新教材高中數(shù)學必修第一冊4 .5 .3 函數(shù)模型的應用

4.5.3函數(shù)模型的應用

【學習目標】1.能利用已知函數(shù)模型求解實際問題2能自建確定性函數(shù)模型解決實際問題.

3.了解建立擬合函數(shù)模型的步驟，并了解檢驗和調(diào)整的必要性.

知識梳理梳理教材夯實基礎

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知識點一幾類已知函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型J（x）=cix+b（a96為常數(shù)，a#0）

Kx）=，+b（k,b為常數(shù)且k￥0）

反比例函數(shù)模型

二次函數(shù)模型y（x）=ajc+hx+c（a,b,c為常數(shù)，〃W0）

指數(shù)型函數(shù)模型fix）=ba+c（a,b,c為常數(shù)，bWO,〃>0且〃Hl）

對數(shù)型函數(shù)模型flx）=b\ogax+c（a9b>c為常數(shù),b乎0,且

基函數(shù)型模型J（x）=axn+b（a,匕為常數(shù)，a20）

知識點二應用函數(shù)模型解決問題的基本過程

1.審題——弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，初步選擇模型；

2.建?！獙⒆匀徽Z言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學知識建立相

應的數(shù)學模型；

3.求?！蠼鈹?shù)學模型，得出數(shù)學模型；

4.還原——將數(shù)學結論還原為實際問題.

■思考辨析判斷正誤

1.在選擇實際問題的函數(shù)模型時，必須使所有的數(shù)據(jù)完全符合該函數(shù)模型.（X）

2.利用函數(shù)模型求實際應用問題的最值時，要特別注意取得最值時的自變量與實際意義是否

相符.（V）

3.用函數(shù)模型預測的結果和實際結果必須相等，否則函數(shù)模型就無存在意義了.（X）

題型探究探究重點素養(yǎng)提升

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一、指數(shù)型函數(shù)模型

例1目前某縣有100萬人，經(jīng)過x年后為y萬人.如果年平均增長率是1.2%,請回答下列

問題：（已知:1.012i°31.1267,1.012”g1.1402,1g1.2^0.079,1g1.012^0.005）

⑴寫出y關于x的函數(shù)解析式；

⑵計算10年后該縣的人口總數(shù)(精確到0.1萬人)；

(3)計算大約多少年后該縣的人口總數(shù)將達到120萬(精確到1年).

解⑴當x=l時,100+100X1.2%=100(1+1.2%)；

當x=2時，y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)X1.2%=100(1+1.2%)2；

當x=3時，y=100(1+1.2%)2+100(1+1.2%)2X1.2%=100(1+1.2%)3；

故y關于x的函數(shù)解析式為y=100(1+1.2%)*(xGN*).

⑵當x=10時，>>=100X(1+1.2%)|0=100X1.01210=?112.7.

故10年后該縣約有112.7萬人.

(3)設x年后該縣的人口總數(shù)為120萬，

即100X(1+1.2%/=120,

120

解得x=logi,oi2而F6.

故大約16年后該縣的人口總數(shù)將達到120萬.

反思感悟在實際問題中，有關人口增長、銀行復利、細胞分裂等增長率問題?？梢杂弥笖?shù)

型函數(shù)模型表示，通?？梢员硎緸閥=N(l+p)*(其中N為基礎數(shù)，p為增長率，x為時間)的

形式.

跟蹤訓練1一種放射性元素，最初的質(zhì)量為500g,按每年10%衰減.(已知：1g0.5七0.3010,

1g0.9心0.0458)

(1)求f年后，這種射放性元素的質(zhì)量。的表達式；

(2)由求出的函數(shù)表達式，求這種放射性元素的半衰期(結果精確到0.1).

解(1)最初的質(zhì)量為500g.

經(jīng)過1年，co-500(1-10%)=500X0.9；

經(jīng)過2年，s=500X0.92；

所以f年后，3=500X0.9'.

