高中數(shù)學必修五：-不等式全章復習總結(jié)與鞏固

高中數(shù)學必修四：《不等式》全章復習與鞏固

【學習目標】

1.能正確的記憶和靈活運用不等式的性質(zhì)；

2.會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型和二元一次不等式組，提高數(shù)學建模能力；

3.掌握一元二次方程，二次函數(shù)，一元二次不等式，這三個“二次”的聯(lián)系，會解一元二次不等式；

4.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組，會從實際情境中抽象出一

些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決：

5.會用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題，注意基本不等式適用的條件.

【知識網(wǎng)絡(luò)】

【要點梳理】

要點一：不等式的主要性質(zhì)

(1)對稱性：a>b<^>b<a

(2)傳遞性：a>b,b>c=>a>c

(3)加法法則：a>b=>a+c>h+c；

a>b,c>d=>a+c>b+d

(4)乘法法則：a>b,c>0=>ac>be；

a>b,c<Q^>ac<bc,

a>b>0,c>d>0=>ac>bd

(5)乘方法則：a>b>0=>a">b"TV*Jin>1)

(6)開方法則：(n^N*且n>l)

要點詮釋：不等式性質(zhì)中要注意等價雙向推出和單向推出關(guān)系的不同.

要點二：三個“二次”的關(guān)系

一元二次不等式ox?+bx+c>0或ax'?+bx+c<0(a>0)的解集:

設(shè)相應(yīng)的一元二次方程以2+bx+c=0(a>0)的兩根為和馬且玉《/，△=〃—4ac,則不等

式的解的各種情況如下表：

A>0A=0A<0

二次函數(shù)廿

y=ax2+bx+c

(a>0)的圖象j2

一元二次方程

有兩相異實根有兩相等實根

ax2+bx+c=0b無實根

%2((<x2)X="一丁

(a>0的根

ax2+/?x+c>0b

口尤〈七或x>％}<xx^---R

3>o)的解集2a

ax2+/?x+c<0

<x<x2]00

(a>0)的解集

解一元二次不等式的步驟

(1)先看二次項系數(shù)是否為正，若為負，則將二次項系數(shù)化為正數(shù)：A=ax2+bx+c(a>0)

(2)計算判別式A,分析不等式的解的情況：

①A>0時，求根玉,々(注意靈活運用因式分解和配方法)；

②△=()時，求根王=工2=---；

2a

③A<0時，方程無解

(3)寫出解集.

要點詮釋：若。<0,可以轉(zhuǎn)化為。〉0的情形解決.

要點三：線性規(guī)劃

用二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域

二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐標系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)

域.(虛線表示區(qū)域不包括邊界直線)

二元一次不等式表示哪個平面區(qū)域的判斷方法

由于對在直線Ax+By+C=O同一側(cè)的所有點（X,y）,把它的坐標（%》）代入人*+8丫+<2,所得到實數(shù)的

符號都相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取-特殊點（xo,yo），從Axo+Byo+C的正負即可判斷Ax+By+C>

0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.（特殊地，當C加時，常把原點作為此特殊點）

線性規(guī)劃的有關(guān)概念：

①線性約束條件：

如果兩個變量x、y滿足一組一次不等式組，則稱不等式組是變量x、y的約束條件，這組約束條件

都是關(guān)于x、y的一次不等式，故又稱線性約束條件.

②線性目標函數(shù)：

關(guān)于x、y的一次式z=ax+by（a,b《R）是欲達到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫線性

目標函數(shù).

③線性規(guī)劃問題：

一般地，求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題.

④可行解、可行域和最優(yōu)解：

在線性規(guī)劃問題中，滿足線性約束條件的解（x,y）叫可行解.由所有可行解組成的集合叫做可行域.

使目標函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解.

要點詮釋：求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解的步驟

（1）設(shè)變量，建立線性約束條件及線性目標函數(shù)；

（2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；

（3）求出線性目標函數(shù)在可行域內(nèi)的最值（即最優(yōu)解）；

（4）作答.

