江蘇省南通市2023-2024學年高三上學期期初質量監(jiān)測數(shù)學試題

20232024學年（上）高三期初質量監(jiān)測數(shù)學注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1.本試卷共6頁，包含單項選擇題（第1題~第8題，共40分）、多項選擇題（第9題~第12題，共20分）、非選擇題（第13題~第22題，共90分）三部分。本次考試滿分為150分，考試時間為120分鐘。考試結束后，請將答題卡交回。2.答題前，請您務必將自己的姓名、考試號等用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆填在答題卡上。3.請認真核對答題卡表頭規(guī)定填寫或填涂的項目是否準確。4.作答非選擇題必須用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其它位置作答一律無效。作答選擇題必須用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案。5.如有作圖需要，可用2B鉛筆作答，并請加黑加粗，描寫清楚。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.2.復數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.3.已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.4.“”是“”的（）A.充分且不必要條件 B.必要且不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件5.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.6.已知函數(shù)，若曲線在點處的切線方程為，則（）A. B. C.0 D.17.已知，，，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.8.記函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則的最小值為（）A. B. C. D.1二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.任何一個復數(shù)（其中，）都可以表示成：的形式.法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：，我們稱這個結論為棣莫弗定理.根據(jù)以上信息，下列說法正確的是（）A. B.當，時，C.當，時， D.當，，且為偶數(shù)時，復數(shù)為純虛數(shù)10.已知，，且，則（）A. B. C. D.11.已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（）A. B.C. D.12.已知函數(shù)有兩個零點，，且，則（）A. B.隨的增大而減小C.隨的增大而增大 D.隨的增大而增大三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.寫出滿足且的一組數(shù)對______.14.若命題“，”是假命題，則實數(shù)的最大值為______.15.已知樹木樣本中碳14含量與樹齡之間的函數(shù)關系式為，其中為樹木最初生長時的碳14含量，為樹齡（單位：年）.通過測定發(fā)現(xiàn)某古樹樣品中碳14含量為，則該古樹的樹齡約為______萬年.（精確到0.01）（，）16.已知函數(shù)關于的方程有4個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為______.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.（10分）已知集合，.（1）若，求；（2）若是的充分且不必要條件，求的取值范圍.18.（12分）已知函數(shù)為奇函數(shù).（1）求的值；（2）若存在實數(shù)，使得成立，求的取值范圍.19.（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)的定義域和值域均為，求的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，且對任意的，，總有成立，求實數(shù)的取值范圍.20.（12分）已知函數(shù)的極小值為，其導函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點.（1）求的解析式；（2）若曲線恰有三條過點的切線，求實數(shù)的取值范圍.21.（12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調性；（2）證明：當時，.22.（12分）已知函數(shù).（1）若，證明：；（2）若在區(qū)間上有兩個極值點，求的取值范圍.20232024學年（上）高三期初質量監(jiān)測數(shù)學參考答案與評分建議1.【答案】A 2.【答案】C 3.【答案】B 4.【答案】A5.【答案】B 6.【答案】B 7.【答案】A 8.【答案】A9.【答案】AC 10.【答案】BCD 11.【答案】BC 12.【答案】ABD13.【答案】（答案不唯一，，即可）14.【答案】 15.【答案】0.42 16.【答案】17.【解析】（1）由，解得，所以，……2分當時，……4分所以.……5分（2）因為，所以.……7分由，得，所以.……8分因為是的充分不必要條件，所以，所以，解得，故的取值范圍為.……10分18.【解析】（1）因為定義域為，又因為為奇函數(shù)，所以，即，得.……2分當時，，所以，所以.……4分（2）可化為，因為是奇函數(shù)，所以.……6分又由（1）知，設，，且，則，因為，所以，，，所以，即故是上的減函數(shù)，……9分所以（*）可化為.因為存在實數(shù)，使得成立，所以，解得.所以的取值范圍為.……12分19.【解析】（1）因為的圖象開口向上，且對稱軸為所以在上單調遞減，所以，，……2分因為定義域和值域均為，所以，解得，.……4分（2）因為在區(qū)間上是減函數(shù)，所以.……5分所以在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，所以.又因為，所以.……8分因為對任意的，，總有成立，所以，即，整理得，，……10分解得，，又因為，所以的取值范圍為.……12分20.【解析】（1），1分因為，且的圖象經(jīng)過，兩點.所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.……3分所以在處取得極小值，所以，又因為，，所以，，解得，，，所以.……6分（2）設切點為，則，因為，所以，所以切線方程為，……8分將代入上式，得.因為曲線恰有三條過點的切線，所以方程有三個不同實數(shù)解.記，則導函數(shù)，令，得或1.列表：01+00+↗極大↘極小↗所以的極大值為，的極小值為，……10分所以，解得.故的取值范圍是.……12分21.【解析】（1）的定義域為，……1分導函數(shù)，……2分當時，，在上單調遞增；……3分當時，令，得，令，得，所以在上單調遞減，在上單調遞增.綜上，時，在上單調遞增；時，在上單調遞減，在上單調遞增.……5分（2）由（1）得，當時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以.……7分要證，只需證，即證.……9分設，導函數(shù)，令，解得.所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.所以.所以，所以，所以.……12分22.【解析】（1）的定義域為.當時，，令，則導函數(shù).當時，，在上單調遞減