高中數(shù)學(xué)必修二第六章第2節(jié)《平面向量的運(yùn)算》解答題 (17)(含答案解析)

必修二第六章第2節(jié)《平面向量的運(yùn)算》解答題(17)

一、解答題(本大題共29小題，共348.0分)

1.請從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解決該問題.

(T)h2+c2=52；②△ABC的面積為3座；③荏2+而.玄=_6.

在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b-c=2,A為鈍角，sinA=旦.

4

(1)求邊。的長；

(2)求sin(20-§的值.

2.平面內(nèi)有向量萬X=(1,7)，麗=(5,1)，而=(2,1)，點(diǎn)。為直線。2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)當(dāng)9?證取最小值時(shí)，求的的坐標(biāo).

(2)當(dāng)點(diǎn)。滿足(1)的條件和結(jié)論時(shí)，求COSNAQB的值

3.在Rt團(tuán)4BC中，/.BAC=90°,AB=2,AC=6,。為AC邊上的中點(diǎn)，E為BC邊上一點(diǎn)，且

BE=ABC(0<A<1)-(1)當(dāng)4時(shí)，若族=x而+y晶，求心y的值；

(2)當(dāng)4E1BC時(shí)，求;I的值.

4.在直角梯形A8CD中，已知A8〃C。，4048=90。，AB=6,AD=CD=3,對角線AC交BO

于點(diǎn)。，點(diǎn)M在AB上，且OMJ.BD.

(1)求麗h麗的值；

(2)若N為線段AC上任意一點(diǎn)，求而.而的取值范圍.

5.已知向量五，瓦口是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中五=(1,一1).

(1)若|4=3奩，且工〃區(qū)求向量口的坐標(biāo)；

(2)若|方|=1，且行10—2方)，求五與。的夾角色

6.設(shè)藍(lán)，石是不共線的非零向量，且71*=可-2可，3=可+3歲

(1)若I可-3同ATT+n~b.求兒〃的值；

(2)若藥,電是互相垂直的單位向量，求五與B的夾角仇

7.已知耳名是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，荏=2宙+與，骸=-瓦+4孩，前=-2瓦＜+￡,

且A,E,C三點(diǎn)共線.

(1)求實(shí)數(shù);I的值；

(2)若可=(2,1),竭=(2,-2),求玩的坐標(biāo);

(3)已知。(3,5),在(2)的條件下，若A,B,C,。四點(diǎn)按順時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)A

的坐標(biāo).

8.在04BC中，內(nèi)角4、B、C的對邊分別為a、b、c.已知2a-b=2c?cosB.

(1)求角G

(2)若a=2,。在邊A3上，且40=2防，CD=V3.求b.

9.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,6,c,已知向量沅=(c—a,sinB),n=(b—a,sin/+sinC),

且丁〃元.

(1)求C；

(2)若乃c+3b=3a，求sinA.

10.如圖，已知過拋物線C：y2=■的焦點(diǎn)廠的直線交拋物線。于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在第一象限)，線

段A8的中點(diǎn)為M,拋物線C在點(diǎn)4處的切線與以AM為直徑的圓交于另一點(diǎn)P.

*

X

(I)若酢=4而，求直線A8的方程;

(n)試問溫*是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請求出它的最大值.

11.如圖，平行四邊形ABCD中，麗=3祝，N為線段C。的中點(diǎn),E為線段MN上的點(diǎn)且碗=2EN.

⑴若荏=4而+〃而，求加的值；

(2)延長MMAD交于點(diǎn)P,F在線段NP上(包含端點(diǎn))，若方=t祠+(1-t)而，求，的取值范

圍.

12.在直角梯形ABC。中，4B〃CD,4B=2CD,乙4。。=90。,“是CZ)的中點(diǎn)，N是BC上一點(diǎn)，(不

包括端點(diǎn))，AC=AAM+//AN，求:+￡的最小值.

13.設(shè)兩個(gè)非零向量瓦，石不共線，已知超=2瓦+/c筱，CB=e^+3e^,而=2瓦(—芍問：是

否存在實(shí)數(shù)上使得4B,。三點(diǎn)共線，若存在，求出上的值；若不存在，說明理由.

14.在△4BC中，AB=3,AC=6,^BAC=―,。為邊BC的中點(diǎn)，M為中線4。的中點(diǎn).

(1)求中線A。的長；

(2)求麗與前的夾角。的余弦值.

15.在△48C中，角A,B,C的對邊分別為a,6c,△4BC的面積為S.現(xiàn)在有下列三個(gè)條件：①(2c+

b)cosA+acosB=0；②siMB+sin2C-si/A+sinBsinC=0；@a2-b2—c2=殍S.請從

以上三個(gè)條件中選擇一個(gè)填到下面問題中的橫線上，并求解.

已知向量記=(4sinx,4V3)>n=(cosx,sin2x),函數(shù)/(x)=m.n-2V3,在小ABC中，a=/(3

且______，求2b+c的取值范圍.