⑵由題意得500X0.9'=250,即

0.9'=0.5,兩邊取以10為底的對數(shù)，得

lg0.9'=1g0.5,即/1g0.9=lg0.5,

所以片㈱

即這種放射性元素的半衰期為6.6年.

二、對數(shù)型函數(shù)模型

例2我們知道，燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬，研究燕子的科學家發(fā)現(xiàn)，兩歲燕

子的飛行速度可以表示為函數(shù)。=51og2書，單位是m/s,其中O表示燕子的耗氧量.

(1)計算，當燕子靜止時的耗氧量是多少個單位？

(2)當一只燕子的耗氧量是80個單位時，它的飛行速度是多少？

解(1)由題意知，當燕子靜止時，它的速度。=0,代入題中公式，可得0=5k>g2^,解得。

=10個單位.

(2)將耗氧量。=80代入題中公式，得o=51og21|=51og28=15(m/s).

反思感悟有關對數(shù)型函數(shù)的應用題一般都會給出函數(shù)關系式，要求根據(jù)實際情況求出函數(shù)

關系式中的參數(shù)，或給出具體情境，從中提煉出數(shù)據(jù)，代入關系式求值，然后根據(jù)值回答其

實際意義.

跟蹤訓練2“學習曲線”可以用來描述學習某一任務的速度，假設函數(shù)r=-1441g(l一箭

中，f表示達到某一英文打字水平所需的學習時間，N表示每分鐘打出的字數(shù).則當N=40

時，/=.(已知1g5比0.699,1g3g0.477)

答案36.72

解析當N=40時，-1441g(l=-1441g|=-144(lg5-21g3)^36.72.

三、建立擬合函數(shù)模型解決實際問題

例3某紀念章從2019年1月6日起開始上市.通過市場調(diào)查，得到該紀念章每枚的市場價

y(單位：元)與上市時間x(單位：天)的數(shù)據(jù)如下：

上市時間X天41036

市場價y元905190

(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)結合散點圖，從下列函數(shù)中選取一個恰當?shù)暮瘮?shù)描述該紀念章的市場價y與

上市時間x的變化關系并說明理由：?y=ax+h；②y=G?+/>x+c；③了="1(吆??；

(2)利用你選取的函數(shù)，求該紀念章市場價最低時的上市天數(shù)及最低的價格.

解(1),.?隨著時間x的增加，y的值先減后增，而所給的三個函數(shù)中y=or+6和y=alog環(huán)

顯然都是單調(diào)函數(shù)，不滿足題意，

用函數(shù)y=a^+bx+c描述該紀念章的市場價y與上市時間x的變化關系.

(2)把點(4,90),(10,51),(36,90)分別代入)，=62+法+。中，

1

116a+4〃+c=90,〃=不

得1100a+10b+c=51,

解得,/?=-10,

U2964+366+c=90,

lc=126,

11

.?.)=產(chǎn)92—10x+126=4(x-2°9)+26.

...當x=20時，y有最小值26.

故該紀念章市場價最低時的上市天數(shù)為20天，最低的價格為26元.

反思感悟建立函數(shù)模型應遵循的三個原則

(1)簡化原則：建立函數(shù)模型，原型一定要簡化，抓主要因素，主要變量，盡量建立較低階、

較簡便的模型.

(2)可推演原則：建立模型，一定要有意義，既能作理論分析，又能計算、推理，且能得出正

確結論.

(3)反映性原則：建立模型，應與原型具有“相似性”，所得模型的解應具有說明問題的功能,

能回到具體問題中解決問題.

