(xiàng)目之間的排法有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)依次，則有2×6×24＝288(種)展示方案．(2)用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字可以組成________個(gè)無重復(fù)數(shù)字的六位奇數(shù)．答案288解析方法一從特殊位置入手(干脆法)分三步完成，第一步先填個(gè)位，有Aeq\o\al(1,3)種填法，其次步再填十萬位，有Aeq\o\al(1,4)種填法，第三步填其他位，有Aeq\o\al(4,4)種填法，故無重復(fù)數(shù)字的六位奇數(shù)共有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝288(個(gè))．方法二從特殊元素入手(干脆法)0不在兩端有Aeq\o\al(1,4)種排法，從1,3,5中任選一個(gè)排在個(gè)位有Aeq\o\al(1,3)種排法，其他各位上用剩下的元素作全排列有Aeq\o\al(4,4)種排法，故無重復(fù)數(shù)字的六位奇數(shù)共有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(4,4)＝288(個(gè))．方法三(間接法)6個(gè)數(shù)字的全排列有Aeq\o\al(6,6)種排法，0,2,4在個(gè)位上的排列數(shù)為3Aeq\o\al(5,5)，1,3,5在個(gè)位上，0在十萬位上的排列數(shù)為3Aeq\o\al(4,4)，故無重復(fù)數(shù)字的六位奇數(shù)有Aeq\o\al(6,6)－3Aeq\o\al(5,5)－3Aeq\o\al(4,4)＝288(個(gè))．思維升華對(duì)于有限制條件的排列問題，分析問題時(shí)，有位置分析法、元素分析法，在實(shí)際進(jìn)行排列時(shí)，一般接受特殊元素優(yōu)先原則，即先支配有限制條件的元素或有限制條件的位置，對(duì)于分類過多的問題可以接受間接法．跟蹤訓(xùn)練1(1)(2024·武漢模擬)源于探究外太空的渴望，航天事業(yè)在21世紀(jì)獲得了長足的發(fā)展．太空中的環(huán)境為某些科學(xué)試驗(yàn)供應(yīng)了有利條件，宇航員經(jīng)常在太空旅行中進(jìn)行科學(xué)試驗(yàn)．在某次太空旅行中，宇航員們負(fù)責(zé)的科學(xué)試驗(yàn)要經(jīng)過5道程序，其中A，B兩道程序既不能放在最前，也不能放在最終，則該試驗(yàn)不同程序的依次支配共有()A．18種B．36種C．72種D．108種答案B解析先排A，B兩道程序，其既不能放在最前，也不能放在最終，則在第2,3,4道程序選兩個(gè)放A，B，共有Aeq\o\al(2,3)種放法；再排剩余的3道程序，共有Aeq\o\al(3,3)種放法．則共有Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(3,3)＝36(種)放法．(2)8人站成前后兩排，每排4人，其中甲、乙兩人必需在前排，丙在后排，則共有________種排法．答案5760解析先排甲、乙，有Aeq\o\al(2,4)種排法，再排丙，有Aeq\o\al(1,4)種排法，其余5人有Aeq\o\al(5,5)種排法，故不同的排法共有Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(5,5)＝5760(種)．題型二組合問題例2(1)(多選)從6名男生和4名女生中選出4人去參與一項(xiàng)創(chuàng)新大賽，則下列說法正確的有()A．假如4人全部為男生，那么有30種不同的選法B．假如4人中男生、女生各有2人，那么有30種不同的選法C．假如男生中的甲和女生中的乙必需在內(nèi)，那么有28種不同的選法D．假如男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，那么有140種不同的選法答案CD解析假如4人全部為男生，選法有Ceq\o\al(4,6)＝15(種)，故A錯(cuò)誤；假如4人中男生、女生各有2人，男生的選法有Ceq\o\al(2,6)＝15(種)，女生的選法有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)，則4人中男生、女生各有2人的選法有15×6＝90(種)，B錯(cuò)誤；假如男生中的甲和女生中的乙必需在內(nèi)，在剩下的8人中再選2人即可，有Ceq\o\al(2,8)＝28(種)，故C正確；在10人中任選4人，有Ceq\o\al(4,10)＝210(種)，甲、乙都不在其中的選法有Ceq\o\al(4,8)＝70(種)，故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)的選法有210－70＝140(種)，故D正確．(2)在某場(chǎng)新聞發(fā)布會(huì)上，主持人要從5名國內(nèi)記者與4名國外記者中依次選出3名來提問，要求3人中既有國內(nèi)記者又有國外記者，且不能連續(xù)選國內(nèi)記者，則不同的選法有()A．80種B．180種C．260種D．420種答案C解析依據(jù)題意，分2種狀況探討，①選出的3人中有1名國外記者、2名國內(nèi)記者，則有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)＝80(種)選法，②選出的3人中有2名國外記者、1名國內(nèi)記者，則有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝180(種)選法，由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有80＋180＝260(種)選法．