要點四：基本不等式

兩個重要不等式

①a,0eR,a2+b2>lab（當且僅當a=8時取等號"=”）

②基本不等式：如果a/是正數(shù)，那么竺茄（當且僅當a=b時取等號“="）.

2

算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)

算術(shù)平均數(shù)：幺也稱為a,b的算術(shù)平均數(shù)；

2

幾何平均數(shù)：必稱為a,b的幾何平均數(shù).

因此基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

基本不等式的應(yīng)用

x,ye（0,+8）,且個=P（定值），那么當x=y時，x+y有最小值2萬；

x,ye（0,+co）,且x+y=S（定值），那么當x=y時，肛有最大值」SL

4

要點詮釋：在用基本不等式求函數(shù)的最值時，應(yīng)具備的三個條件：

①一正：函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)；

②二定：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值：

③三取等：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項均相等，取得最值

【典型例題】

類型一：不等式的性質(zhì)

例1.若a<人<0,則下列不等關(guān)系中不能成立的是()

1111.?.,.9I?

A.—>—B.------>—C.|ci>b|D.ci~>b~

aba-ba

【思路點撥】利用不等式的性質(zhì)，逐項進行判斷.

［解析】6/</?<0,—a>—h>0.

1111.—

由---<---，—>—,??A項成乂.

-a-bab

由a<。v0,|a|C項成立.

由一a>—h>0,(-a)~>(-/?)",Q?>D項成立.

a—b<0,a<a—h<0f—a>h—a>0,

1111.e-

----<-----------,—>-------,??B項不成乂?

-a-(a-b)aa-b

故應(yīng)選B

【總結(jié)升華】運用不等式的基本性質(zhì)解答不等式問題，要注意不等式成立的條件，否則將會出現(xiàn)一些

錯誤.

舉一反三：

【變式】已知則，>!成立的一個充要條件是()

mn

A.m>0>nB.n>m>0C.mn(m-n)<0D.m<<0

【答案】C

例2.如果30vxv42,16<y<24,則

x

(l)x—2y的取值范圍是；(2)土的取值范圍是.

y

【思路點撥】利用不等式性質(zhì)運算時，注意不等式成立的條件.

521

【答案】(1)(-18,10)；(2)(^y).

【解析】(1)16<y<24,.\-48<—2y<—32,又30<x<42,

利用不等式的性質(zhì)a>b,c>d=>a+c>h+d可得:

-18<x-2y<10.

(2)16<y<24,—<一<—,30<x<42，

24yl6

利用不等式的性質(zhì)a>b>0,c>d>0=>ac>bd可得：

5x21

—<—<一.

4y8

【總結(jié)升華】注意同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，這種轉(zhuǎn)化的正確應(yīng)用.

舉一反三：

【變式】如果30<x<42,16<y<24,則

(1)x+y的取值范圍是；(2)肛的取值范圍是

【答案】(1)(46,66)；(2)(480,1008)

例3.已知函數(shù)/(x)=ax2_c,滿足-4</(1)〈一，-1W/⑵<5,那么/(3)的取值范圍

是.

【思路點撥】將/(3)用/(I)及/(2)表示出來，再利用不等式性質(zhì)求得正確的范圍.

【解析】

解法一：方程思想(換元)：

?=1[/(2)-/(1)]

a—c-f(l)

由?八,求得

4?-c=/(2)41

c=--/(D+-/(2)

■5-5"、/20久840

又一《——/(I)<——,——<-/(2)<—

333333

CQ

-1<-|/(1)+|/(2)<20,

即一1W/⑶<20.

