高中數(shù)學(xué)：直線方程中的對稱問題

高中數(shù)學(xué)：直線方程中的對稱問題

在高中數(shù)學(xué)必修二的第三章“直線方程”中，可

以有一個小專題為直線中的“對稱問題”。這主

要有：點關(guān)于點對稱；點關(guān)于直線對稱；直線關(guān)

于點對稱；直線關(guān)于直線對稱。

一、對稱問題的求解方法

1、點關(guān)于點的對稱

【例1】已知點A(—2,3),求關(guān)于點P(1,

1)的對稱點Bo

分析：利用點關(guān)于點對稱的幾何特性，直接應(yīng)用

中點坐標(biāo)公式求解。

解：設(shè)點A(-2,3)關(guān)于點P(1,1)的對稱點為.

-2+m_?

B(m,n),則由中點坐標(biāo)公式得2'解得捫二%

3+n_[(n=-1

:2一射

所以點A關(guān)于點P(1,1)的對稱點為B(4,-l)o.

2、直線關(guān)于點的對稱

【例2】求直線3x-y-4=0關(guān)于點P(2,-1)

對稱的直線I的方程。

分析：由已知條件可得出所求直線與已知直線平

行，所以可設(shè)所求直線方程為3x-y+b=0。

解：由直線1與3x-y-4=0平行，故設(shè)直線1方程

為3x-y+b=0。由已知可得，點P到兩條直線.

|6+1-4||6+l+b|

距離相等'得

解得b=-10,或b=-4(舍)。.

因此直線1的方程為3x-y-10=0..

說明：充分利用直線關(guān)于點對稱的特性：對稱直

線與已知直線平行且點P到兩條直線的距離相

等。幾何圖形特性的靈活運用，可為解題尋找一

些簡捷途徑。此題還可在直線3x-y-4=0上取兩

個特殊點，并分別求其關(guān)于點P(2,-1)的對

稱點，這兩個對稱點的連線即為所求直線。

3、點關(guān)于直線的對稱

【例3】求點A(2,2)關(guān)于直線2x-4y+9=0

的對稱的點的坐標(biāo)。

分析：利用點關(guān)于直線對稱的性質(zhì)求解。

解：(相關(guān)點法)：設(shè)B(a,b)是A(2,2)關(guān)于直

線2x-4y+9=0的對稱點，根據(jù)直線AB與I垂直，.

線段AB中點在直線2x-4y+9=0上…

1b-21

則有｛2b,2解得a=l,b=4…

2?2士1-4?+9=0,

I22

???所求對稱點的坐標(biāo)為(1,4)。.

4、直線關(guān)于直線的對稱

【例4】求直線li：x-y-2=0關(guān)于直線，

12：3x-y+3=0對稱的直線l的方程。.

分析：設(shè)所求直線1上任一點為P(x',y'),利用“相

關(guān)點法”求其對稱點坐標(biāo)，并將其對稱點坐標(biāo)代入直線L

方程進(jìn)行求解。(許興華數(shù)學(xué)

解：設(shè)所求直線】上任意一點P(x',y')(P任%).

關(guān)于k的對稱點為Q(X],y])，“

'X|+X，力+y'[-4x'+3y'-9

22I5

則y-y解得3x，+4y，+3，

--=Ty1=-----------

lx-Xl5

又因為點Q在h上運動，則乂1-丫1-2=0。.

_4x，:3匕9_3x：++3_2=o,解得7x'+y'+22=0。

即直線1的方程為7x+y+22=0。.

