高中數學學案2：高中數學人教A版2019必修 第一冊 全稱量詞與存在量詞

1.5全稱量詞與存在量詞

1.5.1全稱量詞與存在量詞

【學習目標】

課程標準學科素養(yǎng)

1.理解全稱量詞、全稱量詞命題的定義.1、邏輯推理

2.理解存在量詞、存在量詞命題的定義.2、數學抽象

3.會判斷一個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并

會判斷它們的真假.

【自主學習】

1.全稱量詞與全稱命題

全稱量詞所有的、任意一個、一切、每一個、任給

符號V

全稱命題含有_________的命題

“對"中任意一個X,有0（X）成立"，可用符號簡記為

形式

a，，

2.存在量詞與特稱命題

存在量詞存在一個、至少有一個、有一個、有些、有的

符號表示3

特稱命題含有____________的命題

“存在〃中的一個知使0（荀）成立"可用符號簡記為

形式

a，，

【小試牛刀】

判斷正誤（正確的打“J”，錯誤的打“義”）

（1）在全稱量詞命題和存在量詞命題中，量詞都可以省略.（）

（2）“三角形內角和是180°”是存在量詞命題.（）

（3）”有些三角形沒有內切圓”是存在量詞命題.（）

（4）“有些”“某個”“有的”等短語不是存在量詞.（）

⑸全稱量詞的含義是“任意性”，存在量詞的含義是“存在性”.（）

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【經典例題】

題型一全稱命題與特稱命題的辨析

例1判斷下列語句是全稱量詞命題，還是存在量詞命題.

(1)凸多邊形的外角和等于360°；

(2)有的向量方向不定；

(3)若一個四邊形是菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直.

(4)存在二次函數y=a/+6x+c與x軸無交點.

［跟蹤訓練］1將下列命題用“V”或"于'表示.

(1)實數的平方是非負數；

(2)方程。/+2才+1=0(水0)至少存在一個負根；

題型二全稱量詞命題和存在量詞命題的真假判斷

例2判斷下列全稱量詞命題的真假.

(1)對每一個無理數x,V也是無理數.

⑵末位是零的整數，可以被5整除.

(3)VxeR,有

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［跟蹤訓練］2判斷下列存在量詞命題的真假.

(1)有的集合中不含有任何元素.

⑵存在對角線不互相垂直的菱形.

(3)3^eR,滿足3f+2>0.

⑷有些整數只有兩個正因數.

題型三由含量詞的命題求參數

例3已知命題"VlWxW2,f一加eo”為真命題，求實數卯的取值范圍.

［變式］若把本例中的“V"改為“丁'，其他條件不變，求實數力的取值范圍.

［跟蹤訓練］3已知函數/'(*)=］—2x+5.

⑴是否存在實數加，使不等式/z?+f(x)>0對于任意xGR恒成立，并說明理由;

⑵若至少存在一個實數荀，使不等式kF(m)>0成立，求實數加的取值范圍.

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【當堂達標】

1.給出下列四個命題：

①『=，OX『=1；②矩形都不是梯形；③mx,yWR,V+/W1；④等腰三角形的底邊的高線、

X

中線重合.

其中全稱量詞命題是.

2.四個命題：①VxWR,*—3矛+2>0恒成立；②mxdQ,/=2；③hCR,/+1=0；④VxC

R,4l>2x—1+3/其中真命題的個數為.

3.命題“有些負數滿足不等式(l+x)(l—9x)〉0”用"于'或"V”可表述為

4.“任意一個不大于0的數的立方不大于0”用“于'或"V”符號表示為

5.若對于任意xdR,都有aV+2x+水0,則實數a的取值范圍是—

6.命題：3加/+加x+l>0恒成立是真命題，求實數力的取值范圍.

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【參考答案】

【自主學習】

全稱量詞YxRM，p{x}存在量詞3^)^M/?(%)

【小試牛刀】

⑴X(2)X(3)V(4)X(5)V

【經典例題】

例1解(1)可以改為所有的凸多邊形的外角和等于360°,故為全稱量詞命題.

(2)含有存在量詞“有的”，故是存在量詞命題.

(5)若一個四邊形是菱形，也就是所有的菱形，故為全稱量詞命題.

⑷含有量詞“存在”，是存在量詞命題.

［跟蹤訓練］1(l)VxWR,V20.

(2)3Ab<0,axj+2m+1=0(a<0).

例2［解］(1)因為m是無理數，但(啦尸=2是有理數，所以全稱量詞命題“對每一個無理

數％V也是無理數”是假命題.

(2)因為每一個末位是零的整數，都能被5整除，所以全稱量詞命題“末位是零的整數，可以

被5整除”是真命題.

(3)當x=0時，不滿足卜+1|>1,所以“VxGR,有為假命題.

［跟蹤訓練］2(1)由于空集中不含有任何元素.因此“有的集合中不含有任何元素”為真命

題.

(2)由于所有菱形的對角線都互相垂直.所以不存在對角線不垂直的菱形.因此存在量詞命題

“存在對角線不互相垂直的菱形”為假命題.

(3)Vx￡R,有3夕+2>0,因此存在量詞命題“3V+2>0"是假命題.

(4)由于存在整數3只有正因數1和3.所以存在量詞命題“有些整數只有兩個正因數”為真命

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題.

例3［解］:“VlWxW2,V一啟0”成立，

.,.V一加20對1WXW2恒成立.

又y=f在1WXW2上y隨x增大而增大，一加的最小值為1一處

：.1一心0.解得辰L

實數力的取值范圍是{加辰1}.

［變式］［解］???亡一后0”成立，

/.y-^0在l〈xW2有解.

又函數尸片在上單調遞增，

函數尸*在1WXW2上的最大值為爐=4.

，4一加20,即加忘4.

?'.實數股的取值范圍是{/"W4}.

［跟蹤訓練］3解方法一(1)不等式R+f(x)>0可化為

就一f(x),

即ni>—V+2x—5=—(x—1尸一4.

要使ni>—(>￥—1)4對于任意*WR恒成立，

只需加>—4即可.

故存在實數勿使不等式加+f(x)>0對于任意xeR恒成立，此時需於一4.

⑵不等式in—r(Ab)>0,可化為力fix。,

若至少存在一個實數牌使不等式加>f(x0)成立，只需加

又/1(x)=(x—1尸+4,所以/Xx)Mi?=4,所以加>4.

所以所求實數力的取值范圍是(4,+8).

方法二(1)要使不等式五”才)>0對VxdR恒成立，即r-2^+5+?>0對VxGR恒成立,

所以4=(-2)2—4(5+血<0,解得就一4,

所以當力>一4時，〃7+f(x)>0對于任意xWR恒成立.

(2)若至少存在一個實數吊，使加一f(xo)>0成立，

即就一2x()+5一水0成立.

只需4=(-2)2—4(5—血>0即可,

解得以>4.

所以實數加的取值范圍是(4,+8).

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【當堂達標】

1.①②④［解析］①②④是全稱量詞命題，③是存在量詞命題.

2.0［解析］①當戶1時，3x+2=0,故①為假命題；②因為x=±婿時，/=2,而

土:為無理數，故②為假命題；③因為f+l>O（xeR）恒成立，故③為假命題；④原不等式可

化為V—2x+l>0,即（x—IF>。，當x=l時（X-1）2=0,故④為假命題.

3.3