16.已知定點(diǎn)4(0,1)、B(0,-l)、C(l,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足：APBP=k\PC\2(ke/?).

(1)求動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程，并說明方程表示的圖形；

(2)當(dāng)k=2時(shí)，求|都+前|的最大值和最小值.

17.在團(tuán)CMB的邊。4,。8上分別有一點(diǎn)P,Q,已知|而|：|可|=1:2,\OQ\-.\QB\=3:21連接

AQ,BP,設(shè)它們交于點(diǎn)R,若萬？=五，OB=b.

(1)用社與方表示赤：

(2)過R作RH14B,垂足為4,若|五|=1,@=2,五與石的夾角96若得，求鬻的范圍.

18..如圖，在平行四邊形A8CO中，點(diǎn)E,F,G分別在邊AB,AD,8c上，且滿足AE="4B,

AF=\AD,BG=\BC,設(shè)法=—訪=》.

B

(1)用Z，b表示升，EG'

(2)若EFJ.EG,.說.就=2i.g，求角A的值.

19.己知麗?前=0，M是BC的中點(diǎn).

(1)若|靠|=2|而求向量屈一近與向量通+近的夾角的余弦值；

(2)若。是線段4W上任意一點(diǎn)，且|通|=2|戢|=2，求福?麗+沃的最小值；

20.已知@=(1,0)1=(2,1).

(1)當(dāng)k為何值時(shí)，k五+3與五+2石共線？

(2)當(dāng)％為何值時(shí)，k五+E與1+2方垂直？

(3)當(dāng)上為何值時(shí)，上日+石與不+2方的夾角為銳角？

21.如圖在矩形A8CD中，而=乙屈=另,/7是8的中點(diǎn)，M是線段A8上的點(diǎn)，回=2,同=1。

(1)若M是AB的中點(diǎn)，求證：而與國共線；

(2)在線段AB上是否存在點(diǎn)M,使得配與前垂直？若不存在請說明理由，若存在請求出M點(diǎn)

的位^1.;

(3)若動(dòng)點(diǎn)P在矩形ABCD上運(yùn)動(dòng)，試求壽?廂的最大值及取得最大值時(shí)P點(diǎn)的位置。

22.已知橢圓C$+3=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為FI，F(xiàn)2,以F/2為直徑的圓過橢圓的上、

下頂點(diǎn)，長軸長為4.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過橢圓C的右焦點(diǎn)且不平行于x軸的動(dòng)直線/與橢圓C交于點(diǎn)A,B,則在x軸上是否存在點(diǎn)

N,使福.而為定值？若存在，求出該定值；若不存在，請說明理由.

23.在ZL4BC中，43=e,4。=2,尸是邊8。的中點(diǎn).E為4WC外接圓圓心，求而?國的值.

24.如圖，在AOAB中，已知|。才|=2,\OB\=2V3.^AOB=90°,單位圓。與04交于C,4方=

AB.Ae(0,1)>P為單位圓。上的動(dòng)點(diǎn).

(1)若。^+o戶=o萬，求;I的值；

(2)記伊方|的最小值為/(Q,求/(Q的表達(dá)式及/(A)的最小值.

25.已知復(fù)數(shù)z滿足憶|=夜，z2的虛部為2.

(1)求復(fù)數(shù)Z；

(2)設(shè)復(fù)數(shù)Z、於、z-z2在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)分別為A、B、C,求(耐+話)?灰的值.

26.如圖，在梯形ABC。中，E為DC的中點(diǎn)，AD//BC.Z.BAD=Z.BDA=^BC=BD.

⑴求荏?麗;

(2)求正與前夾角的余弦值.

27.己知非零向量房b滿足I方I=2|BI，且倡—b)_Lb.

(1)求］與I的夾角;

(2)若卜+q=V14,求b.

28.在448C中，角A、B、C的對邊分別為a,b,c,已知向量記=(cos蕓sin—),五=(cosgsing),

且滿足|濟(jì)+宿=V3.

(1)求角A的大小;

(2)若b+c=V5a,試判斷△ABC的形狀.

29.已知向量區(qū)b滿足|2|=&,|b|=L

（1）若五］的夾角。為%求|弓+方|：

（2）若（日+方），方，求方與石的夾角e.

【答案與解析】

1.答案：解：方案一：選擇條件①

⑴由仁之52解得憶::

A為鈍角，sirii4=—，cos4=一：,

44

22

則Q2=b+c-2bccosA

=36+16-2x6x4x(-i)=64,

故Q=8;

：?cos2c=2cos2c-1=—,sin2C=2sinCcosC=

717171

???sin(2C-w)=sinZCcos--cos2Csin--

666

一

--7-^-1--5X--V-3-----1--7X—1=--2-1-6-----1-7.

32232264

方案二：選擇條件②

(1)4為鈍角，sin4=手，cosA=—

:%曲1A==3v^l5，

???be=24,

22

則Q?=64-c-2bccosA

=364-16-2X6x4x(-i)=64,

故Q=8;

(2)同方案一.

