高中數(shù)學(xué)選擇性必修三（選修三）同步練習(xí)（基礎(chǔ)訓(xùn)練）

高中數(shù)學(xué)選擇性必修三同步練習(xí)全套

<6.1分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（1）》基礎(chǔ)訓(xùn)練

一、選擇題

1.完成一項(xiàng)工作，有兩種方法，有5個(gè)人只會(huì)用第一種方法，另外有4個(gè)人只會(huì)第二種方

法，從這9個(gè)人中選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作，則不同的選法共有（）

A.5種B.4種C.9種D.45種

2.2019年9月1日蘭州地鐵一號(hào)線正式開(kāi)通，兩位同學(xué)同時(shí)去乘坐地鐵，一列地鐵有6

節(jié)車(chē)廂，兩人進(jìn)入車(chē)廂的方法數(shù)共有（）

A.15種B.30種C.36種D.64種

3.為響應(yīng)國(guó)家“節(jié)約糧食”的號(hào)召，某同學(xué)決定在某食堂提供的2種主食、3種素菜、2

種大葷、4種小葷中選取一種主食、一種素菜、一種葷菜作為今日伙食，并在用餐時(shí)積極

踐行“光盤(pán)行動(dòng)”，則不同的選取方法有（）

A.48種B.36種C.24種D.12種

4.某電商為某次活動(dòng)設(shè)計(jì)了“和諧”、“愛(ài)國(guó)”、“敬業(yè)”三種紅包，活動(dòng)規(guī)定每人可以

依次點(diǎn)擊4次，每次都會(huì)獲得三種紅包的一種，若集全三種即可獲獎(jiǎng)，但三種紅包出現(xiàn)的

順序不同對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)次也不同?員工甲按規(guī)定依次點(diǎn)擊了4次，直到第4次才獲獎(jiǎng)?則他獲得

獎(jiǎng)次的不同情形種數(shù)為（）

A.9B.12C.18D.24

5.中國(guó)古代十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法，在數(shù)學(xué)史上是一個(gè)偉大的創(chuàng)造，算籌實(shí)際上是一根根同

長(zhǎng)短的小木棍.如圖，是利用算籌表示1-9的一種方法.則據(jù)此，3可表示為“三”，26可

表示為“=J_"，現(xiàn)有6根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，則可以用『9這9數(shù)

字表示的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

=三三三-LJLL』

23456789

A.9B.13C.16D.18

6.（多選題）某校實(shí)行選課走班制度，張毅同學(xué)選擇的是地理、生物、政治這三科，旦生

物在B層，該校周一上午選課走班的課程安排如下表所示，張毅選擇三個(gè)科目的課各上一

節(jié)，另外一節(jié)上自習(xí)，則下列說(shuō)法正確的是()

第1節(jié)第2節(jié)第3節(jié)第4節(jié)

地理1班化學(xué)A層3班地理2班化學(xué)A層4班

生物A層1班化學(xué)B層2班生物B層2班歷史B層1班

物理A層1班生物A層3班物理A層2班生物A層4班

物理B層2班生物B層1班物理B層1班物理A層4班

政治1班物理A層3班政治2班政治3班

A.此人有4種選課方式B.此人有5種選課方式

C.自習(xí)不可能安排在第2節(jié)1).自習(xí)可安排在4節(jié)課中的任一節(jié)

二、填空題

7.如圖，在由電鍵組A與B組成的串聯(lián)電路(規(guī)定每組電鍵只能合上其中的一個(gè)電鍵)

中，接通電源使燈泡發(fā)光的方法有種.

7.己知某體育場(chǎng)有4個(gè)門(mén)，從一個(gè)門(mén)進(jìn)，另一個(gè)門(mén)出，則不同的走法的種數(shù)為

8.5個(gè)人參加1()()〃?、200m>40()加跑的決賽，同一個(gè)項(xiàng)目中，并列冠軍的情況不發(fā)

生，則冠軍分配的不同情況有種.

10.2020年初，湖北面臨醫(yī)務(wù)人員不足和醫(yī)療物資緊缺等諸多困難，廈門(mén)人民心系湖

北，志愿者紛紛馳援，若將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生志愿者分配到A,B兩家醫(yī)院(每人去

一家，每家醫(yī)院至少安排1人)，且甲醫(yī)生不安排在A醫(yī)院，則共有一種分配方案.

三、解答題

11.有紅、黃、藍(lán)旗各3面，每次升1面、2面、3面在某一旗桿上縱向排列，表示不同的

信號(hào)，順序不同也表示不同的信號(hào)，共可以組成多少種不同的信號(hào)？

12.有一項(xiàng)活動(dòng)，需要在3名老師、8名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選人參加.

（1）若只需選1人參加，則有多少種不同的選法？

（2）若需要老師、男同學(xué)、女同學(xué)各1人參加，則有多少種不同的選法？

（3）若需要1名老師、1名學(xué)生參加，則有多少種不同的選法？

答案解析

一、選擇題

1.完成一項(xiàng)工作，有兩種方法，有5個(gè)人只會(huì)用第一種方法，另外有4個(gè)人只會(huì)第二種方

法，從這9個(gè)人中選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作，則不同的選法共有（）

A.5種B.4種C.9種D.45種

【答案】C

【解析】會(huì)用第一種方法的有5個(gè)人，選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作有5種選擇；會(huì)用第二種方

法的有4個(gè)人，選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作有4種選擇；兩者相加一共有9種選擇，

故選：C.