解法二：待定系數(shù)法

設(shè)f(3)=9a-c=mf(1)+nf(2)=m(a-c)+n(4a-c)

5

m=—一

m+4/2=93(下略)

n<=><

-m-n--1o

n——

3

解法三：數(shù)形結(jié)合(線性規(guī)劃)

-4</(I)<-1J-4<?-c<-1

<-l</(2)<51-l<4?-c<5

所確定區(qū)域如圖：

設(shè)z=9。-c,將邊界點(0,1)(3,7)代入即求出.

【總結(jié)升華】利用幾個不等式的范圍來確定某個不等式的范圍是一類常見的綜合問題，對于這類問題

要注意：“同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)”，這種轉(zhuǎn)化不是等價變形，在一個解題過程中多

次使用這種轉(zhuǎn)化時，就有可能擴大真實的取值范圍，解題時務(wù)必小心謹慎，先建立待求范圍的整體與已知

范圍的整體的等量關(guān)系，最后通過“一次性不等關(guān)系的運算，求得待求的范圍”，是避免犯錯誤的一條途

徑.

舉一反三：

【變式】已知一lWa+Z?W5,-l<a-b<3,求3a—2b的取值范圍.

【答案】[-3,10]

類型二：不等式的求解

例4.設(shè)4={犬|爐-以+3<0},B={x|x2-2x+a-8<0},且求”的取值范圍.

【解析】令/(x)=Y—2x+a-8由A=及二次函數(shù)圖象的性質(zhì)可得

/(1)<0l-2+a-840

,解之得一9<。45.

/(3)<09—6+a—840

因此”的取值范圍是-94a45.

【總結(jié)升華】正確求解不等式，弄清楚兩個集合對應(yīng)二次函數(shù)圖象之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式1】若不等式(x+a)(x+l)20的解集為Goo,」]U[2,+oo)，求實數(shù)a的值

【答案】由題設(shè)知x=2為方程f(x)=O的根，.?.f(2)=0=a=-2

.?.所求實數(shù)a=-2

【變式2】不等式ax2+bx+12>0的解集為｛xH<x<2｝,則a=,b=.

【答案】由不等式的解集為｛xH<x<2｝知a<0,且方程ax2+bx+12=0的兩根為-1,2.

——=—1+2=1

由根與系數(shù)關(guān)系得《a

11=(—1)x2=-2

a

解得a=-6,b=6.

【變式3］已知關(guān)于x的方程(k-l)x2+(k+l)x+k+l=0有兩個相異實根，求實數(shù)k的取值范圍

【答案】Are(-1,1)

例5.若關(guān)于元的不等式(相一1)/一(2根+1比+加一220的解集為一切實數(shù)R,求加的取值范圍.

【解析】當機=1時，原不等式為：—3x—120,不符合題意.

當機<1時，原不等式為一元二次不等式，顯然不符合題意

當機〉1時，只需△<(),

f(2/?+l)2-4(m-l)(/?-2)<0屹俎〃

即<，解得me0,

m>1

綜上，陽的取值范圍為相￡0.

【總結(jié)升華】①在含參不等式問題中，二次不等式恒成立的充要條件的理論依據(jù):

ax2+bx+c>0對任何xGR恒成立<=>a>0且A=b2-4ac<0；

ax2+bx+c<0對任何xeR恒成立<=>a<0且A=b2-4ac<0.

②與不等式恒成立相互依存，相互支撐與相互轉(zhuǎn)化的最值命題：

NVf(x)恒成立Vf(x)的最小值

卜i>f(x)恒成立=p>f(x)的最大值

舉一反三：

【變式】若對于任意XER恒有3x2+2x+2>m(x2+x+l)(>￡4),求111的值

【答案】對任意x￡R有3x2+2x+2>m(x2+x+1)恒成立

O對任意XER恒(3-m)x2+(2-m)x+(2-m)>0成立

3-m>0

?.△=(2-m)2-4(3-m)(2-m)<0

m<3

3-100m<2

m<2或m>—

I3

又因meN",/.m=1

類型三：二元一次方程（組）與平面區(qū)域

例6.設(shè)集合A=｛（x,y）|x,y,l—x—y是三角形的三邊長｝,則A所表示的平面區(qū)域（不含邊界的陰影部

分）是（）

【解析】利用三角形的三邊關(guān)系得:

1

+y7

2-

+y>x-y1

-y<x-y<-

-x-2，表示的平面區(qū)域為A選項.