思維升華組合問題常有以下兩類題型(1)“含有”或“不含有”問題：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選?。?2)“至少”或“最多”問題：用干脆法和間接法都可以求解，通常用干脆法，分類困難時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理．跟蹤訓(xùn)練2(1)從4名男生和3名女生中選派4人去參與課外活動(dòng)，要求至少有一名女生參與，則不同的選派種數(shù)為()A．12B．24C．34D．60答案C解析由題可知，選派4人去的總的選派種數(shù)為Ceq\o\al(4,7)＝35，選派4人全部是男生的選派種數(shù)為1，所以至少有一名女生參與的不同的選派種數(shù)為35－1＝34.(2)如圖，從上往下讀(不能跳讀，即念完標(biāo)號(hào)為②的國字后只能念下一行標(biāo)號(hào)為③或④的榮字，又如標(biāo)號(hào)為⑤的校字只能接在標(biāo)號(hào)為④的榮字后念)，構(gòu)成句子“愛國榮校做市西卓越學(xué)生”的不同讀法總數(shù)為________．答案252解析構(gòu)成句子“愛國榮校做市西卓越學(xué)生”的不同讀法需10步完成(從上一個(gè)字到下一個(gè)字為一步)，其中5步是從上往左下角方向讀，余下5步是從上往右下角方向讀，故共有不同讀法Ceq\o\al(5,10)＝252(種)．題型三排列與組合的綜合問題命題點(diǎn)1相鄰、相間問題例3(多選)有3名男生，4名女生，在下列不同條件下，正確的是()A．全體站成一排，女生必需站在一起有144種排法B．全體站成一排，男生互不相鄰有1440種排法C．任選其中3人相互調(diào)整座位，其余4人座位不變，則不同的調(diào)整方案有70種D．全體站成一排，甲不站排頭，乙不站排尾有3720種排法答案BCD解析對(duì)于A，將女生看成一個(gè)整體，考慮女生之間的依次，有Aeq\o\al(4,4)種排法，再將女生的整體與3名男生在一起進(jìn)行全排列，有Aeq\o\al(4,4)種排法，故共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(4,4)＝576(種)排法，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，先排女生，將4名女生全排列，有Aeq\o\al(4,4)種排法，再支配男生，由于男生互不相鄰，可以在女生之間及首尾空出的5個(gè)空位中任選3個(gè)空位排男生，有Aeq\o\al(3,5)種排法，故共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝1440(種)排法，故B正確；對(duì)于C，任選其中3人相互調(diào)整座位，其余4人座位不變，則不同的調(diào)整方案有Ceq\o\al(3,7)×2×1＝70(種)，故C正確；對(duì)于D，若甲站在排尾，則有Aeq\o\al(6,6)種排法，若甲不站在排尾，則有Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)種排法，故共有Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)＝3720(種)排法，故D正確．命題點(diǎn)2定序問題例4有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，將7名學(xué)生排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列(不愿定相鄰)，不同的排法共有________種.答案840解析7名學(xué)生的排列共有Aeq\o\al(7,7)種，其中女生的排列共有Aeq\o\al(3,3)種，依據(jù)從左到右，女生從矮到高的排列只是其中的一種，故有eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(3,3))＝Aeq\o\al(4,7)＝840(種)不同的排法．命題點(diǎn)3分組、支配問題例5(1)(2024·岳陽模擬)中國書法歷史悠久，源遠(yuǎn)流長，書法作為一門藝術(shù)，以文字為載體，不斷地反映著和豐富著華夏民族的自然觀、宇宙觀和人生觀，談到書法藝術(shù)，就離不開漢字，漢字是書法藝術(shù)的精髓，漢字本身具有豐富的意象和可塑的規(guī)律性，使?jié)h字書寫成為一門獨(dú)特的藝術(shù)，我國書法大體可分為篆、隸、楷、行、草五種書體，如圖，以“國”字為例，現(xiàn)有5張分別寫有一種書體的臨摹紙，將其全部分給3名書法愛好者，每人至少1張，則不同的分法種數(shù)為()A．60B．90C．120D．150答案D解析滿意條件的分法可分為兩類，第一類，一人三張，另兩人各一張，符合條件的分法有Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(3,3)種，即60種，其次類，其中一人一張，另兩人各兩張，符合條件的分法有eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))Aeq\o\al(3,3)種，即90種，由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，滿意條件的不同分法種數(shù)為150.