2.2019年9月1日蘭州地鐵一號(hào)線正式開(kāi)通，兩位同學(xué)同時(shí)去乘坐地鐵，一列地鐵有6

節(jié)車(chē)廂，兩人進(jìn)入車(chē)廂的方法數(shù)共有（）

A.15種B.30種C.36種D.64種

【答案】C

【詳解】每位同學(xué)都可以進(jìn)入地鐵中的任何一節(jié)車(chē)廂，每個(gè)人都有6種方法，所以?xún)扇诉M(jìn)

入車(chē)廂的方法數(shù)共有6x6=36種方法.故選：C

3.為響應(yīng)國(guó)家“節(jié)約糧食”的號(hào)召，某同學(xué)決定在某食堂提供的2種主食、3種素菜、2

種大葷、4種小葷中選取一種主食、一種素菜、一種葷菜作為今日伙食，并在用餐時(shí)積極

踐行“光盤(pán)行動(dòng)”，則不同的選取方法有（）

A.48種B.36種C.24種D.12種

【答案】B

【詳解】解：由題意可知，分三步完成：

第一步，從2種主食中任選一種有2種選法；

第二步，從3種素菜中任選一種有3種選法；

第三步，從6種葷菜中任選一種有6種選法，

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有2x3x6=36不同的選取方法，故選：B

4.某電商為某次活動(dòng)設(shè)計(jì)了“和諧”、“愛(ài)國(guó)”、“敬業(yè)”三種紅包，活動(dòng)規(guī)定每人可以

依次點(diǎn)擊4次，每次都會(huì)獲得三種紅包的一種，若集全三種即可獲獎(jiǎng)，但三種紅包出現(xiàn)的

順序不同對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)次也不同?員工甲按規(guī)定依次點(diǎn)擊了4次，直到第4次才獲獎(jiǎng)?則他獲得

獎(jiǎng)次的不同情形種數(shù)為（）

A.9B.12C.18D.24

【答案】C

【詳解】根據(jù)題意，若員工甲直到第4次才獲獎(jiǎng)，則其第4次才集全“和諧”、”愛(ài)

國(guó)”、“敬業(yè)”三種紅包，則甲第4次獲得的紅包有3種情況，

前三次獲得的紅包為其余的2種，有23-2=6種情況,

則他獲得獎(jiǎng)次的不同情形種數(shù)為3x6=18種；故選C.

5.國(guó)古代十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法，在數(shù)學(xué)史上是一個(gè)偉大的創(chuàng)造，算籌實(shí)際上是一根根同長(zhǎng)

短的小木棍.如圖，是利用算籌表示卜9的一種方法.則據(jù)此，3可表示為“三”，26可表

示為“=_!”，現(xiàn)有6根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，則可以用1-9這9數(shù)字

表示的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

23456789

A.9B.13C.16D.18

【答案】C

【詳解】根據(jù)題意，現(xiàn)有6根算籌，可以表示的數(shù)字組合為1、5,1、9,2、4,2、8,

6、4,6、8,3、3,3、7,7、7；數(shù)字組合1、5,1、9,2、4,2、8,6、4,6、8,3、7

中，每組可以表示2個(gè)兩位數(shù)，則可以表示2x7=14個(gè)兩位數(shù)；

數(shù)字組合3、3,7、7,每組可以表示1個(gè)兩位數(shù)，則可以表示2x1=2個(gè)兩位數(shù)；

則一共可以表示14+2=16個(gè)兩位數(shù).故選:C

6.（多選題）某校實(shí)行選課走班制度，張毅同學(xué)選擇的是地理、生物、政治這三科，且生

物在B層，該校周一上午選課走班的課程安排如下表所示，張毅選擇三個(gè)科目的課各上一

節(jié)，另外一節(jié)上自習(xí)，則下列說(shuō)法正確的是（）

第1節(jié)第2節(jié)第3節(jié)第4節(jié)

地理1班化學(xué)A層3班地理2班化學(xué)A層4班

生物A層1班化學(xué)B層2班生物B層2班歷史B層1班

物理A層1班生物A層3班物理A層2班生物A層4班

物理B層2班生物B層1班物理B層1班物理A層4班

政治1班物理A層3班政治2班政治3班

A.此人有4種選課方式B.此人有5種選課方式

C.自習(xí)不可能安排在第2節(jié)D.自習(xí)可安排在4節(jié)課中的任一節(jié)

【答案】BD

【詳解】由于生物在B層，只有第2,3節(jié)有，故分兩類(lèi)：

若生物選第2節(jié)，則地理可選第1節(jié)或第3節(jié)，有2種選法，

其他兩節(jié)政治、自習(xí)任意選，

故有2x2=4種（此種情況自習(xí)可安排在第1、3、4節(jié)中的某節(jié)）：

若生物選第3節(jié)，則地理只能選第1節(jié)，政治只能選第4節(jié)，自習(xí)只能選第2節(jié)，故有1

種.

根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得選課方式有4+1=5種.

綜上，自習(xí)可安排在4節(jié)課中的任一節(jié).故選：BD.

二、填空題

7.如圖，在由電鍵組A與B組成的串聯(lián)電路（規(guī)定每組電鍵只能合上其中的一個(gè)電鍵）

中，接通電源使燈泡發(fā)光的方法有種.

【答案】6

【詳解】要完成的“一件事”是“使燈泡發(fā)光”，只有先合上A組中2個(gè)電鍵中的任意一

個(gè)，再合上B組中3個(gè)電鍵中的任意一個(gè)時(shí)，接通電源，燈泡才能發(fā)光.因此要完成這件

事，需要分步，只有各個(gè)步驟都完成才能使燈泡發(fā)光，所以接通電源使燈泡發(fā)光的方法有

2x3=6種.

7.已知某體育場(chǎng)有4個(gè)門(mén)，從一個(gè)門(mén)進(jìn)，另一個(gè)門(mén)出，則不同的走法的種數(shù)為

【答案】12

【詳解】根據(jù)題意，某體育場(chǎng)有4個(gè)門(mén)，從一個(gè)門(mén)進(jìn)，有4種走法，另一個(gè)門(mén)出，有3種

走法，則有4x3=12種不同的走法.