方案三：選擇條件③

(1)4為鈍角，sinA=半，cosA=—%

2

AB+荏灰=而?港+硝

=AB-AC=bccosA=-6，

be=24,

由仁二失，解得仁6,c=4,

則Q2=匕2+_2bccosA

=36+16-2x6x4x(-i)=64,

故a—8；

(2)同方案一.

解析：本題主要考查了余弦定理，二倍角公式，三角形的面積公式，和差角公式在求解三角形中的

應(yīng)用，屬于中檔試題.

(1)選擇條件①，由已知可求AC,然后結(jié)合余弦定理可求a；

選擇條件②，由已知條件結(jié)合三角形面積公式解得b,c,結(jié)合余弦定理進(jìn)而可得結(jié)果.

選擇條件③，利用向量的數(shù)量積，結(jié)合已知條件，求出兒c,結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解.

(2)由余弦定理可求cosC,然后結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及二倍角公式，和差角公式即可求解.

2.答案：解：(1)設(shè)0Q,=(%,y),

???點(diǎn)。在直線0P上，

???向量的與羽共線.

又而=(2,1)，

?,?%—2y=0,即％=2y.

0Q=(2y,y).

又誦=瓦?-麗，0A=(1,7).

.-.QA=(l-2y,7-y).

同樣證=OB-OQ=(5-2y,l-y).

于是QXQB=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(l-y)

=5y2-2Oy+12=5(y-2)2-8.

.,.當(dāng)y=2時(shí)，QA-謔有最小值一8,此時(shí)麗=(4,2).

(2)當(dāng)麗=(4,2),即y=2時(shí)，^QA=(-3,5).~QB=(1,-1).

網(wǎng)=V34?畫=V2.

4a7

???cos乙4QB

\QA\\QB\一17

解析：本題考查平面向量的數(shù)量積，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，二次函數(shù)的最值.

(1)因?yàn)辄c(diǎn)。在直線OP上，向量的與前共線，可以得到關(guān)于的坐標(biāo)的一個(gè)關(guān)系式，再根據(jù)訓(xùn)?誣

的最小值，求得的的坐標(biāo)；

(2)cos乙4Q8是近與謔夾角的余弦，利用數(shù)量積的知識(shí)易解決.

3.答案：解：(1)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示；

V

則4(0,0),8(0,2),C(6,0),￡)(3,0)

當(dāng)4時(shí)，BE=^BC,E是8c的中點(diǎn)，

所以E(3,l),'BD=(3,-2).AC=(6,0),AE=(3,1);

又AE=xBD+yACy

所以(3,1)=x(3,-2)+y(6,0)=(3%+6y,-2x)

哨誓j3,

解得x=-py=|;

(2)設(shè)點(diǎn)E(x,y),則荏=(x,y)；

當(dāng)4E18。時(shí)，AE-JD=0,

即3x-2y=0①;

又說=(x,y-2)

JC=(6,-2),且通與前共線，

所以一2x-6(y-2)=0(2);

由①②組成方程組，解得x=中，y=算；

所以而=卓,-右,

所以詼=看配，

即;I的值為卷.

解析：本題考查了平面向量的應(yīng)用問題，也考查了用向量法解答三角形的有關(guān)問題，是綜合性題目.

(1)建立平面直角坐標(biāo)系，表示出向量前、左和荏，利用平面向量的坐標(biāo)表示和向量相等列出方程

組，即可求出x和y的

值；

(2)設(shè)出點(diǎn)E(x,y),利用4EJ.BD時(shí)荏.麗=0,和麗與配共線，列出方程組，解方程組求出點(diǎn)E

的坐標(biāo)，即可求出4的

值.

4.答案:解：⑴因?yàn)镹ZMB=90。,

所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，A8、AO分別為x、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系如下圖：

「C

因?yàn)?B〃CD,AB=6,AD=CD=3,Dk—--------------九

所以4(0,0),B(6,0),C(3,3),D(0,3).\

又因?yàn)閷蔷€AC交8。于點(diǎn)O,N/

所以由布=t就得而=(3t,3t)，即0(3t,3t),pA/____________f

hl—MB

因此。0=(3t,3t—3)，DB=(6,-3).

而前〃而，所以一3x3t-6X(3t-3)=0,解得t=|,

因此。(2,2).

又因?yàn)辄c(diǎn)M在AB上，所以設(shè)M(m,O),

因此麗=(m-2,-2),前=(-6,3)，

而OMJ.BD,所以南?前=-6(ni-2)-6=0，

解得巾=1,即

因此祠=(1,0).而麗=(-6,3)，

所以奇?麗=-6-

即宿?前的值為一6；

(2)因?yàn)镹為線段AC上任意一點(diǎn)，

所以由(1)知：可設(shè)N(n,冗)(0<n<3)(包括端點(diǎn))，

因此祠=(n,n),麗=(n-l,n),

所以-MN=n(n-1)+n2=2n2—n-

因?yàn)楹瘮?shù)的圖象開口上，對稱軸為

y=2/—nn=%

而04n43,

所以函數(shù)y=2n2-n的值域?yàn)閇一表15],

即麗?麗的取值范圍是卜3,151

解析：本題考查了二次函數(shù)，向量的數(shù)量積，相等向量的概念，向量垂直的判斷與證明，平面向量

的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量共線的充要條件和向量的幾何運(yùn)用，屬于中檔題.

