高考數學（文）高分計劃一輪狂刷練第11章算法復數推理與證明113a

[基礎送分提速狂刷練]一、選擇題1．(2018·湖北華師一附中等八校聯(lián)考)有6名選手參加演講比賽，觀眾甲猜測：4號或5號選手得第一名；觀眾乙猜測：3號選手不可能得第一名；觀眾丙猜測：1,2,6號選手中的一位獲得第一名；觀眾丁猜測：4,5,6號選手都不可能獲得第一名．比賽后發(fā)現沒有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜對比賽結果，此人是()A．甲B．乙C．丙D．丁答案D解析若甲猜測正確，則4號或5號得第一名，那么乙猜測也正確，與題意不符，故甲猜測錯誤，即4號和5號均不是第一名．若丙猜測正確，那么乙猜測也正確，與題意不符，故丙猜測錯誤，即1,2,6號均不是第1名，故3號是第1名，則乙猜測錯誤，丁猜測正確．故選D.2．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，則a2016＝()A．3B．－3C．6D．－6答案B解析∵a1＝3，a2＝6，∴a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，…，∴{an}是以6為周期的周期數列．又2016＝6×335＋6，∴a2016＝a6＝－3.故選B.3．已知x∈(0，＋∞)，觀察下列各式：x＋eq\f(1,x)≥2，x＋eq\f(4,x2)＝eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋eq\f(4,x2)≥3，x＋eq\f(27,x3)＝eq\f(x,3)＋eq\f(x,3)＋eq\f(x,3)＋eq\f(27,x3)≥4，…，類比有x＋eq\f(a,xn)≥n＋1(n∈N*)，則a＝()A．nB．2nC．n2D．nn答案D解析第一個式子是n＝1的情況，此時a＝1，第二個式子是n＝2的情況，此時a＝4，第三個式子是n＝3的情況，此時a＝33，歸納可以知道a＝nn.故選D.4．已知an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n，把數列{an}的各項排成如下的三角形：a1a2a3a5a6a7a……記A(s，t)表示第s行的第t個數，則A(11,12)＝()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))67 B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))68C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))111 D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))112答案D解析該三角形所對應元素的個數為1,3,5，…，那么第10行的最后一個數為a100，第11行的第12個數為a112，即A(11,12)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))112.故選D.5．(2017·陽山縣校級一模)下面使用類比推理恰當的是()A．“若a·3＝b·3，則a＝b”類推出“若a·0＝b·0，則a＝b”B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”類推出“(a＋b)n＝an＋bn”答案C解析對于A“若a·3＝b·3，則a＝b”類推出“若a·0＝b·0，則a＝b”是錯誤的，因為0乘任何數都等于0；對于B“若(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“(a·b)c＝ac·bc”，類推的結果不符合乘法的運算性質，故錯誤；對于C將乘法類推除法，即由“(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)”是正確的；對于D“(ab)n＝anbn”類推出“(a＋b)n＝an＋bn”是錯誤的；如(1＋1)2＝12＋12.故選C.6．(2017·河北冀州中學期末)如圖所示，坐標紙上的每個單元格的邊長為1，由下往上的六個點：1,2,3,4,5,6的橫、縱坐標分別對應數列{an}(n∈N*)的前12項，如下表所示：按如此規(guī)律下去，則a2017＝()A．502B．503C．504D．505答案D解析由a1，a3，a5，a7，…組成的數列恰好對應數列{xn}，即xn＝a2n－1，當n為奇數時，xn＝eq\f(n＋1,2).所以a2017＝x1009＝505.故選D.7．(2018·安徽江淮十校三聯(lián))我國古代數學名著《九章算術》中割圓術有：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣．”其體現的是一種無限與有限的轉化過程，比如在eq\r(2＋\r(2＋\r(2＋…)))中“…”即代表無限次重復，但原式卻是個定值x，這可以通過方程eq\r(2＋x)＝x確定x＝2，則1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝()A.eq\f(－\r(5)－1,2)B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(1＋\r(5),2)D.eq\f(1－\r(5),2)答案C解析1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝x，即1＋eq\f(1,x)＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝eq\f(1＋\r(5),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1－\r(5),2)舍))，故1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝eq\f(1＋\r(5),2)，故選C.8．