(2)中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天試驗(yàn)艙和夢(mèng)天試驗(yàn)艙．假設(shè)中國空間站要支配6名航天員開展試驗(yàn)，其中每個(gè)艙支配2人．若甲、乙兩人不被支配在同一個(gè)艙內(nèi)做試驗(yàn)，則不同的支配方案共有()A．20種 B．36種C．72種 D．84種答案C解析將6名航天員每個(gè)艙支配2人開展試驗(yàn)的全部支配方法數(shù)為Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)，其中甲、乙兩人被支配在同一個(gè)艙內(nèi)做試驗(yàn)的支配方法數(shù)為Ceq\o\al(2,2)·eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)，所以滿意條件的不同的支配方案數(shù)為Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)－Ceq\o\al(2,2)·eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝90－18＝72.思維升華求解排列、組合應(yīng)用問題的常用方法捆綁法把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)留意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對(duì)于不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中定序問題對(duì)于定序問題，可先不考慮依次限制，排列后，再除以定序元素的全排列跟蹤訓(xùn)練3(1)(多選)已知A，B，C，D，E五個(gè)人并排站在一起，則下列說法正確的有()A．若A，B不相鄰，共有72種排法B．若A不站在最左邊，B不站在最右邊，有72種排法C．若A在B右邊有60種排法D．若A，B兩人站在一起有48種排法答案ACD解析對(duì)于A，若A，B不相鄰，共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)＝72(種)排法，故A正確；對(duì)于B，若A不站在最左邊，B不站在最右邊，利用間接法有Aeq\o\al(5,5)－2Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(3,3)＝78(種)排法，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若A在B右邊有eq\f(A\o\al(5,5),A\o\al(2,2))＝60(種)排法，故C正確；對(duì)于D，若A，B兩人站在一起有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝48(種)排法，故D正確．(2)某次聯(lián)歡會(huì)要支配3個(gè)歌舞類節(jié)目，2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出依次，同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A．72B．120C．144D．168答案B解析先支配小品節(jié)目和相聲節(jié)目，然后讓歌舞節(jié)目去插空．支配小品節(jié)目和相聲節(jié)目的依次有三種：“小品，小品，相聲”、“小品，相聲，小品”和“相聲，小品，小品”．對(duì)于第一種狀況，形式為“□小品歌舞小品□相聲□”，有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,3)＝36(種)支配方法；同理，第三種狀況也有36種支配方法；對(duì)于其次種狀況，三個(gè)節(jié)目形成4個(gè)空，其形式為“□小品□相聲□小品□”，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,4)＝48(種)支配方法，故共有36＋36＋48＝120(種)支配方法．(3)將9名高校生志愿者支配在星期五、星期六及星期日3天參與社區(qū)公益活動(dòng)，每天分別支配3人，每人參與一次，則不同的支配方案共有________種．(用數(shù)字作答)答案1680解析先選出3人，有Ceq\o\al(3,9)種選法，再從剩下的6人中選出3人，有Ceq\o\al(3,6)種選法，最終剩下的3人為一組，有Ceq\o\al(3,3)種選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理以及每Aeq\o\al(3,3)中只能算一種不同的分組方法，可知不同的支配方案共有eq\f(C\o\al(3,9)C\o\al(3,6)C\o\al(3,3),A\o\al(3,3))·Aeq\o\al(3,3)＝1680(種)．課時(shí)精練1．若Aeq\o\al(3,m)＝6Ceq\o\al(4,m)，則m等于()A．9B．8C．7D．6答案C解析因?yàn)锳eq\o\al(3,m)＝6Ceq\o\al(4,m)，所以m(m－1)(m－2)＝6×eq\f(mm－1m－2m－3,4×3×2×1)，即1＝eq\f(m－3,4)，解得m＝7.2．將5名學(xué)生支配到甲、乙兩個(gè)宿舍，每個(gè)宿舍至少支配2名學(xué)生，那么互不相同的支配方法的種數(shù)為()A．