(1)根據(jù)題目條件，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、A。分別為x、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，利用相等向量

的概念的坐標(biāo)運(yùn)算得m=(3t,3t),從而得O(3t,3t),再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得前=(3t,3t-3)和

麗=(6,-3)，再利用平面向量共線的充要條件得得t=|,從而得。(2,2),設(shè)M(m,0),從而得而=

(m-2,-2),前=(一6,3)，再利用向量垂直的判斷的坐標(biāo)運(yùn)算得m=l,從而得再利用向

量的坐標(biāo)運(yùn)算得前=(1,0),再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，計(jì)算得結(jié)論；

(2)利用(1)的結(jié)論，結(jié)合題目條件設(shè)N(n,n)(03)(包括端點(diǎn))，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得而=

5,n)和而=(n-l,n),再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得前?麗=2n2-n,最后利用二次函數(shù)，

計(jì)算得結(jié)論.

5.答案:解:(1)設(shè)H=(x,y),????=3衣，且不〃落

ry+%=0

AU2+y2=18,

解瞰二3唏：二

故1=(一3,3),或7=(3,-3).

(2)val(a-26)，

.-.a-(a-2b)=0，

即/一2五i=0，2—2五?9=0,

即方■b=1-

解析：（1）設(shè)H=（x,y）,根據(jù)向量共線和模長公式列方程解出；

（2）由五?（為一2萬）=0得出蒼?石=1，代入夾角公式求出夾角.

本題考查了平面向量的數(shù)量積與垂直的關(guān)系，平面向量的共線定理，屬于中檔題.

6.答案：解：（1）2五+〃方=/1（百-2或）+〃（彳+3孩）=（4+〃）5+（3〃-2；1）孩，

?.,4瓦—3孩=4五+〃3，

.0+〃=4,

〔3〃-2a=-3,

A=3,4=1.

（2）五不=（百一2孩）?（百+3宅）=前2+國?逐一6孩2=一5，

lal=J?-2的2=小瓦2―4瓦傳+4瑪2=后,

日|=J（百+3①"=]同2+6瓦?其+9年2=同,

八a-b-5V2

?*,COSc7-7==—,

|a||b|V5xV102

又???06[0,7T],

??.0=-.

4

解析：本題主要考查了平面向量共線的充要條件，向量垂直的性質(zhì)，向量的數(shù)量積，向量的模及向

量的夾角，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

（1）根據(jù)平面向量共線的充要條件可得_3由此可求出;I,〃的值；

（2）由向量垂直與向量數(shù)量積的關(guān)系，從而可求出五.芯進(jìn)而利用向量的夾角公式求解即可.

7.答案：解析：

解：（1）荏=宿+而=（2瓦+瓦）+（-瓦（+；!瓦）=區(qū)+（1+4）瓦.

■-A,E,C三點(diǎn)共線,.?.存在實(shí)數(shù)屋使得荏=人品，即瓦＜+（1+Q宅=k（-2浣+宅），得（1+2々）區(qū)=

（k-1一4）名.

???￡,祕是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量,

北二3°，解得八4"V

(2)阮=旗+正=一3宙一:名=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2).

(3)-.M,B,C,。四點(diǎn)按順時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，

:.AD=BC.

設(shè)4(%,y),則而=(3—％5-y),???就=(一7,—2)，

?J；二江二;，解得即點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,7).

解析：

本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及平面向量共線的充要條件.

(1)根據(jù)平面向量的加法運(yùn)算法則和向量共線的性質(zhì)即可得解：

(2)根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則即可得解；

(3)根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則和向量相等求解即可.

8.答案：解:(1)因?yàn)?a-b=2c-cosB,

由正弦定理得2sinA-sinB=2sinC-cosB,

因?yàn)閟inA=sin[7r-(B+C)]=sin(B+C),

代入上式得2sinBcosC4-2cosBsinC-sin8=2sinCcosB,

即2sinBcosC—sinB=0,

因?yàn)锽€(0,7r),即sinBH0,

所以cosC=I，

因?yàn)?。是三角形?nèi)角，

所以C=g.

(2)如圖所示：由題知同=2麗,

A

即而_不=2(方一而)，

所以而=5?7+|恒則而2=(，以+|國)2,

所以3=”2+gx2bxq+gx4,

即川+4b-11=0,解得6=V15-2或b=-V15-2(舍去).

所以。=6一2.