8.5個(gè)人參加100/〃、200加、400加跑的決賽，同一個(gè)項(xiàng)目中，并列冠軍的情況不發(fā)

生，則冠軍分配的不同情況有________種.

【答案】125

【解析】由題意可知，每個(gè)冠軍都有5種可能，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，冠軍分配的不

同情況5,=125種.

10.2020年初，湖北面臨醫(yī)務(wù)人員不足和醫(yī)療物資緊缺等諸多困難，廈門(mén)人民心系湖

北，志愿者紛紛馳援，若將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生志愿者分配到A,B兩家醫(yī)院（每人去

一家，每家醫(yī)院至少安排1人），且甲醫(yī)生不安排在A醫(yī)院，則共有一種分配方案.

【答案】7

【解析】甲只能安排在3醫(yī)院，乙、丙、丁3名醫(yī)生共有2x2x2=8種安排方法，其中

乙、丙、丁3名醫(yī)生都安排在5醫(yī)院不合題意，所以符合題意的分配方案共有8-1=7種.

三、解答題

11.有紅、黃、藍(lán)旗各3面，每次升1面、2面、3面在某一旗桿上縱向排列，表示不同的

信號(hào)，順序不同也表示不同的信號(hào)，共可以組成多少種不同的信號(hào)？

【詳解】每次升1面旗可組成3種不同的信號(hào)；每次升2面旗可組成3x3=9種不同的信

號(hào)；每次升3面旗可組成3x3x3=27種不同的信號(hào)，根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得，共可組成

3+9+27=39種不同的信號(hào).

12.有一項(xiàng)活動(dòng)，需要在3名老師、8名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選人參加.

（1）若只需選1人參加，則有多少種不同的選法？

（2）若需要老師、男同學(xué)、女同學(xué)各1人參加，則有多少種不同的選法？

（3）若需要1名老師、1名學(xué)生參加，則有多少種不同的選法？

【解析】（1）需一人參加，有三類(lèi)：第一類(lèi)選老師，有3種不同的選法；第二類(lèi)選男生，

有8種不同的選法；第三類(lèi)選女生，有5種不同的選法.共有3+8+5=16種不同的選

法；

(2)需老師、男同學(xué)、女同學(xué)各一人，則分3步，第一步選老師，有3種不同的選法；第

二步選男生，有8種不同的選法；第三步選女生，有5種不同的選法.共有3x8x5=120

種不同的選法；

(3)第一步選老師有3種不同的選法，第二步選學(xué)生有8+5=13種不同的選法，共有

3x13=39種不同的選法.

《6.1分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理(2)》基礎(chǔ)訓(xùn)練

一、選擇題

1.求是中學(xué)的教學(xué)樓共有5層，每層均有兩個(gè)樓梯，某同學(xué)從一樓上到五樓可能的走法有

()

A.10種B.16種C.25種D.32種

2.一般地，一個(gè)程序模塊由許多子模塊組成，一個(gè)程序模塊從開(kāi)始到結(jié)束的路線稱(chēng)為該程

序模塊的執(zhí)行路徑.如圖是一個(gè)計(jì)算機(jī)程序模塊，則該程序模塊的不同的執(zhí)行路徑的條數(shù)是

()

A.6B.14C.49D.84

3.如圖所示，A地到E地要鋪設(shè)一條煤氣管道，其中需經(jīng)過(guò)三級(jí)中間站，兩點(diǎn)之間的連線

上的數(shù)字表示距離.則從A地到E地鋪設(shè)煤氣管道最短距離是()

A.19B.21C.22D.23

4.天河區(qū)某校開(kāi)展學(xué)農(nóng)活動(dòng)時(shí)進(jìn)行勞動(dòng)技能比賽，通過(guò)初選，選出甲、乙、丙、丁、戊共5名

同學(xué)進(jìn)行決賽，決出第1名到第5名的名次.甲和乙去詢(xún)問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)甲說(shuō)“很遺憾，

你和乙都未拿到冠軍”；對(duì)乙說(shuō)“你當(dāng)然不是最差的”，試從這個(gè)回答中分析這5人的名

次排列順序可能出現(xiàn)的種類(lèi)有（）

A.54種B.60種C.72種D.96種

5.過(guò)三棱柱中任意兩個(gè)頂點(diǎn)連線作直線，在所有這些直線連線中構(gòu)成異面直線的對(duì)數(shù)為

（）

A.18B.30C.36D.54

6.（多選題）現(xiàn)安排高二年級(jí)A,B,C三名同學(xué)到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)

踐，每名同學(xué)只能選擇一個(gè)工），且允許多人選擇同一個(gè)工廠，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.所有可能的方法有34種

B.若工廠甲必須有同學(xué)去，則不同的安排方法有37種

C.若同學(xué)A必須去工廠甲，則不同的安排方法有16種

D.若三名同學(xué)所選工廠各不相同，則不同的安排方法有24種

二、填空題

7.3科老師都布置了作業(yè)，在同一時(shí)刻4名學(xué)生都做作業(yè)的可能情況有種.

8.假設(shè)今天是4月23日，某市未來(lái)六天的空氣質(zhì)量預(yù)報(bào)情況如圖所示.該市有甲、乙、丙

三人計(jì)劃在未來(lái)六天（4月24日?4月29日）內(nèi)選擇一天出游，甲只選擇空氣質(zhì)量為優(yōu)的

一天出游，乙不選擇周一出游，丙不選擇明天出游，且甲與乙不選擇同一天出游，則這三

人出游的不同方法數(shù)為.