10B．20C．30D．40答案B解析將5名學(xué)生支配到甲、乙兩個(gè)宿舍，每個(gè)宿舍至少支配2名學(xué)生，那么必定是一個(gè)宿舍2名，而另一個(gè)宿舍3名，共有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝20(種)．3．(2024·新高考全國Ⅱ)甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參與文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有()A．12種B．24種C．36種D．48種答案B解析先將丙和丁捆在一起有Aeq\o\al(2,2)種排列方式，然后將其與乙、戊排列，有Aeq\o\al(3,3)種排列方式，最終將甲插入中間兩空，有Ceq\o\al(1,2)種排列方式，所以不同的排列方式共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,2)＝24(種)．4．由0,1,2,3,4,5組成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，是5的倍數(shù)的有()A．120個(gè)B．30個(gè)C．36個(gè)D．48個(gè)答案C解析因?yàn)?的倍數(shù)的特征是個(gè)位數(shù)字為5或0，所以依據(jù)個(gè)位數(shù)字分為兩類：當(dāng)個(gè)位數(shù)字為5時(shí)，首位數(shù)字從1,2,3,4中選一個(gè)，十位數(shù)字從0及余下的3個(gè)數(shù)字中選一個(gè)，所以有4×4＝16(個(gè))；當(dāng)個(gè)位數(shù)字為0時(shí)，前面兩位數(shù)字從1,2,3,4,5中選2個(gè)排列，所以有Aeq\o\al(2,5)＝5×4＝20(個(gè))，所以所求的三位數(shù)共有16＋20＝36(個(gè))．5．將標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)籃球分給三位小摯友，每位小摯友至少分到一個(gè)籃球，且標(biāo)號(hào)為1,2的兩個(gè)籃球不能分給同一個(gè)小摯友，則不同的分法種數(shù)為()A．15B．20C．30D．42答案C解析四個(gè)籃球分成三組有Ceq\o\al(2,4)種分法，三組籃球進(jìn)行全排列有Aeq\o\al(3,3)種分法，標(biāo)號(hào)為1,2的兩個(gè)籃球分給同一個(gè)小摯友有Aeq\o\al(3,3)種分法，所以有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)－Aeq\o\al(3,3)＝36－6＝30(種)分法．6．(2024·濟(jì)寧模擬)2024年7月19日，亞奧理事會(huì)宣布將于2024年9月23日至10月8日在杭州舉辦第19屆亞運(yùn)會(huì)，為了辦好這屆體育文化盛會(huì)，杭州亞運(yùn)會(huì)組委會(huì)確定進(jìn)行賽前志愿者招募，此舉得到在杭高校生的主動(dòng)參與．某高校3位男同學(xué)和2位女同學(xué)通過篩選加入志愿者服務(wù)，通過培訓(xùn)，擬支配在游泳、籃球、射擊、體操四個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行志愿者服務(wù)，這四個(gè)項(xiàng)目都有人參與，要求2位女同學(xué)擔(dān)憂排在一起，且男同學(xué)小王、女同學(xué)大雅由于專業(yè)須要必需分開，則不同的支配方法種數(shù)為()A．144B．150C．168D．192答案D解析由題可得，參與志愿者服務(wù)的項(xiàng)目人數(shù)為2,1,1,1，若沒有限制則共有Ceq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(4,4)＝240(種)支配方法；當(dāng)兩個(gè)女同學(xué)在一起時(shí)有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)支配方法；當(dāng)男同學(xué)小王、女同學(xué)大雅在一起時(shí)有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)方法，所以按題設(shè)要求不同的支配方法種數(shù)為240－24－24＝192.7.如圖，∠MON的邊OM上有四點(diǎn)A1，A2，A3，A4，ON上有三點(diǎn)B1，B2，B3，則以O(shè)，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的個(gè)數(shù)為()A．30B．42C．54D．56答案B解析先從這8個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，有Ceq\o\al(3,8)種取法，再減去三點(diǎn)共線的情形即可，即三角形的個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(3,8)－Ceq\o\al(3,5)－Ceq\o\al(3,4)＝42.8．(多選)現(xiàn)有4個(gè)編號(hào)為1,2,3,4的不同的球和4個(gè)編號(hào)為1,2,3,4的不同的盒子，把球全部放入盒子內(nèi)．則下列說法正確的是()A．