解析：本題考查了正弦定理，三角恒等變換，向量加減運(yùn)算，向量數(shù)量積和模長公式的運(yùn)用，考查

了分析和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

(1)由2a—b=2c-cosB,結(jié)合正弦定理，三角函數(shù)兩角和正弦公式化簡即可得到cosC=：,即可

求出C；

(2)由題意可得而=9不+|方，將式子兩邊平方，展開計(jì)算，建立關(guān)于匕的方程求解即可.

9.答案：解：(1)因?yàn)橄蛄裤?(c一a,sinB),n=(h-a,sin714-sinC),且沆〃五，

所以(c—a)(sin44-sinC)=(b—d)sinB,

由正弦定理得(c-a)(a+c)=定-d)b,

所以cosC=QW=4=±

2ab2ab2

因?yàn)镃€(0,7r),故。=:;

(2)由(1)知3=與-A,由題設(shè)及正弦定理得通由1。+3sin(,一從)=3sin.A,

即立+^cosA+三sinA=sin4,可得sin(.A-1)；，

222\2

由于0<A<；,<<-g<；,所以=竽，

故sinA=sin(.A-

.7萬、7T/7T\,7T4+遮

sinL44--Jcos—+cosI-4——1sin1=-------------?

解析：本題主要考查了向量的數(shù)量積，向量的平行性質(zhì)，正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題；

(1)根據(jù)題意由正弦定理得(c-a)(a+c)=(b—a)b,所以cosC=的F=々=工，即可得解；

2ab2ab2

（2）由（1）知B=三-A,由題設(shè)及正弦定理得/6sinC+3sin（，-力）=3sinA,得到

siii（A—鼻）=，co?（A一:）='即可得解.

10.答案：解：（I）設(shè)，用x=my+1，4件yj，B信丫2），由｛：2」X：+1得y2-4my-4=0,

則為+、2=4m,yry2=-4因?yàn)榉?4或，所以y】=-4y2＞從而y1=4,y2=-1＞機(jī)=￡

所以直線AB的方程為4x-3y-4=0；

2

（II）設(shè)過A點(diǎn)的切線的方程為：y=攵（％-%1）+y「代入y2=4x,由/=0得攵=工，

所以。的方程為：yxy=2x+2X1.設(shè)直線〃與y軸交點(diǎn)為。，令x=0,得y。=等=*

AQ=（一去一紗???福E荏="常一一月），

.I初一麗?初一冷寥+1一強(qiáng)鳴_例+4）。

,■11-_W_囂^_F-，

...|衲2=（元+4下=y，+12*+48yf+64

???|4F|?|4B|=荏?而=（1一?，一月）?（?一乃一%）=

.I研2=1

**\AB\AF\-4*

所以必是定值，定值毋

解析：本題主要考查的是直線與拋物線位置關(guān)系問題及圓錐曲線中的定值問題，難度較大.

（I）設(shè)，用x=my+l,4件%），3件必），聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理及條件方=

4方求解即可；

（II）設(shè)過A點(diǎn)的切線匕的方程為：y=/c（x-x1）+y1,與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合判別式得％=%,再

結(jié)合M為AB中點(diǎn)分別求出|而『="善當(dāng)過上，|力可?|AB|=型"譬上，即可得解.

11.答案：解：根據(jù)題意可得荏=南+而7+旗

，一.—.?1,2—>

1__2_____k

=AB+-AD+-（MC+CN）

_1__,22_,1—,

=AB+-AD+-（-AD--AB}

33、32J

=海+河

又荏=4瓶+〃而，由平面向量的基本定理可得4號(hào)，

所以川=蒜

(2)由題意可得而=而，因?yàn)槭诰€段N尸上(包含端點(diǎn))，

所以設(shè)和=4而=4而7(0W2W1)>

所以方=^M+MF=^4M+(1+A)W

=宿+(1+A)(AN-初)

———AAM+(1+A)AN>

又存=1翔+(1-1)前，

所以t=-AG[—1,0].

解析：(1)利用向量的加法及平面向量的基本定理即可求得人4，從而得解；

(2)利用共線向量定理可設(shè)標(biāo)=A而=AMN(0<A<1),由向量的加法法則可得方=-AAM+

(1+4)而，由平面向量的基本定理可得t=-九即可求得，的取值范圍.

本題主要考查向量的線性運(yùn)算、平面向量的基本定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

12.答案：解：由已知有前:=4宿+〃前=1(正+而)+〃俞=4(麻?一；荏)+〃麗，

所以麗=—AB+—AC,

4“H

因?yàn)镹,B,C三點(diǎn)共線,

所以比+"=1，

4〃〃

:.32+4〃=4,

1,31,3、\,彳、1“,4〃，94、、27

..?/「=否+/（3；1+4〃）=］（15+彳+?。┲?

當(dāng)且僅當(dāng);l=g,4=|等號(hào)成立.

所以：的最小值為日.

4〃4

解析：本題考查平面向量的加減運(yùn)算及平面向量共線的條件的使用，同時(shí)考查利用基本不等式求最

值，考查推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

由己知得到標(biāo)=/通+號(hào)被由MB,C三點(diǎn)共線，求得34+44=4,然后利用基本不等式

求最值即可.