X<y1

<-

2，

【總結(jié)升華】注意本例中三角形本身的性質(zhì).

舉一反三:

2）'4所表示的平面區(qū)域為（）

【變式1】不等式組《

2x-3y<6

【答案】選B

x-y〉O

x+y>0

【變式2】不等式組〈“在孫平面上的解的集合為（)

0<x<l

0<y<1

A.四邊形內(nèi)部B.三角形內(nèi)部CL點D.空集

【答案】不等式組所表示的平面區(qū)域圖形如下,

，交集為三角形內(nèi)部，選B.

類型四：求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解

例7.（2015陜西）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A,B兩種原料.已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品需原料及每

天原料的可用限額如表所示，如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可

獲得最大利潤為（）

A.12萬元B.16萬元C.17萬元D.18萬元

甲乙原料限額

A（噸）3212

B（噸）128

【思路點撥】設(shè)每天生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品分別為x,y噸，利潤為z元，然后根據(jù)題目條件建立約束條件，得

到目標函數(shù)，畫出約束條件所表示的區(qū)域，然后利用平移法求出z的最大值。

【答案】D

【解析】設(shè)該企業(yè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x、y噸，則利潤z=3x+4y

3x+2y<12

由題意可列《x+2y<8，其表示如圖陰影部分區(qū)域:

x>0

y>0

當直線3x+4y—z=0過點A(2.3)時，z取得最大值，所以Zmax=3X2+4X3=18.

故選：D.

【總結(jié)升華】本題主要考察線性規(guī)劃的應(yīng)用，建立約束條件和目標函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題

的關(guān)鍵。

舉一反三：

x+y-7<0

【變式1](2015新課標II)設(shè)x,y滿足約束條件<x—3y+140,則z=2x—y的最大值為()

3JC-y-5>0

A.10B.8C.3D.2

【答案】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：(陰影部分ABC).

由z=2x—y得y=2x—z,

平移直線y=2x—z,

由圖象可知當直線y=2x-z經(jīng)過點C時，直線y=2x—z的截距最小,

此時z最大.

x+y-7=0[x=5

中＜解得《，即C(5,2)

[x-3y+l=0[y=2

代入目標函數(shù)z=2x—y,

得z=2x5-2=8.

故選：B.

2x-y+l>0,

【變式2】(2016新課標HI文)若滿足約束條件<x—2y—1<0,則z=2x+3y—5的最大值為

x<l,

【答案】

作出不等式組滿足的平面區(qū)域，如圖所示，由圖知當目標函數(shù)z=2x+3y-5經(jīng)過點A(—1,-1)時取

得最小值，即Zmm=2x(-l)+3x(-l)-5=-10.

類型五：均值不等式求最值及應(yīng)用

y=3f+一代,

例8.求函數(shù)2+x的最小值.

161

3/+

【思路點撥】2+犬是二項“和”的形式，但其“積”的形式不為定值.而2+f可與爐+2相

16

y—3x2+6+-6

約，即其積為定積1,因此可以先添、減項6,即.2+x1,再用均值不等式.

【解析】爐+2>0,

=3/+6+-^--6

X2+2

=3(f+2)+-4^-—6

x+2

>2^3(.r2+2)--^-6

=86-6

當且僅當3(犬+2)=孚-,即必=速一2時，等號成立.所以丁的最小值是8百-6.

X2+23

【總結(jié)升華】為了創(chuàng)造條件利用均值不等式，添項是常用的一種變形技巧；為了保證式子的值不變,

添項后一定要再減去同一項.