未來(lái)空氣質(zhì)量預(yù)報(bào)

明天后天II周一周二周三

4月24日4月25日4月26日4月27日4月28日4月29日

優(yōu)優(yōu)優(yōu)優(yōu)良良

9.回文聯(lián)是我國(guó)對(duì)聯(lián)中的一種.用回文形式寫(xiě)成的對(duì)聯(lián)，既可順讀，也可倒讀，不僅意思

不變，而且頗具趣味.相傳，清代北京城里有一家飯館叫“天然居”，曾有一副有名的回文

聯(lián)：“客上天然居，居然天上客;人過(guò)大佛寺，寺佛大過(guò)人.”在數(shù)學(xué)中也有這樣一類(lèi)順讀與

倒讀都是同一個(gè)數(shù)的自然數(shù)，稱(chēng)之為：“回文數(shù)”.如44,585,2662等，那么用數(shù)字1,

2,3,4,5,6可以組成4位“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)為.

10.5400的正約數(shù)有個(gè)

三、解答題

11.現(xiàn)某學(xué)校共有34人自愿組成數(shù)學(xué)建模社團(tuán)，其中高一年級(jí)13人，高二年級(jí)12人，高

三年級(jí)9人.

(1)選其中一人為負(fù)責(zé)人，共有多少種不同的選法？

(2)每個(gè)年級(jí)選一名組長(zhǎng)，有多少種不同的選法？

(3)選兩人作為社團(tuán)發(fā)言人,這兩人需要來(lái)自不同的年級(jí)，有多少種不同的選法？

12.數(shù)學(xué)上的“四色問(wèn)題”，是指“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有公共邊界的國(guó)家

著上不同的顏色?！?，現(xiàn)有五種顏色供選擇，涂色我國(guó)西部五省，要求每省涂一色，相鄰

各省不同色，有多少種涂色方法.

答案解析

一、選擇題

1.求是中學(xué)的教學(xué)樓共有5層，每層均有兩個(gè)樓梯，某同學(xué)從一樓上到五樓可能的走法有

()

A.10種B.16種C.25種D.32種

【答案】B

【詳解】走法共分四步：一層到二層2種，二層到三層2種，三層到四層2種，四層到五

層2種，一共2'=16種.

2.一般地，一個(gè)程序模塊由許多子模塊組成，一個(gè)程序模塊從開(kāi)始到結(jié)束的路線稱(chēng)為該程

序模塊的執(zhí)行路徑.如圖是一個(gè)計(jì)算機(jī)程序模塊，則該程序模塊的不同的執(zhí)行路徑的條數(shù)是

()

A.6B.14C.49D.84

【答案】C

【詳解】由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，子模塊1或子模塊2或子模塊3的子路徑共有

2+2+3=7條；

子模塊4或子模塊5中的子路徑共有4+3=7條，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，整個(gè)模塊的不同

執(zhí)行路徑共有7x7=49條，故選：C

3.如圖所示，A地到E地要鋪設(shè)一條煤氣管道，其中需經(jīng)過(guò)三級(jí)中間站，兩點(diǎn)之間的連線

上的數(shù)字表示距離.則從A地到E地鋪設(shè)煤氣管道最短距離是()

D,

A

r

」見(jiàn)2

10

11

A.19B.21C.22D.23

【答案】A

【詳解】對(duì)各個(gè)路線進(jìn)行計(jì)算可得，由A到B2到C,到￡>,到E,距離共19為最短距離.

4.天河區(qū)某校開(kāi)展學(xué)農(nóng)活動(dòng)時(shí)進(jìn)行勞動(dòng)技能比賽，通過(guò)初選，選出甲、乙、丙、丁、戊共5名

同學(xué)進(jìn)行決賽，決出第1名到第5名的名次.甲和乙去詢(xún)問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)甲說(shuō)“很遺憾，

你和乙都未拿到冠軍”；對(duì)乙說(shuō)“你當(dāng)然不是最差的”，試從這個(gè)回答中分析這5人的名

次排列順序可能出現(xiàn)的種類(lèi)有()

A.54種B.60種C.72種D.96種

【答案】A

【詳解】由題意，甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，故先排乙，有3種

情況，再排甲，也有3種情況，余下3人有段=3x2x1=6種情況，利用分步相乘計(jì)數(shù)

原理知有3x3x6=54種情況，故選：A.

5.過(guò)三棱柱中任意兩個(gè)頂點(diǎn)連線作直線，在所有這些直線連線中構(gòu)成異面直線的對(duì)數(shù)為

()

A.18B.30C.36D.54

【答案】C

【詳解】解：如圖，分以下幾類(lèi)：

棱柱側(cè)棱與底面邊之間所構(gòu)成的異面直線有：3*2=6對(duì)-；

棱柱側(cè)棱與側(cè)面對(duì)角線之間所構(gòu)成的異面直線有：3x2=6對(duì)；

底面邊與側(cè)面對(duì)角線之間所構(gòu)成的異面直線有：6x2=12對(duì)；

底面邊與底面邊之間所構(gòu)成的異面直線有：3x2=6對(duì)；

6x2

側(cè)面對(duì)角線與側(cè)面對(duì)角線之間所構(gòu)成的異面直線有：——=6對(duì)；

2

所以共有6+6+12+6+6=36對(duì).故選：C.

6.（多選題）現(xiàn)安排高二年級(jí)A,B,C三名同學(xué)到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)

踐，每名同學(xué)只能選擇一個(gè)工），且允許多人選擇同一個(gè)工廠，則下列說(shuō)法正確的是

（）

A.所有可能的方法有34種

B.若工廠甲必須有同學(xué)去，則不同的安排方法有37種

C.若同學(xué)A必須去工廠甲，則不同的安排方法有16種

D.若三名同學(xué)所選工廠各不相同，則不同的安排方法有24種

【答案】BCD

【詳解】所有可能的方法有43種，A錯(cuò)誤.對(duì)于B,分三種情況：第一種：若有1名同學(xué)去

工廠甲，則去工廠甲的同學(xué)情況為3種，另外兩名同學(xué)的安排方法有3x3=9種，此種情

況共有3x9=27種，第二種：若有兩名同學(xué)去工廠甲，則同學(xué)選派情況有3種，另外一

名同學(xué)的排法有3種，此種情況共有3x3=9種，第三種情況，若三名同學(xué)都去工甲，此

種情況唯一，則共有27+9+1=37種安排方法，B正確.對(duì)于C,若A必去甲工廠，則B,

C兩名同學(xué)各有4種安排，共有4x4=16種安排，C正確.對(duì)于D,若三名同學(xué)所選工廠各

不同，貝iJ共有4x3x2=24種安排，D正確.