恰有1個(gè)盒子不放球，共有72種放法B．每個(gè)盒子內(nèi)只放一個(gè)球，且球的編號(hào)和盒子的編號(hào)不同的放法有9種C．有2個(gè)盒子內(nèi)不放球，另外兩個(gè)盒子內(nèi)各放2個(gè)球的放法有36種D．恰有2個(gè)盒子不放球，共有84種放法答案BCD解析對(duì)于A，恰有1個(gè)盒子不放球，先選1個(gè)空盒子，再選一個(gè)盒子放兩個(gè)球，則Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝144≠72，故A不正確；對(duì)于B，編號(hào)為1的球有Ceq\o\al(1,3)種放法，把與編號(hào)為1的球所放盒子的編號(hào)相同的球放入1號(hào)盒子或者其他兩個(gè)盒子，共有1＋Ceq\o\al(1,2)＝3(種)，即3×3＝9(種)，故B正確；對(duì)于C，首先選出兩個(gè)空盒子，再取兩個(gè)球放剩下的兩個(gè)盒子中的一個(gè)，共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)＝36(種)，故C正確；對(duì)于D，恰有2個(gè)盒子不放球，首先選出兩個(gè)空盒子，再將4個(gè)球分為3,1或2,2兩種狀況，放入盒子，共有Ceq\o\al(2,4)(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,4))＝6×14＝84(種)，故D正確．9．(2024·大同模擬)在5G，AI，MR等技術(shù)的支持下，新聞媒體推出諸多創(chuàng)新融媒產(chǎn)品，將5G技術(shù)引入新聞生產(chǎn)，有效擴(kuò)展了新聞的應(yīng)用場(chǎng)景，云采訪、云訪談、云直播等云端對(duì)話成為報(bào)道的新常態(tài)．現(xiàn)有4名新聞媒體記者接受云采訪、云訪談、云直播三種方式進(jìn)行報(bào)道，每種方式至少有一名記者接受，則不同的支配方法種數(shù)為________．答案36解析依題意將4名新聞媒體記者分成三組，共有Ceq\o\al(2,4)種方法﹐再將其進(jìn)行全排列共有Aeq\o\al(3,3)種方法﹐由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36(種)支配方法．10．某小區(qū)共有3個(gè)核酸檢測(cè)點(diǎn)同時(shí)進(jìn)行檢測(cè)，有6名志愿者被支配到這3個(gè)檢測(cè)點(diǎn)參與服務(wù)，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少須要1名“熟手”進(jìn)行檢測(cè)工作的傳授，每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)至少須要1名“熟手”，且2名“生手”不能支配到同一個(gè)檢測(cè)點(diǎn)，則不同的支配方案種數(shù)是________．答案216解析依據(jù)題意，可先把4名“熟手”分為人數(shù)為2,1,1的三組，再支配到3個(gè)檢測(cè)點(diǎn)，共有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)種分法，然后把2名“生手”支配到3個(gè)檢測(cè)點(diǎn)中的2個(gè)，有Aeq\o\al(2,3)種分法，所以共有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(2,3)＝216(種)不同的支配方案．11．(2024·蘇州模擬)陽春三月，草長鶯飛；絲絳拂堤，盡飄香玉．三個(gè)家庭的3位媽媽帶著3名女孩和2名男孩共8人踏春．在沿行一條小溪時(shí)，為了平安起見，他們排隊(duì)前進(jìn)，三位母親互不相鄰照看孩子；3名女孩相鄰且不排最前面也不排最終面；為了防止2名男孩打鬧，2人不相鄰，且不排最前面也不排最終面．則不同的排法共有()A．144種 B．216種C．288種 D．432種答案C解析第一步：先將3名母親全排列，共有Aeq\o\al(3,3)種排法；其次步：將3名女孩“捆綁”在一起，共有Aeq\o\al(3,3)種排法；第三步：將“捆綁”在一起的3名女孩作為一個(gè)元素，在第一步形成的2個(gè)空中選擇1個(gè)插入，有Aeq\o\al(1,2)種排法；第四步：首先將2名男孩之中的一人，插入第三步后相鄰的兩個(gè)媽媽中間，然后將另一個(gè)男孩插入由女孩與媽媽形成的2個(gè)空中的其中1個(gè)，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)種排法．所以不同的排法共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝288(種)．12．把座位編號(hào)為1,2,3,4,5的五張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人至少一張，至多兩張，且分得的兩張票必需是連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)為________(用數(shù)字作答)．答案96解析先將票分為符合條件的4份，由題意，4人分5張票，且每人至少一張，至多兩張，則三人每人一張，一人2張，且分得的票必需是連號(hào)，相當(dāng)于將1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)用3