(2017·陜西一模)設△ABC的三邊長分別為a，b，c，△ABC的面積為S，內切圓半徑為r，則r＝eq\f(2S,a＋b＋c)，類比這個結論可知，四面體S－ABC的四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內切球半徑為R，四面體S－ABC的體積為V，則R等于()A.eq\f(V,S1＋S2＋S3＋S4)B.eq\f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)C.eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4)D.eq\f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)答案C解析設四面體的內切球的球心為O，則球心O到四個面的距離都是R，由平面圖形中r的求解過程類比空間圖形中R的求解過程可得四面體的體積等于以O為頂點，分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和，則四面體的體積為V＝V四面體S－ABC＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)R，所以R＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4).故選C.9．(2018·鷹潭模擬)[x]表示不超過x的最大整數，例如：[π]＝3.S1＝[eq\r(1)]＋[eq\r(2)]＋[eq\r(3)]＝3S2＝[eq\r(4)]＋[eq\r(5)]＋[eq\r(6)]＋[eq\r(7)]＋[eq\r(8)]＝10S3＝[eq\r(9)]＋[eq\r(10)]＋[eq\r(11)]＋[eq\r(12)]＋[eq\r(13)]＋[eq\r(14)]＋[eq\r(15)]＝21，…依此規(guī)律，那么S10等于()A．210B．230C．220D．240答案A解析∵[x]表示不超過x的最大整數，∴S1＝[eq\r(1)]＋[eq\r(2)]＋[eq\r(3)]＝1×3＝3，S2＝[eq\r(4)]＋[eq\r(5)]＋[eq\r(6)]＋[eq\r(7)]＋[eq\r(8)]＝2×5＝10，S3＝[eq\r(9)]＋[eq\r(10)]＋[eq\r(11)]＋[eq\r(12)]＋[eq\r(13)]＋[eq\r(14)]＋[eq\r(15)]＝3×7＝21，…Sn＝[eq\r(n2)]＋[eq\r(n2＋1)]＋[eq\r(n2＋2)]＋…＋[eq\r(n2＋2n－1)]＋[eq\r(n2＋2n)]＝n×(2n＋1)，∴S10＝10×21＝210.故選A.10．(2017·龍泉驛區(qū)模擬)對于問題：“已知兩個正數x，y滿足x＋y＝2，求eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)的最小值”，給出如下一種解法：∵x＋y＝2，∴eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝eq\f(1,2)(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(y,x)＋\f(4x,y)))，∵x>0，y>0，∴eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y)≥2eq\r(\f(y,x)·\f(4x,y))＝4，∴eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)≥eq\f(1,2)(5＋4)＝eq\f(9,2)，當且僅當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＝\f(4x,y)，,x＋y＝2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,3)，,y＝\f(4,3)))時，eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)取最小值eq\f(9,2).參考上述解法，已知A，B，C是△ABC的三個內角，則eq\f(1,A)＋eq\f(9,B＋C)的最小值為()A.eq\f(16,π)B.eq\f(8,π)C.eq\f(4,π)D.eq\f(2,π)答案A解析A＋B＋C＝π，設A＝α，B＋C＝β，則α＋β＝π，eq\f(α＋β,π)＝1，參考題干中解法，則eq\f(1,A)＋eq\f(9,B＋C)＝eq\f(1,α)＋eq\f(9,β)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,α)＋\f(9,β)))·(α＋β)eq\f(1,π)＝eq\f(1,π)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋\f(β,α)＋\f(9α,β)))≥eq\f(1,π)(10＋6)＝eq\f(16,π)，當且僅當eq\f(β,α)＝eq\f(9α,β)，即3α＝β時等號成立．