二、填空題

7.3科老師都布置了作業(yè)，在同一時(shí)刻4名學(xué)生都做作業(yè)的可能情況有種.

【答案】81

【詳解】因?yàn)?科老師都布置了作業(yè)，在同一時(shí)刻每個(gè)學(xué)生做作業(yè)的情況有3種可能，

所以4名學(xué)生都做作業(yè)的可能情況3X3X3X3=81種.

8.假設(shè)今天是4月23日，某市未來(lái)六天的空氣質(zhì)量預(yù)報(bào)情況如圖所示.該市有甲、乙、丙

三人計(jì)劃在未來(lái)六天（4月24日?4月29日）內(nèi)選擇一天出游，甲只選擇空氣質(zhì)量為優(yōu)的

一天出游，乙不選擇周一出游，丙不選擇明天出游，且甲與乙不選擇同一天出游，則這三

人出游的不同方法數(shù)為.

未來(lái)空氣質(zhì)量預(yù)報(bào)

明天后天周II周一周二周三

4月24日4月25日4月26日4月27日4月28日4月29日

優(yōu)優(yōu)優(yōu)優(yōu)良良

【答案】85

【詳解】若甲選擇周一出游，則三人出游的不同方法數(shù)乂=5x5=25；

若甲不選擇周一出游，則三人出游的不同方法數(shù)N2=3x4x5=60.

故這三人出游的不同方法數(shù)N=N1”2=85.

9.回文聯(lián)是我國(guó)對(duì)聯(lián)中的一種.用回文形式寫(xiě)成的對(duì)聯(lián)，既可順讀，也可倒讀，不僅意思

不變，而且頗具趣味.相傳，清代北京城里有一家飯館叫“天然居”，曾有一副有名的回文

聯(lián)：“客上天然居，居然天上客;人過(guò)大佛寺，寺佛大過(guò)人.”在數(shù)學(xué)中也有這樣一類(lèi)順讀與

倒讀都是同一個(gè)數(shù)的自然數(shù)，稱(chēng)之為：“回文數(shù)”.如44,585,2662等，那么用數(shù)字1,

2,3,4,5,6可以組成4位“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)為_(kāi)

【答案】36

【詳解】根據(jù)題意，分2種情況討論：

①4位“回文數(shù)”中數(shù)字全部相同，有6種情況，即此時(shí)有6個(gè)4位“回文數(shù)”；

②4位“回文數(shù)”中有2個(gè)不同的數(shù)字，有6x5=30種情況，即此時(shí)有30個(gè)4位“回文

數(shù)”；

則一共有6+30=36個(gè)4位“回文數(shù)”.

10.5400的正約數(shù)有個(gè)

【答案】48

【詳解】5400=23X33X52，5400的正約數(shù)一定是由2的幕與3的幕和5的寨相乘的結(jié)

果，

所以正約數(shù)個(gè)數(shù)為(3+1)x(3+1)x(2+1)=48.

三、解答題

11.現(xiàn)某學(xué)校共有34人自愿組成數(shù)學(xué)建模社團(tuán)，其中高一年級(jí)13人，高二年級(jí)12人，高

三年級(jí)9人.

(1)選其中一人為負(fù)責(zé)人，共有多少種不同的選法？

(2)每個(gè)年級(jí)選一名組長(zhǎng)，有多少種不同的選法？

(3)選兩人作為社團(tuán)發(fā)言人,這兩人需要來(lái)自不同的年級(jí)，有多少種不同的選法？

【詳解】(1)根據(jù)題意，選其中一人為負(fù)責(zé)人，有3種情況，

若選出的是高一學(xué)生，有13種情況，

若選出的是高二學(xué)生，有12種情況，

若選出的是高三學(xué)生，有9種情況，

由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可得，共有12+13+9=34種選法.

(2)根據(jù)題意，從高一學(xué)生中選出1人，有13種情況；

從高二學(xué)生中選出1人，有12種情況；

從高三學(xué)生中選出1人，有9種情況；

由分步計(jì)數(shù)原理，可得共有12X13X9=1404種選法.

(3)根據(jù)題意，分三種情況討論：

若選出的是高一、高二學(xué)生，有12X13=156種情況，

若選出的是高一、高三學(xué)生，有13X9=117種情況，

若選出的是高二、高三學(xué)生，有12X9=108種情況，

由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可得，共有156+117+108=381種選法.

12.數(shù)學(xué)上的“四色問(wèn)題”，是指“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有公共邊界的國(guó)家

著上不同的顏色?！?，現(xiàn)有五種顏色供選擇，涂色我國(guó)西部五省，要求每省涂一色，相鄰

各省不同色，有多少種涂色方法.

、，八上

【詳解】對(duì)于新疆有5種涂色的方法,

對(duì)于青海有4種涂色方法，

對(duì)于西藏有3種涂色方法，

對(duì)于四川：若與新疆顏色相同，則有1種涂色方法，此時(shí)甘肅有3種涂色方法；

若四川與新疆顏色不相同，則四川只有2種涂色方法，此時(shí)甘肅有2種涂色方法;

根據(jù)分步、分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，則共有5X4X3X（2X2+1X3）=420種方法.

《6.2.1排列與排列數(shù)》基礎(chǔ)訓(xùn)練

一、選擇題

1.下列問(wèn)題中屬于排列問(wèn)題的是（）.