跟蹤訓練3蘆薈是一種經(jīng)濟價值很高的觀賞、食用植物，不僅可美化居室、凈化空氣，又

可美容保健，因此深受人們歡迎，在國內(nèi)占有很大的市場.某人準備進軍蘆薈市場，栽培蘆

薈，為了了解行情，進行市場調(diào)研，從4月1日起，蘆薈的種植成本。(單位：元/10kg)與上

市時間f(單位：天)的數(shù)據(jù)情況如表：

t50110250

Q150108150

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個最能反映蘆薈種植成本。與上市時間，的變化關系:

Q=at+b,Q=aP+ht+c,Q=ah',Q=a\ogbt,并說明理由；

(2)利用你選擇的函數(shù)，求蘆薈種植成本最低時的上市天數(shù)及最低種植成本.

解(1)由所提供的數(shù)據(jù)可知，刻畫蘆薈種植成本。與上市時間f的變化關系的函數(shù)不可能是

常數(shù)函數(shù)，若用函數(shù)Q=c"+8,Q—ab',Q=ak)g”中的任意一個來反映時都應有aWO,且

上述三個函數(shù)均為單調(diào)函數(shù)，這與表格所提供的數(shù)據(jù)不符合，所以應選用二次函數(shù)Q="P+

加+c進行描述.將表格所提供的三組數(shù)據(jù)分別代入函數(shù)Q=a『+初+c,可得：

150=2500a+506+c,

708=12lOOa+HOb+c,

.150=62500a+250/>+c,

.13425

a=200,b=-亍c=~2~-

3

-+

所以，刻畫蘆薈種植成本。與上市時間，的變化關系的函數(shù)。=志/24225

3

_

一2

—天)時，蘆薈種植成本最低為

2X150(

20

2=六*15（）2一|x150+竿=100（元/10kg）.

隨堂演練基礎鞏固學以致用

1.一輛汽車在某段路途中的行駛路程S關于時間r變化的圖象如圖所示，那么圖象所對應的

函數(shù)模型是（）

A.分段函數(shù)B.二次函數(shù)

C.指數(shù)型函數(shù)D.對數(shù)型函數(shù)

考點函數(shù)擬合問題

題點函數(shù)擬合問題

答案A

2.某種植物生長發(fā)育的數(shù)量y與時間x的關系如下表:

X123…

y138…

則下面的函數(shù)關系式中，擬合效果最好的是（）

A.y—2x—\B.y—x^—\

C.y=2v-1D.y=1.5f—2.5X+2

考點函數(shù)擬合問題

題點函數(shù)擬合問題

答案D

3.國內(nèi)郵寄I000g以內(nèi)的包裹的郵資標準如下表：

運送距離x（km）0<x^500500<x^l0001000315001500VxW2000…

郵資y（元）5.006.007.008.00???

如果某人在西安要郵寄800g的包裹到距西安1200km的某地，那么他應付的郵資是（）

A.5.007GB.6.00元C.7.00元D.8.00元

答案C

4.據(jù)統(tǒng)計，每年到鄱陽湖國家濕地公園越冬的白鶴數(shù)量y（只）與時間M年）近似滿足關系），=

Hog3（x+2）,觀測發(fā)現(xiàn)2013年冬（作為第1年）有越冬白鶴3000只，估計到2019年冬有越冬

白鶴（）

A.4000只B.5000只C.6000只D.7000只

考點函數(shù)模型應用

題點指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的應用

答案c

解析當x=l時，由3000=alog3（l+2）,得a=3000,所以到2019年冬，

即第7年，y=3000Xlog3（7+2）=6000.故選C.

5.某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場要求，雜質(zhì)含量不超過0.1%,若初始時含雜質(zhì)2%,每過

濾一次可使雜質(zhì)含量減少/至少應過濾幾次才能使產(chǎn)品達到市場要求？（1g2比0.3010,

1g3-0.4771）

解每過濾一次可使雜質(zhì)含量減少/

則每過濾一次雜質(zhì)含量將降為原來的東2

設過濾〃次后雜質(zhì)含量不超過0.1%,

則有2%x0y^o.i%,

l+lg2

即心七7.4,

1g3-1g2

又“WN*,故〃》8,

即至少應過濾8次，才能使產(chǎn)品達到市場要求.

