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文檔簡介
2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知,,則等于().A. B. C. D.2.已知,,,,則()A. B. C. D.3.向量,,且,則()A. B. C. D.4.函數(shù)的部分圖象如圖中實線所示,圖中圓與的圖象交于兩點,且在軸上,則下列說法中正確的是A.函數(shù)的最小正周期是B.函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱C.函數(shù)在單調(diào)遞增D.函數(shù)的圖象向右平移后關(guān)于原點成中心對稱5.如圖,在中,,是上一點,若,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.6.設(shè)全集U=R,集合,則()A. B. C. D.7.已知集合,,則中元素的個數(shù)為()A.3 B.2 C.1 D.08.已知雙曲線的一個焦點為,點是的一條漸近線上關(guān)于原點對稱的兩點,以為直徑的圓過且交的左支于兩點,若,的面積為8,則的漸近線方程為()A. B.C. D.9.集合,則()A. B. C. D.10.若直線的傾斜角為,則的值為()A. B. C. D.11.已知等式成立,則()A.0 B.5 C.7 D.1312.已知點(m,8)在冪函數(shù)的圖象上,設(shè),則()A.b<a<c B.a(chǎn)<b<c C.b<c<a D.a(chǎn)<c<b二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè),分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且,則_________14.設(shè)函數(shù),若對于任意的,∈[2,,≠,不等式恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是.15.某四棱錐的三視圖如圖所示,那么此四棱錐的體積為______.16.在數(shù)列中,,則數(shù)列的通項公式_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知非零實數(shù)滿足.(1)求證:;(2)是否存在實數(shù),使得恒成立?若存在,求出實數(shù)的取值范圍;若不存在,請說明理由18.(12分)已知函數(shù)有兩個極值點,.(1)求實數(shù)的取值范圍;(2)證明:.19.(12分)已知中,角,,的對邊分別為,,,已知向量,且.(1)求角的大?。唬?)若的面積為,,求.20.(12分)已知函數(shù),其中.(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)設(shè),求證:;(Ⅲ)若對于恒成立,求的最大值.21.(12分)已知等差數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,.(1)求數(shù)列{an}的通項an;(2)設(shè)bn=an?3n,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.22.(10分)如圖,四棱錐中,平面,,,.(I)證明:;(Ⅱ)若是中點,與平面所成的角的正弦值為,求的長.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
由已知條件利用誘導(dǎo)公式得,再利用三角函數(shù)的平方關(guān)系和象限角的符號,即可得到答案.【詳解】由題意得,又,所以,結(jié)合解得,所以,故選B.【點睛】本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系以及三角函數(shù)的符號與位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】
令,求,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增,從而可得,設(shè),利用導(dǎo)數(shù)證出為單調(diào)遞減函數(shù),從而證出,即可得到答案.【詳解】時,令,求導(dǎo),,故單調(diào)遞增:∴,當(dāng),設(shè),,又,,即,故.故選:D【點睛】本題考查了作差法比較大小,考查了構(gòu)造函數(shù)法,利用導(dǎo)數(shù)判斷式子的大小,屬于中檔題.3、D【解析】
根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運算以及誘導(dǎo)公式,即可得出答案.【詳解】故選:D【點睛】本題主要考查了由向量平行求參數(shù)以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于中檔題.4、B【解析】
根據(jù)函數(shù)的圖象,求得函數(shù),再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì),即可求解,得到答案.【詳解】根據(jù)給定函數(shù)的圖象,可得點的橫坐標(biāo)為,所以,解得,所以的最小正周期,不妨令,,由周期,所以,又,所以,所以,令,解得,當(dāng)時,,即函數(shù)的一個對稱中心為,即函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱.故選B.【點睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式,以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),其中解答中根據(jù)函數(shù)的圖象求得三角函數(shù)的解析式,再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及運算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】