A.從10個(gè)人中選出2人去勞動(dòng)

B.從10個(gè)人中選出2人去參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽

C.從班級(jí)內(nèi)30名男生中選出5人組成一個(gè)籃球隊(duì)

D.從數(shù)字5、6、7、8中任取2個(gè)不同的數(shù)做log。人中的底數(shù)與真數(shù)

2.89x90x91x……xlOO可表示為()

A-AooB.A］。。C.AooD.A］。。

3.已知用x=100A：,貝ijx=().

A.11B.12C.13D.14

4.某節(jié)目組決定把《將進(jìn)酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外確定的兩

首詩(shī)詞排在后六場(chǎng)做節(jié)目開(kāi)場(chǎng)詩(shī)詞，并要求《將進(jìn)酒》與《望岳》相鄰，且《將進(jìn)酒》排

在《望岳》的前面，《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰，且均不排在最后，則后

六場(chǎng)開(kāi)場(chǎng)詩(shī)詞的排法有（）

A.72種B.48種C.36種D.24種

5.(多選題)5人并排站成一行，如果甲、乙兩個(gè)人不相鄰，那么不同的排法種數(shù)可以是

()

1-

A.B.60C.72D.一￡

2節(jié)

6.（多選題）對(duì)于正整數(shù)〃，定義“〃!！”如下：當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，〃!!=〃?（〃-2〉（〃一4P-5?34；則

下列命題中正確的是（）

A.（2021!!）-（2020!!）=2021!B.2004!!=21002.1002!

C.2020!!的個(gè)位數(shù)是0D.2（X）5!!的個(gè)位數(shù)是5

二、填空題

7.5崗+4A：=.

8.用數(shù)字1,2,3,4,6可以組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)有____個(gè).（用數(shù)字作答）

9.省實(shí)驗(yàn)中學(xué)為預(yù)防秋季流感爆發(fā)，計(jì)劃安排學(xué)生在校內(nèi)進(jìn)行常規(guī)體檢，共有3個(gè)檢查項(xiàng)

目，需要安排在3間空教室進(jìn)行檢查，學(xué)?，F(xiàn)有一排6間的空教室供選擇使用，但是為了

避免學(xué)生擁擠，要求作為檢查項(xiàng)目的教室不能相鄰，則共有種安排方式.（用數(shù)字

作答）

10.某年級(jí)舉辦線上小型音樂(lè)會(huì)，由6個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排

在前兩位，節(jié)目丙必須排在節(jié)目乙的下一個(gè)，則該小型音樂(lè)會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共

有種.（用數(shù)字作答）

三、解答題

11.（1）解不等式A；＜6A＞；

（2）解方程A；川=14（）A：.

12.一場(chǎng)小型晚會(huì)有3個(gè)唱歌節(jié)目和2個(gè)相聲節(jié)目，要求排出一個(gè)節(jié)目單.

（1）2個(gè)相聲節(jié)目要排在一起，有多少種排法？

（2）第一個(gè)節(jié)目和最后一個(gè)節(jié)目都是唱歌節(jié)目，有多少種排法？

（3）前3個(gè)節(jié)目中要有相聲節(jié)目，有多少種排法？

答案解析

一、選擇題

1.下列問(wèn)題中屬于排列問(wèn)題的是（）.

A.從10個(gè)人中選出2人去勞動(dòng)

B.從10個(gè)人中選出2人去參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽

C.從班級(jí)內(nèi)30名男生中選出5人組成一個(gè)籃球隊(duì)

D.從數(shù)字5、6、7、8中任取2個(gè)不同的數(shù)做log“人中的底數(shù)與真數(shù)

【答案】D

【詳解】A.從10個(gè)人中選出2人去勞動(dòng)，與順序無(wú)關(guān)，故錯(cuò)誤；

B.從10個(gè)人中選出2人去參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，與順序無(wú)關(guān)，故錯(cuò)誤；

C.從班級(jí)內(nèi)3()名男生中選出5人組成一個(gè)籃球隊(duì)，與順序無(wú)關(guān)，故錯(cuò)誤；

D.從數(shù)字5、6、7、8中任取2個(gè)不同的數(shù)做log”匕中的底數(shù)與真數(shù)，底數(shù)與真數(shù)位置不

同，即與順序有關(guān)，故正確；故選：D

2.89x90x91x……xlOO可表示為()

A.A：：。B.C.A：,。D.A：的

【答案】C

【詳解】A：K=100X99XLX(100-12+1)=100X99XLX89.

3.已知用,=1()()A，，貝l|x=().

A.11B.12C.13D.14

【答案】C

【詳解】=100^=>2x-(2x-l)-(2x-2)=100x-(x-l),則

2x-(2x-l)-2(x-l)=lOOx-(x-l),

約分得：2x-1=25,解得：x=13,經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足題意.

4.某節(jié)目組決定把《將進(jìn)酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外確定的兩

首詩(shī)詞排在后六場(chǎng)做節(jié)目開(kāi)場(chǎng)詩(shī)詞，并要求《將進(jìn)酒》與《望岳》相鄰，且《將進(jìn)酒》排

在《望岳》的前面，《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰，且均不排在最后，則后

六場(chǎng)開(kāi)場(chǎng)詩(shī)詞的排法有()

A.72種B.48種C.36種D.24種

【答案】C

【詳解】首先可將《將進(jìn)酒》與《望岳》捆綁在一起和另外確定的兩首詩(shī)詞進(jìn)行全排列，

共有=6種排法，再將《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》插排在3個(gè)空里(最后一

個(gè)空不排)，共有8=6種排法，則后六場(chǎng)開(kāi)場(chǎng)詩(shī)詞的排法有6x6=36利，，故選：C.

5.(多選題)5人并排站成一行，如果甲、乙兩個(gè)人不相鄰，那么不同的排法種數(shù)可以是

()

A.國(guó)A；B.60C.72D.

