淺談微積分在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

淺談微積分在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用房山教師進(jìn)修學(xué)校盧寒芳摘要：微積分是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，其思想方法和根本理論有著廣泛的應(yīng)用，可以當(dāng)作工具去解決高中數(shù)學(xué)中的一些問(wèn)題．本文舉例說(shuō)明微積分在判定函數(shù)的單調(diào)性、極值，討論方程的根，證明不等式和恒等式，求切線方程，作函數(shù)圖象，求平面區(qū)域的面積等方面的應(yīng)用．關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；函數(shù)；方程；定積分；面積微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)開(kāi)展中的里程碑，它的開(kāi)展和廣泛應(yīng)用開(kāi)創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過(guò)渡的新時(shí)期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》〔以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》〕對(duì)微積分教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了改革．《課標(biāo)》和過(guò)去的高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱相比，一大特點(diǎn)是將一元函數(shù)微積分的局部?jī)?nèi)容拿到高中教材中，讓中學(xué)生初步了解微積分的思想，為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下根底．那么，微積分在高中數(shù)學(xué)中有哪些應(yīng)用？本文將舉例說(shuō)明微積分在判定函數(shù)的單調(diào)性、極值，討論方程的根，證明不等式和恒等式，求切線方程、作函數(shù)圖象、求平面區(qū)域的面積等方面的應(yīng)用．一、導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用《課標(biāo)》中對(duì)微積分的教學(xué)內(nèi)容明確提出：“導(dǎo)數(shù)概念是微積分的核心概念之一，它有極其豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用．要求學(xué)生通過(guò)大量實(shí)例，經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的過(guò)程，理解導(dǎo)數(shù)概念，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵；了解導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)中的作用，初步了解定積分的概念，為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分打下根底”．1．導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題上的應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的最根本性質(zhì)之一，是研究函數(shù)所要掌握的最根本的知識(shí)．用單調(diào)性的定義來(lái)處理單調(diào)性問(wèn)題有很強(qiáng)的技巧性，較難掌握好，而用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性簡(jiǎn)便而且快捷．例(2009年廣東卷文)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是〔〕A.B.(0,3)C.(1,4)D.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m分析：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求不等式和的解，那么的解為單調(diào)增區(qū)間．解：令，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，應(yīng)選D．2．導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的極值問(wèn)題上的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)求極值可分為三步：1：求導(dǎo)數(shù)；2：求方程的根；3：檢驗(yàn)在方程的根的左右兩邊的符號(hào)，確定極值．例求函數(shù)，的極值，最值．解：因?yàn)?，令，得．又因?yàn)橛杀碇锌芍?，為函?shù)的極小值點(diǎn)，．當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上最大值為，最小值為.在高考中，關(guān)于函數(shù)極值問(wèn)題比擬常見(jiàn)的題型是函數(shù)的極值確定字母的取值范圍或值．例〔2008四川卷理〕是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，求．解：因?yàn)椋?，因此?．導(dǎo)數(shù)在方程解的問(wèn)題上的應(yīng)用(1)利用導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性，可研究方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題.例假設(shè)，那么方程在上有多少根？解：設(shè)，那么，當(dāng)且時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，而在與處都連續(xù)，且，故在上只有一個(gè)根．(2)用曲線弧一端的切線來(lái)代替曲線弧，從而求出方程實(shí)根的近似值，這種方法叫做切線法〔牛頓法〕．例求方程的近似解．解設(shè)，，可以知道方程的唯一根在開(kāi)區(qū)間(1，2)之中，取x０＝2，牛頓法的迭代公式為xn+1＝xn－＝xn－＝，那么x１＝＝1.77185x２＝＝1.76324x３＝＝1.76323因此給定一個(gè)精確度，我們就可以求出該方程的近似解．4．用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性來(lái)證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)．其主要思想是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式．例當(dāng)時(shí)，證明不等式成立．證明：設(shè)，那么．∵∴∴在內(nèi)單調(diào)遞減，而，∴，故當(dāng)時(shí)，成立．一般地，證明，可以構(gòu)造函數(shù)，如果，那么在上是減函數(shù)，同時(shí)假設(shè)，由減函數(shù)的定義可知，時(shí)，有，即證明了．例〔2007年安徽高考試題〕設(shè)，．求證：當(dāng)時(shí)，恒有．分析：此題要證明的不等式是由函數(shù)變形而來(lái)．所以證明此不等式，我們無(wú)需構(gòu)造新的函數(shù)，只需要通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性，就可以使結(jié)論獲證．