二、關(guān)于對稱常見的幾種題型

1、角平分線問題

已知的一頂點A的坐標(biāo)為(xo,yo),NB、ZC的內(nèi)角平分線分

別為直線Aix+Biy+Ci=O與A2x+B2y+C2=0,求邊BC所在的直線

方程。

根據(jù)角平分線的性質(zhì)，點A分別關(guān)于NB、NC的內(nèi)角平分線

分別為直線Aix+Biy+Ci=O與A2x+B2y+C2=0的對稱點P、D均

在直線BC上,所以只要分別計算出P、D的坐標(biāo)，再由兩點式方

程即可得BC所在直線方程。

例1：已知^ABC的頂點A(-1,-4),內(nèi)角B、C的平分線

所在直線分別為工：y+l=O,2：x+y+l=O,求BC邊所在的直

線方程。

2、入射光線和反射光線問題

關(guān)于過點A(xo,yo),入射光線遇直線Aix+Biy+Ci=O的反射光

線經(jīng)過點B(xi,yi),求反射線所在直線方程的有關(guān)問題。

根據(jù)光學(xué)性質(zhì)，點A關(guān)于直線Aix+Biy+Ci=0的對稱點C在反

射光線所在的直線上.因此，只要求出A點關(guān)于直線

Aix+Biy+Ci=O的對稱點C的坐標(biāo)。這樣，就知道了反射光線BD

上兩點的坐標(biāo)，由兩點式就得到反射線所在直線方程。

例2：光線從點M(—2,3)射到x軸上一點P(l,0)后被x軸

反射，求反射光線所在的直線的方程.

3、線段之和最小問題

J(x+3)2+(X_3)2+_1)2+(X_5、

例3求Y-的最小值

大自然中有很多精妙之處，比如蜂巢的結(jié)構(gòu)可以使得蜜蜂用最少的材料造

出最大的空間，比如光總是沿直線傳播，即使在物體表面反射后，所走路

線仍然是最短的.在數(shù)學(xué)中，最短距離問題往往可以通過某種對稱，轉(zhuǎn)化

為兩點之間的距離最短的問題.比如從初中開始，我們就很熟悉的這樣的

問題：已知點4(2,2)和點8(—3,8)

,在H軸上求一點

M，使得取最小值.

我們只需要作/關(guān)于/軸的對稱點，由

\AM\+\BM\=\A!M\+\BM\》\AfB\

便可得到當(dāng)4'，"，B三點共線時，有最小值.從而得到

M(1,O).在光線反射問題中，因為光總是走最短距離的，所以將

入射光線上的點關(guān)于反射面作對稱，得到的點一定在反射光線上.

例，(1)在直角坐標(biāo)平面/°沙內(nèi)，一條光線從點⑵4)射出，經(jīng)直

線力+g—1=0?反射后，經(jīng)過點(3,2),則反射光線的方

程為；

(2)如圖所示，已知4(4,0),B(0,4),從點尸(2,0)射出

的光線經(jīng)直線4B反射后，再射到直線08上,最后經(jīng)直線08反

射后又回到尸點，則光線所經(jīng)過的路程是.

分析：（1）點（2,4）關(guān)于直線優(yōu)+y—1=°的對稱點在反射

光線所在的直線上，由上一招可以直接寫出對稱點坐標(biāo)為

(一3,—1)所以反射光線的方程為

52=出2+1(1),

x—2y+l=0

整理得

（2）由光線反射的性質(zhì)知，點尸關(guān)于48的對稱點C,與點尸關(guān)于

08的對稱點°都在第一次反射后的光線上，如圖：

4B的方程為為+J—4=0,故。(4,2),而

。(—2,0)，光線所經(jīng)過的路程就是CO的長，故為2、

說明：入射光線與反射光線是相對的，如果光線反過來，從反射光線方向

射入，則原來的入射光線就會變成反射光線，在處理光線相關(guān)問題時注意

靈活轉(zhuǎn)化.

例2:已知P是直線？/=劣+1上一點，M，N分別是圓

：Q+4產(chǎn)+(g—4產(chǎn)=4與圓

2

。2：(N—3)2+y—1上的動點，則

IPM—|PN|的最大值為.

分析：因為N是相對獨立的，要想\PM\-\PN\^

盡量小.設(shè)尸為圓O外

最大值，我們希望盡量大,|PN|

的一點，M為圓上一點

，我們來研究\PM\的最大值與最小值，如

圖：

我們有

\PM\W\PO\+\OM\=|PB|,

\PN\?\P0\-\0N\=\PA\,

r