故選A.二、填空題11．(2017·北京高考)三名工人加工同一種零件，他們在一天中的工作情況如圖所示，其中點Ai的橫、縱坐標分別為第i名工人上午的工作時間和加工的零件數，點Bi的橫、縱坐標分別為第i名工人下午的工作時間和加工的零件數，i＝1,2,3.(1)記Qi為第i名工人在這一天中加工的零件總數，則Q1，Q2，Q3中最大的是________．(2)記pi為第i名工人在這一天中平均每小時加工的零件數，則p1，p2，p3中最大的是________．答案(1)Q1(2)p2解析設A1(xA1，yA1)，B1(xB1，yB1)，線段A1B1的中點為E1(x1，y1)，則Q1＝y(tǒng)A1＋yB1＝2y1.因此，要比較Q1，Q2，Q3的大小，只需比較線段A1B1，A2B2，A3B3中點縱坐標的大小，作圖比較知Q1最大．又p1＝eq\f(yA1＋yB1,xA1＋xB1)＝eq\f(2y1,2x1)＝eq\f(y1,x1)＝eq\f(y1－0,x1－0)，其幾何意義為線段A1B1的中點E1與坐標原點連線的斜率，因此，要比較p1，p2，p3的大小，只需比較線段A1B1，A2B2，A3B3中點與坐標原點連線的斜率，作圖比較知p2最大．12．(2018·湖北八校聯(lián)考)二維空間中，圓的一維測度(周長)l＝2πr，二維測度(面積)S＝πr2；三維空間中，球的二維測度(表面積)S＝4πr2，三維測度(體積)V＝eq\f(4,3)πr3.應用合情推理，若四維空間中，“超球”的三維測度V＝8πr3，則其四維測度W＝________.答案2πr4解析在二維空間中，圓的二維測度(面積)S＝πr2，則其導數S′＝2πr,即為圓的一維測度(周長)l＝2πr；在三維空間中，球的三維測度(體積)V＝eq\f(4,3)πr3，則其導數V′＝4πr2，即為球的二維測度(表面積)S＝4πr2；應用合情推理，在四維空間中，“超球”的三維測度V＝8πr3，則其四維測度W＝2πr4.13．(2017·江西贛州十四縣聯(lián)考)我國古代數學著作《九章算術》有如下問題：“今有人持金出五關，前關二而稅一，次關三而稅一，次關四而稅一，次關五而稅一，次關六而稅一．并五關所稅，適重一斤．問本持金幾何？”其意思為“今有人持金出五關，第1關收稅金eq\f(1,2)，第2關收稅金為剩余的eq\f(1,3)，第3關收稅金為剩余的eq\f(1,4)，第4關收稅金為剩余的eq\f(1,5)，第5關收稅金為剩余的eq\f(1,6)，5關所收稅金之和，恰好重1斤，問原本持金多少？”若將“5關所收稅金之和，恰好重1斤，問原本持金多少？”改成“假設這個人原本持金為x，按此規(guī)律通過第8關”，則第8關所收稅金為________x.答案eq\f(1,72)解析第1關收稅金：eq\f(1,2)x；第2關收稅金：eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))x＝eq\f(x,6)＝eq\f(x,2×3)；第3關收稅金：eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)－\f(1,6)))x＝eq\f(x,12)＝eq\f(x,3×4)；……第8關收稅金：eq\f(x,8×9)＝eq\f(x,72).14．傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上畫點或用小石子表示數．他們研究過如圖所示的三角形數：將三角形數1,3,6,10，…記為數列{an}，將可被5整除的三角形數按從小到大的順序組成一個新數列{bn}．可以推測：(1)b2016是數列{an}中的第________項；(2)b2k－1＝________(用k表示)．答案(1)5040(2)eq\f(5k5k－1,2)解析觀察知這些三角形數滿足an＝eq\f(nn＋1,2)，n∈N*，當n＝5k－1或n＝5k，k∈N*時，對應的三角形數是5的倍數，為數列{bn}中的項，將5k－1和5k列為一組，所以b2016是第1008組的后面一項，即b2016是數列{an}中的第5×1008＝5040項；b2k－1是第k組的前面一項，是數列{an}中的第5k－1項，即b2k－1＝a5k－1＝eq\f(5k5k－1,2).三、解答題15．(2017·未央區(qū)校級期中)閱讀以下求1＋2＋3＋…＋n的值的過程：因為(n＋1)2－n2＝2n＋1，n2－(n－1)2＝2(n－1)＋1…22－12＝2×1＋1以上各式相加得(n＋1)2－1＝2×(1＋2＋3＋…＋n)＋n所以1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n2＋2n－n,2)＝eq\f(nn＋1,2).類比上述過程，求12＋22＋32＋…＋n2的值．解∵23－13＝3·22－3·2＋1，33－23＝3·32－3·3＋1，…，n3－(n－1)3＝3n2－3n＋1，把這n－1個等式相加得n3－1＝3·(22＋32＋…＋n2)－3·(2＋3＋…＋n)＋(n－1)，由此得n3－1＝3·(12＋22＋32＋…＋n2)－3·(1＋2＋3＋…＋n)＋(n－1)，即12＋22＋…＋n2＝eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a