由題意,可根據(jù)向量運算法則得到(1﹣m),從而由向量分解的唯一性得出關(guān)于t的方程,求出t的值.【詳解】由題意及圖,,又,,所以,∴(1﹣m),又t,所以,解得m,t,故選C.【點睛】本題考查平面向量基本定理,根據(jù)分解的唯一性得到所求參數(shù)的方程是解答本題的關(guān)鍵,本題屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
求出集合M和集合N,,利用集合交集補集的定義進行計算即可.【詳解】,,則,故選:A.【點睛】本題考查集合的交集和補集的運算,考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】
集合表示半圓上的點,集合表示直線上的點,聯(lián)立方程組求得方程組解的個數(shù),即為交集中元素的個數(shù).【詳解】由題可知:集合表示半圓上的點,集合表示直線上的點,聯(lián)立與,可得,整理得,即,當(dāng)時,,不滿足題意;故方程組有唯一的解.故.故選:C.【點睛】本題考查集合交集的求解,涉及圓和直線的位置關(guān)系的判斷,屬基礎(chǔ)題.8、B【解析】
由雙曲線的對稱性可得即,又,從而可得的漸近線方程.【詳解】設(shè)雙曲線的另一個焦點為,由雙曲線的對稱性,四邊形是矩形,所以,即,由,得:,所以,所以,所以,,所以,的漸近線方程為.故選B【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì),考查直線與圓的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合思想與計算能力,屬于中檔題.9、D【解析】
利用交集的定義直接計算即可.【詳解】,故,故選:D.【點睛】本題考查集合的交運算,注意常見集合的符號表示,本題屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
根據(jù)題意可得:,所求式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡,再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后,將代入計算即可求出值.【詳解】由于直線的傾斜角為,所以,則故答案選B【點睛】本題考查二倍角的正弦函數(shù)公式,同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,以及直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系,熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.11、D【解析】
根據(jù)等式和特征和所求代數(shù)式的值的特征用特殊值法進行求解即可.【詳解】由可知:令,得;令,得;令,得,得,,而,所以.故選:D【點睛】本題考查了二項式定理的應(yīng)用,考查了特殊值代入法,考查了數(shù)學(xué)運算能力.12、B【解析】
先利用冪函數(shù)的定義求出m的值,得到冪函數(shù)解析式為f(x)=x3,在R上單調(diào)遞增,再利用冪函數(shù)f(x)的單調(diào)性,即可得到a,b,c的大小關(guān)系.【詳解】由冪函數(shù)的定義可知,m﹣1=1,∴m=2,∴點(2,8)在冪函數(shù)f(x)=xn上,∴2n=8,∴n=3,∴冪函數(shù)解析式為f(x)=x3,在R上單調(diào)遞增,∵,1<lnπ<3,n=3,∴,∴a<b<c,故選:B.【點睛】本題主要考查了冪函數(shù)的性質(zhì),以及利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
令,結(jié)合函數(shù)的奇偶性,求得,即可求解的值,得到答案.【詳解】由題意,函數(shù)分別是上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且,令,可得,所以.故答案為:1.【點睛】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,其中解答中熟記函數(shù)的奇偶性,合理賦值求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】試題分析:由題意得函數(shù)在[2,上單調(diào)遞增,當(dāng)時在[2,上單調(diào)遞增;當(dāng)時在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減,因此實數(shù)a的取值范圍是考點:函數(shù)單調(diào)性15、【解析】
利用三視圖判斷幾何體的形狀,然后通過三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積.【詳解】如圖:此四棱錐的高為,底面是長為,寬為2的矩形,所以體積.所以本題答案為.【點睛】本題考查幾何體與三視圖的對應(yīng)關(guān)系,幾何體體積的求法,考查空間想象能力與計算能力.解決本類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解幾何體的定義,真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征,可以根據(jù)條件構(gòu)建幾何模型,在幾何模型中進行判斷.16、【解析】
由題意可得,又,數(shù)列的奇數(shù)項為首項為1,公差為2的等差數(shù)列,對分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況,分別求出,從而得到數(shù)列的通項公式.【詳解】解:∵,∴①,②,①﹣②得:,又∵,∴數(shù)列的奇數(shù)項為首項為1,公差為2的等差數(shù)列,∴當(dāng)為奇數(shù)時,,當(dāng)為偶數(shù)時,則為奇數(shù),∴,∴數(shù)列的通項公式,故答案為:.【點睛】本題考查求數(shù)列的通項公式,解題關(guān)鍵是由已知遞推關(guān)系得出,從而確定數(shù)列的奇數(shù)項成等差數(shù)列,求出通項公式后再由已知求出偶數(shù)項,要注意結(jié)果是分段函數(shù)形式.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)存在,【解析】