【答案】AC

【詳解】先除去甲、乙兩人，將剩下的3人全排，共4；=3X2X1=6種不同的排法，再將

甲、乙兩人從產(chǎn)生的4個(gè)空中選2個(gè)插入共=12種不同的排法，所以5人并排站成一

行，如果甲、乙兩個(gè)人不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是用A：=6X12=72,故選：AC.

6.(多選題)對(duì)于正整數(shù)〃，定義“〃!！”如下：當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，

n!!=H-(n-2)-(n-4)---6-4-2；當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，n!!=n-(H-2)-(n-4)---5-3-l；則

下列命題中正確的是()

A.(2021!!).(2020!!)=2021!B.2004!!=21002.1002!

C.2020!!的個(gè)位數(shù)是0D.2005!!的個(gè)位數(shù)是5

【答案】ABCD

【詳解】A.(2021!!>(2020!!)=2021!,正確;B.

2004!!=2004x2002x…10x8x6x4x2=2嗎1002!，正確；

C.202()!!=2()20x2()18x…10x8x6x4x2的個(gè)位數(shù)是0,正確；D.

2005!!=2005x2003x…x9x7x5x3xl的個(gè)位數(shù)是5；正確的是ABCD.

二、填空題

7.5&+4A：=.

【答案】348

【詳解】5反+4=5x5x4x3+4x4x3=348.

8.數(shù)字1,2,3,4,6可以組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)有個(gè).(用數(shù)字作答)

【答案】72

【詳解】滿(mǎn)足條件的五位偶數(shù)有：4=3x4x3x2x1=72.

9.省實(shí)驗(yàn)中學(xué)為預(yù)防秋季流感爆發(fā)，計(jì)劃安排學(xué)生在校內(nèi)進(jìn)行常規(guī)體檢，共有3個(gè)檢查項(xiàng)

目，需要安排在3間空教室進(jìn)行檢查，學(xué)?，F(xiàn)有一排6間的空教室供選擇使用，但是為了

避免學(xué)生擁擠，要求作為檢查項(xiàng)目的教室不能相鄰，則共有種安排方式.（用數(shù)字

作答）

【答案】24

【詳解】6間空教室，有3個(gè)空教室不使用，故可把作為檢查項(xiàng)目的教室插入3個(gè)不使用

的教室之間，故所有不同的安排方式的總數(shù)為國(guó)=24.

10.某年級(jí)舉辦線上小型音樂(lè)會(huì)，由6個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排

在前兩位，節(jié)目丙必須排在節(jié)目乙的下一個(gè)，則該小型音樂(lè)會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共

有一種.（用數(shù)字作答）

【答案】42

【詳解】由題意知，甲的位置影響乙的排列，

...①甲排在第一位共有禺=24種，②甲排在第二位共有=18種，

???故編排方案共有24+18=42種.故答案為：42.

三、解答題

11.（1）解不等式A；<6A；2；

(2)解方程A&=140A：.

【答案】（1）8（2）3

8!,8!

【解析】（1）由A；<6A；2，得EEF'

化簡(jiǎn)得六一19x+84<0,解之得7<x<12,①

又)',??2<xW8,②

X—2>0,

由①②及x￡N*得x=8.

2x4-1>4,

（2）因?yàn)椤端詘23,xeN”，

x>39

由A；/】=140A：得(2x+l)2x(2x—1)(2x—2)=140x(x—1)(x—2).

23

2

化簡(jiǎn)得，4x—35x+69=0,解得Xi=3,x2=一(舍去).

4

所以方程的解為x=3.

12.一場(chǎng)小型晚會(huì)有3個(gè)唱歌節(jié)目和2個(gè)相聲節(jié)目，要求排出一個(gè)節(jié)目單.

（1）2個(gè)相聲節(jié)目要排在一起，有多少種排法？

（2）第一個(gè)節(jié)目和最后一個(gè)節(jié)目都是唱歌節(jié)目，有多少種排法？

（3）前3個(gè)節(jié)目中要有相聲節(jié)目，有多少種排法？

【詳解】

（1）把兩個(gè)相聲節(jié)目捆綁在一起作為一個(gè)節(jié)目與其他節(jié)目排列共有排法A：&=48；

（2）選兩個(gè)唱歌節(jié)目排在首尾，剩下的3個(gè)節(jié)目在中間排列，排法為A；A；=36；

（3）5個(gè)節(jié)目全排列減去后兩個(gè)都是相聲的排法，共有6-&=120-12=108.

《6.2.2組合與組合數(shù)》基礎(chǔ)訓(xùn)練

一、選擇題

1.從10名學(xué)生中挑選出3名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，不同的選法有（）

A.種B.3!C.種D.以上均不對(duì)

2.下列計(jì)算結(jié)果是21的是（）.

A.瘟+C；B.C；C.A；D.C；

3.若6個(gè)人分4張無(wú)座的足球門(mén)票，每人至多分1張，而且票必須分完，那么不同分法的

種數(shù)是（）

A.64B.46C.15I）.360

4.已知n,WGN*,n>m,下面哪一個(gè)等式是恒成立的（）

C.C：+C：T=MD.￡：+￡7=GM

5.（多選題）若則X的值為（）

A.4B.5C.6D.7

6.（多選題）已知Af-C；+0!=4,則m的值可以是（)

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

7.若C：=C；,則C：=.

8.以一個(gè)正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有個(gè).

9.為了獎(jiǎng)勵(lì)班上進(jìn)步大的8名學(xué)生，班主任購(gòu)買(mǎi)了5本相同的書(shū)和3本相同的筆記本作為

獎(jiǎng)品分發(fā)給這8名學(xué)生，每人一件，則不同的分法有一種.