舉一反三：

【變式1】求y=2x（3-x）（0<x<3）的最大值.

【答案】0Vx<3,.?.3-xX）且為常數(shù)

_i_3—x93

??.y=2x（3-x）W2?（-r-------）2=-（當且僅當x=3-x,即x=一時取等號）

222

39

，當尤=一2時，，Znmaax=一2.

【變式2]已知x>O,y〉O,且滿足3x+2y=12,求Igx+lgy的最大值.

【答案】x>O,y>O,lgx+lgy=lg（肛）=坨皂3?怛口（必答）2]=lgd（?）2]=lg6

66262

當且僅當3x=2y,即x=2,y=3時等號成立。所以Igx+lgy的最大值為lg6.

例9.某廠有一面長14米的舊墻，現(xiàn)在準備用這面墻的一段為一邊，建造平面圖形為矩形且面積為

126平方米的廠房（不考慮墻高），修1米舊墻的費用是造I米新墻費用的25%,用拆去舊墻所得的材料建1

米墻的費用是建1米新墻費用的50%（拆舊墻的材料損失忽略不計）.問：如何利用舊墻才能使建墻費用最

少？（建門窗的費用與建新墻的費用相同，可以不考慮）.

【思路點撥】設(shè)出保留舊墻的長度，表示出新建墻的長度，然后根據(jù)題意表示出費用函數(shù)，并根據(jù)函數(shù)

解析式的特征拼湊常數(shù)，正確應(yīng)用均值不等式求最值.

【解析】設(shè)保留的舊墻長為x米，則拆去的舊墻為（14-x）米，用這部分舊墻的材料建墻，另外還應(yīng)建新

墻2x------F%—(14—x)米.設(shè)每米新墻造價為1個單位，則建墻的總造價

x

y=+或(14-)+252c，八7252一日,7252=一

+2x—14=-xH---------7>2.1-x--------7=35.

100100x4x4九

當且僅當上=生，即x=12時，ymin=35.

4x

故保留舊墻12米時，能使建墻費用最少.

【總結(jié)升華】利用不等式的性質(zhì)解決實際應(yīng)用題，首先，要仔細閱讀題目，弄清要解決的實際問題，確

定是求什么量的最值（即題中的y）；其次，分析題目中給出的條件，建立y與x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=/（x）（x

一般為題目中最后所要求的量）；最后，利用不等式的有關(guān)知識解題.

舉一反三：

【變式1】一批救災(zāi)物資隨26輛汽車從某市以xkm/h的速度勻速開往400km處的災(zāi)區(qū).為安全起見,

Y

每兩輛汽車的前后間距不得小于—km,問這批物資全部到達災(zāi)區(qū)，最少要多少小時？

【答案】設(shè)全部物資到達災(zāi)區(qū)所需時間為t小時，由題意可知，f相當于：最后一輛車行駛了25個

X\km+400km所用的時間，

20

2

25x

20A2x*10.

因此，t=-----

Xxx

25r400

當且僅當三=空？，即x=80時取

400x

故這些汽車以80km/h的速度勻速行駛時，所需時間最少要10小時.

【變式2］建造一個容積為8m3,深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價分別為每平方

米120元和80元，那么水池的最低造價為元.

【答案】1760

4

【解析】設(shè)水池池底的一邊長為xm,則另一邊長為一〃2,則總造價y為：

x

y=480+80x(2%+2--)x2=480+320(%+-)

XX

>480+320xC^=480+320x2x2=1760(元)

4

當且僅當光=一即x=2時，y取最小值為1760.

X

所以水池的最低造價為1760元.