解：對(duì)求導(dǎo)得：，，故，，于是，，所以，當(dāng)時(shí)，．因?yàn)?，所以的極小值．不難求得，對(duì)一切，恒有．從而當(dāng)時(shí)，恒有，故在內(nèi)單調(diào)增加．所以當(dāng)時(shí)，，即．故當(dāng)時(shí)，恒有．5．用微積分知識(shí)證明恒等式用微積分知識(shí)證明恒等式的實(shí)質(zhì)是將等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問(wèn)題，進(jìn)而求導(dǎo)證明恒等關(guān)系，依據(jù)．例證明．證設(shè)，．那么，．故．又時(shí)，．從而，因此．原題得證．6．導(dǎo)數(shù)在曲線的切線問(wèn)題上的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義：如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，那么的函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)即為該函數(shù)在點(diǎn)〔，〕切線的斜率．利用這個(gè)我們可以求出曲線的切線方程．例〔2009寧夏海南卷文〕曲線在點(diǎn)〔0,1〕處的切線方程為．解析：因?yàn)椋邳c(diǎn)〔0,1〕處斜率斜率為k＝＝3，所以切線方程為y－1＝3x，即．例〔2009福建卷理〕假設(shè)曲線存在垂直于軸的切線，那么實(shí)數(shù)取值范圍是_____________.解析：本小題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的求法．由題意可知，又因?yàn)榇嬖诖怪庇谳S的切線，所以．這些題目都考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在填空題中也是一種典型題型，不容無(wú)視．7．運(yùn)用微分學(xué)知識(shí)研究函數(shù)圖像函數(shù)圖像的直觀性有著別的工具不可替代的作用，特別是在說(shuō)明一個(gè)函數(shù)的整體情況及其特性的時(shí)候，其作用尤為明顯，這就要求我們能正確地作出函數(shù)的圖形．學(xué)微分學(xué)之前，用描點(diǎn)法作圖是十分必要的，不過(guò)它有缺陷：帶有一定的盲目性、點(diǎn)取得不夠多也許就會(huì)得到一個(gè)錯(cuò)誤的圖像等．而運(yùn)用微分學(xué)作出的函數(shù)圖像，就能克服描點(diǎn)法作圖的缺點(diǎn)，可有效地對(duì)函數(shù)的增減性、極值點(diǎn)、凹凸性等重要性態(tài)和關(guān)鍵點(diǎn)作出準(zhǔn)確的判斷．一般來(lái)說(shuō)，討論函數(shù)圖像的步驟是：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)觀察函數(shù)是否具有某些特征(奇偶性等)；(3)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，列表；(4)觀察函數(shù)是否有漸進(jìn)線，如果有，求出漸進(jìn)線；(5)求出函數(shù)的凸凹區(qū)間和拐點(diǎn)，列表；(6)確定一些特殊點(diǎn)，如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等．例描繪函數(shù)的圖像．解①定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋谑桥己瘮?shù)，圖形關(guān)于軸對(duì)稱．③，令，解得駐點(diǎn)，，令，解得，④當(dāng)，函數(shù)值無(wú)限接近于0，即是漸近線．綜上，畫(huà)函數(shù)草圖如下：中學(xué)用微分學(xué)知識(shí)作函數(shù)圖像，舉一、二個(gè)例子就行了．這里作為函數(shù)的一個(gè)極為重要的特征—凹凸性，B版教材只在“探索與研究”中提到．其實(shí)學(xué)了導(dǎo)數(shù)，從單調(diào)性到凹凸性是很自然的事情．關(guān)于函數(shù)凹凸性的題目在高考中也屢次露面，我們應(yīng)該重視函數(shù)凹凸性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．8．導(dǎo)數(shù)在數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用例1求數(shù)列的和(其中，)．分析：這道題可以用錯(cuò)位相減法求和，但假設(shè)用導(dǎo)數(shù)方法運(yùn)算會(huì)使問(wèn)題更加簡(jiǎn)明．解注意到是的導(dǎo)數(shù)，即，可先求數(shù)列的前和．當(dāng)，1時(shí)，，然后等式兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，有例2首項(xiàng)與公差都是正整數(shù)的等差數(shù)列滿足對(duì)任意，都有，〔1〕求數(shù)列的前n項(xiàng)的和；〔2〕求數(shù)列的最小項(xiàng)．分析：這道題第2問(wèn)可以把數(shù)列看成函數(shù)，求導(dǎo)得極小值即是所求的項(xiàng)．解〔1〕注意到，∴恒成立，∴那么，∴．〔2〕設(shè)，當(dāng)1≤n＜5時(shí)，＜0，當(dāng)n＞5時(shí)，＞0，故．二、積分在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用定積分是新課標(biāo)中新加的內(nèi)容，《課標(biāo)》對(duì)定積分的定位如下：“〔1〕通過(guò)求曲邊梯形的面積、變力做功等實(shí)例，從問(wèn)題情境中了解定積分的實(shí)際背景；借助幾何直觀體會(huì)定積分的根本思想，初步了解定積分的概念，為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分打下根底；〔2〕通過(guò)實(shí)例，直觀了解微積分根本定理的含義；〔3〕了解微積分的文化價(jià)值．可見(jiàn)，高中課程學(xué)習(xí)定積分，重在粗淺地領(lǐng)略其主要思想和根本方法，從一些實(shí)例中初步認(rèn)識(shí)定積分的工具作用．縱觀08、09年新課改地區(qū)高考主要在定積分的求法，定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用尤其是利用定積分求面積上作文章．連續(xù)曲線，軸二直線所圍成的曲邊梯形的面積．例1．〔2008海南、寧夏卷理〕由直線，，曲線及軸所圍圖形的面積是〔〕A．B．C．D．解：如圖，那么此區(qū)域的面積，應(yīng)選D．如果平面區(qū)域是區(qū)間上的兩條連續(xù)曲線與〔相交〕及直線所圍成的，它的面積為例2．求由兩條曲線與圍成的平面區(qū)域，如圖解：兩條曲線的交點(diǎn)是與，那么此區(qū)域的面積定積分還可以用來(lái)求曲線的弧長(zhǎng)、求旋轉(zhuǎn)體的體積，雖然教材不作為教學(xué)內(nèi)容，但可以向?qū)W生滲透一些思想．微積分在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中有更廣泛的用途，我們高中數(shù)學(xué)主要有這幾種用法，今后也需要我們更全面地探索和研究更多的用法．高中階段微積分的應(yīng)用是表達(dá)了數(shù)學(xué)的價(jià)值：既給學(xué)生提供了一種新的方法，又給學(xué)生提供了一種重要的思想，也為今后進(jìn)一步學(xué)好微積分打下根底．相對(duì)于對(duì)代數(shù)和幾何等經(jīng)典內(nèi)容已經(jīng)臻于完善的教學(xué)研究，微積分的教學(xué)研究還不成熟