13.答案：解：設(shè)存在keR,使得A,B,。三點(diǎn)共線.

因?yàn)镈B=CB—CD=（可+3荀—（2瓦—ej）=一百+4孩，AB=2e^+ke^-

又因?yàn)锳,B,。三點(diǎn)共線，所以通=4而，

所以2瓦+k芍=2（一百+4的,

所以設(shè)二1；'所以k=—8,

所以存在k=-8,使得A,B,。三點(diǎn)共線.

解析：本題考查向量共線的充要條件的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題目.

設(shè)存在使得A,B,。三點(diǎn)共線，則荏=2而，即益=4（一瓦+4的，利用向量共

線的充要條件得忙=、'，求解即可.

14.答案：解：（1）根據(jù)題意，得而="希+前）

所以I而|2=而2=［（南+前）2

122

=-（AB+2AB-AC+AC）

I,?27r

=-(32+2x3x6xcos—+62)

43

27

=r

...I而I=苧;

>,—>i—>>—>a—>i>

(2)BM=AM-AB=-(AB+AQ-AB=--AB+-AC,

所以|麗|2=^X9_|X(_9)+^X36=^,

loololo

從而I的|=竽.

~BM-AD=(-^AB+^AC)-^(AB+AC)=-1x9-|x(-9)+：x36=小

BMAD_2742_局

所以COS。=

\BM\fAD\―T3V19X乖一"19

解析：本題考查了平面向量的應(yīng)用問題，利用平面向量的線性運(yùn)算法則和平面向量的數(shù)量積，求模

與夾角，是中檔題.

(1)根據(jù)題意，利用向量的加法法則，得出而；求出|而『的值，即得AZ)的長;

(3)利用平面向量的數(shù)量積求出夾角J的余弦值.

15.答案：解：/(%)=m-n—2V3=4sinxcosx+4V3sin2x—2V3

=2sin2x—275cos2x—4sin(2x—g),

Q=f9=4sin三=2V3,

①若(2c+b)cosA+acosB=0,

則由正弦定理可得：2sinCcos4+sinBcosA+sinAcosB=0,

即2sinCcos4+sin(B+A)=2sinCcosA+sinC=0,

因?yàn)镃為三角形內(nèi)角，sinC>0,可得cos4=-%

因?yàn)?6(0,兀)，可得4=手

②若siMB+sin2c—sin2i44-sinBsinC=0,

由正弦定理可得：爐+。2-小+加=0,

由余弦定理可得cos4==也=-i,

因?yàn)閍e(o,7r),可得人=拳

③若a2j2—C2=4

貝E4-c2—a2=——S=——x-bcsinA=——bcsinA^

3323

所以cos/=b二a.=—@sin4,可得tanA=-V5,

2bc3

因?yàn)?6(0㈤，可得4=拳

bca2y/3,

由正弦定理可得忑而=菽=加=百=4,

2

所以b=4sinB,c=4sinC,

因?yàn)锽+C=$所以C=；-

所以2b+c=8sinB+4sin—B)=8sinB+4(-ycosB-|sinB)

=6sinB+2>/3cosB=4V3sin(B+§,

因?yàn)?<B<g所以l<sin(B+^)<1,

3obZ2\6/

所以2g<4>/3sin(B+§<4VI,

即2b+c的取值范圍為(2b,48).

解析：本題考查了正余弦定理的應(yīng)用，兩角和與差的三角函數(shù)公式，向量的數(shù)量積，三角函數(shù)的最

值，屬于中檔題.

根據(jù)題意，求出和“，再由所選條件，結(jié)合正弦定理、余弦定理解得角A,進(jìn)而得到2b+c=

4百sin(B+勺，即可求得2b+c的取值范圍.

16.答案：解：(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則而=(x,y-1),BP=(x,y+1),PC=(1-x,-y).

vAP-BP=fc|PC|2,x2+y2-1=fc[(x-I)2+y2],即川-l)x2+(k-l)y2-2kx+k+l=0

若k=l,則方程為x=l,表示過點(diǎn)(1,0)且平行于y軸的直線；

若kKl,則方程為(x+±)2+y2=(")2,表示以(生,0)為圓心，以心為半徑的圓；

(2)當(dāng)k=2時(shí)，方程化為(x-2)2+y2=1,|而+前|=|(2x,2y)|=2"4亍

令x=2+cos。，y=sind,則|赤+喬|=245+4cos?

.,.當(dāng)cos。=1時(shí)，|而+前|的最大值為6,當(dāng)cosJ=-1時(shí)，|而+喬|的最小值為2.

解析：(1)根據(jù)題意，設(shè)出尸的坐標(biāo)(x,y),可得向量的坐標(biāo)，代入而?喬=k|定中，可得(卜-

l)x2+(fc-l)y2-2kx+k+1=0,分k=1與k*1兩種情況討論，可得答案；

(2)表示出向量和的模，利用圓的參數(shù)方程設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得|而+而|的最大值和最小值.