【鞏固練習】

一、選擇題

1.(2015山東)己知集合4={刈》2_4》+3<0},8={幻2<%<4},則AAB=

A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)

2.若(1=也加=幣-64=#>-6,則a,b,c的大小順序是()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>c>a

3.(2015河南模擬改編）已知必不0,則下列不等式中：①層>/；②LL③

ab

@a2+b2>2ab,恒成立的不等式的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

4.當xGR時，不等式仙2一履+1>0恒成立，則大的取值范圍是（）

A.(0,+oo)B.[0,+oo)

C.[0,4）D.（0,4）

5.滿足不等式y(tǒng)2—f加的點（x,y）的集合（用陰影表示）是（）

6.已知x,y為正實數(shù),且x+4y=l,則母的最大值為（）

11

A.-B.-

48

11

C.—D.―

1632

x-”0,

7.（2015山東）已知x,y滿足約束條件，x+y?2,若z=ax+y的最大值為4,則a=

”0.

A.3B.2C.-2D.-3

填空題

8.設(shè)“VO,—1</?<0,則〃、“6、%從小到大的順序為.

14

9.（2016烏魯木齊模擬改編）已知蒼y都是正數(shù)，且孫=1,則一+一的最小值為—

xy

10.若,<!<(),已知下列不等式：

ab

①②|。|>創(chuàng)；③a<b；@——>2；

ah

⑤/>廬；?2a>2h.

其中正確的不等式的序號為.

x+y—220

11.不等式組<x+2y-4<0表示的平面區(qū)域的面積為.

x+3y-2>0

解答題

12.已知0<加<1,解關(guān)于x的不等式/巴>1.

x-3

13.求函數(shù)/(x)=—!一+x的值域.

x-2

14.若不等式d+ar+l20對任意恒成立，求a的最小值.

15.某城建公司承包舊城拆遷工程，按合同規(guī)定要在4個月內(nèi)完成，若提前完成，每提前一天可獲得2

千元獎金，但要追加投入費用，追加投入費用按以下關(guān)系計算：6x+'7空84-118(單位：千元)，其

x+3

中x表示提前完工的天數(shù)，試問提前多少天，才能使公司獲得最大附加效益？(附加效益=所獲獎金-

追加投入費用)

【答案與解析】

【答案】C

【解析】

A={M攵-4x-3<j0g尤|1〈九卜3

.1.A{石2<無?4{=%|2<@

故選C

2.【答案】B

【解析】由b=幣一6=一七七l,c=屈一叵=廠4廠，a=0=廠4廠得

V7+>/3V6+V2V2+V2

b<c<a,故選B

3.【答案】B

【解析】①取斫一1,b=~2,則不成立；

②取a=2,b--1.則'<■；

ab

③考函數(shù)y=x3在R單調(diào)遞增，成立：

a>b,.,.a2+b2—2ab(a—b)2>0,.,.a2+b2>2ab

綜上可得：恒成立的不等式有兩個，故選：B。

4.【答案】C

【解析】(1)當％=0時，不等式變?yōu)?>0成立；

(2)當后0時，不等式fee2—Ax+1>0恒成立，

伍〉0

則<,

△=一女2一4女<0

即0V4V4,所以0%<4.

5.【答案】B

【解析】取測試點(0,1)可知C,D錯；再取測試點(0,—1)可知A錯，故選B.

6.【答案】C

【解析】Vx,y為正實數(shù),

當且僅當x=4y即x=',>=—時取等號.

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7.【答案】B

x-y>0

【解析】不等式組(x+y<2在直角坐標平面內(nèi)所

y>Q

X

表示的平面區(qū)域如右圖中的陰影部分所示若設(shè)—

z=ax+y的最大值為4,則最優(yōu)解為x=l,y=l=2

或者是x=2,y=0,經(jīng)檢驗知x=2,y=0符合題意，此時a=2,x=y=l不合題意，故選B

8.【答案】ab>ab2>a

2

【解析】方法一：ab—ab=ab(\—b)>0f

2

alr—a=a(b—\)>0f

/.ab>alr>a.

方法二(特值法)：取。=-1,b=_；,

易得〃=-1,ab=—,cib2=—,

24

ah>ah2>a.

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