10.古典著作《連山易》中記載了金、木、水、火土之間相生相克的關(guān)系，如圖所示，現(xiàn)

從五種不同屬性的物質(zhì)中任取兩種，則取出的兩種物質(zhì)恰是相克關(guān)系的概率為—

三、解答題

11.己知7A：=20A；T,XGN..

(1)求X的值；

(2)求C；丁+C%.的值.

12.一個(gè)口袋內(nèi)有3個(gè)不同的紅球，4個(gè)不同的白球

(1)從中任取3個(gè)球，紅球的個(gè)數(shù)不比白球少的取法有多少種？

(2)若取一個(gè)紅球記2分，取一個(gè)白球記1分，從中任取4個(gè)球，使總分不少于6分的取

法有多少種？

答案解析

一、選擇題

1.從10名學(xué)生中挑選出3名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，不同的選法有()

A.同種B.3!C.C1種D.以上均不對(duì)

【答案】C

【詳解】根據(jù)組合數(shù)的概念可知C選項(xiàng)正確.

2.下列計(jì)算結(jié)果是21的是（）.

A.+B.C；C.A；D.C；

【答案】D

4!_6!_7!7!

【詳解】12+15=27,C；=35,反=42,

2!2!4!3!4!5!

7!

=21.

02:5!

3.若6個(gè)人分4張無(wú)座的足球門(mén)票，每人至多分1張，而且票必須分完，那么不同分法的

種數(shù)是（）

A.64B.46C.15D.360

【答案】C

【詳解】因?yàn)槭菬o(wú)座的足球門(mén)票，所以可以看成相同的元素，因此可以看成組合問(wèn)題,

z6!6x5

則有‘6=（6-4）!-4!="F=15故選:C

4.已知n,meN*,n>m,下面哪一個(gè)等式是恒成立的（)

n\/wn\

A.B.八A〃一-

m\(〃_m)!

C/^mc./^m-\z^w-lc

-?+C“=cn+l-?+C"=C"+1

【答案】B

flI

【詳解】由組合數(shù)的定義可知CT=/A選項(xiàng)錯(cuò)誤；由排列數(shù)的定義可知

n\,

A,=（〃_加）!，B選項(xiàng)正確：由組合數(shù)的性質(zhì)可知C；+C,7=C：：；,則C、D選項(xiàng)均錯(cuò)

誤.故選B.

5.（多選題）若C#=C祟,則x的值為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】AC

【詳解】因?yàn)榈趶S=C短，所以2x—l=x+3或2x—l+x+3=20,解得x=4或

x=6,

故選：AC.

6.（多選題）已知駕一C；+0!=4,則m的值可以是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】BC

【詳解】A"'-+0!=4,/.=6.當(dāng)m=2時(shí)成立；當(dāng)m=3時(shí)也成立.故選：BC.

二、填空題

7.若C?=C＞則C：8=.

【答案】190

20x19

【解析】C：3=c：則〃=13+7=20,所以C「=G：=C；o=—^=190

8.以一個(gè)正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有個(gè).

【答案】64

【解析】正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)共有或=7（）個(gè)，不能組成四面體的4個(gè)頂點(diǎn)有，

已有6個(gè)面，對(duì)角面有6個(gè)，所以以一個(gè)正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有70-12=58

個(gè)，故選C

9.為了獎(jiǎng)勵(lì)班上進(jìn)步大的8名學(xué)生，班主任購(gòu)買(mǎi)了5本相同的書(shū)和3本相同的筆記本作為

獎(jiǎng)品分發(fā)給這8名學(xué)生，每人一件，則不同的分法有種.

【答案】56

【詳解】解：根據(jù)題意，5本相同的書(shū)和3本相同的筆記本發(fā)給8名學(xué)生，每人1本，需

要在8人中任選3人，領(lǐng)取筆記本，剩下5人領(lǐng)取書(shū)即可，則有C；=56種不同的分法.

10.古典著作《連山易》中記載了金、木、水、火土之間相生相克的關(guān)系，如圖所示，現(xiàn)

從五種不同屬性的物質(zhì)中任取兩種，則取出的兩種物質(zhì)恰是相克關(guān)系的概率為

【答案】工

2

【詳解】解：古典著作《連山易》中記載了金、木、水、火土之間相生相克的關(guān)系，

現(xiàn)從五種不同屬性的物質(zhì)中任取兩種，基本事件總數(shù)〃=C；=10,

取出的兩種物質(zhì)恰是相克關(guān)系包含的基本事件有：

水克火，木克土，火克金，土克水，金克木，共5種，

則取出的兩種物質(zhì)恰是相克關(guān)系的概率為p=得=3.

三、解答題

11.已知7A：=20A；T,X&N+.

(1)求X的值；

(2)求+的值.

【詳解】

6?7'

(1)由已知得：7x—~-=20x-~~[，化簡(jiǎn)得：X2-15X+36=0，

(6-%)!(8-x)!

解得x=3或x=12,

X,6

又因?yàn)閂,一所以％=3.

[x-L,7

(2)將x=3代入得+C；()=C；o+C\=C[=1330.

12.—個(gè)口袋內(nèi)有3個(gè)不同的紅球，4個(gè)不同的白球

(1)從中任取3個(gè)球，紅球的個(gè)數(shù)不比白球少的取法有多少種？

(2)若取一個(gè)紅球記2分，取一個(gè)白球記1分，從中任取4個(gè)球，使總分不少于6分的取

法有多少種？

【詳解】

解：（1）從中任取3個(gè)球，紅球的個(gè)數(shù)不比白球少的取法：紅球3個(gè)，紅球2個(gè)和白球1個(gè).

當(dāng)取紅球3個(gè)時(shí)，取法有1種；

當(dāng)取紅球2個(gè)和白球1個(gè)時(shí)，.取法有C；C：=12種.

根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理,紅球的個(gè)數(shù)不少于白球的個(gè)數(shù)的取法有1+12=13種.

（2）