(1)利用作差法即可證出.(2)將不等式通分化簡可得,討論或,分離參數(shù),利用基本不等式即可求解.【詳解】又即即①當(dāng)時,即恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號),故②當(dāng)時恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號),故綜上,【點睛】本題考查了作差法證明不等式、基本不等式求最值、考查了分類討論的思想,屬于基礎(chǔ)題.18、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)先求得導(dǎo)函數(shù),根據(jù)兩個極值點可知有兩個不等實根,構(gòu)造函數(shù),求得;討論和兩種情況,即可確定零點的情況,即可由零點的情況確定的取值范圍;(2)根據(jù)極值點定義可知,,代入不等式化簡變形后可知只需證明;構(gòu)造函數(shù),并求得,進而判斷的單調(diào)區(qū)間,由題意可知,并設(shè),構(gòu)造函數(shù),并求得,即可判斷在內(nèi)的單調(diào)性和最值,進而可得,即可由函數(shù)性質(zhì)得,進而由單調(diào)性證明,即證明,從而證明原不等式成立.【詳解】(1)函數(shù)則,因為存在兩個極值點,,所以有兩個不等實根.設(shè),所以.①當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞增,至多有一個零點,不符合題意.②當(dāng)時,令得,0減極小值增所以,即.又因為,,所以在區(qū)間和上各有一個零點,符合題意,綜上,實數(shù)的取值范圍為.(2)證明:由題意知,,所以,.要證明,只需證明,只需證明.因為,,所以.設(shè),則,所以在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).因為,不妨設(shè),設(shè),,則,當(dāng)時,,,所以,所以在上是增函數(shù),所以,所以,即.因為,所以,所以.因為,,且在上是減函數(shù),所以,即,所以原命題成立,得證.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點,由導(dǎo)數(shù)證明不等式,構(gòu)造函數(shù)法的綜合應(yīng)用,極值點偏移證明不等式成立的應(yīng)用,是高考的??键c和熱點,屬于難題.19、(1);(2).【解析】試題分析:(1)利用已知及平面向量數(shù)量積運算可得,利用正弦定理可得,結(jié)合,可求,從而可求的值;(2)由三角形的面積可解得,利用余弦定理可得,故可得.試題解析:(1)∵,,,∴,∴,即,又∵,∴,又∵,∴.(2)∵,∴,又,即,∴,故.20、(Ⅰ)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;(Ⅱ)證明見解析;(Ⅲ).【解析】
(Ⅰ)利用二次求導(dǎo)可得,所以在上為增函數(shù),進而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;(Ⅱ)利用導(dǎo)數(shù)可得在區(qū)間上存在唯一零點,所以函數(shù)在遞減,在,遞增,則,進而可證;(Ⅲ)條件等價于對于恒成立,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)性,即可得到的最小值為,再次構(gòu)造函數(shù)(a),,利用導(dǎo)數(shù)得其單調(diào)區(qū)間,進而求得最大值.【詳解】(Ⅰ)當(dāng)時,,則,所以,又因為,所以在上為增函數(shù),因為,所以當(dāng)時,,為增函數(shù),當(dāng)時,,為減函數(shù),即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;(Ⅱ),則令,則(1),,所以在區(qū)間上存在唯一零點,設(shè)零點為,則,且,當(dāng)時,,當(dāng),,,所以函數(shù)在遞減,在,遞增,,由,得,所以,由于,,從而;(Ⅲ)因為對于恒成立,即對于恒成立,不妨令,因為,,所以的解為,則當(dāng)時,,為增函數(shù),當(dāng)時,,為減函數(shù),所以的最小值為,則,不妨令(a),,則(a),解得,所以當(dāng)時,(a),(a)為增函數(shù),當(dāng)時,(a),(a)為減函數(shù),所以(a)的最大值為,則的最大值為.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,以及函數(shù)不等式恒成立問題的解法,意在考查學(xué)生等價轉(zhuǎn)化思想和數(shù)學(xué)運算能力,屬于較難題.21、(1).(2)【解析】
(1)先設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d>0),然后根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及已知條件可列出關(guān)于d的方程,解出d的值,即可得到數(shù)列{an}的通項an;(2)先根據(jù)第(1)題的結(jié)果計算出數(shù)列{bn}的通項公式,然后運用錯位相減法計算前n項和Tn.【詳解】(1)由題意,設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d>0),則a4a5=(1+3d)(1+4d)=11,整理,得12d2+7d﹣10=0,解得d(舍去),或d,∴an=1(n﹣1),n∈N*.(2)由(1)知,bn=an?3n?3n=(2n+1)?3n﹣1,∴Tn=b1+b2
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