本題考查直線與圓的方程的綜合運(yùn)用，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查圓的參數(shù)方程，屬于中檔題.

17.答案：解：(1)由瓦？=弓，點(diǎn)P在邊。A上且|而而|=1:2,

可得加=：區(qū)同理可得的=|另，

設(shè)荏=4而，麗=〃前，4、〃為實(shí)數(shù)，

則加=成+而=市+；1而=1+；1(|3—五)=(1-A)a+|Ab,

OR=0B+~BR=0B+=b+H^a-h)=^na+(l-n)b,

???向量五與石不共線，

(1-A=^p.(A=-

.“33,解得1:,

知=1一〃(n=-

???/=%+與

62

(2)設(shè)=r,則麗=rR4=r(a-h),

.?.麗=麗_既=麗_(而一裙)=(一加+(卜丁)反

???而_L雨，.??麗?雨=0，

即[（廠—3）五十）一7）司，（d）=o，

則（r-方之+（廠-01之+（|-2r）a-K=0,

又。同=1,同=2,

所以（丁一￡）+4（廠一+（|-2?。?cos0）=0,

113-8COS01（3,c\

Ar=6X5-4COS6=6\S-4COS0+2）f

???叱曲朗…孫六卜也土???5-4coseE[3,7],

1

6*)

即上w，

故制的取值范圍是

解析：本題考查平面向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的應(yīng)用，及向量垂直的判斷的應(yīng)用，考查運(yùn)算化

簡的能力，涉及余弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

4=2

1所以蘇=頡+/；

⑵設(shè)解=八利用平面向量垂直，得「="事=|(直篇+2)，由三角函數(shù)的性質(zhì)得奈<r<

?故制的取值范圍是助卜

18.答案：解：(1)由題意可知前=而-荏=［而-;而=.-扣；

―,―,—.2__，2_.2_2_

EG=EB+BG=—+—/1Z)=~&-F—a;

(2)EF-EG=l(b-a)-(a+b)=l(\b\2-\a\2)=0,即|中=|石

4B-EG=a-(^K+|a)=||a||b|cosA+||a|2=2|磯@cos4,

22

即-+-cos/=2cos4,

33

解得cos4=I，

即4=p

解析：本題主要考查了平面向量的加減運(yùn)算，考查了向量的數(shù)量積，屬于中檔題.

(1)利用平面向量的加減運(yùn)算可求得就，EG-.

(2)根據(jù)向量垂直的性質(zhì)可得而?而=0,求得|8|=|方然后由加.用2H.l7,利用向量的

數(shù)量積，可求出A的值.

19.答案：W：(1)???AB?^C=0，-.AB1AC，

以A為原點(diǎn)，AB,尼的正方向分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

令|前|=a，則C(0,a),B(2a,0),

:.AB—AC=(2a,—a)，AB+AC=(2a,a)?

設(shè)向量荏-而與向量南+配的夾角為8,

A_(AB-AC\(AB+AC')_4a2-a2_3

‘COS"=\AB-AC\-\AB+AC\=而a?店a=5-

(2)-ABAC=0rAABLAC，

以A為原點(diǎn)，AB,前的正方向分別為x軸、)，軸建立平面直角坐標(biāo)系.

V\AB\=2\AC\=2.則C(0,l),B(2,0),

設(shè)。(x，W),xe[0,1],

：.OA-OB+OC-OA=OA-(OB+OC')=2OAOM

X1X

=2(-x,--)'C1-x>2-

2

XX

=2(x2-%+---)

=|(%2-X)

TH

.?.當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)，面.布+反?而取得最小值-1，

解析：本題考查平面直角坐標(biāo)系的應(yīng)用、平面向量的運(yùn)算、基本不等式，考查考生的運(yùn)算求解能力

和轉(zhuǎn)化與

化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想.

(1)建立平面直角坐標(biāo)系，求出而-前.與通+前的坐標(biāo)，再利用平面向量的夾角公式求解；

(2)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)。的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積公式化簡待求式，再結(jié)合二次函

數(shù)的最值求解

20.答案:解：因?yàn)槲?(1,0),b=(2,1)，

所以比方+了=(k+2,1)a+2b=(5,2).

(1)因?yàn)閗五+方與五+2坂共線，所以(k+2)x2-lx5=0,解得k=5，

即當(dāng)k=泄，k百+消2+2膜線.

(2)因?yàn)閗五+石與五+2石垂直，

所以(kH+石)?(為+23)=0，即5x(k+2)+2xl=0,解得k=一孩，

即當(dāng)女=一當(dāng)時(shí)，kE+石與五+2石垂直.

(3)因?yàn)閗五+1與五+23的夾角為銳角，

所以(k五+石)?@+21)>0且k五+石與五+29不共線，

因此5x(k+2)+2xl>0且(k+2)x2-lx5x0,

解得k>一蔡且kK右

即當(dāng)k>一孩且kK：時(shí)，k五+石與五+2冽勺夾角為銳角.