-課堂小結

1.知識清單：

（1）指數(shù)型函數(shù)模型.

（2）對數(shù)型函數(shù)模型.

2.方法歸納：把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題.

3.常見誤區(qū)：實際應用題易忘定義域和作答.

課時對點練--------注--重-雙-息強、-化-落-實-

X基礎鞏固

1.某研究小組在一項實驗中獲得一組關于y,r的數(shù)據(jù)，將其整理得到如圖所示的圖形.下

列函數(shù)中，最能近似刻畫v與f之間關系的是（）

O123456789101112131415161718

A.y=2'B.y=2t2

C.D.y=log2f

答案D

2.若鐳經(jīng)過100年后剩留原來質(zhì)量的95.76%,設質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過x年后剩留量為y,則達

y的函數(shù)關系是()

X

A.y=0.9576荷

B.y=(0.9576)嘰

一(0.9576\.

Cy={100)

X

D.y=1-0.0424

考點函數(shù)模型的應用

題點指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的應用

答案A

3.把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是4(℃),空氣的溫度是心)(℃),以經(jīng)過

，分鐘后物體的溫度7TC)可由公式T=n+(Z—4把一°.求得.把溫度是900c的物體，放在

10°C的空氣中冷卻f分鐘后，物體的溫度是50℃,那么r的值約等于(參考數(shù)據(jù)：In3^1.099,

In2%(1693)()

A.1.78B.2.77C.2.89D.4.40

答案B

4.某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況.

加油時間加油量(升)加油時的累計里程(千米)

2018年5月1日1235000

2018年5月15日4835600

注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程.

在這段時間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為()

A.8升B.6升

C.4升D.10升

考點建立函數(shù)模型解決實際問題

題點建立函數(shù)模型解決實際問題

答案A

解析由表知：汽車行駛路程為35600-35000=600(千米)，耗油量為48升，...每100千米

耗油量為8升.

5.在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù)，現(xiàn)準備用下列四個函數(shù)中

的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是()

X1.992345.156.126

y1.5174.04187.51218.01

A.y=2x—2B.y=^(x2—1)

C.y=:log2XD.

考點函數(shù)模型的應用

題點一次、二次函數(shù)模型的應用

答案B

解析由題中表格可知函數(shù)在(0,+8)上是增函數(shù)，且y的變化隨x的增大而增大的越來越

快，分析選項可知B符合，故選B.

6.計算機成本不斷降低，若每隔3年計算機價格降低;，現(xiàn)在價格為8100元的計算機9年

后的價格為元.

答案2400

解析依題意得，所求價格為8100義(1-。3=8IOOX(|)3=24OO(元).

7.在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度。米/秒和燃料的質(zhì)量用千克、火箭(除燃料

外)的質(zhì)量m千克的函數(shù)關系式是。=2000.ln(l+知.當燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的倍時，

火箭的最大速度可達12千米/秒.

答案e6-l

解析當0=12000時，2000」11。+朗=12000,

8.現(xiàn)測得(x,y)的兩組對應值分別為(1,2),(2,5),現(xiàn)有兩個待選模型，甲：＞?=/+1,乙：y

=3x—1,若又測得(x,y)的一組對應值為(3,10.2),則應選用作為函數(shù)模型.

答案甲

解析將x=3分別代入y=f+l及y=3x—l中，得y=3?+1=10,y=3*3—1=8.由于10

更接近10.2,所以選用甲模型.

9.某家庭(父親、母親和孩子們)去某地旅游，甲旅行社說：“如果父親買一張全票，其余人

可享受半票優(yōu)惠.”乙旅行社說：“家庭旅行為集體票，按原價的三分之二優(yōu)惠.”這兩家

旅行社的原價是一樣的，根據(jù)該家庭中孩子數(shù)的不同，分別建立表達式，計算兩家旅行社的

收費，并討論哪家旅行社更優(yōu)惠.