解析：本題考查了向量垂直的判斷與證明，向量的數(shù)量積，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和平面向量共線的

充要條件，屬于中檔題.

利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算得k蒼+方=(k+2,1)和蒼+2方=(5,2).

(1)利用平面向量共線的充要條件，計(jì)算得結(jié)論；

(2)利用向量垂直的判斷得(k五+1)?0+2石)=0,再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，計(jì)算得結(jié)論；

⑶利用向量的數(shù)量積得(k五+石)-(a+2b)>0且k五+石與1+2反不共線，再利用向量數(shù)量積的坐

標(biāo)運(yùn)算和平面向量共線的充要條件，計(jì)算得結(jié)論.

21.答案：(1)證明：???麗=而+而=方+［方，

.〉一一>',,',—>1_

CM=CB+BM=-b--2a,

.-.AN=-CM,

前與兩共線.

(2)解：在線段A8上存在點(diǎn)M,使前與而垂直.

理由：設(shè)的=4花BD=AD-AB=b-a，CM=CF+FM=-b+Aa.

???前與而垂直，.?.前?國=0.

即(另一3)?(—石+4五)=0，

???131=2,|/)|=1，君■/?=()，；"=一；.

???存在滿足條件的點(diǎn)M,即4M=|,使得前與國垂直.

此時(shí)點(diǎn)M在線段AB的四等分點(diǎn)，最靠近點(diǎn)B的位置.

⑶解：

①當(dāng)P在線段AB上時(shí)，設(shè)9=kZ(0<fc<1),則：AP-AB=ka-a=4k,

.?.而?南的最大值為4,此時(shí)P在B點(diǎn)處；

②當(dāng)尸在線段8c上(不含端點(diǎn))時(shí)，設(shè)9=五+々石，.?.而?話=(五+kB)2=4，

此時(shí)P在線段8c上(端點(diǎn)除外)；

③當(dāng)P在線段CO上時(shí)，設(shè)加=一人方，(0</c<1),AP-AB=(a+b-kaya=4(1-k)，

.?.9?荏的最大值為4,此時(shí)P在C點(diǎn)處：

④當(dāng)尸在線段A。上時(shí)，AP-AB=0.

綜上所述，當(dāng)P在線段BC上時(shí)，而.麗的最大值是4.

解析：本題考查了向量共線的判定，向量垂直的判定，向量的數(shù)量積，向量的幾何運(yùn)用.

(1)解答本題的關(guān)鍵是由向量的幾何運(yùn)用將麗和由用弓和石表示出來，可發(fā)現(xiàn)麗=-而，由此即可

證得而與麗共線；

(2)解答本題的關(guān)鍵是將前、不7用萬和方表示出來，由向量垂直的條件可知：BD-CM=由此即

可求得點(diǎn)M的位置；

(3)解答本題的關(guān)鍵是將點(diǎn)P的位置進(jìn)行分情況討論，再分別求出而?荏的最大值,最后得出而?AB

的最大值及點(diǎn)P的位置即可.

22.答案：解：(1)由題可知2c=26,即/)=的

又2a=4,所以a=2,

又爐+c2=a2=2匕2=4=/=2,

所以橢圓的方程為。+:=1.

42

(2)易得右焦點(diǎn)尸2(企,0)，假設(shè)存在點(diǎn)N(t,o)滿足要求.

設(shè)直線/的方程為％=my+遮，設(shè)4(%1，%)，8(%2，乃).

聯(lián)立｛'2整理可得(加+2)y2+2\/2my-2=0?

則/>0,yi+y2=yi-y2=品'

又福=(%1-~NB=(x2-t,y2^

所以福-1TB=(%1—1)(%2—t)+y02,

又因?yàn)?與-t)(x2-t)=(jny14-V2-t)(my2+&-￡)

=62yly2+^(V2-t)(yi+y2)+(魚-g

22

所以a?WB=(m+l)yty2+巾(&一t)(yi+為)+(V2—t)

2「2y12m「

=-(mo2+1)-m(V2―t)+(V2-t)02

m2+2m2+2

-(2m2+2)—(4-2V2t)m

+(&_￡)

m24-2

(嚴(yán)—4)m2+2t2-4V2t+2

m2+2

要使?而為定值，

則必須有三=且史經(jīng)，

12

解得t=這，

4

所以存在點(diǎn)N(乎,0),使可了?雨為定值-京

解析：本題主要考查橢圓的概念及標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的性質(zhì)及幾何意義、橢圓中的定點(diǎn)與定值問題，

涉及向量的數(shù)量積，屬較難題.

(1)根據(jù)題意解出m〃的值，從而得到橢圓方程；

(2)假設(shè)存在點(diǎn)N(t,0)滿足要求，設(shè)直線/的方程為x=/ny+VL設(shè)4(刈,乃)，B(x2,y2),聯(lián)立直線

與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理表示出斕?雨=以幽字二2上，要使福.而為定