解設該家庭中孩子數(shù)為x(x2l,XWN*),旅行社的收費為y,旅行社的原價為。

甲旅行社收費：y=a+1(x+l)a=1(x+3)iz；

2

乙旅行社收費：y=)(x+2)a.

211

因為］(x+2)a—1(x+3)a=4(x—1)〃，

所以當x=l時，兩家旅行社收費相等；

當X>1時，甲旅行社更優(yōu)惠.

10.某公司試銷一種成本單價為50元/件的新產(chǎn)品，規(guī)定試銷時銷售單價不低于成本單價，又

不高于80元/件.經(jīng)試銷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)銷售量y(件)與銷售單價x(元/件)的關系可近似看作一次

函數(shù)丫=日+以如圖所示).

01020304050607080》

(1)根據(jù)圖象，求一次函數(shù)y=fcc+〃的解析式；

(2)設公司獲得的利潤為5(元)(利潤=銷售總價一成本總價，銷售總價=銷售單價X銷售量,

成本總價=成本單價X銷售量).

①試用銷售單價x表示利潤S；

②當銷售單價定為多少時，該公司可獲得最大利潤？最大利潤是多少？此時的銷售量是多少?

40=60%+仇k=-l,

解(1)由圖象可知,解得，

30=70k+b,6=100,

所以y=—x+100(50WxW80).

(2)①由(1)知，S=xy—50)=(—x+100)(x—50)

=一/+150x-5OOO(5OWxW8O).

②由①可知，S=-(X-75)2+625,

其圖象開口向下，對稱軸為x=75,

所以當x=75時，5max=625,

即該公司可獲得的最大利潤為625元，

此時相應的銷售單價為75元/件，銷售量為25件.

營綜合運用

11.某地固定電話市話收費規(guī)定：前三分鐘0.20元(不滿三分鐘按三分鐘計算)，以后每加一

分鐘增收0.10元(不滿一分鐘按一分鐘計算)，那么某人打市話550秒，應支付電話費()

A.I.OOTGB.0.90元

C.1.20元D.0.80元

答案B

解析y=0.2+0.1X（[x]—3）（國是不小于x的最小整數(shù)，x>0）,令》=得表

故國=10,則y=0.9.故選B.

12.某新品牌電視投放市場后第一個月銷售100臺，第二個月銷售200臺，第三個月銷售400

臺，第四個月銷售790臺，則下列函數(shù)模型中能較好反映銷量M臺）與投放市場的月數(shù)x之間

的關系的是（）

A.y=100xB.y=50?-50x+100

C.y=50X2*D.y=1001og2x+100

答案C

13.衣柜里的樟腦丸，隨著時間會揮發(fā)而體積縮小，剛放進的新丸體積為“，經(jīng)過t天后體

積丫與天數(shù)f的關系式為：^=〃七一”已知新丸經(jīng)過50天后，體積變?yōu)闆?若一個新丸體積變

為梟，則需經(jīng)過的天數(shù)為.

答案75

1

解析由已知,得東=0屋5叱.『=0°.

Q

設經(jīng)過八天后，一個新丸體積變?yōu)閯?,

則梟=。e,

?令…=75.

14.某人計劃購買一輛A型轎車，售價為14.4萬元，購買后轎車每年的保險費、汽油費、年

檢費、停車費等約需2.4萬元，同時汽車年折舊率約為10%（即這輛車每年減少它的價值的

10%）,則大約使用年后，用在該車上的費用（含折舊費）達到14.4萬元.

答案4

解析設使用x年后花費在該車上的費用達到14.4萬元，

依題意可得，14.4（1-0.1）*+2擊=14.4,化簡得x-6X0.9*=0.

令式x）=x-6X0.9。易得人x）為單調(diào)遞增函數(shù)，

又式3）=—1.374<0,^4）=0.0634>0,

所以函數(shù)外）在（3,4）上有一個零點.

故大約使用4年后，用在該車上